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4.3.2对数的运算
知识点一　对数的运算性质
若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝；
(2)loga＝；
(3)logaMn＝(n∈R)．
【提醒】
对数与指数运算对照表(a＞0，且a≠1，m＞0，N＞0)
式子 ab＝N logaN＝b
运算 性质 am·an＝am＋n loga(MN)＝logaM＋logaN
＝am－n loga＝logaM－logaN
(am)n＝amn logaMn＝nlogaM
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)log2x2＝2log2x. (　　)
(2)loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3)． (　　)
(3)loga(xy)＝logax·logay. (　　)
(4)log2(－5)2＝2log2(－5)． (　　)
【答案】（1）×（2）×（3）×（4）×
2．计算log84＋log82等于 (　　)
A．log86　　　　　　 B．8
C．6 D．1
【答案】D
3．=
【答案】-1
4.=
【答案】1
知识点二　换底公式
logab＝ (a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1)．我们把上式叫做对数换底公式．
【思考】
换底公式中底数c是特定数还是任意数？
【提示】
是大于0且不等于1的任意数.
【基础自测】
(1)由换底公式可得logab＝. (　　)
(2)log2M＋log3N＝log6(MN)． (　　)
(3)log23·log32＝1. (　　)
【答案】（1）×（2）×（3）√
2．填空：
(1)logab·logba＝________；
(2)logab·logbx＝________；
(3)logamNn＝________.
【答案】(1)1　(2)logax　(3)logaN
3．log23·log34·log42＝________.
【答案】1
【解析】log23·log34·log42＝··＝1.
题型一　对数运算性质的应用
【学透用活】
1．对数运算性质的适用前提
对数的运算性质的适用条件是“同底，且真数为正”，即a＞0，a≠1，M＞0，N＞0.若去掉此条件，性质不一定成立．
2．对数运算性质(1)的推广
性质(1)可以推广到若干个正因数的积：
loga(M1·M2·M3·…·Mn)＝logaM1＋logaM2＋…＋logaMn(a＞0，且a≠1，Mi＞0，i＝1,2，…，n)．
【例1】(1)若lg 2＝a，lg 3＝b，则＝ (　　)
A.　　　　　 B．
C. D．
(2)①(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；
②；
③log535－2log5＋log57－log51.8.
【解析】 (1)选A　＝＝＝＝.
(2)①原式＝(lg 5)2＋(2－lg 2)lg 2
＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2
＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2
＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2
＝lg 5＋lg 2＝1.
②原式＝＝＝.
③原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2.
【方法技巧】
基本 原则 对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行
常用 方法 “收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数
“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)
【变式训练】
1．如果lg x＝lg a＋3lg b－5lg c，那么 (　　)
A．x＝ B．x＝.
C．x＝a＋3b－5c D．x＝a＋b3－c3
【答案】A　
【解析】∵lg x＝lg a＋lg b3－lg c5，∴lg x＝lg.∴x＝.
2．(1)计算：lg 25＋lg 2－lg－log29×log32.
【解析】(1)lg 25＋lg 2－lg－log29×log32＝lg 5＋lg 2－lg 10
－2log23×log32＝1＋－2＝－.
2．(2)解方程：(lg x－lg 3)＝lg 5－lg(x－10)．
【解析】(2)由已知得x＞0且x＞10，
则方程变形为lg＝2lg 5－lg(x－10)，即lg＝lg ，
∴＝，即x(x－10)－75＝0，(x－15)(x＋5)＝0，
∴x＝15或x＝－5.又x＞10，∴x＝15是原方程的解．
题型二　换底公式
【学透用活】
由换底公式得到的常用结论
(1)logab·logbc·logca＝1；(2)loganbn＝logab；
(3)loganbm＝logab；(4)logb＝－logab.
【例2】(1)计算(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)的值；
(2)已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645的值．
【解析】 (1)法一：原式＝·
＝
＝log25·(3log52)＝13log25·＝13.
法二：原式＝
＝＝＝13.
法三：原式＝(log253＋log2252＋log2351)·(log52＋log5222＋log5323)
＝(log52＋log52＋log52)
＝3×log25·log52＝3×＝13.
(2)法一：∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.
于是log3645＝＝＝＝＝.
法二：∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.
于是log3645＝＝＝.
【方法技巧】
利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
【变式训练】
1．若logab·logbc·logc3＝2，则a的值为________．
【答案】3
【解析】法一：由已知可得··＝2，即＝2，
∴lg 3＝2lg a，∴a2＝3，a＝.
法二：由已知得logab··＝2，
即loga3＝2，∴a＝.
2．计算(log43＋log83)(log32＋log92)．
【解析】原式＝
＝·
＝×＝.
题型三　对数的综合应用
[学透用活]
【例3】(1)在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝2 000(e为自然对数的底数)．当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)．(ln 3≈1.099)
(2)已知2x＝3y＝5z，且＋＋＝1，分别求x，y，z的值．
【解析】(1)因为v＝ln2 000＝2 000 ln，
所以v＝2 000 ln 3≈2 000×1.099＝2 198(m/s)．
故当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，火箭的最大速度为2 198 m/s.
(2)令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，
∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，
∴＝logk2，＝logk3，＝logk5，
由＋＋＝1，
得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，∴k＝30，
∴x＝log230＝1＋log215，y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.
【方法技巧】
1．解对数综合应用问题的3种方法
(1)统一化：所求为对数式，条件转为对数式．
(2)选底数：针对具体问题，选择恰当的底数．
(3)会结合：学会换底公式与对数运算法则结合使用．
2．解对数应用题的4步骤
【变式训练】
1．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝ (　　 )
A. B．10
C．20 D．100
【答案】A
【解析】由2a＝5b＝m(m＞0)得a＝log2m，b＝log5m，所以＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，m2＝10，m＝，
故选A.
2．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其
中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星
的亮度的比值为(　　)
A．1010.1 B．10.1
C．lg 10.1 D．10－10.1
【答案】A
【解析】由题意知，m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝lg，所以lg＝10.1，
所以＝1010.1.
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．下面是某同学对“解方程：log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1”的解题过程：
解：原方程变形为log2(x＋1)－log2(x＋4)＝1，
∴log2(x＋1)－log2＝1，
∴log2＝log22，
∴＝2，∴x2－2x－15＝0，∴x＝－3或x＝5，
故原方程的解为x＝－3或x＝5.
试分析以上解题过程是否正确，若错误，请指出错在哪里？
【提示】解题过程中忽视对数logaN中真数N必须大于0时对数才有意义，从而产生增解致误．
【正解】∵log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1，∴log4＝1，
∴解得x＝5或x＝－3(舍去)．
∴方程log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1的解为x＝5.
二、应用性——强调学以致用
2．[好题共享——选自苏教版新教材]如图，2000年我国国内生产总值(GDP)为89 442亿元．如果我国GDP
年均增长7.8%，那么按照这个增长速度，在2000年的基础上，经过多少年以后，我国GDP就能实现比2000
年翻两番的目标？
【解析】假设经过x年实现GDP比2000年翻两番的目标．
根据题意，得89 442×(1＋7.8%)x＝89 442×4，
化简得1.078x＝4，故x＝log1.0784＝≈18.5.
故约经过19年以后，我国GDP就能实现比2000年翻两番的目标．
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．[好题共享——选自苏教版新教材]我们知道，任何一个正实数N可以表示成N＝a×10n(1≤a＜10，n∈
Z)，此时lg N＝n＋lg a(0≤lg a＜1)．当n＞0时，N是n＋1位数．
(1)试用上述方法，判断2100是多少位数(lg 2≈0.301 0)；
(2)当n＜0时，你有怎样的结论？
【解析】(1)N＝2100＞0，lg N＝lg 2100＝30.1.
∴n＝30，lg a＝0.1.∴n＋1＝31.∴N是31位数．
(2)n＜0时，N是－n位小数．例如：N＝0.002＞0，N＝2×10－3，lg N＝－3＋lg 2，
∴n＝－3，显然N＝0.002是三位小数．
1．若lg x＝lg a＋2lg b－3lg c，则x＝(　　)
A．a＋2b－3c　　　　　　 B．a＋b2－c3
C. D.
【答案】C
【解析】∵lg x＝lg a＋2lg b－3lg c＝lg，∴x＝，故选C.
2．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是(　　)
A．a－2 B．3a－(1＋a)2
C．5a－2 D．－a2＋3a－1
【答案】A
【解析】∵a＝log32，∴log38－2log36＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.
3．计算(log312－2log32)＝(　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
【答案】B
【解析】log64＋log63＝log64＋log63＝log62＋log63＝log66＝1，log312－2log32＝log312－log34＝log33＝1，∴·(log312－2log32)＝1，故选B.
4．若lg x－lg y＝t，则lg3－lg3＝(　　)
A．3t B．t
C．t D.
【答案】A
【解析】lg3－lg3＝3lg－3lg＝3lg＝3(lg x－lg y)＝3t.
5．计算(log32＋log23)2－－的值为(　　)
A．log26 B．log36
C．2 D．1
【答案】C
【解析】原式＝(log32)2＋2log32×log23＋(log23)2－(log32)2－(log23)2＝2.
6．lg ＋lg的值是________．
【答案】1
【解析】lg＋lg＝lg＝lg 10＝1.
7．若logab·log3a＝4，则b的值为________．
【答案】81
【解析】logab·log3a＝·＝＝4，
所以lg b＝4lg 3＝lg 34，所以b＝34＝81.
8．已知lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则2＝________.
【答案】2
【解析】由题意得lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝，则2＝(lg a－lg b)2＝(lg a＋lg b)2－4lg a·lg b＝22－4×＝2.
9．用logax，logay，logaz表示下列各式：
(1)loga(x2yz)；(2)loga；(3)loga.
【解析】(1)loga(x2yz)＝logax2＋logay＋logaz＝2logax＋logay＋logaz.
(2)loga＝logax2－loga(yz)＝2logax－(logay＋logaz)＝2logax－logay－logaz.
(3)loga＝loga－loga(y2z)＝logax－2logay－logaz.
10．计算：
(1)2log32－log3＋log38；
(2)log3(9×272)＋log26－log23＋log43×log316.
【解析】(1)原式＝log34－log3＋log38＝log39＝2.
(2)原式＝log3(32×36)＋log2＋log43·2log34＝log338＋log22＋2＝11.
11．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)(　　)
A．1033 B．1053
C．1073 D．1093
【答案】D
【解析】由已知得，lg＝lg M－lg N≈361×lg 3－80×lg 10≈361×0.48－80＝93.28＝lg 1093.28.故与最接近的是1093.
12．(多选)实数a，b满足2a＝5b＝10，则下列关系不正确的有(　　)
A.＋＝1 B．＋＝2
C.＋＝2 D.＋＝
【答案】BCD
【解析】a＝log210，b＝log510，＋＝＋＝lg 2＋lg 5＝1，故A正确．
＋＝＋＝lg 4＋lg 5＝lg 20≠2，故B不正确．
＋＝＋＝lg 2＋lg 25＝lg 50，故C、D不正确．故选B、C、D.
13．(一题两空)设a，b，c为正数，且满足a2＋b2＝c2.
(1)log2＋log2＝________；
(2)若log4＝1，则＝________.
【答案】 (1)1　(2)3
【解析】(1)原式＝log2
＝log2
＝log2
＝log22
＝1.
(2)由log4＝1，得－3a＋b＋c＝0，
∵a,b,c均为正数，
∴ ＝3.
14．已知x，y，z为正数，且3x＝4y＝6z.
(1)求使2x＝py成立的p的值；
(2)求证：＝－.
【解析】(1)设3x＝4y＝6z＝k(显然k＞0且k≠1)，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，
由2x＝py得2log3k＝plog4k＝p·，
因为log3k≠0，所以p＝4log32.
(2)证明：－＝－＝logk6－logk3＝logk2＝logk4＝＝.
15．若a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．
【解析】原方程可化为2(lg x)2－4lg x＋1＝0.
设t＝lg x，
则方程化为2t2－4t＋1＝0，
∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.
又∵a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，
∴t1＝lg a，t2＝lg b，
即lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝.
∴lg(ab)·(logab＋logba)
＝(lg a＋lg b)·
＝(lg a＋lg b)·＝(lg a＋lg b)·
＝2×＝12，即lg(ab)·(logab＋logba )＝12.
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