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3.2.2　直线的两点式方程
学 习 目 标 核 心 素 养
1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围．(重点)2．了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围．(重点)3．会用中点坐标公式求两点的中点坐标． 1.通过直线两点式方程的推导，提升逻辑推理的数学学科素养．2．通过直线的两点式方程和截距式方程的学习，培养直观想象和数学运算的数学学科素养．
1．直线的两点式方程
名称 两点式方程
已知条件 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2
示意图
直线方程
适用范围 斜率存在且不为零
思考：过点(1，3)和(1，5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2，3)，(5，3)的直线呢？
2．直线的截距式方程
名称 截距式方程
已知条件 在x，y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0
示意图
直线方程
适用范围 斜率存在且不为零，不过原点
思考：方程－＝1和＋＝－1都是直线的截距式方程吗？
3．线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设P(x，y)是
线段P1P2的中点，则
1．过点A(3，2)，B(4，3)的直线方程是(　　)
A．x＋y＋1＝0　　　 B．x＋y－1＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0
2．过P1(2，0)，P2(0，3)两点的直线方程是(　　)
A. ＋＝0 B. ＋＝0
C. ＋＝1 D. －＝1
3．如图，直线l的截距式方程是＋＝1，则a________0，b________0.
4．过两点(－1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距为________．
直线的两点式方程
【例1】　(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2，7)，则直线l的方程为________．
(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3，4)的直线上，则m＝________．
由两点式求直线方程的步骤
(1)设出直线所经过点的坐标．
(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标．
(3)由直线的两点式方程写出直线的方程．
提醒：当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴．若满足，则考虑用两点式求方程．
1．在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7，3)，且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上．
(1)求点C的坐标；
(2)求直线MN的方程．
直线的截距式方程
【例2】　求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程．
思路探究：
截距式方程应用的注意事项
(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．
(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．
(3)要注意截距式直线方程的逆向应用．
2．求过点A(5，2)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线l的方程．
直线方程的灵活应用
[探究问题]
1. 若已知直线过定点，选择什么形式较好？过两点呢？
2．若已知直线的斜率，选哪种形式的方程？
3．若已知直线与两坐标轴相交，选哪种形式的方程较好？
【例3】　已知A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，
(1)求BC边的方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程．
1．本例中条件不变，试求AB边上的高线所在直线方程．
2．本例中条件不变，试求与AB平行的中位线所在直线方程．
直线方程的选择技巧
(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率．
(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距．
(3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程．
(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决．
3．已知直线l经过点(1，6)和点(8，－8).
(1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程；
(2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积．
1．当直线没有斜率(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式＝求它的方程，此时直线的方程分别是x＝x1和y＝y1，而它们都适合(x2－x1)·(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)的形式．
2．直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便．注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零．
1．下列说法正确的是(　　)
A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示
C．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示
D．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示
2．经过点A(2，5)，B(－3，6)的直线在x轴上的截距为(　　)
A．2　　　　 B．－3
C．－27 D．27
3．直线－＝1在y轴上的截距是(　　)
A．|b| B．－b2
C．b2 D．±b
4．直线2x＋y＋7＝0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则2a＋b的值为________．
5．求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程．
PAGE3.2.2　直线的两点式方程
学 习 目 标 核 心 素 养
1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围．(重点)2．了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围．(重点)3．会用中点坐标公式求两点的中点坐标． 1.通过直线两点式方程的推导，提升逻辑推理的数学学科素养．2．通过直线的两点式方程和截距式方程的学习，培养直观想象和数学运算的数学学科素养．
1．直线的两点式方程
名称 两点式方程
已知条件 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2
示意图
直线方程 ＝
适用范围 斜率存在且不为零
思考：过点(1，3)和(1，5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2，3)，(5，3)的直线呢？
[提示]　不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2，3)，(5，3)的直线也不能用两点式表示．
2．直线的截距式方程
名称 截距式方程
已知条件 在x，y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0
示意图
直线方程 ＋＝1
适用范围 斜率存在且不为零，不过原点
思考：方程－＝1和＋＝－1都是直线的截距式方程吗？
[提示]　都不是截距式方程．截距式方程的特点有两个，一是中间必须用“＋”号连接，二是等号右边为1.
3．线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设P(x，y)是
线段P1P2的中点，则
1．过点A(3，2)，B(4，3)的直线方程是(　　)
A．x＋y＋1＝0　　　 B．x＋y－1＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0
D　[由直线的两点式方程，得＝，化简得x－y－1＝0.]
2．过P1(2，0)，P2(0，3)两点的直线方程是(　　)
A. ＋＝0 B. ＋＝0
C. ＋＝1 D. －＝1
C　[由截距式得，所求直线的方程为＋＝1.]
3．如图，直线l的截距式方程是＋＝1，则a________0，b________0.
>　<　[M(a，0)，N(0，b)，由题图知M在x轴正半轴上，N在y轴负半轴上，所以a>0，b<0.]
4．过两点(－1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距为________．
－　[直线方程为＝，化为截距式为＋＝1，则在x轴上的截距为－.]
直线的两点式方程
【例1】　(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2，7)，则直线l的方程为________．
(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3，4)的直线上，则m＝________．
(1)x＝2　(2)－2　[(1)由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为x＝2.
(2)由直线方程的两点式得
＝，即＝.
∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2，
∵点P(3，m)在直线AB上，
则m＋1＝－3＋2，得m＝－2.]
由两点式求直线方程的步骤
(1)设出直线所经过点的坐标．
(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标．
(3)由直线的两点式方程写出直线的方程．
提醒：当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴．若满足，则考虑用两点式求方程．
1．在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7，3)，且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上．
(1)求点C的坐标；
(2)求直线MN的方程．
[解]　(1)设点C(x，y)，由题意得＝0，＝0.
得x＝－5，y＝－3.故所求点C的坐标是(－5，－3).
(2)点M的坐标是，点N的坐标是(1，0)，
直线MN的方程是＝，即5x－2y－5＝0.
直线的截距式方程
【例2】　求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程．
思路探究：
[解]　法一：设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b.
①当a≠0，b≠0时，设l的方程为＋＝1.
∵点(4，－3)在直线上，∴＋＝1，
若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y－1＝0.
若a＝－b，则a＝7，b＝－7，此时直线的方程为x－y－7＝0.
②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，
∴直线的方程为3x＋4y＝0.
综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.
法二：设直线l的方程为y＋3＝k(x－4)，
令x＝0，得y＝－4k－3；令y＝0，得x＝.
∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等．
∴|－4k－3|＝，
解得k＝1或k＝－1或k＝－.
∴所求的直线方程为x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.
截距式方程应用的注意事项
(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．
(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．
(3)要注意截距式直线方程的逆向应用．
2．求过点A(5，2)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线l的方程．
[解]　由题意知，当直线l在坐标轴上的截距均为零时，
直线l的方程为y＝x；
当直线l在坐标轴上的截距不为零时，
设l的方程为＋＝1，
将点(5，2)代入方程得＋＝1，解得a＝，
所以直线l的方程为x＋2y－9＝0.
综上知，所求直线l的方程为y＝x或x＋2y－9＝0.
直线方程的灵活应用
[探究问题]
1. 若已知直线过定点，选择什么形式较好？过两点呢？
[提示]　点斜式. 若直线过两定点可选择两点式或点斜式．
2．若已知直线的斜率，选哪种形式的方程？
[提示]　可选择斜截式．
3．若已知直线与两坐标轴相交，选哪种形式的方程较好？
[提示]　选择截距式较好．
【例3】　已知A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，
(1)求BC边的方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程．
思路探究：(1)
(2)
[解]　(1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，
由两点式，得＝，即2x＋5y＋10＝0，
故BC边的方程是2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5).
(2)设BC的中点M(a，b)，
则a＝＝，b＝＝－3，
所以M，
又BC边的中线过点A(－3，2)，
所以＝，即10x＋11y＋8＝0，
所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.
1．本例中条件不变，试求AB边上的高线所在直线方程．
[解]　设AB边上的高线所在直线斜率为k，
∵kAB＝＝－，∴k＝，
又高线过点C(0，－2)，
∴由点斜式方程得高线所在直线方程为
y＋2＝(x－0)，即4x－3y－6＝0.
2．本例中条件不变，试求与AB平行的中位线所在直线方程．
[解]　由探究1知kAB＝－，即中位线所在直线斜率为－，由例题知BC的中点为，
所以由点斜式方程可得，中位线所在直线方程为
y＋3＝－，即6x＋8y＋9＝0.
直线方程的选择技巧
(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率．
(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距．
(3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程．
(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决．
3．已知直线l经过点(1，6)和点(8，－8).
(1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程；
(2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积．
[解]　(1)由已知得直线l的两点式方程为＝，
所以＝，即＝x－1，
所以y－6＝－2x＋2，即2x＋y＝8.所以＋＝1.
故所求截距式方程为＋＝1.
(2)如图，直线l与两坐标轴围成的图形是直角三角形AOB，且OA⊥OB，|OA|＝4，|OB|＝8，
故S△AOB＝·|OA|·|OB|＝×4×8＝16.
故直线l与两坐标轴围成的图形面积为16.
1．当直线没有斜率(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式＝求它的方程，此时直线的方程分别是x＝x1和y＝y1，而它们都适合(x2－x1)·(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)的形式．
2．直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便．注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零．
1．下列说法正确的是(　　)
A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示
C．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示
D．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示
D　[斜率有可能不存在，截距也有可能为0，故选D.]
2．经过点A(2，5)，B(－3，6)的直线在x轴上的截距为(　　)
A．2　　　　 B．－3
C．－27 D．27
D　[由两点式得＝，整理得x＋5y－27＝0.当y＝0时，x＝27.故应选D.]
3．直线－＝1在y轴上的截距是(　　)
A．|b| B．－b2
C．b2 D．±b
B　[令x＝0，得y＝－b2.]
4．直线2x＋y＋7＝0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则2a＋b的值为________．
－14　[当x＝0时，y＝－7，即b＝－7；当y＝0时，x＝－，即a＝－.∴2a＋b＝2×－7＝－14.]
5．求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程．
[解]　设直线方程的截距式为＋＝1.
则＋＝1，解得a＝2或a＝1，
则直线方程是＋＝1或＋＝1，
即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.
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