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第一部分数学模式
第一章双轨迹模式
1几何作图
用直尺和圆规作图,在平面几何教学中有着传统的地位,
这种最简单的作图法是绘图员所常用的。几何作图的实用价
值和理论价值都不大,不过这种作图法在数学课程中仍有它
定的作用:它最适宜于使初学者熟悉图形,并且使初学者
悉解题思路.正是由于后一原因,我们将从讨论几何作图
开始
与数学教学中的许多传统内容一样,几何作图可以追溯
到欧几里得.在他的体系中,几何作图起着重要的作用。欧
几里得《几何原本》中的第一个问题(第一篇的第一个命题)就
是:“给定一线段,作一等边三角形.”在欧几里得体系中,把
这个问题限制在等边三角形范围内,是颇有道理的.但事实
上,解下述更为一般的问题:给定一个三角形的三条边,求作
角形,同样容易
让我们花点时间来分析这个问题
在任何问题中,必定有一个未知量,如果什么都是已知
的,就无所寻求,也就无所事事了.在我们的问题中,未知
量(要“求”的)是一个几何图形,即一个三角形
然而在任何问题中,还必须有巳知的或者给定的东西(我
们称之为己知量),如果什么也不给定,那么我们就没有依据
去了解厅要“求”的东西,即使我们去考察它,我们也无法了解
它.在我们的这个问题中,已知量是三条“有限直线”或线段
最后,在任何问题中必须有一些把未知量与已知量联系
起来的条件.在我们的问题中,条件是:规定这三条给定的
线段必须是所要“求”的三角形的三条边
条件是问趣的一个必要组成部分,把我们的问题和下述
问题比较一下:“给定三个高,作一三角形”,在这两个问题
中,已知量是一样的(三条线段)并且未知量是同类的几何图
形(三角形),只是未知量和已知量之间的联系不一样,也就是
说,条件不同.当然这两个问题也确实很不相同(我们的问题
比较容易些)
当然,读者对此问题的解法是熟悉的。令ab和c代表
条给定线段的长,作BC,使它的长等于a(请读者自己作
出此图形).我们作两个圆,一个以C为圆心,以b为半径;另
个以B为圆心,以G为半径;令A为这两个圆的两个交点之
于是,△ABC就是所求的三角形
§12从例题到模式
让我们回顾上述解法,找出解类似问题时可能有用的特
作线段a,我们就把所求三角形的两个顶点B和C定了
位;只剩下另一个顶点要“求”了,事实上,作了那条线段,我
们]就把所提出的问题变换成另一个与之等价却又不一样的问
题。在这个新问题中
未知量是一个点(所求三角形的第三个顶息)
已知量是两个点(B和C)和两个长度(b和c)
条件则是要求所求的点与给定点C的距离为b,与给定
点B的距离为C
这一条件包括两部分:一部分涉及b与C,另一部分涉及
与B.首先,若只考虑条件的一部分,而不考虑另一部分,那
么未知量究竟被确定了没有 它能怎样交化 在平面上距离
给定点C有给定距离b的点,既不是完全确定的,也不是丝亳
不受约束射:它被限制在一条“轨迹”上,它必须属于以C为圆
心,以b为半径的圆周上,但能沿着圆周移动.这样,所求的未
知点必须同时在两条这样的轨迹上,它们的交点即为所求
这样我们便发现了一个求解的模式双轨迹模式),仿照
它我们便可以成功地解决几何作图问题。现叙述如下
首先,把问题简化为作一个点
然后,把条件分为两部分,使每一部分变成未知点的一条
轨迹;而每一条轨迹必须是一条直线或者是一个圆
例子要比规则生动单纯讲述模式对你帮助不大。成功
地应用这种模式而得到解决的例子,都会使这个模式变得更
丰富多彩、更有趣和变得更有价值。阎育苏 译 北京：科学出版社，1982年
第一部分 在教室中
目的
1．帮助学生
教师最重要的任务之一是帮助学生。这个任务并不很简单，它需要时间、
实践、热忱以及健全合理的原则。
学生应当有尽可能多的独立工作经验。但是如果让他独自面对问题而得不
到任何帮助或者帮助得不够。那么他很可能没有进步。但若教师对他帮助过多，
那么学生却又无事可干，教师对学生的帮助应当不多不少，恰使学生有一份合
理的工作。
如果学生不太能够独立工作，那末教师也至少应当使他感觉自己是在独立
工作。为了做到这一点，教师应当考虑周到地、不显眼地帮助学生。
不过，对学生的帮助最好是顺乎自然。教师对学生应当设身处地，应当了
解学生情况，应当弄清学生正在想什么，并且提出一个学生自己可能会产生的
问题，或者指出一个学生自己可能会想出来的步骤。
2．问题、建议、思维活动
在打算对学生进行有效、不显眼而又自然的帮助时，教师不免一而再，再
而三地提出一些相同的问题，指出一些相同的步骤。这样，在大量的问题中，
我们总是问：未知数是什么 我们可以变换提法，以各种不同的方式提问同一个
问题：求什么 你想找到什么 你假定求的是什么 这类问题的目的是把学生的注
意力集中到未知数上。有时，我们用一条建议：看着未知数，来更为自然地达
到同一效果。问题与建议都以同一效果为目的：即企图引起同样的思维活动。
从作者看来，在与学生讨论的问题中，收集一些典型的有用问题和建议，
并加以分类是有价值的。前面这张表就包含了这类经过仔细挑选与安排的问题
和建议；它们对于那些能独立解题的人也同样有用。读者充分熟悉这张表并且
看出在建议之后所应采取的行动之后，他会感到这张表中所间接列举的是对解
题很有用的典型思维活动。这些思维活动在表中的次序是按其发生的可能性大
小排列的。
3．普遍性
表中所提问题与建议的重要特点之一是普遍性，例如：未知数是什么 已
知数是什么 条件是什么 这些问题都是普遍适用的，对于所有各类问题，我们
提出这些问题都会取得良好效果。它们的用途不限于任何题目。我们的问题可
以是代数的或几何的，数学的或非数学的，理论的或实际的，一个严肃的问题
或仅仅是个谜语。这没什么差别，上述问题都是有意义的，而且有助于我们解
题。
事实上，还存在一个限制，不过这与论题无关。表中某些问题与建议，只
能用于“求解题”而不能用于“求证题”。如果我们的问题属于后者，则必须
采用别的提问方法，见第三部分“求解题，求证题”这一段。
4．常识
我们这张表中的问题与建议是具有普遍性的，但是除去其普遍性以外，它
们也是自然的、简单的、显而易见的并且来自于普通常识。例如这条建议：看
着未知数!试想出一个具有相同未知数或类似未知数的熟悉的问题，这条建议不
管怎样总是劝告你去做你想做的事，而对于你认真要解决的问题并未提出具体
的劝告。你是不是肚子饿了 如果你希望搞点吃的，你就会想起你所熟悉的搞到
食物的一些办法。你是不是有一个几何作图题 如果你想作一个三角形，你也会
想起你所熟悉的一些作三角形的办法。你是否有一个任意的问题 你若希望找出
某个未知数，你就会想起找出这样一个未知数或你所熟悉的类似未知数的一些
办法。如果你这样做了，那你的路子也是对头的；这个建议是个好建议，它向
你提出一个常能成功的程序。
我们表中的所有问题与建议都是自然的、简单的、显而易见的，而且只不
过是普通常识；但是这张表把常识概括地加以叙述。这张表所提出的处理办法
对于那些认真对待其问题并有某些常识的人来说是很自然的。然而按正确道路
行动的人往往不注意用明确的语言来表达其行动，而且他可能根本不会这样做；
我们这张表却尝试去表达这些。
5．教师与学生，模仿与实践
当教师向学生提出表中的问题或建议时，他可能有两个目的：第一，帮助
学生解决手头的问题；第二，培养学生将来能够独立解题的能力。
经验证明，适当使用我们表中的问题与建议，常能对学生有所裨益。此表
有两个特点：常识性与普遍性。由于此表来源于普通常识，所以显得很自然，
学生自己也会提出这类问题。由于此表具有普遍性，所以它们对学生的帮助并
非强加于人；它们只不过指出了一般的方向，而留给学生去做的还很多。
上述两个目的是密切相关的。如果学生在解决手边的问题中获得成功，他
就提高了一些解题的能力。这时，我们不应该忘记我们所提问题具有普遍性而
且可适用于许多情况。如果同一个问题反复地对学生有所帮助，那么他就会注
意到这个问题，于是在类似的情况下，他自己就会提出这个问题。通过反复地
提出这个问题，他总会有一次成功地诱导出正确的念头。通过这样一次成功，
他便发现了利用这个问题的正确途径，于是，他真正地领会了它。
学生可能对我们表中的一些问题领会得很好，以致他最终能够在恰当的时
刻向自己提出正确的问题，并进行相应的自然而活跃的思维活动。这样，学生
就无疑从我们的表中得到了尽可能多的收获。为了得到尽可能好的结果，教师
可以做些什么事呢
解题，譬如，就好象游泳一样，是一种实际技能。当你学习游泳时，你模
仿其他人的手足动作使头部保持在水面上并最后通过实践(实地练习游泳)来学
会游泳。当试图解题时，你也必须观察并模仿其它人在解题时的所作所为，并
且最后通过实践来学会解题。
希望提高学生解题能力的教师，必须培养学生的兴趣，然后给他们提供大
量的机会去模仿与实践。如果教师想要在他的学生中发展相应于我们表中的问
题与建议的思维活动，那么他就应该尽可能地经常而自然地向学生提出这些问
题和建议。此外，当教师在全班面前解题时，他应当使其思路更吸引人一些，
并且应当向自己提出那些在帮助学生时所使用的相同问题。由于这样的指导，
学生将终于找到使用表中这些问题与建议的正确方法，并且这样做以后，他将
学到比任何具体数学知识更为重要的东西。
主要部分，主要问题
6．四个阶段
在求解过程中，我们很可能再三地改变我们的观点，或者改变考虑问题的
途径。我们应该不断地变更我们的出发点。当我们开始着手解题时，我们对问
题的概念可能很不完整；当我们有些进展以后，我们的看法就不同了；而当我
们几乎已经得到解答的时候，看法就会更不相同。
为了把我们表中的问题与建议进行适当分组，我们把工作分为四个阶段。
首先，我们必须了解问题；我们必须清楚地看到要求的是什么 其次，我们必须
了解各个项之间有怎样的联系 未知数和数据之间有什么关系 为了得到解题的
思路，应该制定一个计划。第三，实现我们的计划。第四，我们回顾所完成的
解答，对它进行检查和讨论。
上述每一阶段都有其重要性。可能会有这样的情况：一个学生想出了一个
异常好的念头，于是跳过所有的预备步骤，解答就脱口而出了。如此幸运的念
头当然是求之不得的，但是也可能发生很不如愿和很不走运的事：即，学生通
过上述四阶段中的任何一个阶段都没有想出好念头。最糟糕的情况是：学生并
没有理解问题就进行演算或作图。一般说来，在尚未看到主要联系或者尚未作
出某种计划的情况下，去处理细节是毫无用处的。如果学生在实行其计划的过
程中检查每一步，就可以避免许多错误。如果学生不去重新检查或重新考虑已
完成的解答，则可能失去某些最好的效果。
7、弄清问题
回答一个你尚未弄清的问题是愚蠢的。去做一件你不愿干的事是可悲的。
在校内外，这种愚蠢和可悲的事情却经常发生，但教师应力求防止在他的班级
里发生这样的事。学生应当弄清问题，然而他不仅应当弄清它，而且还渴望解
出它。如果学生对问题没弄清或不感兴趣，这并不是他的过错，问题应当精选，
所选的题目不太难但也不要太容易，应顺乎自然而且趣味盎然，并且有时在叙
述方式上也应当自然而有趣。
首先，必须了解问题的文字叙述。教师在某种程度上可以检查这一点，他
可以要求学生重新叙述这题目，而学生应能流利地重新叙述这个问题。学生还
应当能够指出问题的主要部分，即未知数，已知数据，条件。所以老师提问时，
不要错过这样的问题：未知数是什么 已知数据是什么 条件是什么
学生应该仔细地、重复地并且从各个方面来考虑问题的主要部分。如果问
题和某一图形有关，那末他应该画张图并在上面标出未知数与已知数据。如果
对这些对象需要给以名称，他应该引入适当的符号。适当地注意选择符号，他
就会被迫考虑这些必须选择符号的对象。在此预备阶段中，假定我们并不期望
有一个明确的回答，而只不过想有一个临时性的回答或一个猜测，那么另外还
有一个问题可能是有用的，即：满足条件是否可能呢
(在本书第二部分中，把“弄清问题”分成两个阶段：“熟悉问题”和“深
人理解问题”)。
8、例子
让我们说明上节中的某几点内容。 我们选下列简单问题：已知长方体的
长、宽、高，求其对角线长度。
为了对此问题作有益的讨论，学生必须熟悉毕达哥拉斯定理及其在平面几
何中的某些应用。他们对立体几何可能只有很少的系统知识。教师这时可以依
赖学生对空间关系的朴素知识。
教师可以通过使问题具体化而使之有趣。如教室就是个长方体，其尺寸可
以测量，也可以估计，要求学生不作测量，间接地求出教室的对角线长度。教
师指出教室的长、宽、高，用手势说明什么是对角线，通过不断地和教室相联
系而使他画在黑板上的图变得更加形象。
以下是老师与学生间的对话：
“未知数是什么 ”
“长方体对角线的长度。”
“已知数是什么 ”
“长方体的长、宽、高。”
“引入适当的符号，用哪个字母表示未知数 ”
“x”
“长、宽、高应选哪些字母 ”
“a，b，c”
“联系a，b，c与x的条件是什么 ”
“x是长方体的对角线，长方体的长、宽、高为a，b，c”
“这是个合理的问题吗 我意思是说，条件是否充分，足以确定未知数吗 ”
“是的，是充分的。如果我们知道a，b，c，我们就知道平行六面体。如
果平行六面体被确定，则对角线也被确定了。”
9．拟定计划
当我们知道，或至少大体上知道，为了求解未知数，必须完成哪些计算、
要作哪些图的时候，我们就有了一个计划。从弄清问题到想出一个计划，其过
程可能是漫长而曲折的。事实上，求解一个问题的主要成绩是构想出一个解题
计划的思路。这个思路可能是逐渐形成的。或者，在明显失败的尝试和一度犹
豫不决之后，突然闪出了一个“好念头”。老师为学生所能做的最大的好事是
通过比较自然的帮助，促使他自己想出一个好念头。我们下面就要讨论的问题
与建议正是要诱发这样一种好念头。
为了弄清学生的心理活动，老师应当回想他自己的经验，回顾他自己在解
题时碰到的困难与取得成功的经验。
我们当然知道，如果我们对该论题知识贫乏，是不容易产生好念头的。如
果我们完全没有知识，则根本不可能产生好念头。一个好念头的基础是过去的
经验和已有的知识。仅仅靠记忆不足以产生好念头。但若不重新收集一些有关
事实，则也不会出现好念头。只有材料还不足以盖房子，但是不收集必需的材
料也盖不了房子。解决数学问题所必需的材料是我们早已获得的数学知识的某
些有关内容，如以前解决的问题，以前证明过的定理。因此，以下列问题开始
工作常常是合适的：你知道一个与此有关的问题吗
困难就在于：通常有相当多的问题与我们现在手上的问题有关，即，与它
有某种共同之处。我们怎样挑出其中一个或几个确实有用的问题呢 我们建议把
力量放在主要的共同之处上：看着未知数!试想起一个具有相同或相似未知数的
熟悉的问题来。
如果我们成功地回想起一个与当前问题密切相关的早已解决的问题，那是
很幸运的。我们应当争取这样的运气；通过探索我们是可以得到它的。 这里
有个问题与你的问题有关，且早已解决，你能利用它吗
上述问题，如能很好地理解和认真地加以考虑，常常有助于激发起一连串
正确的想法；但它们并不总是有用的，它们并非魔法。如果这些问题不行，我
们必须寻找某些其他的适当接触点，并且探索问题的各个方面；我们不得不变
化、变换、修改该问题。你能否重述这个问题 我们表中的某些问题提示了改变
问题的专门方法，例如普遍化、特殊化、应用类比、舍去一部分条件等等；具
体细节是重要的，但我们现在不能深入讨论。改变问题可能导致提出某种适当
的辅助问题：如果你不能解决所提出的问题，则应首先尝试去解决某些与此有
关的问题。
尝试去应用各种已知的问题或定理，考虑各种修改，对各种辅助问题进行
试验，我们可能离开原来的问题太远，甚至最后有失掉它的危险。但是还有一
个很好的问题可以把我们带回原处：你是否利用了所有的已知数据 你是否利用
了整个条件
10．例子
我们回到第8节中的例子。
“你是否知道一个与此有关的问题 ”
……
“看着未知数，你是否知道一个具有相同未知数的问题 ”
“好，未知数是什么 ”
“平行六面体的对角线。”
“你是否知道任何具有相同未知数的问题 ”
“不，我们还没有任何关于平行六面体对角线的问题”
“你是否知道任何具有相似未知数的问题 ”
……
“你看，对角线是个线段，就是直线的一段。你从来没有解决过一个未知
数是直线长度的问题 ”
“当然，我们曾经解决过这样的问题，例如找出直角三角形的一个边。”
“好啊! 这里有一个知你的问题有关的问题，且早已解决，你能利用它
吗？”
“你真走运，你想起了一个与你当前问题有关的问题，而且这个问题你以
前已经解决了。你愿意利用它吗 为了能利用它，你能否引进某个辅助元素 ”
图1
“看这里，你所想起的是一个关于三角形的问题。图中有三角形吗 ”
我们希望这最后的提示已明白得足以诱发出解题的思路(即引入一个在图
1中用阴影画出的直角三角形)。这个引入的直角三角形的斜边就是我们所要求
的对角线。但是教师应当对下述情况有所准备：即使这样明白的提示也不能使
学生开窍，那么他应当动用所有越来越明显的提示。
“你是否想在图1中有个三角形 ”
“在图中，你想有哪种三角形 ”
“你现在还不能求出这对角线；但你说过你能求出三角形的一个边。那么
现在你该怎么办呢 ”
“如果对角线是三角形的一个边，你能找出它吗 ”
经过或多或少的帮助后，学生终于成功地引进了决定性的辅助元素，即图
中阴影三角形，在鼓励学生进入实际计算之前，教师应确信其学生对问题的理
解已有足够的深度。
“我想，画出那个三角形是个好主意，你现在有了个三角形，但是你是否
有未知数 ”
“未知数是三角形的斜边，我们可用毕达哥拉斯定理去计算它”
“如果两边为已知，你会计算。但它们是已知的吗 ”
“一个边已给定，是c。另一个边，我想也不难求出。是的，另一边是另
一个直角三角形的斜边。”
“很好!现在我看出你有个计划了。”
11．实现计划
想出一个计划，产生一个求解的念头是不容易的。要成功需要有许多条件，
如已有的知识、良好的思维习惯、目标集中，还要有好运气。但实现计划则容
易得多，我们所需要的主要是耐心。
计划仅给出一个一般性的大纲，我们必须充实细节并耐心地检查每一个细
节，直到每一点都完全清楚了，没有任何可能隐藏错误的含糊之处为止。
如果学生真的拟定出一个计划，则教师就比较清闲了。现在的主要危险是
学生可能会忘记他的计划。因为那些从外界接受计划的和根据教师的权威来采
纳某个计划的学生，很容易发生这种现象；但若是学生自己搞出来的计划(即便
经过某种帮助)并且学生满意地看出了最终的思路，则他就不那么容易忘记。教
师必须坚持让学生检查每一步骤。
根据“直观”或“形式”上的论证，我们可以使自己相信每一步骤的正确
性。我们可以集中力量在有问题的疑点上，直到完全搞清楚，毫不怀疑每一步
骤都是正确的为止；或者我们可以根据形式推理的法则推导出有问题的这一点
(在许多重要的场合，直接观察与形式证明二者间的区别是足够明显的；更进一
步的讨论让我们留给哲学家们去进行吧!)
主要之点是：学生应当真正地相信每一步骤的正确性。在某些情况老师可
以强调“看出来”与“证明”二者之间的差别而提出：你能清楚地看出这一步
骤是正确的吗 同时你也能证明这一步骤是正确的吗
12．例子
我们继续第10节末尾留下的工作。学生最后已经得到了解题的思路。他看
出未知数x是直角三角形的斜边，而给定的高度c是边长之一，另一边则是六面
体的一个面的对角线。很可能这刚学生被催促引入一个适当的符号。他应当选
择y表示另一边，即面上的对角线，其两边为a和b。学生现在可能看得更清楚：
解题的思路就是应该引进一个辅助未知数y0最后，陆续对这两个直角三角形进
行考虑之后，他得到
2 2
x2=y +c
2 2 2
y =a +b于是消去辅助未知数y，从而有
2 2 2
x2=a +b +c
x= a 2 + b2 + c2
如果学生正确地进行上述细节运算，老师没有理由去打断他，除非必要时
提醒他应当检查每一步。这样，教师可以问：
“你能清楚地看出具有三边x，y，c的三角形是直角三角形吗 ”
对于这个问题，学生可能老老实实回答：“是”。但是如果老师不满足于
学生的直观猜测，他应该继续提问：
“但是你能证明这个三角形是个直角三角形吗 ”
除非整个班级对于立体几何已经有了良好的起点，否则教师不应当提出这
个问题。即使如此，也仍然存在某些危险性，即对这个偶然提出问题的回答可
能成为大多数学生的主要困难。
13．回顾
即使是相当好的学生，当他得到问题的解答，并且很干净利落地写下论证
后，就会合上书本，找点别的事来干干。这样做，他们就错过了解题的一个重
要而有教益的方面。通过回顾所完成的解答，通过重新考虑与重新检查这个结
果和得出这一结果的路子，学生们可以巩固他们的知识和发展他们解题的能力。
一个好的教师应该懂得并且传授给学生下述看法：没有任何问题是可以解决得
十全十美的。总剩下些工作要做。经过充分的探讨与钻研，我们能够改进这个
解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平。
现在学生已经完成了他的计划。他已经写出了答案，检查了每一步。这样，
他似乎有充分理由相信他的解答是正确的了。然而，出现错误总还是可能的，
特别当论证冗长而复杂的时候更是如此。所以要验证。特别是，如果有某种快
速而直观的办法来检验结果或者检验论证，决不要忽略。你能检验这结果吗
你能检验这个论证吗
为了确信某个东西的存在或其质量的好坏，我们总喜欢去看看它，摸摸它。
我们总是通过两种不同的感官来感知它。同样，我们也宁可通过两种不同的证
明使我们对结果确信无疑。因此要问：你能用不同方法来导出这结果吗 当然，
我们宁愿要简短而直观的论证，而不要冗长而烦琐的，所以要问：你能一下子
看出它吗
教师的首要职责之一是不要给学生以下述错觉：数学题目之间很少有联
系，和任何其他事物则完全没有什么联系。当我们回顾问题解答的时候，我们
自然有机会来考察一个问题与其它事物的联系。如果学生已经作出了真诚的努
力并且意识到自己完成得不错，那末他们将发现对解答加以回顾确实饶有趣味。
这样，他们就热切地想知道用真诚的努力还可干些什么别的，以及下次他如何
能干得同样好。教师应该鼓励学生设想一些情况，在那些情况下，他能再一次
利用所使用的办法，或者应用所得到的结果。你能把这结果或这方法用于某个
其它问题吗
14．例子
在第12节，学生最后得到了解答：如果长方体自同一角引出的三个边为a，
b，c，那末对角线为
a 2 + b2 + c2
你能检验这个结果吗 教师不能指望从缺乏经验的学生那里得到这个问题
的良好回答。但是学生应该很早就获得下述经验：用字母表达的问题比纯粹数
字题好。对于用字母表示的题，其结果很容易进行几次检验，而用数字表示的
题则不然。我们的例子虽然很简单，也足以证明这点。教师可以对结果提出好
几个问题，对这些问题，学生可以很容易地回答“是”；但如回答“不是”，
这将表明结果中存在严重的缺点。
“你是否使用了所有的数据 是否所有数据a，b，c都在你的对角线公式中
出现 ”
“长、宽、高在我们的问题中起的作用是一样的，我们的问题对a，b，c
来说是对称的。你所得的公式对a，b，c对称吗 当a，b，c互换时公式是否保持
不变 ”
“我们的问题是一个立体几何问题给定尺寸a，b，c，求平行六面体的对
角线。我们的问题与平面几何的问题类似：给定尺寸a、b，求矩形的对角线，
这里立体几何问题的结果是否与平面几何的结果类似 ”
“如果高c减小，并且最后等于零，这时平行六面体变成平行四边形。在
你的公式中，令c=0，是否得到矩形对角线的正确公式 ”
“如果高c增加，则对角线也增加。你的公式是否表明这点 ”
“如果平行六面体的三个量度a，b，c按同一比例增加，则对角线也按同
一比例增加。在你的公式中，如将a，b，c分别代以12a，12b，12c，则对角线
也将乘以12，是否这样 ”
“如果a，b，c的单位是尺，则你的公式给出的对角线的单位也是尺；如
果将所有单位改为寸，则公式应保持正确，是否如此 ”
(后两个问题基本上是等价的。参见“量纲检验”一节)
上述一些问题有几个好处。首先，公式通过这么多的检验，这一事实不能
不使一个聪明的学生产生深刻的印象。学生以前就相信公式是正确的，因为公
式是他仔细推导出来的。但是现在经过这么多检验，他就更深信无疑了，这种
信心的增加来源于一种“实验的数据”。正是由于上述问题，公式的细节获得
了新的意义，而且和不同的事实联系起来了。这样，公式就更容易记住，学生
的知识得以巩固。最后，上述问题很容易转到类似的题目上。对于类似题目获
得一些经验以后，一个聪明的学生就能觉察出所包含的普遍概念：即，利用所
有有关数据，改变数据，对称，类比。如果他养成了把注意力集中在这些地方
的习惯，他解题的能力肯定会提高。
你能检验这个论证吗 在困难而重要的场合，可能需要逐步地重新检验论
证。但通常，重新检查一下令人恼火之点就够了。在本例，可以建议讨论以前
提过的问题：你能证明具有三边x，y，c的三角形是直角三角形吗(见第12节末
尾处)
你能把这结果或方法用于其它问题吗 在受到一些鼓励并且经过一两个示
范例子以后，学生们很容易找到应用，这些应用实质上就是把问题的抽象数学
元素赋予具体的解释。当教师在进行讨论的教室里，把教室当作问题中的长方
体，他自己就使用了这样一种具体的解释。一个笨拙的学生可能会提议计算食
堂的对角线，而不是教室的对角线来作为一种应用。如果学生们自己提不出来
更有想象力的内容，那么教师本人可以提出一个稍许不同的问题，例如：“给
定长方体的长、宽、高，求中心到一角的距离”。
学生可以利用刚才解决的问题的结果，因为所求距离是对角线的一半。或
者他们也可以利用引入适当的直角三角形的方法(后一种办法对于本例来说，是
不那么显而易见的，并且多少有点笨拙)。
在这个应用例子之后，教师可以讨论长方体四个对角线和六个棱锥体的结
构，这六个棱锥体的底是长方体的六个面、公共顶点是长方体的中心、而侧棱
是长方体对角线的一半。当学生的几何想象力被充分激发以后，教师应当回到
他的问题上来：你能把结果或方法用于某个其他问题吗 现在学生有机会找到更
有趣的具体应用了，例如，下面就是一个：“在一个长21码、宽16码的建筑物
的长方形平屋顶的中心要立一个高8码的旗杆。为了支撑这根旗杆，我们需要四
根等长的拉线。规定四根拉线要离旗杆顶点为2码处的同一点开始，而另一端是
建筑物顶部的四个角。问每根拉线有多长 ”
学生可以采用上面已详细求解过的问题中所用方法，即在一个垂直平面上
引入一个直角三角形而在水平平面上引入另一个三角形。或者他们也可以利用
上面的结果：设想有一个长方体，其对角线x就是四根缆绳之一而它的边是
a=10.5, b=8, c=6
直接应用公式可求出x=14.5。
更多的例子可见“你能利用这个结果吗 ”那一节。
15．不同的方法
我们对前面8、10、12、14几节所考虑的问题继续讨论一下。主要的工作，
即提出计划，已在第10节加以叙述。让我们观察教师用不同的方式来进行。 从
与第10节相同之点出发，以后可以沿着稍许不同的路线提出下列各问题：
“你是否知道任何与此有关的问题 ”
“你是否知道一个类比的问题 ”
“你看，所提的问题是关于空间的图形，它与长方体的对角线有关。关于
平面中的类比问题可能是什么 它应该与长方形的对角线有关”。
“平行四边形”。
即便非常迟钝和平凡、并且以前没有能力推测任何事物的学生，最后也会
被迫对解题的思路至少作出微小的贡献。此外，如果学生确实比较迟钝，为了
使学生有所准备，教师应该事先讨论平行四边形的类比问题，否则不能一下子
就端出现在的这个长方体问题。然后，教师可以继续提问如下：
“这里有一个与你有关且已解决了的问题，你能利用它吗 ”
“为了有可能利用它，你是否应当引入某个辅助元素 ”
最后教师可以成功地向学生提出他所希望的概念。这就是把给定长方体的
对角线想象为必须引入图中的一个合适的平行四边形的对角线(这个平行四边
形是通过长方体和两个对边的平面的截面)。此概念本质上和前面(第10节)相
同，但方法却不一样。在第10节是通过未知数来触及到学生的可用的知识的；
我们回想起一个以前已解决的问题是因为其未知数和当前提出的问题中的未知
数相同。而在本节，是用类比的方法使学生触及到解题的概念。
16．教师提问的方法
在第8，10，12，14，15各节所阐述的提问方法主要是先从表中一般化的
问题和建议开始，在需要时，逐步转向更特殊更具体的问题和建议，直到在学
生的头脑中能引出一个回答为止。如果你必须帮助学生开拓某种思路，如果可
能的话，从表中一个一般化的问题或建议重新开始提问，并在必要时再一次回
到某个更特殊的问题，如此等等。
当然，这张表仅仅是这种类型的第一张表，看来对大多数简单情况是够用
了。但无疑它还应该改进。重要的是，我们开始提的问题与建议应该简单、自
然和一般化，同时表应当短。
建议必须简单而自然，否则就会太唐突。
如果我们想培养学生的能力而不是特殊技巧的话，那么建议必须一般化，
不仅可用于目前的问题，而且可用于各类问题。
表必须简短，使得在不同情况下，能够不矫揉造作地重复提问，从而有机
会最终能为学生所掌握，并对培养思维习惯作出贡献。
为了培养学生的独立工作能力，必需逐步改为提出特殊的建议。
这种提问的方法不是一成不变的，幸好如此，因为在这类事情中，任何一
成不变的、机械的、陈旧的程序必然很糟糕。我们允许有一定的灵活性，它允
许采用各种办法(见第15节)，它可以而且应该这样来实施，使得教师所提的问
题可以由学生自已提出来。
如果有读者希望在他的班上试一试这里所提出的方法，他当然应该小心地
进行，他应该仔细地研究第8节的例子和后面笫18、19、20节中的例子。他应当
仔细地准备他打算讨论的例子，同时也考虑到各种不同的方法。他开始时应作
少量试验，并逐渐摸索出他应如何掌握这个方法，学生如何学习这个方法并且
需要多少时间。
17．好问题与坏问题
如果能很好地理解上节所提出的提问方法，则通过比较可以有助于判断某
些建议的好坏，这些建议是为了帮助学生而可能提出来的。
回到原来在第10节开始时的情况，那时提问下列问题：你知道一个与此有
关的问题吗 我们从帮助学生的最好意愿出发，不问这个问题，而改为提问：你
能应用毕达哥拉斯定理吗
我们的动机可能是极好的，但是这种提问却大概是最坏的。我们必须认识
是在什么情况下提出这个问题的；然后我们会发现有一大堆反对意见反对这种
类型的“帮助”。
(1)如果学生已接近于问题的解决，他可能理解问题的建议；但是如果他不
是这样，他十分可能完全看不到问题的着眼点，因而在最需要帮助之处却得不
到帮助。
(2)这建议的针对性太强了，即使学生能利用它解决当前的问题，对于将
来的问题来说并没有学到什么。这种提问不是很有启发性的。
(3)即使学生理解这建议，他们也极少能理解教师怎么会想到提出这样一
个问题，而学生他自己又怎样能想出这样一个问题呢 它看起来很不自然，很令
人诧异，就好象变戏法耍魔术一样。它实在没有什么启发性。
对第10、15节中所描述的过程就提不出上述任何反对意见了。
更多的例子
18．一个作图题
在给定三角形中作一正方形。正方形的两个顶点在三角形的底边上，另二
个顶点分别在三角形的另两边上。
“未知的是什么 ”
“一个正方形”
“已如数据是什么 ”
“一个给定的三角形，其它没有。”
“条件是什么 ”
“正方形的四个角在三角形的边线上，两个在底上，其余两边每边上有一
个。”
“是否可能满足条件 ”
“我想如此，但不太有把握。”
“看起来，你解此题并不太容易。如果你不能解决所提问题，首先尝试去
解决某个与此有关的问题。你能满足部分条件吗 ”
“你说部分条件是什么意思 ”
“你看，条件与正方形的所有顶点有关，这里有几个顶点 ”
“四个。”
“所谓部分条件涉及的顶点数应当少于四个。请仅仅保持部分条件而舍去
其余部分。什么样的部分条件容易满足 ”
“两顶点在三角形边线上，甚至三个顶点都在三角形边线上的正方形，是
容易画出来的!”
“画张图!”
学生画出图2。
图2
“你仅仅保留了部分条件，同时你舍去了其余条件。现在未知的确定到了
什么程度 ”
“如果正方形只有三个顶点在三角形的边线上，那么它是不确定的。”
“好!画张图。”
学生画出图3。
“正象你所说的，保持部分条件不能确定正方形、它会怎样变化呢 ”
图3
“你的正方形的三个角在三角形的边线上，但第四个角还不在它应该在的
地方。正象你说的，你的正方形是不确定的，它能变化；第四个角也是这样，
它怎样变化 ”
……
“如果你希望的，你可以用实验的办法试试看。按照图中已有的两个正方
形的相同办法，去画出更多的三个角在边线上的正方形。画出小的正方形与大
的正方形。第四角的轨迹看起来象是什么 它将怎样变化
教师已把学生带到非常接近于解答的地方。如果学生能猜到第四个角的轨
迹是一条直线，他就得到这个主意了。
19．一个证明题
在不同平面上的两个角，其中一个角的每一边平行于另一角的对应边且方
向相同。证明这两个角相等。
我们要证的是立体几何的一个基本定理。这个问题可以提给那些熟悉平面
几何以及立体几何中下列少数事实的学生，这少数事实构成了欧几里得原理中
当前这个定理的预备知识。我们不但把直接引自我们表中的问题与建议划上线，
而且把那些与它们相对应的问题与建议也划上线。例如，“求证题”是和“求
解题”相对应的(在“求解题，求证题”标题下的第5，6小节中，我们再系统地
讨论这种对应关系)。
“前提是什么 ”
“两角在不同的平面上，其中一个的每一边平行于另一角的对应边，且方
向相同。”
“结论是什么 ”
“两角相等。”
“画张图，引入适当的符号。”
学生画出图4中的线，并在教师的或多或少的帮助下，标出图4中的字母。
“前提是什么 请用你的符号表达出来。”
“A，B，C和A'，B'，C'不在同一平面上，且AB∥A'B'， AC∥A'C'。AB的
方向与A'B'的方向相同，而AC的方向与 A'C'的方向相同。”
图4
“结论是什么 ”
“看着结论! 尝试想起一个具有相同或相似结沦的熟悉的定理。”
“如果两个三角形全等，则对应角相等。”
“很好! 现在有一个与你的问题有关的定理，且早已证明。你能否利用
它 ”
“我想如此，不过我还不清楚怎么办。”
“为了可能利用它，你是否应该引入某个辅助元素 ”
…… ……
“好，你提得非常好的那个定理是关于三角形的，是关于一对全等三角形
的。在你的图中有没有三角形 ”
“没有，但我能引进一些。让我连接B与C，B'与C'，这样就有了两个三角
形，ABC和A'B'C'。”
“做得好，但是这些三角形有什么用 ”
“去证明结论；∠BAC=∠B’A’C’”
“好，如果你希望汪明这点，你需要两个什么样的三角形 ”
“全等三角形。噢，对了，我可以选择B，C，B'，C'，使得
AB=A'B'， AC=A'C'”
“好极了!现在你希望证明什么 ”
“我希望证明两个三角形全等，
△ABC=△A'B'C'
如果我能证明这点，则立即可得结论∠BAC=∠B'A'C'。”
“妙!你有了一个新目标，这目标是一个新结论。看着这结论! 并且尝试
想起一个具有相同或相似结论的熟悉的定理。”
“当且仅当一个三角形的三条边分别等于另一个三角形的三条边时，这两
个三角形全等。”
图5
“做得好。本来你有可能会选出一条较差的定理的。现在这里有了一条与
你的问题有关的定理，且早已证明，你能否利用它 ”
“如果我知道BC=B'C'，我能利用它。”
“对!那么你的目标是什么 ”
“证明BC=B'C'。”
“试回忆起一个具有相同或相似结论的熟悉的定理。”
“是的，我知道一个定理，它最后结束的句子是：‘……则两线相等’，
但它并不合适。”
“为了能够利用它，你是否应该引入某个辅助元素 ”
“你看，在图中BC与B'C'间并无联系，你怎么能证明 BC=B'C' ”
…… ……
“你利用了前提吗 前提是什么 ”
“我们假定AB∥A'B'，AC∥A'C'。是的，当然我们必须利用这点。”
“你是否利用了整个前提 你说AB∥A'B'，这是你所知道的关于这些线段的
全部情况吗 ”
“不，根据作图，AB还等于A'B'。它们彼此平行并且相等。AC和A'C'也是
这样。”
“两个等长的平行线——这是很有趣的图形。你以前见过吗 ”
“当然见过!对!平行四边形!让我联结A与A'，B与 B'，C与C'。”
“这主意不太坏。现在你的图中有几个平行四边形 ”
“两个。不，三个。不，两个。我意思是说，其中有两个，你可以立刻证
明它们是平行四边形。还有第三个看来是个平行四边形。我希望我能证明它是。
这样证明就结束了!”
我们可能从这个学生前面的回答已经推测到他很聪明。但是等他作出上述
最后一个回答以后，我们对此就深信不疑了。
这个学生能够猜出数学结果并且能够清楚地区分证明与猜测。他也知道猜
测可以多多少少似乎是可信的。确实，他真的从数学课上得到了教益；他在解
题方面有了某种实际经验，他可以看出并且摸索出一个好的解题思路。
20．一个速率问题
水以速率r流进锥形容器。容器具有正圆锥形状，底是水平的，顶点在下
方，底的半径是a，高为b。当水深为y时，求水表面上升的速率。最后，假定a=4
尺，b=3尺，r=2立方尺/分，y=1尺，求未知数的数值。
图6
我们假定学生知道最简单的微分法和变化率的概念。
“已知数是什么 ”
“圆锥底的半径a=4尺，圆锥的高b=3尺，水流入容器的速率r=2立方尺/分，
在某一时刻的水深y=1尺。”
“对，从问题的叙述方式看来，是建议你先忽略具体数值而用字母求解，
把未知数用a，b，r，y表示出来，而仅在最终得到未知数的字母表达式以后再
代入具体数值。我愿意按照这条建议做。现在未知数是什么？”
“当水深为y时，水面升起的速率。”
“它是什么 你能用其他术语来说吗 ”
“水深增加的速率。”
“它是什么 你能否再重新叙述得更不同些 ”
“水深的变化率。”
“对，y的变化率。但什么是变化率 回到定义去。”
“函数的变化率是导数。”
“正确。现在y是函数吗 如前所述，我们不管y的具体数值。你能否想象y
是变化的 ”
“是的，水深y随着时间而增加。”
“这样，y是什么的函数 ”
“时间t的。”
“好，引入适当的记号。用数学符号，你将怎样写‘y的变化率’ ”
“dy/dt”
“好，这就是你的未知数。你必须用a，b，r，y来表示它。顺便说一下，
数据中有一个是‘速率’，哪一个 ”
“r是水流进容器的速率。”
“它是什么 你能用别的术语来说它吗 ”
“r是容器中水的体积的变化率。”
“它是什么 你能否再重新叙述得更不同些 你将怎样用适当的记号来写
它 ”
“r=dV/dt”
“V是什么 ”
“在时间t，容器中水的体积”
“好，这样你必须用a，b，dV/dt，y，来表示dy/dt，你将怎样做 ”
…… ……
“如果你不能解决所提问题，首先尝试去解决某个与此有关的问题。如果
你到现在还看不出dy/dt与数据间的联系；尝试去引入某种能作为中间过渡踏脚
石的更简单的联系。”
“你看不出还有别的联系吗 例如y与V是否彼此独立 ”
“不，当y增加，V一定也增加。”
“那么说，是有联系了，这联系是什么 ”
“好，V是锥体的体积，y是锥体的高。但我现在还不知道底的半径。”
“不过，你可以考虑它。叫它什么，譬如设它为x吧!”
πx 2 y
“V= 。”
3
“正确，关于x又知道些什么 它是否与y独立 ”
“不，当水深y增加，自由表面的半径x也增加。”
“这么说，它们之间是有联系的。但这联系是什么 ”
“当然是相似三角形。x：y=a：b”
“你看，又多了个联系，我不愿错过从它那儿得到的好处。别忘了，你希
望知道的是y与V之间的联系。”
“现在我有x=ay/b
πa 2 y 3
V= ”
3b 2
“很好，这看来像个踏脚点。难道不是吗 但你别忠了你的目标。未知数是
什么 ”
“噢，是dy/dt”。
“你必须找出dy/dt，dV/dt与其他数量间的联系。但这里有的却是y，V和其
他数量间的联系。你该怎么办 ”
“当然是微分!
V πa 2 y 2 y
=
t b2
就是它。”
t
“妙!那么从已经给出的数值能得出什么结果呢 ”
“若a=4，b=3，dV/dt=r=2，y=l，则
2 π ×16 ×1 y = 。”也即
9 t
dy/dt=0.358尺/分。
第二部分怎样解题——一段对话
1．熟悉问题
我应该从哪儿开始 从问题的叙述开始。
我能做什么 观察揣摩整个问题，尽量使其清晰而鲜明。暂时先抛开细节。
这样做，我能得到什么好处 你会明白问题，使自己熟悉问题，并把问题
的目标牢记在脑海中。这样全神贯注地对待问题也会调动起你的记忆力，做好
准备去重新联想与问题有关的各点。
2．深入理解问题
我应该从哪儿开始 还是从问题的叙述开始。当你对问题的叙述已如此清楚
并已深深地印入脑海，以致你即使暂时不去看它，你也不怕把它完全忘掉时，
你就可以开始下面的工作了。
我能做什么 先把问题的主要部分剖析出来。因为前提与结论是“求证题”
的主要部分。未知、已知与条件是“求解题”的主要部分。再把问题中的主要
部分都弄一遍，并且要逐个地考虑，轮流地考虑，而且在各种组合中来考虑，
同时把每个细节与其它细节联系起来，把每个细节与整个问题联系起来。
这么做，我能得到什么好处 你会准备好并弄清楚以后可能起作用的细节。
3．探索有益的念头
应该从哪儿开始 从考虑问题的主要部分开始。当主要部分能很清楚地排
列出来，想得明明白白(这应归功于你前面的工作)并且也记得住时，这时开始
做下一步。
怎样进行 从各个方面来考虑你的问题，找出与你现有知识有关之处。
从各个方面考虑你的问题。分别突出各个部分，考察各个细节，用不同方
法反复审查同一细节。把细节用不同方式组合起来，从不同角度考虑它。试着
在每一细节中发现某些新意义，尝试在整个问题中得出某些新解释。
从你现有知识中找出与问题有关之处。试想过去在类似的情况下有什么曾
帮过你的忙。在你所考察的内容中，设法找出熟悉的东西来，在你所熟悉的东
西中，努力找出有用的东西来。
能找出什么 一个有用的念头，也许是个决定性的念头，它能使你一限看
出解决问题的途径。
念头有什么用 它会给你指出整个或部分解题途径，它或多或少地清楚地
向你建议该怎么做。念头多多少少还是完整的。如果你有一个念头，你就够幸
运的了。
碰上一个不完整的念头怎么办 应该加以考虑。如果它看来有好处，就应
该多考虑一会儿。如果它看来是可靠的，你应当确定它能引导你走多远，并重
新考虑一下形势。由于这个有益的念头，情况已经变化了。你要从各个方面来
考虑新形势并找出它与你现有知识之间的联系。
再次这样做，还能得到什么好处 如果你走运的话，你或许能找到另一个
念头。也许下一个念头会引导你去解决问题。也许在下一个念头以后，你还需
要几个有益的念头。也许有些念头会把你引入歧途。无论如何，你应当感谢所
有的新念头，感谢那些次要的念头，感谢那些模糊的念头，也感谢那些使模糊
念头得以纠正的补充性念头。即使你暂时还没有发现什么有价值的新念头，但
如果你对问题的概念更完全了，或者更连贯、更和谐或者更平衡了，那你也应
当表示感谢。
4．实现计划
应该从哪儿开始 从引导到解决问题的思路开始。当你感到你已抓住主要
的联系，并且自信能提供可能需要的次要细节时，就开始。
怎幺做 你对问题应抓得很有把握。详细地进行你以前认为可行的全部代
数或几何运算。用形式推理或直接观察检查每一步骤的正确性，或者，如果你
能够的话，两种方法都用。如果你的问题很复杂，你可以分成“大”步骤和“小”
步骤，每一大步骤又由几个小步骤组成。首先检查大步骤，以后再检验小步骤。
这样做，我能有什么好处 这样提出的解，每个步骤无疑都是正确的。
5．回顾
应该从哪儿开始 从解答开始，它的每一个细节都应该是完整而正确的，
怎么做 从各个方面考虑这个解，找出与你已有知识之间的联系。
考虑解的细节，并尝试使它们尽可能地简单；研究解答中较冗长的部分，
使它们更短些；试着一眼就看出整个解。试着去改进解的各部分，尝试去改进
整个解，使它直观，使它尽量自然地适合于你已有的知识。总结你解题的方法，
尝试看出它的要点，并且尝试把它用于其他问题。总结所得结果并试着把它用
于其他的问题。
这样做，我能有什么好处 你可能找出一个新的更好的解，你可能发现新
的有趣的事实。无论如何，如果你用这方式养成研究与总结你的解的习惯，你
将获得某些井然有序的，便于应用的知识，并且你将会提高你解题的能力。
第三部分 探索法小词典
1．类比
类比就是一种相似。相似的对象在某个方面彼此一致，类比的对象则其相
应部分在臬些关系上相似：
(1)长方形可与长方体类比。事实上，长方形各边之间的关系与长方体各面
之间的关系相似：
长方形的每一边恰与另一边平行，而与其余的边垂直。
长方体的每一面恰与另一面平行，而与其余的面垂直。
让我们把边称为长方形的边界元素，而面称为长方体的边界元素，则前述
两个命题可合而为一并可同等地应用于这两个图形：
每一边界元素恰与另一边界元素平行，而与其余的边界元素垂直。
这样，我们就将所比较的两个系统的对象(即长方形的边与长方体的面)的
某些共同关系表达出来了。这两个系统的类比存在于关系的共性之中。
(2)在我们的思维、日常谈话、一般结论以及艺术表演方法和最高科学成
就中无不充满了类比。类比可在不同的水平使用。人们常常使用含糊不清的，
夸大的，不完全的或没有完全弄清楚的类比，但类比也可以达到数学精确性的
水平。所有各种类比在发现解答方面都可能起作用，所以我们不应当忽略任何
一种。
(3)在求解一个问题时，如果能成功地发现一个此较简单的类比问题，我们
会认为自己运气不错。在第十五节，我们原来的问题是长方体的对角线，它的
较简单的类比问题就是长方形的对角线，这个类比问题引导我们到达原问题的
解答。我们将讨论这种类型的另一个例子。我们需要求解下列问题：
求均匀四面体的重心。
若不具备积分与物理知识，这问题是很困难的。在阿基米德与伽里略的时
代，它是一个严肃的科学问题。因此，如果我们希望用尽可能少的预备知识来
解决它，我们就应该寻求一个较为简单的类比问题。在平面上的对应问题很自
然地就是下面的问题：
求一均匀三角形的重心。
现在，我们有了两个问题而不是一个问题。但两个问题比起一个问题来可
能还更容易回答——假定这两个问题能巧妙地联系起来的话。
(4)现在我们暂时把原来四面体的问题放在一边，而把注意力集中在有关
三角形这一比较简单的类比问题上。为了求解这个问题，我们必须了解一些关
于重心的知识。下列原理似乎是可信的而且提出它来也很自然：
若一物质系统S由几部分组成，每一部分的重心都位于同一平面上，则该
平面也必包含此整个系统S的重心。
对于三角形情况来说，这一原理给出我们所需要的一切。首先，它指出三
角形的重心位于三角形的平面上。于是，我们可以把三角形看成由平行于三角
形某边(图7中边AB)的许多个小条条(薄条条无限窄的平行四边形)所组成。每一
个小条条(平行四边形)的重心显然是它的中心，而所有这些中心位于连线CM上，
C为与AB边相对的顶点，M为AB的中点(见图7)。
图7
通过三角形中线CM的任何平面包含有三角形中所有平行小条条的重心。由
此得出结论：整个三角形的重心就在这一中线上。但是，根据同一理由它也必
须在其他二条中线上，所以它必须是所有三根中线的公共交点。
我们现在希望用纯几何方法(与任何力学上的假设无关)来证明三根中线
交于同一点。
(5)在弄懂了三角形的例子之后，四面体的情况就相当容易了。因为我们
现在已经解决了一个和我们所提问题有类比关系的问题，所以一旦解决这个类
比问题，我们就有了一个可以照着办的模型。
在解决我们现在用作模型的类比问题中，我们设想三角形是由平行于其一
边AB的平行小条条所组成的。现在我们设想四面体ABCD也由平行于其一棱AB的
小条条所组成。
组成三角形的小条条之中点全部位于同一直线上，即位于连接边AB的中点
M与相对顶点C的那根三角形中线上。组成四面体的小条条的中点全部位于连接
棱AB的中点M与对棱CD(见图8)的同一平面上；我们不妨将此平面MCD称为四面体
的中面。
图8
在三角形情况下，我们有象MC那样的三根中线，其中每一根都必须包含三
角形的重心。因此，这三根中线必须交于一点，这一点就是重心。在四面体情
况下，我们有象MCD那样的六个中面(连接一条棱中点与其对棱的平面)，其中每
个中面都必定包含四面体的重心。因此，这六个中面必交于一点，这一点就是
重心。
(6)这样，我们就解决了均匀四面体的重心问题。为了完成这个求解过程，
现在我们需要用纯几何(与力学上的考虑无关)来证明六个中面通过同一点。
当我们解决了均匀三角形的重心问题以后，我们发现，为了完成求解过程，
需要证明三角形的三条中线通过同一点。这个问题可类比于上述问题，但显然
较为简单。
在解决四面体这一问题时，我们又可利用较简单的三角形类比问题(这里，
我们假定它已经解决了)。事实上，我们考虑通过从D点出发的三条棱DA，DB，
DC的三个中面；每一中面同时也通过对棱的中点(通过DC边的中面经过中点M，
见图8)。现在，这三个中面和△ABC所在平面交于该三角形的三个中线。这三条
中线交于一点(这是前面较简单的类比问题的结果)，而这点和D点一样，也是三
中面的公共点。连结这二个公共点的直线是所有三个中面的公共线。
我们证明了六个中面中通过顶点D的三个中面有一条公共直线。对于通过
顶点A的三个中面，同样也成立；对于经过顶点B的三中面以及经过顶点C的三中
面也是如此。把这些事实适当地联系起来，我们就可证明这六个中面有一个公
共点(通过△ABC三边的三中面确定一公共点和交于此点的三交线。于是，根据
我们刚才证明的，通过每一交线，一定还有一个中面)。
(7)在上述(5)和(6)中，我们都利用了一个三角形的较为简单的类比问题
去解决四面体问题。但从一个重要方面来看，(5)和(6)两种情况是不相同的。
在(5)中，我们是利用较简单的类比问题这一方法，逐点模仿它来求解。但在(6)
中，我们则是利用了较简单的类比问题所得的结果，我们并不关心这结果是怎
样得到的。有时，我们可能同时利用较简单的类比问题的方法及其结果。如果
我们把上述(5)和(6)看成是同一个问题求解的两个不同部分，则上述例子就是
同时利用类比问题的方法及结果的。
我们这个例子是典型的。在求解所提出的问题的过程中，我们经常可以利
用一个较简单的类比问题的解答；我们可能利用它的方法或者可能利用它的结
果，或者可能三者同时利用。当然，在更困难的问题中，可能会出现我们这个
例子中尚未出现过的复杂情况。特别是，可能发生下述情况：类比问题的解不
能直接用于我们原来的问题上。那时，可能需要我们去重新考虑解答，去改变
它，修改它，直到我们在试过解答的各种形式以后，终于找到一个可拓广到我
们原来的问题为止。
(8)我们希望能预测结果，或者，至少在某种似乎可信的程度上预测到结
果的某些特征。这种似乎可信的预测通常是以类比为基础的。
这样，我们可能知道，均匀三角形的重心及其三个顶点的重心重合(即，
三个质量相同的质点放在三角形的三个顶点上)。了解这点以后，我们可以猜测
均匀四面体的重心与其四个顶点的重心相重合。
这种猜测是一种“类比推论”。已知三角形和四面体在许多方面相似，我
们就猜测它们在其他某一个方面也是相似的。如果把这种猜测的似真性当作肯
定性，那将是愚蠢的。但是忽视这种似真的猜测将是同样愚蠢甚至更为愚蠢的。
类比推论看来是最普通的一种推论，并且可能是最主要的一种。它产生了
多少似乎可信的推测，这种推测可能被经验和更严格的论证加以证实或推翻。
为了预测药物对人类的影响，化学家在动物身上进行试验，再由类比得出结论。
甚至我认识的一个小男孩也这么做。他的小狗需要到兽医那儿去医疗，于是他
问：
“谁是兽医”
“动物的医生。”
“哪种动物是动物的医生 ”
(9)得自许多类似情况的类比结论比得自较少情况的类比结论要强。但是
这里质量仍然比数量更为重要。清晰的类比较模糊的相似更有价值，安排有序
的例子比随意收集的情况更能说明问题。
前面【上述(8)】我们提出了一个关于四面体重心的猜测。这猜测就是根
据类比而提出的；四面体的情况类比于三角形的情况。通过考察另一个类比的
例子，均匀棒(即均匀密度的直线段)的例子，我们可以增加对猜测的认识。
存在于
线段 三角形 四面体
之间的类比有许多方面。线段包含在直线上，三角形在平面上，四面体在空间
中。直线段是最简单的一维有界图形，三角形是最简单的多边形，四面体是最
简单的多面体。
线段有两个零维边界元素(2端点)而其内部是一维的。
三角形有三个零维及三个一维边界元素(三顶点，三边)，而其内部是二维
的。
四面体有四个零维，六个一维，四个二维边界元素(四顶点，六边，四面)，
而其内部是三维的。
这些数字可以列成一个表如下，其中各列分别表示零维，一维，二维与三
维元素的数目，各行分别表示线段，三角形与四面体的数目：
零维 一维 二维 三维
线段 2 1
三角形 3 3 1
四面体 4 6 4 1
只须对二项式展开有稍许的了解，便可认出这些数字是巴斯卡三角形中的
一部分。我们在线段、三角形和四面体中找出了一个值得注意的规则性。
(10)如果我们已经体会到我们所比较的对象是有密切联系的，则下列“类
比推论”对于我们可能有某些价值。
均匀捧的重心与其两端点的重心相重合。均匀三角形的重心与其三顶点的
重心相重合。为什么我们不应该设想均匀四面体的重心与其四顶点的重心相重
合呢
还有，均匀捧的重心按比例1：1来划分其端点间的距离。均匀三角形的重
心按比例2：1来划分任何顶点与其对边中点间的距离。为什么我们不应该猜测
均匀四面体的重心是按比例3：1来划分任何顶点与其对面的重心间的距离呢
说上述问题所提出的猜测是错误的，说这样美妙的一种规律性竟遭破坏，
这点总叫人觉得极不可能。认为和谐的简单秩序不会骗人这样一种感觉，在数
学及其他科学领域中指引着作出发现的人们，并表达为拉丁格言：
简单是真理的标志
[从上面讲的会想到，所讨论的结果可推广到n维。如果对前三维(n=1、2、
3)成立而对维数高的n就不再成立，这看来不大可能。这种猜测是一种“归纳推
论”；它表明归纳很自然地以类比为基础。参见“归纳与数学归纳法”一节。
[(11)在结束本节以前，我们简单地考虑一类最重要的情况：在这类情况
下，类比这一数学概念变得更精确了]。
(I)两个数学对象系统设为S和S'，是这样相互联系的： S的对象之间的某
些关系和S'的对象之间的某些关系遵循同一法则。
在S和S'间的这种类比可以用上述(1)中所讨论的内容为例说明之；把长方
形的边作为S，把长方体的面作为S'。
(II)在两个系统S与S'的对象之间存在一一对应，即保持某种关系。也就
是说，如果一个系统的对象之间保持这样一种关系，则在另一系统的对应对象
之间也保持同一关系。在两个系统中的这种联系是一种非常精确的类比；它称
为同构。
(III)在两个系统S与S’的对象之间存在一对多的对应而保持某种关系(这
在高等数学研究的各分支中，特别在群论中很重要，这里不多赘言)。这种情况
称为同态。同态也可看成另一种非常精确的类比。
2．辅助元素
我们对问题的概念在我们工作结束时远比我们开始工作时丰富得多(见
“进展与成就”一节)。随着工作的进展，我们在原有考虑之外，增加一些新元
素。旨在促进求解而引入的这种元素称为辅助元素。
(1)有各种辅助元素。解决几何问题，我们可能在图中引入新的线，即辅助
线。解决代数问题，我们可能引人辅助未知数【见“辅助问题”，(1)】。辅助
定理是这样一种定理，我们证明它是希望促进我们对原来问题的求解。
(2)引入辅助元素有各种理由。当我们想到一个与我们现在的问题有关、
且早已解决的问题时，我们很高兴。很可能我们能利用这样一个问题，但目前
还不知道怎么利用它。例如，我们试图求解的是一个几何问题，而我们想到的
早已解决的有关问题是三角形问题。但在我们的图中并没有三角形；为了有可
能利用所想的问题，我们必须找到一个三角形；所以我们不得不在我们图中用
添加适当的辅助线的办法引入一个三角形。一般说来，当我们想到一个早已解
决的有关问题后，我们必须经常问：为了可能利用它，我们是否应该引入某个
辅助元素 (第10节中的例子是典型的)。
回到定义去，我们将有另一个引进辅助元素的机会。例如，说明圆的定义
时，我们不仅应该提到其圆心和半径，而且还应该把这些几何元素在图中表示
出来。如果不把它们表示出来，我们就不能对定义有任何具体的应用；叙述定
义而不作图只不过是空口说白话罢了。
力图利用已知结果和回到定义去，是引入辅助元素的一些最好的理由；但
它们不是仅有的理由。为了使问题的概念更完整，更富于启发性，更为人所熟
悉，我们可以引入辅助元素，虽然目前我们几乎不知道我们怎样才能利用这些
所添加的元素。我们可能仅仅感觉到加上这样那样的元素用那种方式看问题是
个“好念头”。
引入辅助元素可以出自这种理由，也可以来自别的理由，但总得有些理由。
我们不能随随便便地引入辅助元素。
(3)例子。已知三角形一角和由此角顶点向对边所作的高和三角形的周长，
作这个三角形。
我们引入适当的记号。令已知角为a，从角a的顶点A向对边所作的高为h，
已知周长为P。我们画张图，在上面很容易标上a与h。我们是否已利用了所有的
数据 没有!我们的图并未包括等于三角形周长的已知长度P。因此，我们必须引
入P。但是怎样做呢
我们可以用各种方式来试图引入P。图9，10所表示的方式看起来很笨拙。
如果我们自己琢磨一下为什么这两张图看来如此令人不称心，我们就可能看出
是由于缺乏对称性的缘故。
事实上，这个三角形有三条未知边：a，b，c。我们象通常所做的那样，
把A的对边叫做a，其余两边则相应地称为b与c。我们知道
a+b+c=P
这里，边b与边c的作用相同；它们是可交换的；我们的问题对于b和c是对称的。
但在图9和图10中，b和c的作用却不相同；放上长度P，我们对待b和c就不同了；
图9和图10破坏了问题对b和c的自然对称性。我们应该这样来放置P，使得它和b
和c的关系是对称的。
图9
图10
上述考虑可能有助于建议象图11那样放置长度P。我们在三角形的边a的一
侧，加上线段CE，其长为b，在三角形的另一侧加上线段BD，其长为C，使得在
图11中线段 ED的长度恰好是P，即：
b+a+c=P
如果我们对怍图题有些经验，我们就不会忘记和ED一起引入辅助线AD与AE。它
们都是等腰三角形的底边。事实上，在问题中引入象等腰三角形这样简单而又
为人熟悉的元素是合理的。
图11
迄今，我们在引入辅助线方面一直是十分幸运的。我们观察新图，就可以
发现∠EAD和已知角a有一简单关系。事实上，利用等腰三角形△ABD与△ACE，
可知∠DAE=α/2+90°知道这个特点以后，我们很自然地会去作出△DAE。作此
三角形时，我们就要引入一个辅助问题，它远比原来的问题简单。
(4)教师与教科书的作者不应当忘记：聪明的学生和聪明的读者不会满足
于验证推理过程的每一步是正确的，他们还要求知道进行各一步的动机和目的。
引入辅助元素是引入注目的一步。如果一条微妙的辅助线在图中出现得很突然，
看不出任何动机，并且令人惊讶地解决了问题，那末聪明的读者和学生将会失
望，他们感到上当受骗。因为只有在我们的论证及发明会创造的能力中充分发
挥了数学的作用后，数学才是有趣味的。如果最引人注目的步骤的动机和目的
不可理解，那么我们在论证和发明创造方面就学不到什么东西。为使这样的步
骤可以理解，需要加以适当的说明(如前面(3)中所做的那样)，或者精选问题和
建议(象第lO、18、19、20节中所做的那样)，这需要大量的时间和精力，但却
是值得一做的。
3．辅助问题
辅助问题是这样一个问题，我们考虑它并非为了它本身，而是因为我们希
望通过它帮助我们去解决另一个问题，即我们原来的问题。原来的问题是我们
要达到的目的，而辅助问题只是我们试图达到目的的手段。
一只飞虫企图穿过窗户玻璃逃出去，它在同一扇窗户上试了又试，而不去
试试附近打开的窗户，而那扇窗户就是它进来的那扇。人能够或者至少能够行
动得更聪明些。人的高明之处就在于当他碰到一个不能直接克服的障碍时，他
会绕过去；当原来的问题看起来似乎不好解时，就想出一个合适的辅助问题。
构想一个辅助问题是一项重要的思维活动。举出一个有助于另一问题的清晰的
新问题，能够清楚地把达到另一目标的手段设想成一个新目标，这都是运用智
慧的卓越成就。学会(或教会)怎样聪明地处理辅助问题是一项重大任务。
(1)例子。求满足方程的x值：
4 2
x -13x +36=0
4 2 2
如果我们看到x =(x )。我们就会发现引入
2
y=x
的好处。我们现在得到一个新问题：求满足方程的y值：
2
y -13*y+36=O。
这个新问题是一个辅助问题；我们打算把它用作解决原问题的手段。辅助问题
的未知数y可恰如其份地称为辅助未知数。
(2)例子。在一长方体中已知由一顶点引出的三个棱的长度，求该长方体
的对角线。
在试图求解这一问题(第8节)时，我们可由类比(第15节)引导到另一问题：
在一长方形中，已知由同一顶点引出的两个边的长度，求长方形的对角线。
这个新问题是个辅助问题：我们之所以考虑它是因为我们希望从对它的考
虑中引出对原问题有用的东西。
(3)好处。考虑辅助问题的好处可以是多种多样的。我们可以利用辅助问
题的结果。譬如在例1中，通过求解y的二次方程，我们已经求得y等于4或等于9，
2 2
然后我们推得 x =4或x =9，从而求出x的所有可取的值。在其它情况下，我们
可以利用辅助问题的方法。如例2中，辅助问题是平面几何问题；它类比于原来
的立体几何问题，但更为简单。引入这一类辅助问题是合理的，因为我们希望
它是有启发性的，它能给我们机会去熟悉以后可用于原问题的某些方法、操作
或工具。在例2中，辅助问题的选择更为幸运，因为仔细地考察它一番之后，我
们发现其方法与结果均可加以利用(见第15节和“你是否利用了所有的数据 ”
那一节)。
(4)风险。我们不去考虑原问题，而花费时间与精力去注意辅助问题。如
果我们对辅助问题的研究失败了，那末我们在它上面所花的时间与精力就白白
损失了。所以在选择辅助问题时，我们应当加以判断。对于我们的选择，我们
可能有各种正当理由。辅助问题可以比原来的问题更容易理解；或者它看来更
富启发性；或者它有某种美的号召力。有时，辅助问题的唯一优点是它很新颖，
提供了尚未被探索过的可能性；我们选择它是因为我们对原问题厌倦了，并且
看来似乎所有的方法部已用尽了。
(5)怎样找出它。发现所提问题的解，常常有赖于发现一个合适的辅助问
题。令人不愉快的是，没有万灵的方法来发现合适的辅助问题，正如没有万灵
的方法求解一样。但无论如何，确实有一些问题和建议，它们常常是有所裨益
的。例如，看着未知数。通过问题的变化常常会使我们想到有用的辅助问题。
(6)等价问题。如果两个问题中每一问题的解都蕴含另一问题的解，就说
这两个问题是等价的。因此，在例1中，原问题与辅助问题等价。
考虑下列定理：
A．在任何等边三角形中，每一角均等于60°。
B．在任何等角三角形中，每一角均等于60°。
此二定理不能看作是同一条定理。它们包含不同的概念：一个与边的相等
有关，另一个与三角形的角相等有关。但每一定理都可由另一定理得出。因此
求证题A与求证题B等价。
如果我们需要求证A，则引入求证题B作为一个辅助问题是有某些好处的。
定理B的证明要比证明A容易些，而且更重要的是，我们可以预见到B比A容易；
我们可以这样判断，我们可能从一开始就发现B很可能比A容易。事实上，定理B
仅与角有关，它比定理A更“单一”，定理A与角和边都有关。
如果原问题和辅助问题是等价的，则从原问题过渡到辅助问题称为可逆化
归，或双向化归，或等价化归。例如，A化归为B(见上文)是可逆的，例1中的化
归也如此。从某个方面说来，可逆化归比其它引入辅助问题的方法更重要，更
令人想往，但是那些和原问题不等价的辅助问题可能也很有用；见例2。
(7)等价辅助问题链。等价辅助问题链在数学论证中是屡见不鲜的。我们
需要解决问题A；我们看不出解答，但我们可能发现A与另一问题等价。考虑B
时，我们又可能涉及与B等价的第三个问题C。照这样下去，我们又可将C化为 D，
如此等等，直到最后得到问题L，其解答为已知或明显可知。既然每一个问题都
和前一个问题等价，则最后一个问题也必定和原问题A等价。于是我们能够从问
题L推出原问题 A的解答，而L是辅助问题链的最后一个环节。
这种问题链，正如我们从帕扑斯的重要章节中所见，早已为希腊数学家们
所注意。我们重新考虑例1作为说明。让我们称(A)为未知数x的条件：
4 2
(A) x -13x +36=O
解决这个问题的一种方法是将所提出条件变换成另一个条件，称为(B)：
2 2 2
(B) (2x ) -2(2x )·13+144=O
我们观察到条件(A)与条件(B)不同。如果你愿意，你可以说它们仅仅稍许有些
不同。你会很容易相信它们一定等价，但它们肯定不是同一个方程。从(A)过渡
到(B)不仅正确，而且有清楚的目的，这对任何熟悉求解二次方程的人来说都是
显而易见的。沿此一方向继续做下去，我们可将条件(B)再变换成另一条件(C)：
2 2 2
(C) (2x ) -2(2x )·13+169=25
照此方法继续下去，我们有
2 2
(D) (2x -13) =25
2
(E) 2x -13=±5
2
(F) x =(13±5)/2
13 ± 5
(G) x = ±
2
(H) x=3或-3，或2，或-2我们所做的每次化归都是可逆的。于是最后一
个条件(H)与第一个条件(A)等价，所以，3、-3、2、-2是我们原问题所有可能
的解。
上面我们从原条件(A)导出一系列条件(B)，(C)，(D)，……，每一个都等
价于前一个。这一点值得我们给予最大的注意。等价条件是由同一对象满足的。
因此，如果我们从所提条件过渡到等价于它的新条件，我们就有相同的解。但
是如果我们从所提条件过渡到较窄的条件，我们就失去解；如果我们从所提条
件过渡到较宽的条件，我们则得到非正常的外来解，它与所提问题无关。如果
在一串连续的化归中，我们过渡到较窄的，接着又过渡到较宽的条件，我们可
能完全偏离原来的问题。为了避免这种危险，我们必须小心地检查每次新引入
的条件的性质：它与原条件等价吗 当我们所处理的对象不是像这里的单个方程
而是一组方程时，或者当条件不是用方程来表达(例如，象几何作图问题)时，
上述问题尤为重要。
[请与“帕扑斯”一节，特别是评注(2)，(3)，(4)，(8)相比较。那里的
描述受到了不必要的限制。它描述一个求解问题的链，其中每个问题都有一个
不同的未知数。这里所讲的例子则相反，链中所有各个未知数相同，仅仅是条
件的形式不同。当然，并不需要这种限制。]
(8)单向化归。我们有两个都未曾求解的问题A与B。如果我们能解A，则我
们能导出B的完全解。反之则不然；即，如果我们能解B，我们可能会得到A的某
些信息，但我们却不知道怎样从B导出A的完全解。在这样一种情况下，解 A要
比解B收获大。让我们称A为这两个问题中的期望大的而B为期望小的。
如果从所提问题过渡到期望大的或期望小的辅助问题，我们称这一步骤为
单向化归。有两类单向化归，二者在某些方面都比双向或可逆化归更冒风险。
例2说明的是化归为期望小的问题的一个单向化归。事实上，如果我们能
够解决属于长、宽、高分别为a，b，c的长方体的原问题，令c=O，得到长为a，
宽为b的长方形，则我们就转到辅助问题。化沟期望小的问题的单向化归的另一
例子是“特殊化”这一节的(3)，(4)，(5)。这些例子表明，有时凑巧，我们可
能利用期望小的问题作为踏脚石，将辅助问题的解加上适当的补充说明，可以
得到原问题的解。
化为期望大的问题的单向化归也可能会成功(见“普遍化”这一节(2)及“归
纳与数学归纳法”这一节(1)，(2)中所述第一问题化为第二问题的例子)。事实
上，期望人的问题可能更容易着手；这就是“发明者的矛盾”。
4．波尔查诺(Bolzano)
他是逻辑学家与数学家。在他逻辑学的综合性著作：《科学沦》中，有相
当大一部分是关于探索法这一题目的(第三卷，293—575页)。在他著作的这一
部分，他写道：“我根本不认为我在这里能够提出任何早先未曾为所有具有才
华的人所察看出的研究过程；并且我也根本不想允诺你们可以从我这里发现这
方面的很新颖的任何内容。但是，我将煞费苦心地用清晰的词句来说明所有有
才能的人所遵循的研究规则与方法，这些有才华的人在大多数情况下，甚至不
知道他们自己是遵循这些规则与方法的。虽然，即使正在做这件事的时候，我
也不敢幻想我将会完全成功，但我仍然希望这里所提出的一孔之见会博得某些
知音并在以后有所应用。”
5．好念头
这是对解答突然有进展的一种口语描述[参见“进展与成就”(6)]。好念
头的出现，每个人都体验过，但只能心领神会而难于言传，所以提一提像亚里
士多德这样古老的权威曾经偶然给过一个很有启发性的描述，可能会使人感到
兴趣。
大多数人会同意：想出一个好念头是一种“灵感活动”。亚里士多德对“灵
感”所作的定义如下：“灵感就是在微不足道的时间里，通过猜测而抓住事物
本质的联系。”例如说：“如果你看见一个人以某种方式和一个富翁谈话，你
可能立刻猜想此人正在设法借钱。又如，观察到月亮发光的一边总是朝着太阳，
你可能会突然想到为什么会这样：这是因为月亮是由太阳光照亮的。”
第一个例子并不坏，但太庸俗了；关于富翁和钱这类事情不需要多少灵感
来加以推测，并且那个念头也并不怎么高明。但第二个例子却给人以深刻的印
象，如果我们发挥一点想象力把它联系其适当的背景来看的话。
我们应当认识到，在亚里士多德的时代，因为没有钟表，如果他想知道时
间，他必须观察太阳和星星；因为没有路灯，如果他计划在夜间旅行，他必须
观察月亮的月相。他比现代的城市居民对天空熟悉得多，并且他的天生的智慧
未被天文学理论的报刊出版物的生搬硬套的片言只语所蒙蔽。他把整个月亮看
成是一只平盘，和太阳这只平盘相类似，但光辉暗淡多了。他一定曾经奇怪过
月亮的形状和位置为什么老是在变化。他偶然也在白天观察过太阳，大约是在
日落或日出的时候，并且终于发现“月亮发亮的一边总是朝着太阳”，这本身
就是一个令人可敬可佩的成就。于是，现在他看出月亮变化着的外表好象一个
从一侧照亮的球，所以它一半亮，另一半黑。他不再想象太阳和月亮是平盘了，
而把它们想象或球状，一个发光，另一个受光。他理解本质的联系，他“在微
不足道的时间里”突然改变了他以前的概念：想象力有了一个突然的跳跃，产
生了一个好念头，这是天才的一次闪烁。
6．你能检验这结果吗
你能检验这结果吗 你能检验这论证吗 对这些问题若能给出很好的回答，
将加强我们对答案的信任并巩固我们的知识。
(1)数学问题的数字结果可以这样来检验，把它们与观测值或可观测数字在
常识上的估计值相比较。由于产生于实际需要或天生好奇心的问题几乎总是以
事实为基础的，所以可以预期这种与可观测事实作比较的步骤一般不能省略。
但是每一个教师都知道学生在这方面能做出不可思议的事来。有些学生求出船
的长度为16,130英尺，船长的年龄为8岁零二个月，顺便说一下，这位船长已经
是一位祖父，对于这样一件事，他们也会坚信不疑，泰然自若。如此不顾明显
的谬误并不一定说明他们愚蠢，而只不过对人为编造的问题漠不关心罢了。
(2)“字母题”比“数字题”更容易接受有趣的检验(见第14节)。作为另
外一个例子，我们考虑底为正方形的棱台。设下底边长为a，上底边长为b，高
为h，则其体积为
2 2
(a +ab+b )h/3
我们可用“特殊化”一节所讲的方法检验这结果。事实上，若a=b，则棱
2 2
台成为棱柱，公式成为a h；若b=O，则棱台成为角锥体，公式成为a h/3。我们
还可用“量纲检验法”。事实上，公式的量纲是长度的立方。还有，我们可用
数据的变化来检验公式；事实上，若正数值a，b或h中的任一个增大，则公式的
数值也增大。
这类检验不仅可用于最后结果，也可用于中间结果。它们是如此有用，值
得讨论，参见“问题的变化”这一节第(4)点。为了能利用这种检验，我们可能
发现把“数字题”加以普遍化并变为“字母题”是有好处的，参见“普遍化”
这一节第(3)点。
(3)你能检验这论证吗 在逐步检验论证时，我们应当避免单纯的重复。首
先，单纯的重复容易令人厌烦，缺乏启发性，使人注意力涣散。其次，在我们
曾经跌过一次跤的地方，如果环境与从前一样，我们可能再次跌跤。如果我们
感到需要把整个论证重新逐步检查一遍，我们至少应当改变各步的次序，或者
改变它们的分组，以引入某些变化。
(4)排出论证中最薄弱的环节并首先加以审查，这只需要较少的劳力，而
且更有兴趣。在挑出论证中值得审查之点时，一个很有用的问题是：你曾否利
用了所有的数据
(5)很清楚，我们非数学方面的知识不能完全奠基在形式逻辑的证明上。
我们日常知识的较可靠的部分是不断被我们每天的经验所检验，所加强的。在
自然科学中，这种检验采取了细心试验与测量的形式，并与数学论证结合在一
起。我们的数学知识能否只以形式逻辑的证明为基础呢
这是个哲学问题。我们不能在这里辩论。但肯定的是，你的数学知识，我
的数学知识，或者你的学生的数学知识，都不是仅仅以形式逻辑证明为基础的。
任何可靠的知识，必有深厚的实验基础，而且通过每个已成功地检验其结果的
问题使这种基础更加坚实。
7．你能用不同方式导出这一结果吗
当最终所得结果冗长而复杂时，我们自然揣测存在着某个更清楚而且少迂
迥的解：你能用不同方式导出这一结果吗 你能一下子看出它吗 即使我们成功
地找出一个令人满意的解，我们可能仍然对找出另一个解感兴趣。就象我们期
望通过两种不同的知觉去感觉到一个物体一样，我们也期望用不同的推导方法
去取得对理论结果的有效性的信心。就象我们看到一个物体后还想摸摸它一样，
在有了一个证明后，我们希望找到另一个证明。
两个证明比一个好。“抛两个锚更安全”。
(1)例子。求正圆台的侧面积S，已知它的下底的半径 R，上底半径r和高h。
这个问题可用各种方法求解。例如，我们可能知道整个圆锥的侧面积的公式。
由于圆台是从圆锥切去一个较小的圆锥而得到的，所以它的侧面积是两个圆锥
侧面积之差；于是剩下要做就是把它用R，r，h来表示。把这个思路付诸实现，
我们最后就得到公式
S=π(R+r) (R r)2 + h 2
在用这种或那种方法求得这结果以后，经过较长的演算后，我们可能希望有一
个更为清楚并且较少迂迥的论证。你能用不同方式导出这结果吗 你能一下子看
出它吗
为了能直观地看出整个结果，我们可以从尝试看出其各个部分的几何意义
开始。这样，我们可能看出
(R r)2 + h 2
是斜高的长度(圆锥可看作是由一个等腰梯形绕平行两边中点连线旋转而成的，
斜高是该等腰梯形的腰；见图12)。此外，我们还可能发现
π(R+r)=(2πR+2πr)/2
是圆台两底周长的算术平均值。注意公式的这同一部分也可改写为
π(R+r)=2π(R+r)/2
这就是圆台的中截面之周长(这里，我们称平行于圆台上底和下底并等分其高的
平面与圆台的交为中截面)。
在找到各部分的新解释以后，我们现在可以从不同角度来看整个公式。于
是，我们可以这样读它：
侧面积=中截面周长×斜高
这里，我们可能回忆坦梯形面积的公式
面积=中线×高
图12
(此中线平行于梯形的两个平行边并等分其高)。只要直观地看到圆台侧面
积和梯形面积这两种陈述间的类比关系，我们就可以“几乎一下子”看出圆台
的整个结果。这就是说，对于以上经过冗长计算所得到的结果，我们现在感到
非常接近于它的一个简短而直接的证明了。
(2)上面的例子是典型的。我们不完全满足于我们所导出的结果，而希望
去改进它，改变它。因此，我们研究这个结果，尝试去更好地理解它，尝试看
出它的某个新侧面。我们可能对于结果的某一小部分首先成功地观察出一个新
的解释。然后，我们可能相当幸运地发现观察其他部分的新方式。
一个接一个地，审查各个部分，尝试用各种方式去考虑它们，我们可能终
于能从不同角度看出整个结果，而我们关于结果的新概念可能给出一个新证明。
人们可能认为，这种现象对于处理某个高级问题的有经验的数学家要比那
些解决某个初等问题的初学者更有可能发生。可是，具有大量数学知识的数学
家比初学者更容易冒滥用知识而使论证不必要地复杂起来的危险。但作为补偿
的是，有经验的数学家比初学者更能重视结果中细微部分的重新解释，并且能
把它们积聚起来，最终重新写出整个结果。
不过，即使在低年级，学生也可能提出一个不必要那么复杂的解。于是，
教师至少一次或者两次指出下列各点，他不但应该指出如何更简捷地解题，而
且也应该指出如何找出存在于结果本身的更简短解答的线索。
参见“归谬法与间接证明“一节。
8．你能利用这个结果吗
借助于自己的方法来找出问题的解是发明创造。如果问题不太难，这发明
创造也不大，但无论如何它毕竟还是发明创造。有了某个发明创造，尽管不大，
我们也应该探索它后面是否有更多的东西。我们不应该错过由这新结果所开创
的可能性，我们应该再尝试使用一次我们已经使用过的方法。要利用你的成功!
对某个别的问题，你能利用这个结果或方法吗
(1)如果我们对变化一个问题的主要方法，如“普遍化”，“特殊化”，“类
比”，“分解和再组合”比较熟悉的话，我们就很容易想出一个新问题。我们
从所提出的问题出发，用刚才提到的那些方法由它导出其他问题，从这些问题
再导出别的问题，如此等等。从理论上说，这一过程是无限的，但在实际中，
我们很少进行得很长，因为这样所得到的问题容易成为棘手的问题。
另一方面，我们可以构造出新问题，这些新问题我们很容易利用以前所解
决的问题加以解决，但这些易解的新问题又容易显得索然无味。
找出一个既有趣又好下手的新问题并不那么容易，这需要经验、鉴别能力
和好运气。但是，当我们成功地解决了一个好问题以后，我们应当去寻拔更多
的好问题。好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长。找到一个以后，
你应当在周围找找；很可能在附近就有几个。
(2)我们打算用第8，1O，12，14，15节中讨论过的同一个例子来阐明上述
论点。所以，我们从下列问题开始：
已知长方体的长、宽、高，求外接圆的直径。
棱锥体的底面是一长方形，其中心为棱锥体的高的足。已知棱锥体的高及
其底面的各边，求各侧棱。
已知空间中两点的直角坐标(x1，y1，z1)，(x2，y2，z2)，求此两点的距离。
我们容易解决这些问题，因为它们和已知其解的原问题相差不多。在每一
情况中，我们都对原问题加些新概念，如外接圆，棱锥体，直角坐标。这些概
念容易加进去，也容易去掉，并且当去掉它们之后，我们又回到了我们原来的
问题。
由于我们引入原问题的概念是有趣的，所以上述问题也有一定的趣味。最
后一个问题，即由两点的坐标确定其距离尤其重要，这是由于直角坐标很重要
的缘故。
(3)如果我们已知原问题的解，这里还有另外一个我们很容易解决的问题：
已知长方体的长、宽和对角线，求其高。
事实上，我们原问题的解主要在于：为四个量(即长方体的长、宽，高和
对角线)建立一个关系式。如果这四个量中的任意三个为已知，则我们可以由这
关系式求出第四个。于是新问题可解。
对于从已有解的问题导出易解的新问题，这里有个模式；我们设原来未知
数为已知，并将原来的已知数之一作为未知数。在这新、老两个问题中，联系
已知数与未知数的关系式相同。在一个问题中找出关系式，我们即可把它用于
求解另一个问题。
这个通过变换数据的地位以导出新问题的模式和第(2)点中的模式迥然不
同。
(4)我们现在用其他的办法导出某些新问题。
对我们的原问题很自然地使之普遍化，就得到下列新问题：已知一个平行
六面体从对角线一个端点出发的三条棱以及三棱间的三个夹角，求平行六面体
的对角线。
用特殊化的办法，我们得到下列问题：已知正方体的棱长，求它的对角线。
用“类比”的办法，我们可得无数多的各种各样变型的问题。下面几个是
从第(2)点中所考虑的问题导出来的：
已知正八面体的棱，求它的对角线。
已知正四面体的棱，求外接球的半径。
已知地球(假定为球体)表面上两点的几何坐标(经度和纬度)，求两点间的
球面距离。
所有上述问题都很有趣，但是只有用“特殊化”办法所得到的那个问题，
才能直接在原问题的解的基础上求出它的解。
(5)我们可以把原问题的某些元素看成变量，用这个办法从原问题导出新
问题。
第(2)点所述问题的一个特例是：已知正方体的棱，求它的外接球的半径。
让我们把正方体和正方体与球的公共中心看成是固定不变的，但是可以改变球
的半径。如果球的半径很小，则球在正方体内，随着半径的增大，此球胀大(就
像一个橡皮的气球在充气的过程中)。在某一时刻，此球碰到这正方体的表面；
再过些时候，碰到它的棱；再晚些，此球通过其顶点。在这三个关键时刻，球
的半径应取何值
(6)如果一个学生从来就没有机会去解决一个他自己所发明创造的问题，
那么他的经验是不完整的。教师可以向学生示范如何从一个刚刚解决的问题引
出新问题，这样做可以引起学生的好奇心。教师也可以留一部分创造发明给学
生。例如，他可以谈到刚才所讨论的那个膨胀的球，他可以问学生：“你打算
计算什么 半径的哪些值特别有趣 ”
9．实现
想出一个计划与贯彻一个计划是两码事。在某种意义上，这点对数学问题
也成立；因为在实现求解的计划和想出这个计划二者之间，其工作特点是不同
的。
(1)就像建桥时搭架来支持桥身一样，当我们考虑数学上最后的和严格的论
证时，我们也可以利用临时的与仅仅似乎有理的论证。不过，当工作充分进展
之后，我们拆去棚架，桥自己应能站得住。同理，当求解过程充分进展之后，
我们将除去所有临时的和仅仅似乎有理的论证，而结论只能由严格的论证所支
持。
在制定求解的计划时，我们不应该过于害怕那些仅仅是似乎有理的，探索
性的论证。这时任何能导致正确概念的东西都是对的。但当我们开始实现求解
计划时，我们必须改变这种观点，这时我们应该仅仅承认确凿的、严格的论证。
实现你的求解计划，同时检验每一步。你能清楚地看出这个步骤是正确的吗
在实现计划时，我们检验每一步花的力气越多，那么在制定计划时，我们
就可以更自由地应用探索性论证。
(2)我们应当适当考虑实现计划细节的工作程序，特别当问题是复杂的情
况下更应如此。我们不应该略去任何细节，应该了解我们面前的细节对于整个
问题的关系。我们不应该忽视主要步骤间的相互联系。因此我们应该按适当的
次序进行。
特别是，在我们有充分理由相信论证的主要步骤是正确的以前，我们去检
验次要的细节是不合理的。如果论证的主要思路有破绽，那么检查这个或那个
次要细节将无济于事。
实现论证细节的次序和制定论证细节的次序可能是迥然不同的；而当我们
把这些论证的细节最后写出来时，其次序可能更不同。欧几里得几何原理把论
证的细节用一种刻板的、系统的次序提出来，这一点常为人效仿，但也常受人
指责。
(3)在欧几里得的著作中，所有论证都按同一方向进行：在“求解题”中，
是从已知数据走向未知数，而在“求证题”中，是从前提走向结论。任何新元
素如点、线等等，都必须正确地由已知数据推出或者从以前各步已正确导出的
元素所推出。任何新推断都必须正确地由前提或者从以前各步已正确证出的推
断所证明。每一步新元素，每一个新推断，当首次碰到时，都必须加以审查，
因此它只须审查一次；我们可以把全部注意力只集中于当前这一步，我们既不
必瞻前，也不必顾后。这最后的新元素(我们必须加以检验它的推导过程)就是
未知数。这最后的新推断(我们必须审查它的证明过程)就是结论。如果每步都
正确，则最后一步也正确，从而整个论证是正确的。
如果目的是洋细审查论证，则欧几里得的论证展开方式很值得毫无保留地
加以推荐。特别是，当论证是我们自己弄出来的，如果它冗长而复杂，同时我
们不仅已经搞出来了，而且也已经从大的方面研究过它，所以除了审查其本身
每个细节以外，再没有什么其他的事好做了，这时最好就是用欧几里得方式把
整个论证写出来。
如果目的是把论证传授给读者或一个从来没有听到过它的听众，那么就不
能无保留地推荐欧几里得的论证展开方式。对于说明每一特定点而言，欧几里
得论证展开方式是优越的，但在阐述论证的主要思路方面，则不那么好。“聪
明的读者”很容易看到每步是正确的，但要看出其来龙去脉、目的以及整个论
汪的联系，则具有很大的困难。造成困难的原因是：欧几里得论证展开方式所
遵循的顺序，相当经常地与创造它时的自然顺序刚好相反[欧几里得论证展开方
式严格地服从“综合”的程序；参见“帕扑斯”一节，特别是其中的评论(3)，
(4)(5)]。
(4)现在我们小结一下。欧几里得论证展开方式是严格地从已知到未知，
从前提到结论，这对于详细检验论证是完美的，但对于了解整个论证的主要线
索却远非完美无缺。
我们非常期望学生能应用欧几里得方式来检验他自己的论证，但是这种工
作也不应当搞得过分死板。我们并不期望教师用纯粹欧几里得方式给出许多证
明。但是，在进行了本书所推荐的讨论，即学生在教师的指点下尽可能独立地
发现求解的主要思路以后，再用欧几里得方式展开论证则是非常有用的。有些
教科书采用的方式是：首先给出主要思路的直观提示，然后再用欧几里得的论
证顺序说明各个细节，这看来也是合理的。
(5)为了想知道自己的命题是否为真，认真的数学家尝试去直观地看出它，
并给以形式逻辑的证明。你能清楚地看出它是正确的吗 你能证明它是正确的吗
在这方面，数学家很像一个到商店买布的妇女，为了想知道布的质量如何，她
总是希望看看它，摸摸它。直观的洞察和形式逻辑的证明是感知真理的两种不
同方式PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建
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PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建
PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 第二部分通向一般方法(续)
正如阳光普照万物,戕们的智慈和
学识在处理各种不同对象时也是
视同仁的。
《笛卡儿全集》,第十卷,P,360;法则I
第七章解题过程的几何图示
没有任何东西比几何图形更容易印入脑际
了,因此用这种方式来表达事物是非常有
益的。
《笛卡儿文集》,第十卷,P,413」
思维的法则,法则互
§7,1隐喻
事情发生在大约五十年前,那时我还是个大学生;我正
在帮一个男孩子准备考试,当时我必须给他解释一道初等的
立体几何题,可是因一时未得要领而卡住了。居然对付不了
这样一道简单的题目,我只能责怪自己。第二天晚上我坐下
来,重新从头到尾仔细地去解它,那次我是做得这样彻底,
以致这辈子再也不会忘记它了。由于试图直观地去看清楚整
个解题的自然过程和解题中涉及的一系列基本想法,我终于
得到了一个解题过程的儿何图示法。这是我对解题的第一个
发现,也是我终生对解题都产生兴趣的开端
我所说的几何的臂喻,它最终是以一组日常的隐啥的辞
来表现的。人们不止一次地注意到语言是充满着隐喻的(有
的毫无生气,有的是半死不活,有的则生动活泼)。我不知
道人们是否还注意到了很多隐喻是互相关联的:它们或是联
系着的,或是结合在一起的,它们形成了团,形成了多少有
些松散的及重叠的族。不管怎么说吧,有相当广泛的一族隐
喻河,具有两个共同特点:它们都关联着基本的人类解决
题的活动,而且都提供了同样的几何形象。
发现解法,就是在原先是隔开的事物或想法(已有的事
物和要求的事物,已知量和未知量,假设和结论)之间去找
出联乐。被联系的事物原来离得越远,联系的发现者的功绩
也就越大。有时我们发现这种联系就象一座桥:一个伟大的
发现使我们强烈地觉得象是在两个离得很远的想法的鸿沟之
间架上了桥。我们常常看到这种联系是由一条链来贯穿的
个证明象是一串论据,象是一条由一系列结论组成的链,
也许是一条长链。这条链的强度是由它最弱的一环来代表
的。因为那怕是只少了一环,就不会有连续推理的链,也就
不会有有效的证明。对于思维上的联系我们更经常使用的词
是线索,比如说,我们都在听教授讲课,但他失去了证明的
线索,或是被一些推理线索缠乱了,他不得不看一下讲,
以拾起失掉的线索,等他把线索整理出来得到最终结论时,
我们也都已经困倦不堪了。将一条细微的线索当成一条几何
上的线,将被联系着的事物当成儿何上的点,这样无可避免
地,一幅隐喻着一系列数学结论的图式便必然地浮现出来
现在让我们停止聆听高谈,转过来具体考查一些几何图
§7.2问题是什么
我们需要一个例子,我选择了一个非常简单的立体几何
题⑩
①此题与先前考虑过的那个问题非常类似,甚至更简单些。见
文敝E16,〔18jPDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建
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