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(共34张PPT)
专题26 矩　阵
1.矩阵中所有数据均存储在一个数组中，从第1列开始先存储一行，接着再存储下一行。
2.一个m行n列的数组，在列表框中输出时，用一个字符串变量表示一行，共循环m次。他是一张二维表。一般来说，用i表示某个元素所处的行，用j表示某个元素所处列。
3.矩阵的问题就是研究存储数组元素下标与他所在行和列的关系。
A　B　C　D
E　F　G　H
I　J　 K　 L
M　N　O　P
Q　R　S　T
5行4列矩阵
实际存储的变量
列 行　　　 第1列 第2列 第3列 第4列
第1行 a(1) a(2) a(3) a(4)
第2行 a(5) a(6) a(7) a(8)
第3行 a(9) a(10) a(11) a(12)
第4行 a(13) a(14) a(15) a(16)
第5行 a(17) a(18) a(19) a(20)
4.矩阵中某个元素的位置跟他前面有完整行数及所在列数有关，若矩阵的大小为m行n列，矩阵问题就是研究矩阵元素位置(i，j)和数组下标pa对应关系，pa＝(i－1)*n＋j，表达的含义是该元素处在第i行，说明他前面有i－1个完整行，该元素处在第j列，说明除了完整的行，还有j列是零头。
5.通常用双重循环来遍历整个m行n列矩阵，变量i和j表示行和列，也可以用一重循环输出，但此时循环变量表示数组下标。代码如下。
For i＝1 To m s＝”” For j＝1 To n 　　s＝s＋ Str(a((i－1)*n＋j)) Next j List1.AddItem s Next i For i＝1 To m*n
s＝s＋Str(a(i))
If i Mod n＝0 Then
　　List1.AddItem s
　　s＝””
End If
Next i
6.若用一重循环来遍历m行n列矩阵，列号总是在[1，n]之间循环，可能通过对下标取余获得列号。由于pa Mod n的范围在[0，n－1]，根据约瑟夫环的知识，某位置所处的列为(pa－1) Mod n＋1。在每一行中，除了最后一列，其下标整除n的值均比该行前面的列整除n的值大1，例第一行，前n－1个元素的下标整除n为0，第n个元素的下标整除n为1，因此下标为pa数组元素所处行为(pa－1)\n＋1。
7.若用一重循环来遍历m行n列矩阵，下标为pa数组元素处在矩阵第1列的元素特征用VB表达式表示pa Mod n＝1 。最后一列的特征是pa Mod n＝0。
考点一　根据数组元素下标，计算所处行和所处列
每个元素的行号和列号总是从1开始，而下标整除n或Mod n的最小值为0。充分利用其公式来理解题目的含义。
【例1】 将一组数据(个数：n^2)分成n段有序(升序)数据，例如：当n＝4时，排序结果如图所示。
D
有如下VB程序段：
For i＝1 To n
For j＝n*(i－1)＋1 To____(1)____
For k＝____(2)____To ____(3)____
　　　　If a(k)>a(k＋1) Then t＝a(k): a(k)＝a(k＋1): a(k＋1)＝t
Next k
Next j
Next i
上述程序段划线处的表达式分别为(　　)
A.(1)n*i－1　(2)n*(i－1)＋1　(3)n*(2*i－1)－j
B.(1)n*(i－1)　(2)n*i－1　(3)n*i－j
C.(1)n*i－1　(2)n*i＋j　(3)n*(2*i－1)
D.(1)n*i　(2)n*(i－1)＋1　(3)n*i－j
解析　该题主要考查了冒泡排序算法思想。结合现在比较常见的数组矩阵下标问题，考查冒泡排序的左端点和右端点的变化情况。起点是该行中的第1列，终点是该行中n－j＋1列，但a(k)和a(k＋1)比较，因此k的终值该列的n－j，即(i－1)*n＋n－j。
【变式1】 编写VB程序生成一个n行n列的数字矩阵(数组元素为1－99之间的随机整数)，显示在列表框List1中。并在列表框List2中输出每行的最大值及其所在的位置。
Const n＝4
Dim a(1 To n*n) As Integer，i As Integer，j As Integer，w As Integer
Dim s As String，pos As Integer，Max As Integer
For i＝1 To n
Max＝0: s＝””
For j＝1 To n
pos＝____①____
a(pos)＝Int(1＋Rnd*99)
s＝s＋Str(a(pos))
A
If____②____ Then
　　　　Max＝a(pos)
　　　　w＝j
End If
Next j
List1.AddItem s
List2.AddItem i & ”行” &____③____& ”列最大：” & Max
Next i
划线处的代码应为(　　)
A.①(i－1)*n＋j　②a(pos)>Max　③w 　　B.①i*n＋j　②a(pos)>Max　③j
C.①(i－1)*n＋j　②a(j)>Max　③w 　　D.①i*n＋j　②a(j)>Max　③j
解析　变量i控制行，j控制列，第i行第j列存储在数组(i－1)*n＋j中，这行中所有数与max比较，找出最值。
考点二　利用矩阵知识解决综合问题
掌握利用一维数组表示二维矩阵的综合知识。
【例2】 (2017·11月浙江省选考)由数组a生成数组b的方法描述如下：
1)将数组a中的n个元素依次分割出若干个数据块，每个数据块有m×m个元素，m最大值为8，最小值为2。分割时，按尽可能大的数据块进行分割；
2)对每个分割出的数据块用“方阵转换法”进行转换，每次转换后得到的数据块依次存储在数据b中；
3)数组a分割后的剩余元素(个数小于4)，直接依序存储到数组b中。
例如n＝140时，可依次分割出3个数据块，元素的个数分别为64(8×8)、64(8×8)、9(3×3)，剩余元素为3个。
“方阵转换法”过程如下：将数据块中m×m个元素按行序排列成一个数字方阵，从该数字方阵中按列序得到转换后元素的次序。以3×3数据块为例，转换过程如下图所示：
小明依据上述描述设计了如下VB程序。请回答下列问题：
(1)当n＝120时，分割出的第3个数据块元素个数为________。
(2)请在划线处填入合适的代码。
Const n＝120
Dim a(1 To n) As Integer
Dim b(1 To n) As Integer
Private Sub Command1_Click()
Dim m As Integer，i As Integer
Dim Start As Integer　 ′当前未分割数据的第1个元素下标
Dim Left As Integer　　′当前未分割数据的个数
Dim pa As Integer　　　′数组a的下标
Dim pb As Integer　　　′数组b的下标
′读取n个转换前的数据，依次存储到a(1)、a(2)、……a(n)中，代码略
m＝8
Start＝1
Left＝n
Do While Left>3
If Leftm＝____①____
Else
pa＝Start
pb＝Start
For i＝1 To m*m
　　　　b(pb)＝a(pa)
　　　　pb＝pb＋1
　　　　If i Mod m＝0 Then
　　　　　　____②____
　　　　Else
　　　　　　pa＝pa＋m
　　　　End If
Next i
　　____③____
Start＝Start＋m*m
End If
Loop
For i＝Start To n
b(i)＝a(i)
Next i
′依次输出转换后数据b(1)、b(2)、……b(n)中，代码略
End Sub
答案　(1)4　(2)①m－1或int(sqr(left))　②pa＝start＋i\m或pa＝start＋i/m或pa＝pa－(m－1)*m＋1或pa＝start＋(pa－start＋1) mod m　③left＝left－m*m
解析　n＝120 时，可依次分割出3 个数据块，元素的个数分别为64(8×8)、49(7×7)、4(2×2)，剩余元素为3 个。所以第3 个数据块为4 个元素。剩余数量Left【变式2】 编写“矩形面积”程序，实现如下功能：按一定比例随机生成a(1)至a(100)数组元素的值：0或1(0多1少)；将这100个数组元素，按行依次转化为10×10的二维阵列；当数组元素的值为0时显示成“□”，当数组元素的值为1时显示成“◆”，并在列表框List1 中输出。寻找阵列中，由“□”字符构造出的最大面积的矩形，在标签Label1中显示最大面积所占的单位数。程序运行界面如图所示。实现上述功能的VB代码如下：
Dim a(1 To 100) As Integer
Private Sub Command1_Click()
Dim i As Integer，s As Integer，smax As Integer
′用于随机生成数据，并将阵列按规则在列表框中输出，该部分功能的代码略。
smax＝0
For i＝1 To 100
If a(i)＝0 Then s＝search(i)
If s>smax Then smax＝s
Next i
Label1.Caption＝”最大面积的矩形，占”＋Str(smax)＋”个单位。”
End Sub
Function search(i As Integer) As Integer
Dim x As Integer，x1 As Integer，xend As Integer
Dim y As Integer，y1 As Integer
Dim s As Integer
x＝(i－1) Mod 10＋1　　 ′起始列号
y＝(i－1)\10＋1　　′起始行号
x1＝x: y1＝y: xend＝10
search＝0
Do While y1 <＝10
If a((y1－1)*10＋x)＝1 Then Exit Do ′判断
x1＝x
Do While x1 <＝xend
If a((y1－1)*10＋x1)＝1 Then
Else
　　　　x1＝x1＋1
End If
Loop
y1＝y1＋1
s＝(x1－x)*(________)　　′填空
If s>search Then search＝s
Loop
End Function
请回答下列问题：
(1)根据程序的运行界面，没有Caption属性的控件为________类(单选，填字母： A.窗体/ B.命令按钮/ C.列表框/ D.标签)。
(2)程序代码中，去除“判断”处语句，是否会影响程序的结果________(选填：是/否)。
(3)程序代码中，“改错”处的语句有误，请改正。
(4)程序代码中，将“填空”处的语句补充完整。
答案　(1)C　(2)否　(3)x1＝Xend＋1 或Exit DO　(4)y1－y
解析　自定义函数的功能是从第i个位置开始查找最大矩形面积，x和y表示第i个元素所处的行号和列号。查找的过程是先扫描x行中所有列，找到一个不为0的就表示该行的列数，退出内循环。接着再扫描下一行，找出构成一个最大的面积。若删除划线处语句，进入内循环后，也马上退出内循环，此时的列数为0，面积也为0。
1.(2020·4月嘉兴)有如下VB程序段：
Const n＝3
Dim a(1 To n*n) As Integer
Dim i As Integer，j As Integer，s As String
For i＝1 To n
s＝””
For j＝1 To n
a((i－1)*n＋j)＝Int(Rnd*i＋j)
s＝s＋Str(a((i－1)*n＋j))
Next j
List1.AddItem s
Next i
执行程序后，列表框List1中输出的不可能是(　　)
A.1 2 3 B.1 2 3 C.1 2 3 D.1 2 3
　2 2 2 　 2 2 4 　 　1 2 3 　 　2 3 4
　3 3 3 　 3 3 4 　 　1 2 3 　 　3 4 5
解析　语句a((i－1)*n＋ j)＝Int(Rnd*i＋j)对第i行的每一列赋值，值的范围是[j，j＋i－1]，因此A选项的第2行的第3列不可能出现。
A
2.将一组数据(共n*n个数)，分别存放在a(1)…a(n*n)中，通过下面程序实现n段有序(升序)，例如：当n＝4时，排序结果如图所示：
有如下VB程序段：
For i＝1 To n
For j＝n*(i－1)＋1 To____①____
For k＝____②____ To ____③____
　　　　If a(k)>a(k＋1) Then
　　　　　　t＝a(k)：a(k)＝a(k＋1)：a(k＋1)＝t
　　　　End If
Next k
Next j
Next i
上述程序段划线处的表达式正确的是(　　)
A.①n*i－1　②n*(i－1)＋1　③n*(2*i－1)－j
B.①n*(i－1)　②n*i－1　③n*i－j
C.①n*i－1　②n*i＋j　③n*(2*i－1)
D.①n*i　②n*(i－1)＋1　③n*i－j
解析　本题考查矩阵与冒泡排序相关知识。通过三重循环完成该功能。第二重For循环控制每一段需要排序的数据的起始位置和终止位置，每一行都为n个数据。故①处填n*i－1；第三重For循环控制每一段数据的比较范围，根据比较关系为a(k)与 a(k＋1)；从前往后比较，故②③处填n*(i－1)＋1和n*(2*i－1) －j，答案选A。
A
3.有一个n行m列网格状临时停车场，如图a所示：在网格中随机分布若干个石头，网格中“□”表示空位，“●”表示石头。停放一辆车需要长为clen个空位、宽1个空位的空间，且车只能南北停放。编写程序，实现统计该车共有多少种停放方法。
图a
图b
程序实现过程：生成规模为n×m的网格，在网格边界添加一圈交通锥“▲”，并将“□”、“●”、“▲”按行依次存入数组a中，在文本框Text3中输入停放该车最小长度clen值，在文本框Text4中输出共有多少种停放方法。程序运行界面如图b所示，实现上述功能的VB代码如下：
Dim a(1 To 200) As String
Dim n As Integer，m As Integer
Private Sub Command1_Click()
Dim i As Integer，j As Integer，k As Integer
Dim s As String
n＝Val(Text1.Text)＋2
m＝Val(Text2.Text)＋2
List1.Clear
For i＝1 To n*m
If i <＝m Or i>m*(n－1) Or____①____Then ′在矩阵周围加上一圈边界
a(i)＝”▲”
Else
k＝Int(Rnd*2)
If k＝1 Then a(i)＝”□” Else a(i)＝”●”
End If
Next i
′在列表框List1中显示网格，代码略
End Sub
Private Sub Command2_Click()
Dim i As Integer，j As Integer，c As Integer，x As Integer，y As Integer
Dim cnt As Integer，clen As Integer
Dim flag As Boolean
clen＝Val(Text3.Text)
y＝1
Do While y <＝m
For x＝1 To n
If a((x－1)*m＋y)＝”□” Then
　　　　c＝c＋1
Else
　　　　If c>＝clen Then
　　　　　　cnt＝____②____
　　　　End If
　　　　____③____
End If
Next x
y＝y＋1
Loop
Text4.Text＝Str(cnt)
End Sub
请回答下列问题：
(1)根据图a所示，车长需3个空位的汽车共有________种不同的停法。
(2)请在划线处填入合适的代码。
答案　(1)4　(2)①i Mod m＝0 Or i Mod m＝1　②cnt＋c－clen＋1　③c＝0
解析　本题考核的是矩阵有关算法思想。
(1)按图中所示，第2列和第5列有大于等于3个车位的空间，因此第5列只有一种停法。第2列有5个空位，停法1：第1至3个空位；停法2：第2至4个空位；停法3：第3至5个空位，共有3种停法。
(2)矩阵外围的特征是第1行元素的下标小于等于m，最后一行元素的下标大于(m－1)*n。第1列特征是i Mod n＝1，最后1列的特征是i Mod n＝0，因此①的答案为i Mod m＝0 Or i Mod m＝1。在矩阵中，当前元素的位置是由它所在行和它在列来表达组成，x是他所在行的编号，y是他所在列的编号，该元素保存在数组中的下标是(x－1)*m＋y。程序的功能是从第1列开始，查找每列连续的”□”的个数，把每个连续的空位保存在c中，如第2列当y＝2时，x＝1出现空位，且x＝2时不是空位，第一个c的值是1，当x＝4时，出现空位，并不断地往下找空位c。若停车需clen个空位，由(1)可知，c个空位可以停的方法是c－clen＋1。计算完后，要把空位置0。

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