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3.1　直线的倾斜角与斜率
3.1.1　倾斜角与斜率
学 习 目 标 核 心 素 养
1.理解直线的斜率和倾斜角的概念．2．理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性．3．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率． 1. 通过倾斜角概念的学习，提升数学建模和直观想象的数学核心素养．2. 通过斜率的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学核心素养．
1．倾斜角的相关概念
(1)两个前提：
①直线l与x轴相交；
②一个标准：取x轴作为基准，x轴 与直线l 方向之间所成的角；
③范围：0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
(2)作用：
①表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度；
②确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．
思考：下图中标的倾斜角α对不对？
[提示]　都不对．
2．斜率的概念及斜率公式
(1)定义：倾斜角α(α≠90°)的 ．
(2)记法：k＝ ．
(3)斜率与倾斜角的对应关系．
图示
倾斜角(范围) α＝0° 0°＜α＜90° α＝ 90°＜α＜180°
斜率(范围) 不存在
(4)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k＝ ．
思考：所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？
1．如图所示，直线l与y轴所成的角为45°，则l的倾斜角为(　　)
A．45°　　　B．135°　　　C．0°　　　D．无法计算
2．已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角是(　　)
A.0° B．45° C．60° D．90°
3．已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率等于1，则m的值是(　　)
A.5 B．8 C． D．7
4．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为(　　)
A. B．
C.1 D．
直线的倾斜角
【例1】　设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　)
A.α＋45°
B.α－135°
C.135°－α
求直线的倾斜角的方法及两点注意
(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．
(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.
②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.
1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　)
A.α　　　　　　 B．180°－α
C.180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α
直线的斜率
【例2】　(1)已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝4，则点B的坐标为(　　)
A.(2，0)或(0，－4) B．(2，0)或(0，－8)
C.(2，0) D．(0，－8)
(2)已知直线l经过点A(1，2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是(　　)
A.(－1，0] B．[0，1]
C.[1，2] D．[0，2]
解决斜率问题的方法
(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决．
(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解．
(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解．
2．(1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________．
(2)过原点且斜率为的直线l绕原点逆时针方向旋转30°到达l′位置，则直线l′的斜率为________．
直线倾斜角与斜率的综合
[探究问题]
1．斜率公式k＝中，分子与分母的顺序是否可以互换？y1与y2，x1与x2的顺序呢？
2．斜率的正负与倾斜角范围有什么联系？
【例3】　已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．
将本例变为： 已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2).若点D在线段BC上(包括端点)移动，求直线AD的斜率的变化范围．
1．求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围．一般分倾斜角含90°和不含90°两种情况．
2．利用斜率可解决点共线问题，点A，B，C共线 kAB＝kAC或kAB与kAC都不存在．
3.的几何意义是直线的斜率，用之可通过几何方法解决函数的值域问题．
直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：
直线情况 平行于x轴 垂直于x轴
α的大小 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180°
k的范围 0 k＞0 不存在 k＜0
k的增减情况 k随α的增大而增大 k随α的增大而增大
1．对于下列命题：
①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；
②若k是直线的斜率，则k∈R；
③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；
④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．
其中正确命题的个数是(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
2．若经过A(2，1)，B(1，m)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，1)　　 B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－1，＋∞)
3．已知直线AB与直线AC有相同的斜率，且A(1，0)，B(2，a)，C(a，1)，则实数a的值是________．
4．已知交于M(8，6)点的四条直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l2过点N(5，3)，求这四条直线的倾斜角．
PAGE3.1　直线的倾斜角与斜率
3.1.1　倾斜角与斜率
学 习 目 标 核 心 素 养
1.理解直线的斜率和倾斜角的概念．2．理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性．3．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率． 1. 通过倾斜角概念的学习，提升数学建模和直观想象的数学核心素养．2. 通过斜率的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学核心素养．
1．倾斜角的相关概念
(1)两个前提：
①直线l与x轴相交；
②一个标准：取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角；
③范围：0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
(2)作用：
①表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度；
②确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．
思考：下图中标的倾斜角α对不对？
[提示]　都不对．
2．斜率的概念及斜率公式
(1)定义：倾斜角α(α≠90°)的正切值．
(2)记法：k＝tan α．
(3)斜率与倾斜角的对应关系．
图示
倾斜角(范围) α＝0° 0°＜α＜90° α＝90° 90°＜α＜180°
斜率(范围) 0 (0，＋∞) 不存在 (－∞，0)
(4)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k＝．
思考：所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？
[提示]　不是．若直线没斜率，则其倾斜角为90°.
1．如图所示，直线l与y轴所成的角为45°，则l的倾斜角为(　　)
A．45°　　　B．135°　　　C．0°　　　D．无法计算
B　[根据倾斜角的定义知，l的倾斜角为135°.]
2．已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角是(　　)
A.0° B．45° C．60° D．90°
A　[∵k＝＝0，∴θ ＝0°.]
3．已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率等于1，则m的值是(　　)
A.5 B．8 C． D．7
C　[由斜率公式可得＝1，解之得m＝.]
4．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为(　　)
A. B．
C.1 D．
A　[由题意可知，k＝tan 30°＝.]
直线的倾斜角
【例1】　设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　)
A.α＋45°
B.α－135°
C.135°－α
D.当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾角为α－135°
D　[根据题意，画出图形，如图所示：
因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：
当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；
当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.]
求直线的倾斜角的方法及两点注意
(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．
(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.
②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.
1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　)
A.α　　　　　　 B．180°－α
C.180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α
D　[如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.
故选D.]
直线的斜率
【例2】　(1)已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝4，则点B的坐标为(　　)
A.(2，0)或(0，－4) B．(2，0)或(0，－8)
C.(2，0) D．(0，－8)
(2)已知直线l经过点A(1，2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是(　　)
A.(－1，0] B．[0，1]
C.[1，2] D．[0，2]
(1)B　(2)D　[(1)设B(x，0)或(0，y)，∵kAB＝或kAB＝，∴＝4或＝4，∴x＝2，y＝－8，∴点B的坐标为(2，0)或(0，－8).
(2)由图可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l的斜率满足0≤k≤2.故选D.]
解决斜率问题的方法
(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决．
(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解．
(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解．
2．(1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________．
(2)过原点且斜率为的直线l绕原点逆时针方向旋转30°到达l′位置，则直线l′的斜率为________．
(1)－5　(2)　[(1)直线AB的斜率k＝tan 135°＝－1，
又k＝，由＝－1，得y＝－5.
(2)k＝时，即tan α＝，α＝30°，绕原点按逆时针旋转30°到这时kl′＝tan 60°＝.]
直线倾斜角与斜率的综合
[探究问题]
1．斜率公式k＝中，分子与分母的顺序是否可以互换？y1与y2，x1与x2的顺序呢？
[提示]　斜率公式中分子与分母的顺序不可以互换，但y1与y2和x1与x2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k＝.
2．斜率的正负与倾斜角范围有什么联系？
[提示]　当k＝tan α＜0时， 倾斜角α是钝角；
当k＝tan α＞0时， 倾斜角α是锐角；
当k＝tan α＝0时， 倾斜角α是0°.
【例3】　已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．
思路探究：
[解]　如图所示，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1.
(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1.
(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
将本例变为： 已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2).若点D在线段BC上(包括端点)移动，求直线AD的斜率的变化范围．
[解]　如图所示．
当点D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，又kAB＝＝，kAC＝＝，所以直线AD的斜率的变化范围是.
1．求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围．一般分倾斜角含90°和不含90°两种情况．
2．利用斜率可解决点共线问题，点A，B，C共线 kAB＝kAC或kAB与kAC都不存在．
3.的几何意义是直线的斜率，用之可通过几何方法解决函数的值域问题．
直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：
直线情况 平行于x轴 垂直于x轴
α的大小 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180°
k的范围 0 k＞0 不存在 k＜0
k的增减情况 k随α的增大而增大 k随α的增大而增大
1．对于下列命题：
①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；
②若k是直线的斜率，则k∈R；
③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；
④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．
其中正确命题的个数是(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
C　[由倾斜角和斜率概念可知①②③正确．]
2．若经过A(2，1)，B(1，m)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，1)　　 B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－1，＋∞)
A　[由题意知kAB＞0，即＞0，解得m＜1，故应选A.]
3．已知直线AB与直线AC有相同的斜率，且A(1，0)，B(2，a)，C(a，1)，则实数a的值是________．
　[依题意：kAB＝kAC，即＝，
解得a＝.]
4．已知交于M(8，6)点的四条直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l2过点N(5，3)，求这四条直线的倾斜角．
[解]　l2的斜率为＝1，∴l2的倾斜角为45°，
由题意可得：l1的倾斜角为22.5°，l3的倾斜角为67.5°，l4的倾斜角为90°.
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