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专题11对数
知识点01对数
1．对数的概念
（1）对数：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
（2）常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把记为lg N．
（3）自然对数：在科学技术中常使用以无理数e=2．718 28……为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把记为ln N．
2．对数与指数的关系
当a>0，且a≠1时，．即
3．对数的性质
根据对数的概念，知对数具有以下性质：
（1）负数和零没有对数，即；（2）1的对数等于0，即；
底数的对数等于1，即．
知识点02 对数的运算
1．基本性质
若，则
（1）；（2）．
2．对数的运算法则
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM (n∈R)．
知识点03换底公式及公式的推广
1．对数的换底公式
．
2．公式的推广
（1）（其中a>0且；b>0且）；
（2）（其中a>0且；b>0）；
（3）（其中a>0且；b>0）；
（4）（其中a>0且；b>0）；
（5）（其中a，b，c均大于0且不等于1，d>0）．
知识点04 对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1 0图象
性质 定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0；当01时，y<0；当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
例题1已知，求
【解析】∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.
∴log3645＝＝
＝＝＝.
例题2方程的解为 ．
【答案】
【解析】∵，∴，
∴，即，即，解得或，
则或．当时，，，故舍去．从而．
例题3．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】
由题意得，，
因为，所以，，
则，且，所以；
又因为，
，
因为，
记，对称轴为
所以在上单增，
，
即，
所以
所以，
即
所以
所以，即，综上可得.
例题4已知的值域为，当正数a，b满足时，则的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．9
【答案】A【详解】∵的值域为，由已知，
∴,
∴
，
当且仅当时等号成立,∴的最小值为.
例题5若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
例题6（1）若函数y=log2（ax2+2x+1）的定义域为R，则a的范围为___________．
（2）若函数y=log2（ax2+2x+1）的值域为R，则a的范围为___________．
3x>0 3x＋1>1 log2(3x＋1)>log21＝0，选A．
例题7已知函数的定义域为R且满足，，若，则（ ）
A．6 B．0 C． D．
【答案】C【详解】
因为，所以的周期，
因为函数的定义域为R且满足，所以，，
所以
.
例题8（1）设，是方程的两根，求的值．
（2）已知，且，求c的值．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由题意，是关于的一元二次方程的两根，
根据韦达定理，
所以．
（2）由题意，，得，，因此，
得．
例题9已知函数若方程有三个不同的实数根，，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，其图象如图，
方程有三个不同的实数根，即直线与的图象有三个公共点，则，
由，得：，即，而，，则，
于是得，
显然时，，当时，，
所以的取值范围是.
故选：C
课堂练习
1设，则(　　)
A． B． C． D．
【答案】D【解析】，
2.已知，试用表示．
【答案】．
【解析】．
∵∴．
则．
3.已知，，试用，表示
【解析】由得到，
由，得到，即.
.
4.已知函数，若正实数、、、互不相等，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】如图所示：正实数、、、互不相等，不妨设
∵
则，∴，∴
且，，∴
5.函数在上是减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为，所以在上是减函数，又因为在上是减函数，所以是增函数，所以；又因为对数的真数大于零，则，所以；则.
6.已知，，，则的大小关系为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A【解析】 由题意，可知，
．，所以最大，，都小于因为，，而，所以，即，所以，故选A．
7.已知定义在 上的函数 （为实数）为偶函数，记
，，则 的大小关系为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C 【解析】因为函数为偶函数，所以，即，
所以，
， ，所以，故选C．
8已知函数是R上的增函数，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
9.若函数在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，则实数m的取值范围为(　　)
A、　　　B、 C、 D、
【解析】　先保证对数有意义，
即－x2＋4x＋5＞0，解得－1＜x＜5.
又可得二次函数y＝－x2＋4x＋5的对称轴为x＝－＝2，
由复合函数单调性可得函数f(x)＝log(－x2＋4x＋5)的单调递增区间为(2，5)，
要使函数f(x)＝log(－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，
只需解得≤m＜2.故选C
10.已知函数在区间上的最大值比最小值大2，则的值为 。
【答案】：或
11.已知函数，若函数的值域为，则的取值范围是 。
【答案】B
12.若函数且）在区间（0,2）上为减函数，则实数的取值范围为 。
【答案】1＜≤2
13.已知函数的定义域为，则实数的取值范围为_____．
【答案】
14.已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】
当时，，则，
所以，函数在区间上的值域包含，
所以，存在，使得，即，
而函数在区间上为增函数，，.
故选：D.
15.，若在定义域上不是单调函数，则实数a的取值范围是_______．
【答案】
【详解】因为函数的图象开口朝下，对称轴为，且，
所以当时，函数在上不单调，符合题意；
当时，函数在，上均单调递增，
若要使在定义域上不是单调函数，
则，解得，故符合题意；
综上，实数a的取值范围是.
16．若函数满足，且时，，已知函数则函数在区间内的零点个数为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
【答案】C【详解】因为，所以函数是周期为2函数，
因为时，，所以作出它的图象，则的图象如图所示：（注意拓展它的区间）
再作出函数的图象，
容易得出到交点为12个．
故选：C．
17．定义域为的函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则所有实数，，，，之和为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】C【详解】
设，则关于的方程等价为，
作出的图象如图：由图象可知当时，方程有三个根，
当时方程有两个不同的实根，
∴若关于的方程恰有5个不同的实数解，，，，，
则等价为有两个根，一个根，另外一个根，
不妨设，对应的两个根与，与分别关于对称，
则，则，且，
则，
故选：C．
18．已知是定义在R上的奇函数，并且，当时，，则______．
【答案】1【详解】
，令，，故函数的周期为，
，
为奇函数，，
由已知可知，故.因此，.
19．为实数，只要满足条件，就有不等式恒成立，则k的最大值是__________．
【答案】【详解】
由题意，，，，
设，，则，
又，所以原不等式可化为，
由，可得，则原不等式可化为，
又，当且仅当时，等号成立，
所以，即的最大值为.故答案为：.
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