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函数的单调性
学习目标：
1.理解函数单调性，能进行函数单调性的简单证明．
2.能利用单调性解决函数不等式问题
知识要点：
1.函数的单调性
设函数的定义域为，区间；
（1）如果，当时，都有_______，那么就称函数在区间上单调递增；
（2）如果，当时，都有_______，那么就称函数在区间上单调递减；
2.增函数与减函数
（1）当函数在它的定义域上是单调递增时，我们就称它是___函数；
（2）当函数在它的定义域上是单调递减时，我们就称它是___函数；
典型例题：
题组一 函数的单调与函数的图象
例1. 已知函数的图像如图所示，则函数的单调递增区间是_______；单调递减区间是_________
变式：已知函数
（1）请在给定的坐标系中画出此函数的图象.
（2）写出此函数的单调区间，并写出值域.
题组二　不含参数的函数单调性的判断与证明
例2. 用定义证明在上单调递增．
变式：已知函数.
（1）求 ；
（2）判断函数在上的单调性并用定义证明.
题组三　复合函数单调性的判断
例3. 已知函数，在上单调递增，且，求证：函数在上单调递增．
变式：（1）请完成下面的表格：（均为上的函数）
增函数 增函数
增函数 减函数
减函数 增函数
减函数 减函数
（2）依据（1）的结果，解决问题：“已知函数，试写出函数的单调区间.”
题组四　函数不等式的解法
例4. 已知是定义在上的单调递增函数，且，则满足的的取值范围是_______.
变式：函数满足：对任意的总有．则不等式的解集为________．
题组五　由函数的单调性确定参数的取值范围
例5. 已知函数在上为增函数，求实数k的取值范围.
变式：已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．，， B．
C．，， D．，，
当堂检测：
1．（多选）若函数的图象如图所示，则下列区间是函数的单调递减区间的为（ ）
A． B． C． D．
2.函数在上为增函数，则的一个单调递减区间是_________.
3．已知函数.
（1）当时，判断的单调性并证明；
（2）若不等式成立，求实数的取值范围.
4. 已知函数＝，若函数在区间上单调递减，求出a的取值范围.
参考答案：
知识要点：
1.（1）；（2）
2.（1）增；（2）减
典型例题：
例1. ；
观察图像，图像上升对应的为增区间，故增区间为；
图像下降对应的为减区间，故减区间为；
变式：（1）图象如图所示
（2）定义域为R，增区间为[1，3]，减区间为、、，值域为.
例2. 证明：任取，，且.
因为.
又，所以，.
有，，
所以，即.
所以函数在上单调递增.
变式：（1）因为，所以；
（2）函数在上单调递减，证明如下：
设是内任意两个实数，且，则有，
，
因为，所以，因此，
所以函数在上单调递减.
例3. 任取，，且，
因为在上单调递增，
所以．
又在上单调递增，，
所以，
所以函数在上单调递增．
变式：（1）
增函数 增函数 增函数
增函数 减函数 增函数
减函数 增函数 减函数
减函数 减函数 增函数
（2）令，
则当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递增；
又函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在和上单调递减，在和上单调递增，
所以函数的单调增区间为和，减区间为和.
例4.
因为，所以和化为，
又因为f(x)是定义在上的单调递增函数，
所以，解得.
故答案为：.
变式：
因为对任意的总有
所以函数是上的单调增函数，
从而由得，解得．
故答案为：
例5. 当时，在上为增函数，符合题意；
当时，函数的对称轴为，则或，解得或
综上可得，实数k的取值范围是
变式：C
解：根据题意，函数，
若在区间上单调递减，必有，
解可得：或，即的取值范围为，，，
故选：C．
当堂检测：
1．AD
由图，可得在上递减，在上递增，在上递减，
∴的单调递减区间为．
故选：AD．
2.
函数为上的增函数，
偶函数在上单调递增，在单调递减，
而是向左平移一个单位后得到的，
单调递减区间是，
故答案为：.
3．（1）设任意的，且，
，
因为，所以，，，
所以，即，可得，
所以在上单调递增，
（2），，
且函数在上单调递增，
所以由可得，
即，解得：，
所以实数的取值范围是.
4.（1）若函数在区间上单调递减，则，
证明：任取，且，
则
由得，
所以
即，
所以函数f(x)在定义域上单调递减；

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