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4.3.1对数的概念
知识点 对数的概念
1.对数的概念
一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝，其中a叫做对数
的底数，N叫做真数．
2.常用对数与自然对数
名称 定义 记法
常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 lgN
自然对数 以无理数e＝2.718 28…为底的对数称为自然对数 lnN
3．对数的基本性质
(1)当a＞0，且a≠1时，ax＝N
(2)负数和0没有对数．
(3)特殊值：1的对数是0，即loga1＝0(a＞0，且a≠1)；底数的对数是1，即logaa＝1(a＞0，且a≠1)．
(4)如果把ax＝N中的x写成logaN，则有alogaN＝N.(对数恒等式)
【思考】
在对数的定义中为什么不能取a≤0及a＝1呢？
【提示】①a<0，N取某些值时，logaN不存在，如根据指数的运算性质可知，不存在实数x使x＝2成立，所以log2不存在，所以a不能小于0.
②a＝0，N≠0时，不存在实数x使ax＝N，无法定义logaN；N＝0时，任意非零实数x，有ax＝N成立，logaN不确定．
③a＝1，N≠1时，logaN不存在；N＝1，loga1有无数个值，不能确定．
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)因为(－2)2＝4，所以2＝log(－2)4. (　　)
(2)logaN是loga与N的乘积 (　　)
(3)使对数log2(－2a＋1)有意义的a的取值范围是. (　　)
(4)对数的运算实质是求幂指数． (　　)
【答案】（1）×（2）×（3）√（4）√
2．若a2＝M(a＞0，且a≠1)，则有 (　　)
A．log2M＝a　　　　　　 B．logaM＝2
C．loga2＝M D．log2a＝M
【答案】B
3．若log2x＝2，则x＝__________.
【答案】4
4．已知log3＝0，则x＝________.
【答案】3
题型一　对数的定义及其应用
【学透用活】
(1)对数的概念的实质是指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部分的“去向”：
(2)对数式y＝logax有意义的条件是x＞0，有时底数a＞0，且a≠1也要考虑．
【例1】(1)在对数式y＝log(x－2)(4－x)中，实数x的取值范围是________．
(2)将下列指数式、对数式互化．
①53＝125；②log216＝4；③10－2＝0.01；④log125＝6.
【答案】(2,3)∪(3,4)
(2)①由53＝125，得log5125＝3.
②由log216＝4，得24＝16.
③由10－2＝0.01，得lg 0.01＝－2.
④由log 125＝6，得()6＝125.
【解析】(1)由题意可知解得2【方法技巧】
1．指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
2．指数式与对数式互化时应注意的问题
并非任意式子ab＝N都可以直接化为对数式，如(－3)2＝9就不能直接写成log－39＝2，只有当a＞0，且a≠1时，才有ab＝N b＝logaN.　　
【变式训练】
1．使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为 (　　 )
A.∪(1，＋∞)　　　　 B．
C．(0,1)∪(1，＋∞) D．
【答案】B　
【解析】使对数loga(－2a＋1)有意义的a需满足解得0＜a＜.故选B.
2． (多选)下列指数式与对数式互化正确的一组是 (　　)
A．100＝1与lg 1＝0
B．27＝与log27＝－
C．log39＝2与9＝3
D．log55＝1与51＝5
【答案】ABD
【答案】log39＝2与32＝9互化，9＝3与log93＝互化，易知选项A、B、D正确．
题型二　对数的计算
【学透用活】
[例2]　(1)求下列各式的值．
①log981＝________；②log0.41＝________；③ln e2＝________.
(2)求下列各式中x的值．
①log64x＝－；
②logx8＝6；
③lg 100＝x.
【答案】①2　②0　③2
(2)①由log64x＝－得x＝64＝4＝4－2＝.
②由logx8＝6，得x6＝8，又x>0，
即x＝8＝＝.
③由lg 100＝x，得10x＝100＝102，即x＝2.
【解析】(1)①设log981＝x，所以9x＝81＝92，
故x＝2，即log981＝2.
②设log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，
故x＝0，即log0.41＝0.
③设ln e2＝x，所以ex＝e2，故x＝2，即ln e2＝2.
【方法技巧】
求对数式logaN的值的步骤
(1)设logaN＝m；
(2)将logaN＝m写成指数式am＝N；
(3)将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即logaN＝b.　　
【变式训练】
1．求下列各式的值：
(1)log28；(2)log9；(3)log(2＋)(2－)．
【解析】(1)设log28＝x，则2x＝8＝23.∴x＝3.∴log28＝3.
(2)设log9＝x，则9x＝＝9－1，∴x＝－1.∴log9＝－1.
(3)设log(2＋)(2－)＝x.
则(2＋)x＝2－＝＝(2＋)－1.∴x＝－1.
2．利用指数式、对数式的互化求下列各式中的x值．
(1)log2x＝－；(2)logx25＝2；
(3)log5x2＝2；(4)2log3x＝4.
【解析】(1)由log2x＝－，得2＝x，∴x＝.
(2)由logx25＝2，得x2＝25.∵x>0，且x≠1，∴x＝5.
(3)由log5x2＝2，得x2＝52，∴x＝±5.
∵52＝25>0，(－5)2＝25>0，∴x＝5或x＝－5.
(4)由2log3x＝4＝22，得log3x＝2，∴x＝32，即x＝9.
题型三　对数的性质及对数恒等式
【学透用活】
【例3】(1)求下列各式的值．
①2－log23；②e3ln 7；③lg 0.0012.
(2)求下列各式中x的值．
①log3(lg x)＝1；
②log3(log4(log5x))＝0.
【解析】(1)①2－log23＝(2log23)－1＝3－1＝.
②e3ln 7＝(eln 7)3＝73＝343.
③lg 0.0012＝lg 10－6＝－6.
(2)①∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，
∴x＝103＝1 000.
②由log3(log4(log5x))＝0可得log4(log5x)＝1，
故log5x＝4，所以x＝54＝625.
【方法技巧】
1．利用对数性质求解的2类问题的解法
(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．
2．性质alogaN＝N与logaab＝b的作用
(1)alogaN＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式．
(2)logaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数．　　
【变式训练】
1．[变条件]本例(2)②中若将“log3(log4(log5x))＝0”改为“log3(log4(log5x))＝1”，又如何求解x呢？
【解析】由log3(log4(log5x))＝1，可得log4(log5x)＝3，则log5x＝43＝64，所以x＝564.
2．[变设问]在本例(2)②条件下，计算625logx3的值．
【解析】因为x＝625，则625log6253＝3.
3．[变条件]本例(2)②中若将“log3(log4(log5x))＝0”改为“3log3(log4(log5x))＝1”，又如何求解x呢？
【解析】由3log3(log4(log5x))＝1可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，所以x＝54＝625.
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．某同学解等式“log(x－2)(x2－7x＋13)＝0中的x”，过程如下：
解：∵log(x－2)(x2－7x＋13)＝0，
∴x2－7x＋13＝1.
即x2－7x＋12＝0，解得x＝3或x＝4.
故所求x的值为3或4.
你认为他的求解正确吗？若不正确，错在何处？并给出正确的解题过程.
【提示】不正确.忽略对数的底数且.
【正解】
∵log(x－2)(x2－7x＋13)＝0，
∴
即解得x＝4.
故所求x的值为4.
二、应用性——强调学以致用
2．分贝是计量声音强度相对大小的单位，物理学家引入了声压级(SPL)来描述声音的大小；把声压P0＝2×10
－5帕作为参考声压．把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘以20得到的数值成为声压
级，声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)，分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡
区，110以上为有害区．
(1)根据上述材料，列出分贝值y与声压P的函数关系式；
(2)某地声压P＝0.002帕，试问该地为以上所说的什么区？
(3)某电视台，现场录制节目时，现场多次响起响亮的掌声，某观众用仪器测量到最响亮的一次音量达到了
90分贝，试求此时中央电视台演播大厅的声压是多少？
【析题模型】
　
【解析】(1)根据题意可知，y＝20lg.
(2)声压P＝0.002，代入可得，
y＝20lg＝40，因为40＜60，故属于无害区．
(3)将90dB代入可得：90＝20lg，解得P＝.
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数．在实数轴R(箭头向右)上[x]
是在点x左侧的第一个整数点，当x是整数时[x]就是x.这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生
产实践中有广泛的应用．求[lg 1]＋[lg 2]＋[lg 3]＋…＋[lg 10]＋[lg 11]＋[lg 12]＋…＋[lg 2 019]的值．
【解析】根据定义，[lg 1]＝[lg 2]＝[lg 3]＝…[lg 9]＝0；
[lg 10]＝[lg 11]＝[lg 12]＝…[lg 99]＝1；
[lg 100]＝[lg 101]＝[lg 102]＝…＝[lg 999]＝2，
[lg 1 000]＝[lg 1 001]＝[lg 1 002]＝…[lg 2 019]＝3.
所以[lg 1]＋[lg 2]＋[lg 3]＋…＋[lg 10]＋[lg 11]＋[lg 12]＋…＋[lg 2 019]＝1×(99－9)＋2×(999－99)＋3×(2 019－999)＝90＋2×900＋3×1 020＝4 950.
1．将－2＝9写成对数式，正确的是(　　)
A．log9＝－2　　　　　 B．log9＝－2
C．log (－2)＝9 D．log9(－2)＝
【答案】B
【解析】根据对数的定义，得log9＝－2，故选B.
2．log3等于(　　)
A．4 B．－4
C. D．－
【答案】B
【解析】∵3－4＝，∴log3＝－4.
3．若logx＝z，则(　　)
A．y7＝xz B．y＝x7z
C．y＝7xz D．y＝z7x
【答案】B
【解析】由logx＝z，得xz＝，∴()7＝(xz)7，则y＝x7z.
4．方程2log3x＝的解是(　　)
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝9
【答案】A
【解析】∵2log3x＝2－2，∴log3x＝－2，∴x＝3－2＝.
5．方程lg(x2－1)＝lg(2x＋2)的根为(　　)
A．－3 B．3
C．－1或3 D．1或－3
【答案】B
【解析】由lg(x2－1)＝lg(2x＋2)，得x2－1＝2x＋2，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.经检验x＝－1(不合题意)，所以原方程的根为x＝3.
6．lg 10 000＝________；lg 0.001＝________.
【答案】4　－3
【解析】由104＝10 000知lg 10 000＝4,10－3＝0.001得lg 0.001＝－3.
7．给出下列各式：①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝10；④由log25x＝，得x＝±5.
其中，正确的是________(把正确的序号都填上)．
【答案】①②
【解析】∵lg 10＝1，∴lg(lg 10)＝lg 1＝0，①正确；∵ln e＝1，∴lg(ln e)＝lg 1＝0，②正确；若10＝lg x，则x＝1010，③不正确；由log25x＝，得x＝25＝5，④不正确．
8．使方程(lg x)2－lg x＝0的x的值为________．
【答案】1或10
【解析】由lg x(lg x－1)＝0得lg x＝0或lg x＝1，即x＝1或x＝10.
9．先将下列式子改写成指数式，再求各式中x的值．
(1)log2x＝－；(2)logx3＝－.
【解析】(1)因为log2x＝－，
所以x＝2＝＝ .
(2)因为logx3＝－，所以x－＝3，
即x＝3－3＝.
10．若logx＝m，logy＝m＋2，求的值．
【解析】∵logx＝m，∴m＝x，x2＝2m.
∵logy＝m＋2，∴m＋2＝y，y＝2m＋4.
∴＝＝＝－4＝16.
11．已知f(2x＋1)＝，则f(4)＝(　　)
A.log25 B．log23
C. D.
【答案】B
【解析】令2x＋1＝4，得x＝log23，所以f(4)＝log23.
12．若log2(lg x)＝0，则x的值为(　　)
A．0 B．1
C．10 D．100
【答案】C
【解析】由log2(lg x)＝0，可得lg x＝1，解得x＝10，故选C.
13．利用对数恒等式alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)．计算
(1)－1＋log0.54＝________；
(2)23＋log23＋32－log39＝________.
【答案】 (1)8　(2)25
【解析】(1)－1＋log0.54＝－1·＝2×4＝8.
(2)23＋log23＋32－log39＝23×2log23＋＝8×3＋＝25.
14．已知log2(log3(log4x))＝0，且log4(log2y)＝1.求·y的值．
【解析】∵log2(log3(log4x))＝0，∴log3(log4x)＝1，
∴log4x＝3，∴x＝43＝64.
由log4(log2y)＝1，知log2y＝4，∴y＝24＝16.
因此·y＝×16＝8×8＝64.
15．已知logab＝logba(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)．试探究a与b的关系，并给出证明．
【解析】a＝b或a＝.证明如下：
设logab＝logba＝k，
则b＝ak，a＝bk，所以b＝(bk)k＝bk2，因为b>0，且b≠1，所以k2＝1，即k＝±1.当k＝－1时，a＝；当k＝1时，a＝b.所以a＝b或a＝.
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