资源简介

直线与圆的方程知识点+典型例题+变式训练+基础练习
【基础知识】
1．斜率公式：，其中..
2.直线方程的五种形式：
(1)点斜式：．(2)斜截式：.(3)两点式：.
(4)截距式：.(5)一般式：.
3．两条直线的位置关系：⑴若，,则：
① ∥； ②.
4．两个公式:⑴点到直线的距离：；
⑵两条平行线与的距离
5．圆的方程：⑴标准方程：① ；② 。
⑵一般方程： （
6．点.直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）
⑴点与圆的位置关系：（表示点到圆心的距离）
①点在圆上；②点在圆内；③点在圆外。
⑵直线与圆的位置关系：（表示圆心到直线的距离）
①相切；②相交；③相离。
⑶圆与圆的位置关系：（表示圆心距，表示两圆半径，且）
①相离；②外切；③相交；
④内切；⑤内含。
7．直线与圆相交所得弦长
【基本题型】
一、求直线方程
例1．已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．
变式训练1．已知△ABC的三个顶点分别是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，试求BC边上的高所在直线的点斜式方程．
二.求圆的方程
例2 求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系．
变式训练2 求经过点，且与直线和都相切的圆的方程．
三.切线方程、切点弦方程、公共弦方程
例3　已知圆，求过点与圆相切的切线．
变式训练3．求过点，且与圆相切的直线的方程．
四.弦长、弧问题
例4.求直线被圆所截得的弦长 ( http: / / wxc. / )
变式训练4.
（1）直线截圆得的劣弧所对的圆心角为
（2）已知两圆，
求（1）它们的公共弦所在直线的方程；（2）公共弦长 ( http: / / wxc. / )
五.直线与圆的位置关系
例5.过点作直线，当斜率为何值时，直线与圆有公共点，如图所示．
变式练习5.（1）直线与圆没有公共点，则的取值范围是
练习（2）：若直线与圆有两个不同的交点，则的取值范围是 .
六：圆与圆的位置关系
例6：圆和圆的公切线共有 条。
变式训练6．已知两圆方程为，则两圆的位置关系是
A 内切 B 外切 C 相交 D 相离
【基础训练】
1.直线过点 (－3,－2)且在两坐标轴上的截距相等，则这直线方程为 ( )
A. B.
C. 或 D. 或x－y＋5＝0
2.过点且与直线平行的直线的方程是( )
A． B． C． D．
3.圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A. , 6 B. , 6 C. , 36 D , 36
4.圆和圆的位置关系是 （ ）
相离 相交 外切 内切
5.圆与圆的位置关系为( )
(A)内切　 　(B)相交　 　(C)外切　 　(D)相离
6.设是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为 ( )
A. 6 B.4 C. 3 D. 2
7.直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为（ ）
A.1 B.2 C.4 D.
8.过点(3，1)作圆的弦，其中最短的弦长为__________
9.直线y=2x+3被圆x2+y2-6x-8y=0所截得的弦长等于　　　　.
10.若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是 .
11.在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上．
（1）求圆的方程；
（2）若圆与直线交于，两点，且，求的值．
12.已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线.（1）求的方程；
（2）是与圆，圆都相切的一条直线，与曲线交于两点，当圆的半径最长时，求.
直线与圆方程知识点+典型例题+变式训练+基础练习答案
【基础知识】
1．斜率公式：，其中..
2.直线方程的五种形式：
(1)点斜式：．(2)斜截式：.(3)两点式：.
(4)截距式：.(5)一般式：.
3．两条直线的位置关系：⑴若，,则：
① ∥； ②.
4．两个公式:⑴点到直线的距离：；
⑵两条平行线与的距离
5．圆的方程：⑴标准方程：① ；② 。
⑵一般方程： （
6．点.直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）
⑴点与圆的位置关系：（表示点到圆心的距离）
①点在圆上；②点在圆内；③点在圆外。
⑵直线与圆的位置关系：（表示圆心到直线的距离）
①相切；②相交；③相离。
⑶圆与圆的位置关系：（表示圆心距，表示两圆半径，且）
①相离；②外切；③相交；
④内切；⑤内含。
7．直线与圆相交所得弦长
【基本题型】
一、求直线方程
例1．已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．
[解析]　由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2.
又∵l∥l1，∴l的斜率k＝k1＝－2.由题意知l2在y轴上的截距为－2，
∴l在y轴上的截距b＝－2，∴由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.
变式训练1．已知△ABC的三个顶点分别是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，试求BC边上的高所在直线的点斜式方程．
[分析]　BC边上的高与边BC垂直，由此求得BC边上的高所在直线的斜率，从而由点斜式得直线方程．
[解析]　设BC边上的高为AD，则BC⊥AD，
∴kBCkAD＝－1.∴kAD＝－1，解得kAD＝.
∴BC边上的高所在直线的点斜式方程是y－0＝(x＋5)．即y＝x＋3.
二.求圆的方程
例2 求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系．
分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点与圆的位置关系，只须看点与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．
解法一：（待定系数法）
设圆的标准方程为．∵圆心在上，故．
∴圆的方程为．又∵该圆过、两点．
∴解之得：，．所以所求圆的方程为．
解法二：（直接求出圆心坐标和半径）
因为圆过、两点，所以圆心必在线段的垂直平分线上，又因为，故的斜率为1，又的中点为，故的垂直平分线的方程为：即．又知圆心在直线上，故圆心坐标为
∴半径．故所求圆的方程为．
又点到圆心的距离为．∴点在圆外．
说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？
变式训练2 求经过点，且与直线和都相切的圆的方程．
分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．
解：∵圆和直线与相切，∴圆心在这两条直线的交角平分线上，
又圆心到两直线和的距离相等．∴．
∴两直线交角的平分线方程是或．又∵圆过点，
∴圆心只能在直线上．设圆心∵到直线的距离等于，
∴．化简整理得．解得：或
∴圆心是，半径为或圆心是，半径为．
∴所求圆的方程为或．
说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．
三.切线方程、切点弦方程、公共弦方程
例3　已知圆，求过点与圆相切的切线．
解：∵点不在圆上， ∴切线的直线方程可设为
根据 ∴ 解得
所以 即
因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为．
说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．
本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用，求出切点坐标、的值来解决，此时没有漏解．
变式训练3．求过点，且与圆相切的直线的方程．
解：设切线方程为，即，
∵圆心到切线的距离等于半径，∴，解得，
∴切线方程为，即，
当过点的直线的斜率不存在时，其方程为，圆心到此直线的距离等于半径，
故直线也适合题意。所以，所求的直线的方程是或．
四.弦长、弧问题
例4.求直线被圆所截得的弦长 ( http: / / wxc. / )
变式训练4.（1）直线截圆得的劣弧所对的圆心角为
解：依题意得，弦心距，故弦长，从而△OAB是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为.
（2）已知两圆，
求（1）它们的公共弦所在直线的方程；（2）公共弦长 ( http: / / wxc. / )
解：（1）①；②；
②①得：为公共弦所在直线的方程；
（2）弦长的一半为，公共弦长为 ( http: / / wxc. / )
解：圆心为，则圆心到直线的距离为，半径为
得弦长的一半为，即弦长为 ( http: / / wxc. / )
五.直线与圆的位置关系
例5.过点作直线，当斜率为何值时，直线与圆有公共点，如图所示．
分析：观察动画演示，分析思路．
解：设直线的方程为即
根据有整理得解得．
变式练习5.（1）直线与圆没有公共点，则的取值范围是
解：依题意有，解得.∵，∴.
练习（2）：若直线与圆有两个不同的交点，则的取值范围是 .
解：依题意有，解得，∴的取值范围是.
六：圆与圆的位置关系
例6：圆和圆的公切线共有 条。
解：∵圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，∴.∵，∴两圆相交.共有2条公切线。
变式训练6．已知两圆方程为，则两圆的位置关系是C
A 内切 B 外切 C 相交 D 相离
【基础训练】
1.直线过点 (－3,－2)且在两坐标轴上的截距相等，则这直线方程为 ( C )
A. B.
C. 或 D. 或x－y＋5＝0
2.过点且与直线平行的直线的方程是( B )
A． B． C． D．
3.圆的圆心坐标和半径分别为（ B ）
A. , 6 B. , 6 C. , 36 D , 36
4.圆和圆的位置关系是 （ B ）
相离 相交 外切 内切
5.圆与圆的位置关系为( B )
(A)内切　 　(B)相交　 　(C)外切　 　(D)相离
6.设是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为 ( B )
A. 6 B.4 C. 3 D. 2
7.直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为（ C ）
A.1 B.2 C.4 D.
8.过点(3，1)作圆的弦，其中最短的弦长为__________
9.直线y=2x+3被圆x2+y2-6x-8y=0所截得的弦长等于　　　　.
10.若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是 .
11.在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上．
（1）求圆的方程；
（2）若圆与直线交于，两点，且，求的值．
解析：（1）曲线与轴的交点为，与轴的交点为
．故可设的圆心为，则有，解得．则圆的半径为，所以圆的方程为．
（2）设，，其坐标满足方程组
消去，得方程．
由已知可得，判别式，因此，
从而，．
由于，可得．又，
所以． 由得，满足，故．
12.已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线.（1）求的方程；
（2）是与圆，圆都相切的一条直线，与曲线交于两点，当圆的半径最长时，求.
解析：由已知得圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径.
设圆的圆心为，半径为.
（1）因为圆与圆外切并且与圆内切，所以.由椭圆的定义可知，曲线是以为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆（左顶点除外），其方程为.（2）对于曲线上任意一点，由于，所以，当且仅当圆的圆心为时，，所以当圆的半径最长时，其方程为.若的倾斜角为，则与轴重合，可得.若的倾斜角为，由知不平行于轴，设与轴的交点为，则，可求得，所以可设.由与圆相切得，解得.
当时，将代入，并整理得，解得，所以.当时，由图形的对称性可知.
综上，或.
P
E
O
y
x

展开更多......

收起↑