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4.4.1对数函数的概念
知识点 对数函数的概念
1．对数函数的概念
一般地，函数y＝ (a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为(0，＋∞)．
【思考】
含有对数符号“log”的函数就是对数函数，对吗？
【提示】不对，判断一个函数是否是对数函数不仅要含有对数符号“log”，还要符合对数函数的形式
1.n次方根的概念
2.特殊的对数函数
常用对数函数 以10为底的对数函数y=lgx
自然对数函数 以无理数e为底的对数函数y=lnx
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对数函数的定义域为R. (　　)
(2)函数y＝logx是对数函数． (　　)
(3)y＝log2x2与logx3都不是对数函数． (　　)
【答案】（1）×（2）×（3）√
2．下列函数是对数函数的是 (　　)
A．y＝log2x　　　　　　　 B．y＝ln(x＋1)
C．y＝logxe D．y＝logxx
【答案】A
3．函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为 (　　)
A．(0,1) B．(0,1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0)∪[1，＋∞)
【答案】C
【解析】由x2－x＞0，可得x＞1或x＜0，故函数f(x)的定义域为{x|x＜0或x＞1}，故选C.
4．若对数函数的图象过点P(9,2)，则此对数函数的解析式为________．
【答案】log3x.
【解析】设对数函数为y＝logax(a>0，且a≠1)，∴2＝loga9，∴a＝3，∴解析式为y＝log3x.
题型一　对数函数的概念
【学透用活】
对数函数概念的注意点
形式 对数函数的概念与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．例如：y＝2log2x，y＝log5都不是对数函数，可称其为对数型函数
定义域 由指数式与对数式的关系知，对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)
底数 对数函数对底数的限制：a＞0，且a≠1
【例1】下列函数表达式中，是对数函数的有 (　　)
①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1)．
A．1个　　　　　　　　 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】∵①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；∵②中底数a∈R不能保证a>0，且a≠1，∴②不是对数函数；∵⑤⑦的真数分别为(x＋2)，(x＋1)，∴⑤⑦也不是对数函数；∵⑥中log4x的系数为2，∴⑥也不是对数函数．只有③④符合对数函数的定义．
(2)由题意知a－1≥0，即a≥1.原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
(3)原式＝＋＝＋＝＋1＋－1＝2.
【方法技巧】
判定一个函数是对数函数的依据
【变式训练】
1．下列函数是对数函数的是 (　　)
A．y＝loga(2x)　　　　　 B．y＝log22x
C．y＝logx4 D．y＝lg x
【答案】D
【解析】选项A、B、C中的函数都不具有“y＝logax(a＞0，且a≠1)”的形式，只有D选项符合．
2．函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.
【答案】1
【解析】a2－a＋1＝1，解得a＝0或1.又a＋1＞0，且a＋1≠1，∴a＝1.
3．已知对数函数f(x)的图象过点P(8,3)，则f＝________.
【答案】-5
【解析】设对数函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，∵f(x)的图象过点P(8,3)，
∴3＝loga8，∴a3＝8，a＝2..∴f(x)＝log2x.f＝log2＝log22－5＝－5.
题型二　对数型函数的定义域
【探究发现】
(1)对数函数y＝logax的定义域是什么？
(2)对数函数y＝logax的底数a有什么要求？
【提示】(1)y＝logax的定义域是{x|x＞0}．
(2)y＝logax的底数a＞0，且a≠1.　　　
【学透用活】
【例2】(1)函数f(x)＝＋ln(x＋1)的定义域为________；
(2)函数f(x)＝的定义域为________．
【答案】(1)(－1,2)　(2)∪(0，＋∞)
【解析】(1)若使函数式有意义需满足条件：解得－1(2)由题意有解得x>－且x≠0，
则函数的定义域为∪(0，＋∞)．
【方法技巧】
求对数型函数定义域的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时，被开方数非负．
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
(4)若需对函数进行变形，则需先求出定义域，再对函数进行恒等变形．　　
【变式训练】
1．函数f(x)＝的定义域是 (　　)
A．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1,3)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3)
【答案】D
【解析】依题意解得1＜x＜3且x≠2.故选D.
2．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝lg(x－2)＋；
(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)．
【解析】(1)要使函数有意义，需满足解得x>2且x≠3.
∴函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．
(2)要使函数有意义，需满足解得－1∴函数的定义域为(－1,0)∪(0,4)．
题型三　对数函数的实际应用
[学透用活]
【例3】森林具有净化空气的功能，经研究发现，森林净化空气质量Q与森林面积S的关系是Q＝Alog2，且当森林面积为40个单位时，森林净化量Q为100个单位．
(1)求A的值；
(2)当某森林面积为320个单位时，它能净化的空气量为多少个单位．
【解析】(1)由题意知Alog2＝100，∴A＝50.
(2)把S＝320代入Q＝50log2，得Q＝250.
所以当森林面积为320个单位时，它能净化的空气质量为250个单位．
【方法技巧】
实际问题中对数模型要建模准确，计算时应充分利用对数的运算性质，注意变量的实际意义．
【变式训练】
某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；
当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，
销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式；
(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
【解析】(1)由题意知y＝
(2)由题意知1.5＋2log5(x－9)＝5.5，
即log5(x－9)＝2，∴x－9＝52，解得x＝34.
所以老江的销售利润是34万元．
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．若函数y＝loga(x＋a)(a＞0且a≠1)的图象过点(－1,0)．
(1)求a的值；
(2)求函数的定义域．
【解析】(1)将(－1,0)代入y＝loga(x＋a)(a＞0，且a≠1)中，
有0＝loga(－1＋a)，则－1＋a＝1，所以a＝2.
(2)由(1)知y＝log2(x＋2)，由x＋2＞0，解得x＞－2，
所以函数的定义域为{x|x＞－2}．
二、应用性——强调学以致用
2．[好题共享——选自人教B版新教材]人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声音强度的等级，其中0 dB
是人能听到的等级最低的声音．一般地，如果声音强度为x的声音对应的等级为f(x) dB，则有f(x)＝
10lg.
(1)求等级为0 dB的声音强度；
(2)计算出90 dB的声音与60 dB的声音强度之比．
【解析】(1)由f(x)＝0即10lg＝0，可得x＝1×10－12.
因此等级为0 dB的声音强度为1×10－12.
(2)设f(x1)＝90，则10lg＝90，
解得x1＝10－3.
设f(x2)＝60，同理可得x2＝10－6.
因此所求强度之比为＝＝1 000.
拓展：值得注意的是，由此可以看出，90 dB的声音强度是60 dB的声音强度的1 000倍．实际上，60 dB
是一般说话的声音等级，而很嘈杂的马路的声音等级为90 dB.为了保护听力，人所处的环境，声音一般不宜
长时间超过90 dB.
1．对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为(　　)
A．y＝log4x　　　　　　　 B．y＝logx
C．y＝logx D．y＝log2x
【答案】D
【解析】设该函数为y＝logax，由于对数函数的图象过点M(16,4)，所以4＝loga16，得a＝2.所以对数函数的解析式为y＝log2x，故选D.
2．(多选)设集合A＝{x|y＝lg x}，B＝{y|y＝lg x}，则下列关系中不正确的有(　　)
A．A∪B＝B B．A∩B＝
C．A＝B D．A B
【答案】BC
【解析】由题意知集合A＝{x|x>0}，B＝{y|y∈R}，所以A B.
3．函数y＝的图象大致是(　　)
【答案】D
【解析】函数y＝的定义域是{x|x≠0}，且易得函数为奇函数，所以函数图象关于原点对称，可排除A，B，当x＝1时，y＝lg 1＝0，故图象与x轴相交，且其中一个交点为(1,0)，只有D中图象符合．
4．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)＝(　　)
A．log2x B．
C．logx D．2x－2
【答案】A
【解析】函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，
又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2.故f(x)＝log2x.
5．函数f(x)＝的定义域为(0,10]，则实数a的值为(　　)
A．0 B．10
C．1 D.
【答案】C
【解析】由已知，得a－lg x≥0的解集为(0,10]，由a－lg x≥0，得lg x≤a，又当0＜x≤10时，lg x≤1，所以a＝1，故选C.
6．若f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝________.
【答案】5
【解析】由对数函数的定义可知，解得a＝5.
7．已知函数f(x)＝3logx的定义域为[3,9]，则函数f(x)的值域是________．
【答案】 [－6，－3]
【解析】∵y＝logx在(0，＋∞)上是减函数，
∴当3≤x≤9时，log9≤logx≤log3，
即－2≤logx≤－1，
∴－6≤3logx≤－3，
∴函数f(x)的值域是[－6，－3]．
8．已知m，n∈R，函数f(x)＝m＋lognx的图象如图，则m，n的取值范围分别是________(填序号)．
①m＞0,0＜n＜1；②m＜0,0＜n＜1；③m＞0，n＞1；④m＜0，n＞1.
【答案】③
【解析】由图象知函数为增函数，故n＞1.又当x＝1时，f(1)＝m＞0，故m＞0.
9．若函数y＝loga(x＋a)(a＞0，且a≠1)的图象过点(－1,0)．
(1)求a的值；
(2)求函数的定义域．
【解析】(1)将(－1,0)代入y＝loga(x＋a)(a＞0，且a≠1)中，
有0＝loga(－1＋a)，则－1＋a＝1，所以a＝2.
(2)由(1)知y＝log2(x＋2)，由x＋2＞0，解得x＞－2，
所以函数的定义域为{x|x＞－2}．
10．已知f(x)＝|lg x|，且>a>b>1，试借助图象比较f(a)，f(b)，f(c)的大小．
【解析】先作出函数y＝lg x的图象，再将图象位于x轴下方的部分折到x轴上方，于是得f(x)＝|lg x|图象(如图)，由图象可知，f(x)在 (0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．由>a>b>1得f>f(a)>f(b)，而f＝＝|－lg c|＝|lg c|＝f(c)．∴f(c)>f(a)>f(b)．
11．已知a＞1，b＜－1，则函数y＝loga(x－b)的图象不经过(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】∵a＞1，∴函数y＝logax的图象如图所示，函数y＝loga(x－b)(b＜－1)的图象就是把函数y＝logax的图象向左平移|b|(|b|＞1)个单位长度，如图．
由图可知函数y＝loga(x－b)的图象不经过第四象限．
12．已知a，b均为不等于1的正数，且满足lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是(　　)
【答案】B
【解析】法一：∵lg a＋lg b＝0，∴ab＝1.∵g(x)＝－logbx的定义域是(0，＋∞)，∴排除A.若a>1，则01，此时f(x)＝ax是减函数，g(x)＝－logbx是减函数．结合图象知选B.
法二：∵lg a＋lg b＝0，∴ab＝1，即b＝，∴g(x)＝－logx＝logax，∴f(x)与g(x)互为反函数，图象关于y＝x对称，故选B.
13．已知函数f(x)＝|logx|的定义域为，值域为[0，1]，则m的取值范围为________．
【答案】[1,2]
【解析】作出f(x)＝|logx|的图象(如图)可知f＝f(2)＝1，f(1)＝0，由题意结合图象知：1≤m≤2.
14．已知f(x)为定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x.
(1)当x∈(－∞，0)时，求函数f(x)的解析式；
(2)画出函数f(x)的图象，写出函数f(x)的单调区间，并指出单调性．
【解析】(1)设x∈(－∞，0)，
则－x∈(0，＋∞)，
所以f(－x)＝log2(－x)，
又f(x)为定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，
得f(－x)＝f(x)，
所以f(x)＝log2(－x)(x∈(－∞，0))．
(2)由(1)可得函数图象如图所示．
f(x)的单调增区间是(0，＋∞)，单调减区间是(－∞，0)．
15．已知f(x)是对数函数，并且它的图象过点，g(x)＝f2(x)－2b·f(x)＋3，其中b∈R.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求y＝g(x)在[，16]上的最小值．
【解析】(1)设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，∵f(x)的图象过点，
∴f(2)＝，即loga2＝，
∴a＝2＝2，即a＝2，∴f(x)＝log2x.
(2)设t＝f(x)，则y＝m(t)＝t2－2bt＋3＝(t－b)2＋3－b2，
∵≤x≤16，∴≤log2x≤4，
即t∈，函数m(t)的图象的对称轴方程为t＝b.
①当b≤时，m(t)在上是增函数，ymin＝m＝－b；
②当③当b≥4时，m(t)在上是减函数，ymin＝m(4)＝19－8b.
综上所述，g(x)min＝.
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