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专题04 平面投影向量的应用
[新教材的新增内容]
背景分析:在旧教材中只是讲解了投影的概念，而新教材再次基础上增加了投影向量的概念与求解公式.
1.投影向量的概念:如图(1) 设是两个非零向量，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.
如图（2），在平面内任取一点O，作.过点M作直线ON的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量.
2.投影向量计算公式:
当为锐角（如图（1））时，与方向相同，，所以；
当为直角（如图（2））时，，所以；
当为钝角（如图（3））时，与方向相反，所以，即.
当时，，所以；
当时，，所以
综上可知，对于任意的，都有.
[新增内容的考查分析]
1.求投影向量(由投影向量与投影所在的向量共线，问题转化为求向量间的投影数量与投影所在向量方向上单位向量的积(注意向量间的投影向量与向量间投影的数量区别)
【考法示例1】
1. 已知||＝4，为单位向量，它们的夹角为，则向量在向量上的投影向量是_____；向量在向量上的投影向量是________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】
向量在向量上的投影向量：与向量共线，即向量在向量上投影的数量乘以向量方向上的单位向量；同理，向量在向量上的投影向量亦如此；由向量的数量积的几何意义知：向量在向量上投影的数量为，向量在向量上投影的数量为，由此向量在向量上的投影向量为，向量在向量上的投影向量
【详解】由||＝4，为单位向量，它们的夹角为
根据向量的数量积公式, 有：
即向量在向量上的投影数量：
向量在向量上的投影数量：
∴向量在向量上的投影向量：
向量在向量上的投影向量：
故答案为：；
【点睛】本题考查了向量数量积的几何意义；由投影向量与投影所在的向量共线，问题转化为求向量间的投影数量与投影所在向量方向上单位向量的积(注意向量间的投影向量与向量间投影的数量区别)
【考法示例2】
2. 已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量与投影数量分别是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量投影数量的概念可求得在方向上的投影数量，设在方向上的投影向量为，根据向量数量积的几何意义可得出，求出实数的值，即可得出结论.
【详解】设在方向上的投影向量为，则，
故，故在方向上的投影向量为，
在方向上的投影数量为.
故选：D.
2. 已知投影向量求解向量的模、数量积等
【考法示例3】
3. 已知向量，，，为向量在向量上的投影向量，则_______
【答案】
【解析】
【分析】
根据投影的定义计算即可.
【详解】，由投影公式可知.
故答案为：.
【点睛】本题考查向量的投影，此类问题熟记公式是关键，本题属于基础题.
考法示例4】
4. 已知，向量在向量上的投影向量为，则＝____________.
【答案】18
【解析】
【分析】
由题意向量在向量上的投影向量为，分析可得，代入公式，即可得答案.
【详解】因为向量在向量上的投影向量为，则可得，
所以，
故答案为：18.
【点睛】本题考查向量投影的应用，考查分析理解的能力，属基础题.
3.已知投影向量求解参数
【考法示例5】
5. 已知向量，点，，记为在向量上的投影向量，若，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】先求得在向量上的投影，再根据为在向量上的投影，求得的坐标，然后由求解.
【详解】因为点，，
所以，又向量，
所以在向量上的投影，
所以
因为，
所以，
故答案为：
4.与投影向量相关的综合考查
【考法示例6】
6. 已知非零单位向量和，若，向量在向量上的投影向量为，向量在向量上的投影向量为，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据数量积的定义及投影定义，依次计算各选项即可求得结果.
【详解】和为单位向量,，，
向量在向量上的投影为，
向量在向量上的投影向量为，
向量在向量上的投影为，
向量在向量上的投影向量为，C错误，
，，A正确，
，，B正确，
，D正确.
故选：ABD.
[新增内容的针对训练]
7. 已知向量，，，为向量在向量上的投影向量，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先计算，再根据投影公式计算投影向量的模.
【详解】
由投影公式可知.
故选：A
【点睛】本题考查投影的计算，属于基础题型.
8. 已知，，＝120°，则向量在向量方向上的投影是________，向量在向量方向上的投影是________
【答案】 ①. －5 ②. －1
【解析】
【分析】根据向量投影的定义，即可求解、
【详解】根据向量投影的定义，向量在向量方向上的投影是
；
向量在向量方向上的投影是
．
【点睛】本题主要考查向量投影的定义的应用．
9. 设向量，．若，，则______，向量在向量上的投影向量为______．
【答案】 ①. 13 ②.
【解析】
【分析】由向量的坐标运算求出向量、的坐标，由向量数量积的坐标运算即可求的值，根据投影向量的计算公式即可求向量在向量上的投影向量.
【详解】因为向量，，
所以，
，
所以，
由，可得：，，
所以，
向量在向量上的投影向量为：
，
故答案为：；.
10. 已知向量在向量上的投影向量的模为，向量在向量上的投影向量的模为，且，则________．
【答案】或
【解析】
【分析】根据向量投影的定义求出、的值，利用平面向量数量积的运算性质可求得结果.
【详解】设向量与向量的夹角为，由题意可得，可得.
当时，则，所以，；
当时，则，所以，.
故答案为：或.
【点睛】方法点睛：求向量模的常见思路与方法：
（1）求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用，勿忘记开方；
（2）或，此性质可用来求向量的模，可实现实数运算与向量运算的相互转化；
（3）一些常见的等式应熟记：如，等.
11. 已知与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据投影向量的定义即可求解.
【详解】向量在向量上的投影向量为：，
故答案为：.

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