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函数的表示方法
学习目标：
1.掌握函数的三种表示方法，会正确表示函数；
2.会求不同问题背景下的函数的解析式，理解解析式求法蕴含的数学思想；
3.理解分段函数和复合函数，会求处理简单的分段函数与复合函数问题.
知识要点：
1.函数的表示方法
（1）解析法：用______表示两个变量之间的对应关系；
（2）列表法：列出____来表示两个变量之间的对应关系；
（3）图像法：用____图象表示两个变量之间的对应关系.
2.分段函数：函数在定义域的不同范围上有不同的_____即.
3.复合函数：形如形式的函数称为复合函数，其中称为____，称为内函数,
典型例题：
题组一　列表法及其应用
例1. 2015年以来，我国的年度数据如下表：
时间（年） 2015 2016 2017 2018 2019
GDP（万亿元） 68．5506 74．4127 82．7121 91．9281 99．0865
设时间为，与其对应的年度GDP为，那么（ ）
A．68.5506 B．74.4127 C．82.7121 D．91.9281
变式：对于函数，部分x与y的对应关系如下表：
x … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …
y … 3 7 5 9 6 1 8 2 4 …
数列满足：，且对于任意，点都在函数的图象上，则（ ）
A．7576 B．7575 C．7569 D．7564
题组二　图象法及其应用
例2. 图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术.科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为，注水时间为，则下面选项中最符合关于的函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
变式：如图所示是一个无水游泳池，是一个四棱柱，游泳池是由一个长方体切掉一个三棱柱得到的．现在向泳池注水，如果进水速度是均匀的（单位时间内注入的水量不变），水面与的交点为，则的高度随时间变化的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
题组三　函数解析式的求法
例3. （1）已知，求；
（2）已知，求；
（3）已知，求；
变式：（1）；
（2）已知，求．
题组四　分段函数及其应用
例4. 函数的图象如图所示，曲线为抛物线的一部分．
（Ⅰ）求解析式；
（Ⅱ）若，求的值；
变式：已知函数（）.
（1）用分段函数的形式表示该函数；
（2）画出该函数的图象；
（3）写出该函数的值域.
题组五　实际问题中的函数表示
例5.如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为cm，面积为cm2，把表示成的函数，并指出自变量的范围.
变式：如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为.试求函数的解析式，并画出函数的图象.
当堂检测：
1.一个变量随另一变量变化．对应关系是“2倍加1”：
（1）填表．
… 1 2 3 4 …
… …
（2）根据表格填空：时，_______．
（3）写出解析式：_______．
3．已知函数则_____________.
4.关于直线与函数的图象的交点有如下四个结论，其中正确的是（ ）
A．不论为何值时都有交点 B．当时，有两个交点
C．当时，有一个交点 D．当时，没有交点
5. （1）已知是一次函数，且满足，求的解析式.
（2）已知，求的解析式，
6．已知函数．
（1）试比较与的大小；
（2）画出函数的图象；
（3）若，求的值．
参考答案：
知识要点：
1.（1）解析式；（2）表格；（3）图象.
2.解析式
3.复合函数：外函数,
典型例题：
例1. D
解：由题意可得，
故选：D
变式：A
，，，，， ，
数列满足，
则.
故选：A.
例2. A
水壶的结构：低端与上端细、中间粗，
所以在注水恒定的情况下：
开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后水上升的速度又变快，
由图可知选项A符合，
故选：A
变式：A
由题意可知，当往游泳池内注水时，游泳池内的水呈“直棱柱”状，且直棱柱的高不变，
刚开始水面面积逐渐增大，水的高度增长得越来越慢，
当水面经过点后，水面的面积为定值，水的高度匀速增长，
故符合条件的函数图象为A选项中的图象.
故选：A.
例3.（1），
令，则，
，
；
（2），
；
（3），将原式中的x与互换，得.
于是得关于f(x)的方程组
解得.
变式：（1）设，则，得，
则
所以；
（2）∵，
将x换成－x，得，
∴将以上两式消去，得，∴.
例4. （1）当，函数图象为直线且过点，所以；
当时，函数图象为抛物线，设函数解析式为，
当时，，解得，所以，
所以．
（2）当时，令，解得；
当时，令，解得 ，
因为，所以，
所以或；
变式：（1）当时，；当时，.
∴
（2）函数的图象如图所示，
（3）由（1）知，在上的值域为.
例5.因为半径为25cm, 矩形的一边长为x cm,则矩形另一边为，所以矩形面积,由于矩形内接于圆，所以其边长的范围是：，把y表示成x的函数为:，.
变式：（1）当时，
如图，设直线与分别交于、两点，则，
又，，
（2）当时，
如图，设直线与分别交于、两点，则，
又，，
，
（3）当时，，
综上所述，
当堂检测：
1.（2）；（3）y=2x+1．
解：（1）因为变量y随另一变量x变化，对应关系是“2倍加1”：
完整的表格如表所示：
x … 1 2 3 4 …
y … 3 5 7 9 …
（2）根据表格填空：时，；
（3）根据题意，函数的解析式：y=2x+1．
故答案为：（1）填表见解析；（2）；（3）2x+1.
3．4
∵，∴，又∵，∴，∴.
故答案为：4.
4.BCD
由题意得，，作此函数图像如下图折线所示；即平行于轴的直线，作图像如下图直线所示.
对于A，由图可知，当时，直线与函数的图象无交点，故A错误；
对于B，由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，故B正确；
对于C，由图可知，当时，直线与函数的图象，有一个交点，故C正确；
对于D，由图可知，当时，直线与函数的图象无交点，故D正确.
故选:BCD
5.（1）；（2）.
（1）因为是一次函数，所以设，又因为，所以，整理得，故，解得，所以;
（2）令，则，所以，即.
6．解：（1）∵，∴，
又∵，∴，
∵，∴，∴，
所以.
（2）图象如图所示，
（3）当时，有，解得；
当时，有，解得
或，
但，故舍去，所以的值为3，
综上所述：的值为或3．

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