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专题11对数
知识点01对数
1．对数的概念
（1）对数：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
（2）常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把记为lg N．
（3）自然对数：在科学技术中常使用以无理数e=2．718 28……为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把记为ln N．
2．对数与指数的关系
当a>0，且a≠1时，．即
3．对数的性质
根据对数的概念，知对数具有以下性质：
（1）负数和零没有对数，即；（2）1的对数等于0，即；
底数的对数等于1，即．
例1　根据对数定义，将下列指数式写成对数式：
①3x＝；　　　　 ②x＝64； ③log16＝－； ④ln 10＝x.
解①log3＝x；②log64＝x；③16＝；④ex＝10.
例2 利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值.
(1)log2x＝－；(2)logx25＝2；(3)log5x2＝2.
解　(1)由log2x＝－，得2－＝x，∴x＝.
(2)由logx25＝2，得x2＝25.∵x＞0，且x≠1，∴x＝5.
(3)由log5x2＝2，得x2＝52，∴x＝±5.∵52＝25＞0，(－5)2＝25＞0，∴x＝5或x＝－5.
例3 求下列式子值。
(1)2log23＋2log31－3log77＋3ln 1＝________. (2)9＝________；
(1) 解析原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0.
(2)解析 9＝(9)＝3＝4.
举一反三：
【变式1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)43＝64；(2)ln a＝b；(3)＝n；(4)lg 1000＝3.
解　(1)因为43＝64，所以log464＝3；
(2)因为ln a＝b，所以eb＝a；
(3)因为＝n，所以logn＝m；
(4)因为lg 1 000＝3，所以103＝1 000.
【变式2】 求下列各式的值.
①log981＝________.②log0.41＝________.③ln e2＝________.
(1)①2　②0　③2
解析　①设log981＝x，所以9x＝81＝92，故x＝2，即log981＝2；②设log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，故x＝0，即log0.41＝0；③设ln e2＝x，所以ex＝e2，故x＝2，即ln e2＝2.
【变式3】 求下列各式中x的值.
①log64x＝－；②logx8＝6； ③lg 100＝x；④－ln e2＝x.
解　①由log64x＝－得x＝64－＝43×(－)＝4－2＝；
②由logx8＝6，得x6＝8，又x>0，即x＝8＝23×＝；
③由lg 100＝x，得10x＝100＝102，即x＝2；
④由－ln e2＝x，得ln e2＝－x，所以e－x＝e2，所以－x＝2，即x＝－2.
【变式4】求下列各式中的x的值．
(1)log2(log3x)＝0；(2)log5(log2x)＝1；
解析　(1)因为log2(log3x)＝0，所以log3x＝1，所以x＝3.
(2)因为log5(log2x)＝1，所以log2x＝5，所以x＝25＝32.
【变式5】求下列各式中的x的值．
(1)log8[log7(log2x)]＝0；(2)log2[log3(log2x)]＝1.
解析：(1)由log8[log7(log2x)]＝0得log7(log2x)＝1，所以log2x＝7，所以x＝27＝128.
(2)由log2[log3(log2x)]＝1得log3(log2x)＝2，所以log2x＝32，所以x＝29＝512.
知识点02 对数的运算
1．基本性质
若，则
（1）；（2）．
2．对数的运算法则
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM (n∈R)．
知识点03换底公式及公式的推广
1．对数的换底公式
．
2．公式的推广
（1）（其中a>0且；b>0且）；
（2）（其中a>0且；b>0）；
（3）（其中a>0且；b>0）；
（4）（其中a>0且；b>0）；
（5）（其中a，b，c均大于0且不等于1，d>0）．
例4．计算：
(1) (2) (3)
解：(1) ＝＝
＝＝＝1；
(2) ＝＝＝2；
(3)lg14-2lg+lg7-lg18 =lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(×2) =lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0．?
例5(1)求的值；(2)计算的值
解（1）：原式=
（2）：
例题6 (1)设3x＝4y＝36，求＋的值
解由已知分别求出x和y.
∵3x＝36,4y＝36，
∴x＝log336，y＝log436，
由换底公式得：
x＝＝，y＝＝，
∴＝log363，＝log364，
∴＋＝2log363＋log364
（2）已知，求
【解析】∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.
∴log3645＝＝
＝＝＝.
（3）已知，，试用，表示
【解析】由得到，
由，得到，即.
.
例题7方程的解为 ．
【答案】
【解析】∵，∴，
∴，即，即，解得或，
则或．当时，，，故舍去．从而．
举一反三：
【变式1】化简下列各式：
（1）　（2）
（3）
【答案】（1）；（2）8；（3）．
【详解】
（1） 原式＝＝－2×10＝－20
（2） 原式＝××＝××＝8．
（3） 原式＝＝．
【变式2】计算：（1）；
（2）.
【答案】（1）2；（2）－.
【详解】（1）原式＝
＝＝2.
（2）原式＝
＝＝＝.
【变式3】计算：（1）；（2）．
【答案】（1）；（2）1．
【解析】（1）因为，
，所以．
（2）．
【变式4】若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B【详解】，
，，
.
【变式5】已知，试用表示．
【答案】．
【解析】．
∵∴．
则．
【变式6】已知，求的值．
解：因为，
所以，即，即，解得或．
由知，，
当时，，此时无意义，所以，即应舍去；
当时，．
知识点04 对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1 0图象
性质 定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0；当01时，y<0；当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
例题8求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝lg(x－2)＋；(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)．
【解析】　(1)要使函数有意义，需满足解得x>2且x≠3，
所以函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．
(2)要使函数有意义，需满足解得－1所以函数定义域为(－1,0)∪(0,4)．
例题9设，则(　　)
A． B． C． D．
【答案】D【解析】，
例题10 （1）判断f(x)＝x2－2x的单调性，并求其值域．
（2）已知y＝loga(2－ax)是[0,1]上的减函数，则a的取值范围为(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(0,2) D．[2，＋∞)
(3)函数f(x)＝log(x2＋2x＋3)的值域是________．
【解析】（1）　令u＝x2－2x，则原函数变为y＝u.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y＝u在(－∞，＋∞)上递减，
∴y＝x2－2x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴y＝u，u∈[－1，＋∞)，∴0∴原函数的值域为(0,3]．
（2）∵f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，且y＝2－ax在[0,1]上是减函数，
∴即∴∴1＜a＜2.
(3)f(x)＝log(x2＋2x＋3)＝log[(x＋1)2＋2]，
因为(x＋1)2＋2≥2。所以log[(x＋1)2＋2]≤log2＝－1，
所以函数f(x)的值域是(－∞，－1]
举一反三：
【变式1】求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；(2)f(x)＝＋ln(x＋1)；
【解析】(1)要使函数f(x)有意义，则logx＋1>0，即logx>－1，解得0(2)函数式若有意义，需满足即解得－1【变式2】函数在上是减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为，所以在上是减函数，又因为在上是减函数，所以是增函数，所以；又因为对数的真数大于零，则，所以；则.
【变式3】函数的单调递增区间是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D【解析】由，得或，设，则，关于单调递减，，关于单调递增，由对数函数的性质，可知单调递增，所以根据同增异减，可知单调递增区间为．选D
【变式4】已知，，，则的大小关系为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A【解析】 由题意，可知，
．，所以最大，，都小于1．因为，，而，所以，即，所以，故选A．
【变式5】已知定义在 上的函数 （为实数）为偶函数，记
，，则 的大小关系为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C 【解析】因为函数为偶函数，所以，即，
所以，
， ，所以，故选C．
【变式6】已知，函数.
（1）求的定义域；（2）当时，求不等式的解集.
【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意得：，解得
因为，所以故的定义域为（2）因为，所以，，因为，所以，即
从而，解得故不等式的解集为.
例题11若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
例题12（1）若函数y=log2（ax2+2x+1）的定义域为R，则a的范围为___________．
（2）若函数y=log2（ax2+2x+1）的值域为R，则a的范围为___________．
3x>0 3x＋1>1 log2(3x＋1)>log21＝0，选A．
例题13已知函数是R上的增函数，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
例题14若函数在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，则实数m的取值范围为(　　)
A、　　　B、 C、 D、
【解析】　先保证对数有意义，
即－x2＋4x＋5＞0，解得－1＜x＜5.
又可得二次函数y＝－x2＋4x＋5的对称轴为x＝－＝2，
由复合函数单调性可得函数f(x)＝log(－x2＋4x＋5)的单调递增区间为(2，5)，
要使函数f(x)＝log(－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，
只需解得≤m＜2.故选C
例题15已知函数在区间上的最大值比最小值大2，则的值为 。
【答案】：或
举一反三：
【变式1】已知（且），若函数在区间上的最大值与最小值之差为1．
(1)求实数的值；(2)若，求函数的值域．
【答案】（1）；（2）．
【变式2】已知函数，若函数的值域为，则的取值范围是 。
【答案】B
【变式3】若函数且）在区间（0,2）上为减函数，则实数的取值范围为 。
【答案】1＜≤2
【变式4】已知函数的定义域为，则实数的取值范围为_____．
【答案】
【变式6】已知函数f（x）=lg（x2+2ax-5a）在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围为______
【答案】
【变式7】已知函数．
（1）若的定义域为，求实数的取值范围；
（2）若的值域为，求实数的取值范围。
【答案】（1）（2）
【变式8】已知函数（为常数）是奇函数．
（1）求的值与函数的定义域；
（2）若当时，恒成立．求实数的取值范围．
【答案】（1），；（2）．
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