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13.3 等腰三角形
一．选择题
1．如图，在△ABC中，∠B＝36°，AB＝AC，AD是△ABC的中线，则∠BAD的度数是（　　）
A．36° B．54° C．72° D．108°
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD平分∠ABC交AC于点D，则∠CDB等于（　　）
A．65° B．70° C．75° D．85°
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∠A＝30°，则下列结论中正确的是（　　）
A．AC＝2AD B．CD＝2BD C．BC＝2CD D．BC＝2BD
4．如果一个等腰三角形的两边长为2和5，那么这个三角形的周长是（　　）
A．9 B．12 C．9或12 D．不确定
5．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠A＝50°，P是△ABC内的一点，且∠PBC＝∠PCA，则∠BPC等于（　　）
A．115° B．100° C．130° D．140°
6．若等腰三角形的一个内角比另一个内角大30°，则这个等腰三角形的底角度数是（　　）
A．50° B．80° C．50°或70° D．80°或40°
7．△ABC中，∠BAC＝∠BCA，AD平分∠BAC，DE∥AC，下列说法正确的是（　　）
A．∠B＝36° B．∠ADB＝108° C．∠ADB＝3∠EDA D．∠AED＝3∠B
8．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且DE＝BC，则∠AFE＝（　　）
A．100° B．105° C．110° D．115°
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线l交BC于点D．若∠BAD＝78°，则∠B的度数是（　　）
A．34° B．30° C．28° D．26°
10．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（　　）
A．16 B．32 C．64 D．128
二．填空题
11．等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为 　 　．
12．用三根木棒首尾相连围成一个等腰三角形，其中两根木棒的长度分别为3cm和6cm，则第三根木棒长为 　 　cm．
13．如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD＝CE，∠D＝75°，则∠B的度数为 　 　．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝40°，AD＝AE，则∠CDE的度数为 　 　．
15．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝7cm，DE＝3cm，求CE的长为 　 　cm．
三．解答题
16．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，求证：△MBE为等腰三角形．
17．如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CE＝BC．点D是边AC的中点，连接ED并延长交AB于F．
（1）求∠EFB的度数；
（2）求证：DE＝2DF．
18．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．
（1）判断△DEF的形状，并说明理由；
（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．
参考答案
一．选择题
1．【解析】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝36°，
∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°，
故选：B．
2．【解析】解：∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝（180﹣∠A）÷2＝70°；
又∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD＝35°，
∴∠CDB＝∠A+∠ABD＝40°+35°＝75°．
故选：C．
3．【解析】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴△ACB是直角三角形，
∵∠A＝30°，
∴AB＝2BC，
∵CD是AB边上的高，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°，
∴∠ACD＝60°，
∴∠DCB＝30°，
∴BC＝2BD，AC＝2CD．
故选：D．
4．【解析】解：∵2+2＝4＜5，
∴腰的长不能为2，只能为5，
∴等腰三角形的周长＝2×5+2＝12，
故选：B．
5．【解析】解：在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠A＝50°，
∴∠ACB＝∠ABC＝65°．
又∵∠PBC＝∠PCA，
∴∠PBC+∠PCB＝65°，
∴∠BPC＝115°
故选：A．
6．【解析】解：在△ABC中，设∠A＝x，∠B＝x+30°，分情况讨论：
当∠A＝∠C为底角时，2x+（x+30°）＝180°，解得x＝50°，底角∠A＝50°；
当∠B＝∠C为底角时，2（x+30°）+x＝180°，解得x＝40°，底角∠B＝70°．
故这个等腰三角形的底角的度数为50°或70°．
故选：C．
7．【解析】解：设∠CAD＝x°，
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝∠BCA，
∴∠BCA＝∠BAC＝2x°，
∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠BCA＝2x°，∠ADE＝∠CAD＝x°，
∴∠ADB＝∠BDE+∠ADE＝2x°+x°＝3x°，
即∠ADB＝3∠EDA，
故选：C．
8．【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD是BC边上的中线，
∴∠BAD＝BAC＝30°，AD⊥BC，BD＝CD＝BC，
∴∠CDE＝90°，
∵DE＝BC，
∴DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE＝45°，
∴∠AEF＝∠DEC＝45°，
∴∠AFE＝180°﹣∠BAD﹣∠AEF
＝180°﹣30°﹣45°
＝105°，
故选：B．
9．【解析】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AC的垂直平分线l交BC于点D，
∴AD＝DC，
∴∠DAC＝∠C，
∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝2∠C，
∴∠ADB＝2∠B，
∵∠BAD＝78°，
∴∠B+∠ADB+∠BAD＝∠B+2∠B+78°＝180°，
∴∠B＝34°，
故选：A．
10．【解析】解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，
∴∠A1B1O＝∠B1A1A2﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°，
∴∠A1B1O＝∠MON，
∴A1B1＝OA1，
∴A1B1＝A1A2＝OA1，
同理可得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1，
∴A3B3＝A3A4＝OA3＝2OA2＝22 OA1，
A4B4＝A4A5＝OA4＝2OA3＝23 OA1，
…
∴AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1 OA1＝2n，
∴△A6B6A7的边长：A6B6＝26＝64，
故选：C．
二．填空题
11．【解析】解：如图所示，
△ABC中，AB＝AC．
有两种情况：
①顶角∠A＝50°；
②当底角是50°时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°．
故答案为：50°和80°．
12．【解析】解：组成等腰三角形的两根木棒的长度分别为3cm和6cm，
根据三角形三边关系可得，组成等腰三角形的第三根木棒长为6cm，
故答案为：6．
13．【解析】解：∵CD＝CE，
∴∠D＝∠CED＝75°，
∴∠DCB＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∵CD∥AB，
∴∠B＝∠C＝30°，
故答案为：30°．
14．【解析】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD＝40°，∠ADC＝90°，
又∵AD＝AE，
∴∠ADE＝（180°﹣∠CAD）＝70°，
∴∠CDE＝90°﹣70°＝20°，
故答案为：20°．
15．【解析】解：∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠FBC，
∵DF∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC＝∠DBF，
∴BD＝DF＝7（cm），
同理可得EF＝CE，
∵EF＝DF﹣DE＝4（cm），
∴CE＝4（cm），
故答案为：4．
三．解答题
16．【解析】证明：∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠MBE＝∠CBE．
又∵MN∥BC，
∴∠MEB＝∠CBE，
∴∠MBE＝∠MEB，
∴MB＝ME，
∴△MBE为等腰三角形．
17．【解析】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，
∵D为AC的中点，
∴AD＝CD＝AC，
∵CE＝BC，
∴CD＝CE，
∵∠E+∠CDE＝∠ACB＝60°，
∴∠E＝∠CDE＝30°，
∵∠B＝60°，
∴∠EFB＝180°﹣60°﹣30°＝90°；
（2）证明：连接BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵D为AC的中点，
∴∠DBC＝∠ABD＝∠ABC＝30°，
∵∠E＝30°，
∴∠DBC＝∠E，
∴DE＝BD，
∵∠BFE＝90°，∠ABD＝30°，
∴BD＝2DF，
即DE＝2DF．
18．【解析】解：（1）△DEF是等边三角形，
理由如下：∵AB＝AD，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，
∵CE∥AB，
∴∠CED＝∠A＝60°，∠DFE＝∠ABD＝60°，
∴∠CED＝∠ADB＝∠DFE，
∴△DEF是等边三角形；
（2）连接AC交BD于点O，
∵AB＝AD，CB＝CD，
∴AC是BD的垂直平分线，
即AC⊥BD，
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴∠BAC＝∠DAC＝30°，
∵CE∥AB，
∴∠BAC＝∠ACE＝∠CAD＝30°，
∴AE＝CE＝8，
∴DE＝AD﹣AE＝12﹣8＝4，
∵△DEF是等边三角形，
∴EF＝DE＝4，
∴CF＝CE﹣EF＝8﹣4＝4．

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