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高二数学选择性必修第一册专题：椭圆
第一部分：椭圆的定义与方程推理
一、椭圆的定义与定义式，如下表所示：
椭圆的定义 ①标准定义：到两个定点的距离之和为定长的动点轨迹。 ②其中两个定点为椭圆的两个焦点，定长为。 ③实用定义：椭圆上一点到两个焦点的距离之和为。
椭圆的定义式 定义式：。 其中：点为椭圆上一点，点和点为两个焦点。
二、椭圆的方程推理，如下表所示：
焦点在轴上椭圆方程的推理 焦点在轴上椭圆方程的推理
①以两个焦点和的中点为原点； ②以两个焦点和的连线为轴； ③以焦距的中垂线为轴。 ①以两个焦点和的中点为原点； ②以两个焦点和的连线为轴； ③以焦距的中垂线为轴。
如下图所示： 如下图所示：
假设部分： ①假设：椭圆上任意一点； ②假设：两个焦点之间的距离（焦距） 的长度：； ③左焦点，右焦点。 假设部分： ①假设：椭圆上任意一点； ②假设：两个焦点之间的距离（焦距） 的长度：。 ③下焦点，上焦点。
推理部分： 根据椭圆的定义得：。 根据两点之间的距离公式得到： 。 方程两边平方得到： 。 方程两边平方得到： 。 假设：。 所以：焦点在轴上的椭圆的方程： 。 推理部分： 根据椭圆的定义得：。 根据两点之间的距离公式得到： 。 方程两边平方得到： 。 方程两边平方得到： 。 假设：。 所以：焦点在轴上的椭圆的方程： 。
三、椭圆的性质与图象，如下表所示：
焦点在轴上椭圆 焦点在轴上椭圆
方程
关系
焦距
焦点 左焦点，右焦点 下焦点，上焦点
定义式 其中：点为椭圆上一点，点和点为两个焦点。 其中：点为椭圆上一点，点 和点为两个焦点。
左右顶点 左顶点，右顶点。 左顶点，右顶点。
上下顶点 下顶点，上顶点。 下顶点，上顶点。
长轴长
短轴长
图象
四、椭圆的离心率与准线，如下表所示：
离 心 率 离心率的定义：圆锥曲线上一点到焦点的距离与该点到准线的距离的比值，用表示离心率。
离心率的测量值：。
准 线 焦点在轴 焦点在轴
左准线：，右准线： 下准线：，上准线：
推理：如下图所示： 取椭圆上的右顶点。 右顶点到右焦点的距离 为：； 右顶点到右准线的距离 为。 根据离心率的定义得：。 根据离心率测量值得：。 。 推理：如下图所示： 取椭圆上的上顶点。 上顶点到上焦点的距离 为：； 上顶点到上准线的距离 为。 根据离心率的定义得：。 根据离心率测量值得：。 。
第二部分：椭圆的定义题型
一、椭圆的定义题型例题讲解，如下表所示：
例题 本题解析
例题一：已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点。，，则的方程为（ ） 解：如下图所示： 假设：。 。 。 根据椭圆的定义得到： 。。 根据椭圆的定义得到： 。 在中，根据余弦定理得到： 。 在中，根据余弦定理得到： 。 所以： 。 椭圆的焦点为，。 ，。 所以：椭圆的方程：。
例题二：已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且 ，则的离心率是（ ） B、 C、 D、 解：如下图所示： 根据三角函数的定义得到： 。 。 根据椭圆的定义得到： 。 所以：的离心率为。
例题三：椭圆： （）的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，且 。， 。求椭圆的标准方程。 解：如下图所示： 根据椭圆的定义得到： 。 根据勾股定理得到： 。 所以：椭圆的标准方程：。
例题四：椭圆： （）的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线交于，两点。若的周长为，则的方程为（ ） 解：如下图所示： 根据椭圆的定义得到： ； 。 。 椭圆离心率为 。 所以：椭圆的方程：。
例题五：椭圆 （）的两个焦点分别为，，且椭圆过点。 计算：椭圆的离心率。 解：椭圆的两个焦点，。 根据两点之间的距离公式得到： ； 。 根据椭圆的定义得到： 。 所以：椭圆的离心率：。
例题六：已知圆： ，圆： ，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线。求的方程。 解：的圆心，。 的圆心，。 假设：动圆的圆心，半径为。 动圆与圆外切①。 动圆与圆内切②。 ①②相加得到：。 根据椭圆的定义得到：圆心的轨迹为椭圆。 焦点为，，。 。 所以：曲线的方程：。
二、椭圆的定义题型跟踪训练，如下表所示：
跟踪训练 解答区域
跟踪训练一：椭圆的方程： 的左焦点为，右焦点为，离心率。过的直线交椭圆于，两点，且的周长为。求椭圆的方程。 解：
跟踪训练二：椭圆的方程： 的左、右 焦点分别为，，点在 椭圆上，， ，的面积为。 求椭圆的标准方程。 解：
跟踪训练三：椭圆的方程：（）的左、右焦点分别为，，为 椭圆上一点且。 ， 。 求椭圆的标准方程。 解：
跟踪训练四：已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率是 。 解：
跟踪训练五：已知：椭圆（）的两个焦点分别为，，为椭圆上一点。 计算：椭圆的离心率。 解：
三、椭圆的定义题型跟踪训练参考答案，如下表所示：
跟踪训练一： 跟踪训练二：
跟踪训练三： 跟踪训练四：
跟踪训练五：
第三部分：椭圆的性质题型
一、椭圆的性质题型例题讲解，如下表所示：
例题 本题解析
例题一：已知椭圆 （）的离心率为，，分别为的左右顶点。 求解：椭圆的标准方程。 解：，。 。 。 所以：椭圆的方程：。
例题二：已知椭圆 （）的离心率为，且过点。 求解：椭圆的标准方程。 解：。 。 椭圆过点得到： ， 。 所以：椭圆的标准方程：。
例题三：已知椭圆：（）过点，点为其左顶点，且的斜率为。求解：椭圆的标准方程。 解：椭圆的左顶点， 。 椭圆过点得到： 。 所以：椭圆的标准方程：。
例题四：已知椭圆：（）过点，且 。 求解：椭圆的标准方程。 解： 过点 。 所以：椭圆的标准方程：。
例题五：已知，是椭圆： （）的两个焦 点，为上一点，为坐标原 点。若为等边三角形。 求解：椭圆的离心率。 解：如下图所示： 连接。 为等边三角形 。 在中：根据余弦定理得到： 。 根据椭圆的定义得到： 。 所以：椭圆的离心率：。
二、椭圆的性质题型跟踪训练，如下表所示：
跟踪训练 参考答案
跟踪训练一：已知椭圆（）的离心率为，则（ ） B、 C、 D、 解：
跟踪训练二：已知椭圆的方程：的右焦点为，且经过点。 求解：椭圆的方程。 解：
跟踪训练三：设椭圆 （）的左焦点为，上 顶点为。已知椭圆的短轴长为 ，离心率为。 求解：椭圆的方程。 解：
跟踪训练四：设椭圆 （）的左焦点为，左 顶点为，上顶点为。已知： ，为坐标原点。 求解：椭圆的离心率。 解：
跟踪训练五：设椭圆： 的一个焦点为，则椭圆的离 心率为（ ） A、 B、 C、 D、 解：
跟踪训练六：已知，是椭圆 ：（）的左、 右焦点，是的左顶点，点在 过且斜率为的直线上，满足 ，为等腰三 角形，则的离心率为（ ） A、 B、 C、 D、 解：
跟踪训练七：设椭圆 （）的右顶点为，上 顶点为。已知椭圆的离心率为 ，。 计算：椭圆的标准方程。 解：
跟踪训练八：设椭圆： （）的离心率为，焦 距为。 计算：椭圆的标准方程。 解：
三、椭圆的性质题型跟踪训练参考答案，如下表所示：
跟踪训练一：选项 跟踪训练二：
跟踪训练三： 跟踪训练四：
跟踪训练五：选项 跟踪训练六：选项
跟踪训练七： 跟踪训练八：

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