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第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件
[基础梳理]
1．四种命题
(1)四种命题及其相互关系
(2)互为逆否命题的真假判断：
互为逆否的两个命题同真或同假．
2．充分条件与必要条件的判断
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q p
p是q的必要不充分条件 pq且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 pq且q p
1．区别两个说法
(1)“A是B的充分不必要条件”中，A是条件，B是结论．
(2)“A的充分不必要条件是B”中，B是条件，A是结论．
2．充要条件的两个特征
(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件．
(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件．
[四基自测]
1．(基础点：四种命题)命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是(　　)
A．“若x＜y，则x2＜y2”
B．“若x≤y，则x2≤y2”
C．“若x＞y，则x2＞y2”
D．“若x≥y，则x2≥y2”
答案：B
2．(基础点：充分、必要条件)“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的(　　)
A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：B
3．(易错点：命题与条件)“x≠y”是“x2≠y2”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
4．(易错点：充要条件)设函数f(x)＝sin x＋bcos x(b为常数)“b＝0”是f(x)为奇函数的________条件．
答案：充要
授课提示：对应学生用书第5页
考点一　四种命题及其关系
挖掘1　四种命题的真假判断/ 自主练透
[例1]　(1)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)
A．真，假，真　　　　　　　 B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
[解析]　易知原命题为真命题，所以逆否命题也为真，
设z1＝3＋4i，z2＝4＋3i，则有|z1|＝|z2|，但是z1与z2不是共轭复数，所以逆命题为假，同时否命题也为假．故选B.
[答案]　B
(2)下列命题中为真命题的是(　　)
A．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题
B．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题
[解析]　A中逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”，是真命题；
B中否命题为“若x≤1，则x2≤1”，是假命题；
C中否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，是假命题；
D中原命题是假命题，从而其逆否命题也为假命题．
[答案]　A
[破题技法]　四种命题真假性的关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；
(2)两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系．
挖掘2　判断命题的真假/ 互动探究
[例2]　关于函数f(x)＝sin |x|＋|sin x|有下述结论：
①f(x)是偶函数；②若x∈(0，)，则f(x)为增函数；
③f(x)在[0，2π]上有3个零点，其中所有正确的结论是________．
[解析]　①由f(－x)＝f(x)，恒成立，①正确．
②当x∈(0，)时，f(x)＝2sin x为增函数，②正确．
③当x∈(π，2π)时，|sin x|＝－sin x.
∴f(x)＝sin x－sin x＝0，有无数个零点，③错误．
[答案]　①②
[破题技法]　判断命题真假的方法
方法 解读 适合题型
直接法 判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明 简单命题判断
反例法 说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可 简单命题判断
转化法 转化为等价的逆否命题 复杂命题
考点二　充分条件、必要条件的判断
挖掘1　充分、必要、充要条件的简单判定/ 自主练透
[例1]　(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(　　)
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
[解析]　若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，反之则不成立；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一个平面，则α与β可以平行也可以相交，故A，C，D中条件均不是α∥β的充要条件．根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立．因此B中条件是α∥β的充要条件．故选B.
[答案]　B
(2)(2018·高考天津卷)设x∈R，则“＜”是“x3＜1”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　由＜得－＜x－＜，解得0＜x＜1.
由x3＜1得x＜1.当0＜x＜1时能得到x＜1一定成立；当x＜1时，0＜x＜1不一定成立．所以“＜”是“x3＜1”的充分而不必要条件．
[答案]　A
(3)(2019·高考北京卷)设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|＋|＞||”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　因为点A，B，C不共线，由向量加法的三角形法则，可知＝－，所以|＋|＞||等价于|＋|＞|－|，因模为正，故不等号两边平方得AB2＋AC2＋2||·||cos θ>AC2＋AB2－2||·||cos θ(θ为与的夹角)，整理得4||·||cos θ＞0，故cos θ＞0，既θ为锐角．又以上推理过程可逆，所以“与的夹角为锐角”是“|＋|＞||”的充分必要条件．故选C.
[答案]　C
[破题技法]　充要条件的三种判断方法
(1)定义法：根据p q，q p进行判断．
(2)集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断．
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．
充分条件与必要条件的两种判断方法见下表：
条件 定义法 集合法：A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}
p是q的充分条件 p q A B
p是q的必要条件 q p A B
p是q的充要条件 p q且q p A＝B
p是q的充分不必要条件 p q且qp A?B
p是q的必要不充分条件 p q且q p A?B
p是q的既不充分也不必要条件 p q且qp AB且AB
挖掘2　充分、必要、充要条件的证明与探求/ 互动探究
[例2]　证明：圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过原点的充要条件是a2＋b2＝r2.
[证明]　充分性：若满足a2＋b2＝r2时，
则有(0－a)2＋(0－b)2＝r2，表示原点(0，0)到圆心(a，b)的距离为r，即原点(0，0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上．
必要性：当圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过(0，0)时．
有(0－a)2＋(0－b)2＝r2，即a2＋b2＝r2.
∴a2＋b2＝r2是圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过原点的充要条件．
[破题技法]　充要条件的证明策略
(1)要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题为真：“若p，则q”为真，且“若q，则p”为真．
(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证出哪些结论．
　直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________．
解析：直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于＜，解之得－1＜k＜3.
答案：－1＜k＜3
考点三　充分条件、必要条件的应用
挖掘　根据条件关系求参数/ 互动探究
[例]　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．
[解析]　由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，
所以P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S P.
则所以0≤m≤3.
所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0，3]．
[答案]　[0，3]
[破题技法]　充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
1．本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？并说明理由．
解析：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}．
若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
所以所以这样的m不存在．
2．本例条件不变，若非P是非S的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解析：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}．
因为非P是非S的必要不充分条件，
所以P是S的充分不必要条件，
所以P S且SP.
所以[－2，10]?[1－m，1＋m]．
所以或
所以m≥9，则m的取值范围是[9，＋∞)．
PAGE第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件
[基础梳理]
1．四种命题
(1)四种命题及其相互关系
(2)互为逆否命题的真假判断：
互为逆否的两个命题同真或同假．
2．充分条件与必要条件的判断
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q p
p是q的必要不充分条件 pq且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 pq且q p
1．区别两个说法
(1)“A是B的充分不必要条件”中，A是条件，B是结论．
(2)“A的充分不必要条件是B”中，B是条件，A是结论．
2．充要条件的两个特征
(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件．
(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件．
[四基自测]
1．(基础点：四种命题)命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是(　　)
A．“若x＜y，则x2＜y2”
B．“若x≤y，则x2≤y2”
C．“若x＞y，则x2＞y2”
D．“若x≥y，则x2≥y2”
2．(基础点：充分、必要条件)“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的(　　)
A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．(易错点：命题与条件)“x≠y”是“x2≠y2”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．(易错点：充要条件)设函数f(x)＝sin x＋bcos x(b为常数)“b＝0”是f(x)为奇函数的________条件．
授课提示：对应学生用书第5页
考点一　四种命题及其关系
挖掘1　四种命题的真假判断/ 自主练透
[例1]　(1)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)
A．真，假，真　　　　　　　 B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
(2)下列命题中为真命题的是(　　)
A．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题
B．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题
[破题技法]　四种命题真假性的关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；
(2)两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系．
挖掘2　判断命题的真假/ 互动探究
[例2]　关于函数f(x)＝sin |x|＋|sin x|有下述结论：
①f(x)是偶函数；②若x∈(0，)，则f(x)为增函数；
③f(x)在[0，2π]上有3个零点，其中所有正确的结论是________．
[破题技法]　判断命题真假的方法
方法 解读 适合题型
直接法 判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明 简单命题判断
反例法 说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可 简单命题判断
转化法 转化为等价的逆否命题 复杂命题
考点二　充分条件、必要条件的判断
挖掘1　充分、必要、充要条件的简单判定/ 自主练透
[例1]　(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(　　)
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
(2)(2018·高考天津卷)设x∈R，则“＜”是“x3＜1”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(3)(2019·高考北京卷)设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|＋|＞||”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[破题技法]　充要条件的三种判断方法
(1)定义法：根据p q，q p进行判断．
(2)集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断．
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．
充分条件与必要条件的两种判断方法见下表：
条件 定义法 集合法：A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}
p是q的充分条件 p q A B
p是q的必要条件 q p A B
p是q的充要条件 p q且q p A＝B
p是q的充分不必要条件 p q且qp A?B
p是q的必要不充分条件 p q且q p A?B
p是q的既不充分也不必要条件 p q且qp AB且AB
挖掘2　充分、必要、充要条件的证明与探求/ 互动探究
[例2]　证明：圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过原点的充要条件是a2＋b2＝r2.
[证明]　充分性：若满足a2＋b2＝r2时，
则有(0－a)2＋(0－b)2＝r2，表示原点(0，0)到圆心(a，b)的距离为r，即原点(0，0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上．
必要性：当圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过(0，0)时．
有(0－a)2＋(0－b)2＝r2，即a2＋b2＝r2.
∴a2＋b2＝r2是圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过原点的充要条件．
[破题技法]　充要条件的证明策略
(1)要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题为真：“若p，则q”为真，且“若q，则p”为真．
(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证出哪些结论．
　直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________．
考点三　充分条件、必要条件的应用
挖掘　根据条件关系求参数/ 互动探究
[例]　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．
[破题技法]　充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
1．本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？并说明理由．
2．本例条件不变，若非P是非S的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
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