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专题05 实系数一元二次方程在复数范围内的解集
[新教材的新增内容]
背景分析：
在人教A第二册第7章复数第79页例6，设置了两道习题，在复数范围解二次方程.并总结出求根公式.如下：
在复数范围内解下列方程：
（1）；
（2），其中，且.
解：（1）因为，所以方程的根为.
（2）将方程的二次项系数化为1，得.
配方，得，
即.
由，知.
类似（1），可得.
所以原方程的根为.
在复数范围内，实系数一元二次方程的求根公式为：
（1）当时，；
（2）当时，.
[新增内容的考查分析]
1.已知二次方程的一个复数根求解其他参数
【考法示例1】
1. 已知复数是方程的一个根，则实数，的值分别是（ ）
A. 12，26 B. 24，26 C. 12，0 D. 6，8
【答案】A
【解析】
【分析】复数是方程的根，代入方程，整理后利用复数的相等即可求出p,q的值.
【详解】因为是方程的一个根，所以，
即，所以，解得，故选A.
【点睛】本题主要考查了复数方程及复数相等的概念，属于中档题.
【考法示例2】
2. 已知复数是关于的方程的一个根，则 （ ）
A. 25 B. 5 C. D. 41
【答案】C
【解析】
【分析】将代入原方程，然后根据复数相等求解出的值，则可求.
【详解】因为复数是关于的方程的一个根，
所以，所以，
所以，所以，
则，
故选：C.
2.二次方程的根与系数之间的关系
考法示例1】
3. 若方程x2﹣2x+3＝0的两个根为α和β，则|α|+|β|＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】因为，设，则，根据根与系数关系及模求解.
【详解】因为，此时方程两根为共轭虚根，
设，则，
，
.
故答案为：.
3.求解复系数下二次方程的根
【考法示例1】
4. 设z1是方程x2－6x＋25＝0的一个根．
(1)求z1；
(2)设z2＝a＋i(其中i为虚数单位，a∈R)，若z2的共轭复数z2满足|z13·z2|＝125，求z22.
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】
【分析】（1）直接利用实系数一元二次方程的求根公式求解；
（2）由z2=a+i得其共轭复数，把z1及 代入|z13·z2|＝125，整理后求解a的值，代入z2=a+i后求解z22．
【详解】(1)因为Δ＝62－4×25＝－64，所以z1＝3－4i或z1＝3＋4i.
(2)由|z·(a－i)|＝125，得125·＝125，所以a＝±2.
当a＝－2时，z＝(－2＋i)2＝3－4i；当a＝2时，z＝(2＋i)2＝3＋4i.
【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，训练了实系数一元二次方程虚根的求法，考查了复数模的求法，考查了学生的计算能力，是基础题．
【考法示例2】
5. 已知复数满足.
（1）求证：；
（2）若的虚部为正数，求，，，，根据的规律，求出的值（不需要证明）.
【答案】（1）证明见解析；（2）；，，，.
【解析】
【分析】（1）由可得，从而可得；
（2）由可得，而，，，由此可得以3为周期进行循环，从而可求出求出的值
【详解】（1）证明：因为，
所以，
所以，即；
（2）由可得，
的虚部为正数，；
，，
.
以3为周期进行循环.
.
[新增内容的针对训练]
6. 下列关于复数的命题中（其中 为虚数单位），说法正确的是（ ）
A. 若关于x的方程有实根，则
B. 复数z满足，则z在复平面对应的点位于第二象限
C. ，（为虚数单位，），若，则
D. 是关于x的方程的一个根，其中p q为实数，则
【答案】D
【解析】
【分析】直角利用复数的运算，复数的几何意义，一元二次方程根与系数的关系，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，设方程的实数根为，代入方程可得，
所以，解得，所以A不正确；
对于B中，复数，可得，
则复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，所以B不正确；
对于C中，复数，，
当时，可知当时 ，因为虚数不能比较大小，所以C不正确；
对于D中，是关于x的方程的一个根，
根据复数方程的性质，可得也是方程的根，
可得，解得，所以D正确.
故选：D.
7. 已知，为实数，是关于的方程的一个根，其中是虚数单位，则______．
【答案】0
【解析】
【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数关系求解.
【详解】是关于的方程的一个根，
是关于的方程的另一个根，
则，即，
，
.
故答案为：0
8. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则___________.
【答案】3
【解析】
【分析】由题知与其共轭复数均为方程的根，进而由韦达定理即可得答案.
【详解】∵实系数一元二次方程的一个虚根为，
∴其共轭复数也是方程的根.
由根与系数的关系知，，
∴ ，.
故答案为：
【点睛】本题考查方程复数根的特点的应用，熟练掌握实系数方程的虚根成对原理（需明确两根为共轭复数）和根与系数的关系是解题的关键，属于基础题.
9. 已知关于的方程的两根为、，满足，则实数的值为____________
【答案】4或
【解析】
【分析】就判别式的正负分类讨论后可求的值.
【详解】，
若，则方程的两根为实数，且，解得.
若，则方程的两根为虚数，该方程可化简为：
，故两根分别为，，
所以，故，
故答案为或.
【点睛】本题考查复数范围内实系数的一元二次方程的解，解题中注意根据判别式的正负分类讨论，此类问题属于基础题.
10. 已知为虚数单位，关于的方程的两根分别为，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值．
【答案】（1）6；（2）或．
【解析】
【分析】（1）将已知的根代入原方程，从而可求实数的值．
（2）就的取值范围分类计算，从而可求实数的值．
【详解】解：
（1）∵为方程的根，所以，
整理得到：，由可得.
（2）由方程可得，
若即或，则，
则，即，解得，
若即，则，即，解得，
综上所述，实数的值为或．
11. 是实系数一元二次方程的两个虚根，且是实数，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】利用实系数二次方程的两个虚根互为共轭的性质，结合是实数，利用共轭复数的运算性质将分母实数化，可以得到，再结合是虚数，利用1的立方根的性质，可以得到或，进而通过复数的运算求得.
【详解】．
或，其中，
从而可得．
或，
∴.
【点睛】本题考查实系数一元二次方程的虚根互为共轭，考查共轭复数的性质和运算，关键是1的立方虚根的性质与应用，一般的一个虚数的立方根为实数，设这个数,则,则,于是可设或.

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