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新北师大版2022届一轮复习基础狂练 相互独立事件与相互独立事件概率的乘法公式
一．选择题（共17小题）
1．某工厂周一到周六轮流由甲、乙、丙3人值班，每人值两天，3人通过抽签决定每个人在哪两天值班，若乙恰好本周六需要出差，则乙需要与他人换班的概率为（　　）
A． B． C． D．
2．十二生肖，又称十二属相，中国古人拿十二种动物来配十二地支，组成子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪十二属相．现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学依次随机抽取一件作为礼物，甲同学喜欢马、牛，乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，则这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．某中学组织高三学生进行一项能力测试，测试内容包括A、B、C三个类型问题，这三个类型所含题目的个数分别占总数的．现有3名同学独立地从中任选一个题目作答，则他们选择的题目所属类型互不相同的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，A、B、C表示三个开关，设在某段时间内它们正常工作的概率分别是0.9、0.8、0.7，那么该系统正常工作的概率是（　　）
A．0.994 B．0.686 C．0.504 D．0.496
5．四个同学猜同一个谜语，如果每人猜对的概率都是，并且各人猜对与否互不影响，那么他们同时猜对的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．随机猜测“选择题”的答案，每道题猜对的概率为0.25，则两道选择题至少猜对一道以上的概率约为（　　）
A． B． C． D．
7．设是A的对立事件，是B的对立事件．若和事件A+B发生的概率为0.4，则积事件 发生的概率为（　　）
A．0.24 B．0.36 C．0.4 D．0.6
8．甲乙丙三位同学独立的解决同一个问题，已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为、、，则有人能够解决这个问题的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“五局三胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了四局的概率为（　　）
A． B． C． D．
10．某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这3类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15和0.30．如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则一个被保险人在一年内出事故的概率是（　　）
A．0.175 B．0.085 C．0.125 D．0.225
11．某电视台的夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为，，，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为（　　）
A． B． C． D．
12．甲、乙两名同学相约学习某种技能，该技能需要通过两项考核才能拿到证书，每项考核结果互不影响．已知甲同学通过第一项考核的概率是，通过第二项考核的概率是；乙同学拿到该技能证书的概率是，那么甲、乙两人至少有一人拿到该技能证书的概率是（　　）
A． B． C． D．
13．根据环境空气质量监测资料表明，某地一天的空气质量为轻度污染的概率是0.25，连续两天为轻度污染的概率是0.1，则此地在某天的空气质量为轻度污染的条件下，随后一天的空气质量也为轻度污染的概率是（　　）
A．0.4 B．0.25 C．0.1 D．0.05
14．世界排球比赛一般实行“五局三胜制”，在2019年第13届世界女排俱乐部锦标赛（俗称世俱杯）中，中国女排和某国女排相遇，根据历年数据统计可知，在中国女排和该国女排的比赛中，每场比赛中国女排获胜的概率为，该国女排获胜的概率为，现中国女排在先胜一局的情况下获胜的概率为（　　）
A． B． C． D．
15．甲乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为，乙译出密码的概率为，则密码被译出的概率是（　　）
A． B． C． D．
16．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（　　）
A． B． C． D．
17．学生李明上学要经过4个路口，前三个路口遇到红灯的概率均为，第四个路口遇到红灯的概率为，设在各个路口是否遇到红灯互不影响，则李明从家到学校恰好遇到一次红灯的概率为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共1小题）
18．连接正方体每个面的中心构成一个正八面体，甲随机选择此正八面体的三个顶点构成三角形，乙随机选择此正八面体三个面的中心构成三角形，且甲、乙的选择互不影响，则（　　）
A．甲选择的三个点构成正三角形的概率为
B．甲选择的三个点构成等腰直角三角形的概率为
C．乙选择的三个点构成正三角形的概率为
D．甲选择的三个点构成的三角形与乙选择的三个点构成的三角形相似的概率为
三．填空题（共16小题）
19．甲、乙、丙三人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是，则三人都成功破译的概率是 　 　；密码被两人成功破译的概率为 　 　．
20．一批排球中正品有m个，次品有n个，m+n＝10（m≥n），从这批排球中每次随机取一个，有放回地抽取10次，X表示抽到的次品个数若DX＝2.1，从这批排球中随机一次取两个，则至少有一个次品的概率p＝　 　
21．进行垃圾分类收集可减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等多方面的效益．为普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，考试有且仅有两道试题．已知甲同学答对每道题的概率均为p，乙同学答对每道题的概率均为q，且在考试中每人各题的答题结果互不影响．若甲，乙同时答对第一题的概率为，且恰有一人答对第二题的概率为，则p+q＝　 　．
22．已知甲射击的命中率为72%，乙射击的命中率为78%，两人的射击互不影响，这目标被击中的概率是 　 　（精确到0.01）．
23．甲，乙，丙三人的投篮命中率分别为0.8，0.7，0.6，如果他们三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率为　 　．
24．已知甲、乙二人能译出某种密码的概率分别为和，现让他们独立地破译这种密码，则至少有1人能译出密码的概率为　 　．
25．甲、乙两人进行投篮比赛，设两人每次投篮是否命中相互之间不受影响，已知甲、乙两人每次投篮命中的概率分别是0.7，0.6．若甲、乙各投篮一次，则甲命中且乙未命中的概率为　 　；若甲、乙各投篮两次，则甲比乙多命中一次的概率是　 　．
26．某超市销售的甲、乙两种品牌的腊肉各占，的份额，已知两种品种腊肉亚硝酸盐超标的概率分别为，，现有一市民在该超市随机挑选了一块腊肉，则该块腊肉亚硝酸盐超标的概率为 　 　．
27．甲、乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为，乙同学一次投篮命中的概率为，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是　 　．
28．一名信息员维护甲乙两公司的5G网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为　 　．
29．甲乙两个围棋队举行围棋擂台赛．每队3人，分别标上1、2、3号，第一场由每队1号出战，负者淘汰，然后每局不设平局，直到由负方的下一号出战，某队3个队员被淘汰完，则另一队获胜，比赛结束．表格中的第m行第n列的数字是甲队m号胜，乙队n号负的概率，则由甲队2号结束比赛的概率 　 　．
0.5 0.4 0.3
0.7 0.5 0.3
0.7 0.6 0.4
30．排球比赛实行“五局三胜制”，某次比赛中，中国女排和M国女排相遇，统计以往数据可知，每局比赛中国女排获胜的概率为，M国女排获胜的概率为，则中国女排在先输一局的情况下最终获胜的概率为　 　．
31．国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是，，．假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为　 　．
32．某单位年初有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（假设每辆车最多只获一次赔偿），设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为和P，且各车是否发生事故相互独立，现已知一年内该单位在此种保险中获赔的概率为，则P＝　 　（结果用最简分数表示）．
33．某射击运动员射击一次击中目标的概率为0.8，若该运动员连续射击两次，恰好击中目标一次的概率为　 　．
34．根据以往甲乙两人下象棋比赛中的记录，甲取胜的概率是0.5，和棋的概率是0.1，那么乙不输的概率是　 　．
四．解答题（共6小题）
35．某校高中三个年级的在校学生人数情况如表：
性别 年级 高一年级 高二年级 高三年级
女 110 150 z
男 290 450 600
按年级采用分层抽样的方法从在校学生中抽取50人，其中高一年级有10人．
（1）求z的值；
（2）按性别采用分层抽样的方法从高三年级中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1个女同学的概率．
36．为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛．比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，；甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．
（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．
37．将编号为1、2、3的三个小球放入编号为甲、乙、丙的三个盒子中，每盒放入一个小球，已知1号小球放入甲盒，2号小球放入乙盒，3号小球放入丙盒的概率分别为，记1号小球放入甲盒为事件A，2号小球放入乙盒为事件B，3号小球放入丙盒为事件C，事件A、B、C相互独立．
（Ⅰ）若，求事件A、B、C中至少有两件发生的概率；
（Ⅱ）若事件A、B、C中恰有两件发生的概率不低于，求p的取值范围．
38．某中学高中毕业的三名同学甲、乙、丙参加某大学的自主招生考核，在本次考核中只有合格和优秀两个等次，若考核为合格，则给子10分的降分资格：若考核为优秀，则给予20分的降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等次相互独立．
（Ⅰ）求在这次考核中，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率．
（Ⅱ）记在这次考核中．甲、乙、丙三名同学所得降分之和为随机变量X，写出X所有可能的取值，并求P（X≥50）的值．
39．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或者每人都已投3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．
（1）求乙获胜的概率；
（2）求投篮结束时，乙只投了2个球的概率．
40．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是，．假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．
（1）若甲、乙两人各射击一次，求均没有击中目标的概率；
（2）若甲连续射击，命中为止，求甲恰好射击3次结束射击的概率；
（3）若乙连续射击，直至命中2次为止，求乙恰好射击3次结束射击的概率．
新北师大版2022届一轮复习基础狂练 相互独立事件与相互独立事件概率的乘法公式
参考答案与试题解析
一．选择题（共17小题）
1．某工厂周一到周六轮流由甲、乙、丙3人值班，每人值两天，3人通过抽签决定每个人在哪两天值班，若乙恰好本周六需要出差，则乙需要与他人换班的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据排列组合的知识求出所有的种数和周六由乙值班的种数，根据概率公式计算即可．
【解答】解：某工厂周一到周六轮流由甲、乙、丙3人值班，每人值两天，3人通过抽签决定每个人在哪两天值班，
若乙恰好本周六需要出差，则乙需要与他人换班的概率，即周六由乙值班的概率．
周一到周六轮到有甲乙丙3人值班，每人值两天，共有C62C42C22＝90种，
其中，周六由乙值班的种数为C51C42C22＝30种，
故周六由乙值班的概率是，
故选：B．
2．十二生肖，又称十二属相，中国古人拿十二种动物来配十二地支，组成子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪十二属相．现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学依次随机抽取一件作为礼物，甲同学喜欢马、牛，乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，则这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】基本事件总数n1320，这三位同学抽取的礼物都喜欢包含的基本事件个数m＝1×2×9+1×3×9＝45，由此能求出这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率．
【解答】解：现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学依次随机抽取一件作为礼物，
甲同学喜欢马、牛，乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，
基本事件总数n1320，
这三位同学抽取的礼物都喜欢包含的基本事件个数m＝1×2×9+1×3×9＝45，
∴这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是p．
故选：A．
3．某中学组织高三学生进行一项能力测试，测试内容包括A、B、C三个类型问题，这三个类型所含题目的个数分别占总数的．现有3名同学独立地从中任选一个题目作答，则他们选择的题目所属类型互不相同的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用相互独立事件概率计算公式直接求解．
【解答】解：某中学组织高三学生进行一项能力测试，测试内容包括A、B、C三个类型问题，
这三个类型所含题目的个数分别占总数的．
现有3名同学独立地从中任选一个题目作答，
则他们选择的题目所属类型互不相同的概率为：
P．
故选：C．
4．如图，A、B、C表示三个开关，设在某段时间内它们正常工作的概率分别是0.9、0.8、0.7，那么该系统正常工作的概率是（　　）
A．0.994 B．0.686 C．0.504 D．0.496
【分析】系统正常工作的情况分成两个步骤，C正常工作且A，B中至少一个正常工作的情况，分别计算其概率可求得．
【解答】解：A、B、C表示三个开关，
设在某段时间内它们正常工作的概率分别是0.9、0.8、0.7，
设事件A表示A开关正常工作，事件B表示B开关正常工作，事件C表示C开关正常工作，
则P（A）＝0.9，P（B）＝0.8，P（C）＝0.7，
系统正常工作的情况分成两个步骤，A正常工作且B，C至少有一个正常工作的情况，
C正常工作的概率为：P（C）＝0.7；
A，B至少有一个正常工作的情况的概率为1减去A，B都不正常工作的情况的概率，
即：A，B至少有一个正常工作的概率为：1﹣（1﹣0.9）（1﹣0.8）＝0.98，
∴这个系统正常工作的概率为：P＝0.7×0.98＝0.686；
故选：B．
5．四个同学猜同一个谜语，如果每人猜对的概率都是，并且各人猜对与否互不影响，那么他们同时猜对的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用相互独立事件概率乘法公式直接求解．
【解答】解：四个同学猜同一个谜语，每人猜对的概率都是，
各人猜对与否互不影响，
∴他们同时猜对的概率为：P＝（）4．
故选：B．
6．随机猜测“选择题”的答案，每道题猜对的概率为0.25，则两道选择题至少猜对一道以上的概率约为（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式直接求解．
【解答】解：随机猜测“选择题”的答案，每道题猜对的概率为0.25，
两道选择题至少猜对一道以上的概率约为：
p．
故选：A．
7．设是A的对立事件，是B的对立事件．若和事件A+B发生的概率为0.4，则积事件 发生的概率为（　　）
A．0.24 B．0.36 C．0.4 D．0.6
【分析】根据和事件与积事件的意义，分析易得和事件A+B与积事件 互为对立事件，由对立事件的概率性质，可得答案．
【解答】解：根据题意，和事件A+B为A、B两个事件至少有一个发生，而积事件 为A、B两个事件都不发生；
分析易得和事件A+B与积事件 互为对立事件；
则积事件 发生的概率为1﹣0.4＝0.6；
故选：D．
8．甲乙丙三位同学独立的解决同一个问题，已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为、、，则有人能够解决这个问题的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式求出“问题未被解答”的概率，利用对立事件的概率公式得到“问题被解答”的概率．
【解答】解：此题没有被解答的概率为 （1）（1）（1），
故能够将此题解答出的概率为1，
故选：B．
9．甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“五局三胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了四局的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】在甲获得冠军的概率为p1＝（）3，比赛进行了四局的概率为p2．由此能求出在甲获得冠军的情况下，比赛进行了四局的概率．
【解答】解：甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，比赛为“五局三胜”制，
甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，
在甲获得冠军的概率为：
p1＝（）3，
比赛进行了四局的概率为：
p2．
∴在甲获得冠军的情况下，比赛进行了四局的概率为：
P．
故选：B．
10．某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这3类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15和0.30．如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则一个被保险人在一年内出事故的概率是（　　）
A．0.175 B．0.085 C．0.125 D．0.225
【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出一个被保险人在一年内出事故的概率．
【解答】解：某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．
统计资料表明，这3类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15和0.30．
“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，
则一个被保险人在一年内出事故的概率是：
P＝0.05×20%+0.15×50%+0.30×30%＝0.175．
故选：A．
11．某电视台的夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为，，，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用相互独立事件概率乘法公式直接求解．
【解答】解：电视台的夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为，，，
只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，
则该选手能进入第四关的概率为：
P．
故选：A．
12．甲、乙两名同学相约学习某种技能，该技能需要通过两项考核才能拿到证书，每项考核结果互不影响．已知甲同学通过第一项考核的概率是，通过第二项考核的概率是；乙同学拿到该技能证书的概率是，那么甲、乙两人至少有一人拿到该技能证书的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】先利用相互独立事件概率乘法公式求出甲通过考核的概率，再利用对立事件概率公式能求出甲、乙两人至少有一人拿到该技能证书的概率．
【解答】解：甲同学通过第一项考核的概率是，通过第二项考核的概率是，
∴甲通过考核的概率为p1，
乙同学拿到该技能证书的概率是，
∴甲、乙两人至少有一人拿到该技能证书的概率为：
P＝1﹣（1）（1）．
故选：D．
13．根据环境空气质量监测资料表明，某地一天的空气质量为轻度污染的概率是0.25，连续两天为轻度污染的概率是0.1，则此地在某天的空气质量为轻度污染的条件下，随后一天的空气质量也为轻度污染的概率是（　　）
A．0.4 B．0.25 C．0.1 D．0.05
【分析】利用相互独立事件概率乘法公式能求出此地在某天的空气质量为轻度污染的条件下，随后一天的空气质量也为轻度污染的概率．
【解答】解：此地在某天的空气质量为轻度污染的条件下，
设随后一天的空气质量也为轻度污染的概率为p，
∵某地一天的空气质量为轻度污染的概率是0.25，
连续两天为轻度污染的概率是0.1，
∴0.25p＝0.1，
解得p＝0.4．
故选：A．
14．世界排球比赛一般实行“五局三胜制”，在2019年第13届世界女排俱乐部锦标赛（俗称世俱杯）中，中国女排和某国女排相遇，根据历年数据统计可知，在中国女排和该国女排的比赛中，每场比赛中国女排获胜的概率为，该国女排获胜的概率为，现中国女排在先胜一局的情况下获胜的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用相互独立事件概率乘法公式直接求解．
【解答】解：∵在中国女排和该国女排的比赛中，
每场比赛中国女排获胜的概率为，该国女排获胜的概率为，
世界排球比赛一般实行“五局三胜制”，中国女排在先胜一局的情况下获胜的概率为：
P．
故选：A．
15．甲乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为，乙译出密码的概率为，则密码被译出的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】密码被译出的对立事件是两个人同时不能译出密码，由此能求出密码被译出的概率．
【解答】解：∵密码被译出的对立事件是两个人同时不能译出密码，
∴密码被译出的概率为P＝1﹣（1）（1）．
故选：C．
16．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由相互独立可求解恰有一个一等品的概率．
【解答】解：由于两个零件是否加工为一等品相互独立，
所以两个零件中恰有一个一等品，另一个不为一等品．
∴P（1）+（1），
故选：B．
17．学生李明上学要经过4个路口，前三个路口遇到红灯的概率均为，第四个路口遇到红灯的概率为，设在各个路口是否遇到红灯互不影响，则李明从家到学校恰好遇到一次红灯的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出李明从家到学校恰好遇到一次红灯的概率．
【解答】解：学生李明上学要经过4个路口，前三个路口遇到红灯的概率均为，第四个路口遇到红灯的概率为，
设在各个路口是否遇到红灯互不影响，
∴李明从家到学校恰好遇到一次红灯的概率为：
P．
故选：A．
二．多选题（共1小题）
18．连接正方体每个面的中心构成一个正八面体，甲随机选择此正八面体的三个顶点构成三角形，乙随机选择此正八面体三个面的中心构成三角形，且甲、乙的选择互不影响，则（　　）
A．甲选择的三个点构成正三角形的概率为
B．甲选择的三个点构成等腰直角三角形的概率为
C．乙选择的三个点构成正三角形的概率为
D．甲选择的三个点构成的三角形与乙选择的三个点构成的三角形相似的概率为
【分析】利用古典概型的概率公式分别求出四个选项中的概率，即可判断得到答案．
【解答】解：甲随机选择的情况有种，乙随机选择的情况有种，
对于A，甲选择的三个点构成正三角形，只有一种情况：
甲从上下两个点中选一个，从中间四个点中选相邻两个，共有种，
故甲选择的三个点构成正三角形的概率为，故选项A正确；
对于B，甲选择的三个点构成等腰直角三角形，有三种情况：
①上下两点都选，中间四个点中选一个，共有4种；
②上下两点钟选一个，中间四个点中选相对的两个点，共有种；
③中间四个点中选三个点，共有种，
故共有4+4+4＝12种，
所以甲选择的三个点构成等腰直角三角形的概率为，故选项B正确；
对于C，乙选择的三个点构成正三角形，只有一种情况：
上面四个面的中心中选一个点且从下面四个面的中心选相对的两个点，或下面四个面的中心中选一个点且从上面四个面的中心选相对的两个点，共有种，
所以乙选择的三个点构成正三角形的概率为，故选项C错误；
对于D，选择的三个点构成等腰直角三角形同上所求，共有8+16＝24种，概率为，
甲乙相似，则甲乙均为正三角形或均为等腰直角三角形，
所以甲选择的三个点构成的三角形与乙选择的三个点构成的三角形相似的概率为，故选项D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共16小题）
19．甲、乙、丙三人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是，则三人都成功破译的概率是 　　；密码被两人成功破译的概率为 　　．
【分析】利用相互独立事件概率乘法公式，互斥事件概率加法公式即可求解．
【解答】解：∵甲、乙、丙三人能破译的概率分别是，，，
∴三人都成功破译的概率为：P1，
密码被两人成功破译的概率为：
P2（1）（1）+（1）．
故答案为：，．
20．一批排球中正品有m个，次品有n个，m+n＝10（m≥n），从这批排球中每次随机取一个，有放回地抽取10次，X表示抽到的次品个数若DX＝2.1，从这批排球中随机一次取两个，则至少有一个次品的概率p＝　　
【分析】由题意知随机变量X～（10，），根据方差DX求得n的值，再计算所求的概率值．
【解答】解：由题意知，随机变量X～（10，），
则方差DX＝10（1）＝2.1，
又m≥n，则n≤5，
∴解得n＝3，
∴所求的概率为p＝1．
故答案为：．
21．进行垃圾分类收集可减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等多方面的效益．为普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，考试有且仅有两道试题．已知甲同学答对每道题的概率均为p，乙同学答对每道题的概率均为q，且在考试中每人各题的答题结果互不影响．若甲，乙同时答对第一题的概率为，且恰有一人答对第二题的概率为，则p+q＝　　．
【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式列出方程组即可求解．
【解答】解：由题意，得，解得p+q．
故答案为：．
22．已知甲射击的命中率为72%，乙射击的命中率为78%，两人的射击互不影响，这目标被击中的概率是 　0.94　（精确到0.01）．
【分析】目标被击中的对立事件是2人都没有命中目标，由此利用对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式能求出目标被击中的概率．
【解答】解：∵目标被击中的对立事件是2人都没有命中目标，
∴目标被击中的概率为：P＝1﹣（1﹣0.72）（1﹣0.78）≈0.94．
故答案为：0.94．
23．甲，乙，丙三人的投篮命中率分别为0.8，0.7，0.6，如果他们三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率为　0.976　．
【分析】由题意利用相互独立事件的概率计算公式，事件和它的对立事件概率间的关系，求得结果．
【解答】解：∵甲，乙，丙三人的投篮命中率分别为0.8，0.7，0.6，如果他们三人每人投篮一次，
则他们都没有投中的概率为（1﹣0.8）（1﹣0.7）（1﹣0.6）＝0.024，
则至少一人命中的概率为1﹣0.024＝0.976，
故答案为：0.976．
24．已知甲、乙二人能译出某种密码的概率分别为和，现让他们独立地破译这种密码，则至少有1人能译出密码的概率为　　．
【分析】至少有1人能译出密码的对立事件是两人都不能译出密码，由此利用对立事件概率计算公式能求出至少有1人能译出密码的概率．
【解答】解：甲、乙二人能译出某种密码的概率分别为和，
现让他们独立地破译这种密码，
至少有1人能译出密码的对立事件是两人都不能译出密码，
∴至少有1人能译出密码的概率：
p＝1﹣（1）（1）．
故答案为：．
25．甲、乙两人进行投篮比赛，设两人每次投篮是否命中相互之间不受影响，已知甲、乙两人每次投篮命中的概率分别是0.7，0.6．若甲、乙各投篮一次，则甲命中且乙未命中的概率为　0.28　；若甲、乙各投篮两次，则甲比乙多命中一次的概率是　0.3024　．
【分析】利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲命中且乙未命中的概率；甲、乙各投篮两次，则甲比乙多命中一次包含的基本事件有两种情况：①甲命中一次，乙两次都没命中，②甲命中两次，乙命中一次，利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式能求出甲、乙各投篮两次，甲比乙多命中一次的概率．
【解答】解：甲、乙两人每次投篮命中的概率分别是0.7，0.6．甲、乙各投篮一次，
设事件A表示“甲命中且乙未命中”，
则甲命中且乙未命中的概率为P（A）＝0.7×（1﹣0.6）＝0.28；
若甲、乙各投篮两次，则甲比乙多命中一次包含的基本事件有两种情况：
①甲命中一次，乙两次都没命中，概率为：p10.0672，
②甲命中两次，乙命中一次，概率为：P20.2352，
∴甲、乙各投篮两次，则甲比乙多命中一次的概率是：
P＝P1+P2＝0.0672+0.2352＝0.3024．
故答案为：0.28，0.3024．
26．某超市销售的甲、乙两种品牌的腊肉各占，的份额，已知两种品种腊肉亚硝酸盐超标的概率分别为，，现有一市民在该超市随机挑选了一块腊肉，则该块腊肉亚硝酸盐超标的概率为 　　．
【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解．
【解答】解：现一市民在该超市随机挑选了一块腊肉，
则该块腊肉亚硝酸盐超标的概率为：P．
故答案为：．
27．甲、乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为，乙同学一次投篮命中的概率为，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是　　．
【分析】甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的对立事件是两个人都没有命中，由此能求出甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率．
【解答】解：甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的对立事件是两个人都没有命中，
则甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是：
P＝1﹣（1）（1）．
故答案为：．
28．一名信息员维护甲乙两公司的5G网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为　0.88　．
【分析】利用相互独立事件概率计算公式和对立事件概率计算公式直接求解．
【解答】解：一名信息员维护甲乙两公司的5G网络，
一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，
它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，
至少有一个公司不需要维护的概率为：
P＝1﹣0.4×0.3＝0.88．
故答案为：0.88．
29．甲乙两个围棋队举行围棋擂台赛．每队3人，分别标上1、2、3号，第一场由每队1号出战，负者淘汰，然后每局不设平局，直到由负方的下一号出战，某队3个队员被淘汰完，则另一队获胜，比赛结束．表格中的第m行第n列的数字是甲队m号胜，乙队n号负的概率，则由甲队2号结束比赛的概率 　0.1395　．
0.5 0.4 0.3
0.7 0.5 0.3
0.7 0.6 0.4
【分析】甲队1号可能被淘汰在第1，2，3场，所以2号结束比赛的概率可分为3个互斥事件，再利用互斥事件的概率加法公式，以及独立事件的概率乘法公式，即可求出结果．
【解答】解：甲队1号可能被淘汰在第1，2，3场，则2号结束比赛的概率可分为3个互斥事件：
0.5×0.7×0.5×0.3+0.5×0.6×0.5×0.3+0.5×0.4×0.7×0.3＝0.5×0.3+（0.35+0.3+0.28）＝0.1395，
故答案为：0.1395．
30．排球比赛实行“五局三胜制”，某次比赛中，中国女排和M国女排相遇，统计以往数据可知，每局比赛中国女排获胜的概率为，M国女排获胜的概率为，则中国女排在先输一局的情况下最终获胜的概率为　　．
【分析】中国女排在先输一局的情况下最终获胜包含两种结果：①中国女排在先输一局的情况下，第二、三、四局连胜三局；②中国女排在先输一局的情况下，第二、三、四局两胜一负，第五局中国女排胜，由此能求出中国女排在先输一局的情况下最终获胜的概率．
【解答】解：排球比赛实行“五局三胜制”，
某次比赛中，中国女排和M国女排相遇，统计以往数据可知，
每局比赛中国女排获胜的概率为，M国女排获胜的概率为，
中国女排在先输一局的情况下最终获胜包含两种结果：
①中国女排在先输一局的情况下，第二、三、四局连胜三局；
②中国女排在先输一局的情况下，第二、三、四局两胜一负，第五局中国女排胜，
则中国女排在先输一局的情况下最终获胜的概率为：
P＝（）3．
故答案为：．
31．国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是，，．假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为　　．
【分析】这段时间内至少有1人去北京旅游的对立事件是这段时间内没有人去北京旅游，由此能求出这段时间内至少有1人去北京旅游的概率．
【解答】解：甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是，，．
假定三人的行动相互之间没有影响，
这段时间内至少有1人去北京旅游的对立事件是这段时间内没有人去北京旅游，
∴这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为：
P＝1﹣（1）（1）（1）．
故答案为：．
32．某单位年初有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（假设每辆车最多只获一次赔偿），设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为和P，且各车是否发生事故相互独立，现已知一年内该单位在此种保险中获赔的概率为，则P＝　　（结果用最简分数表示）．
【分析】利用相互独立事件概率计算公式和对立事件概率计算公式列出方程，能求出P．
【解答】解：设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为和P，且各车是否发生事故相互独立，
现已知一年内该单位在此种保险中获赔的概率为，
则依题意得，
解得P．
故答案为：．
33．某射击运动员射击一次击中目标的概率为0.8，若该运动员连续射击两次，恰好击中目标一次的概率为　0.32　．
【分析】利用相互独立事件概率乘法公式直接求解．
【解答】解：某射击运动员射击一次击中目标的概率为0.8，
该运动员连续射击两次，
则恰好击中目标一次的概率为：
p0.32．
故答案为：0.32．
34．根据以往甲乙两人下象棋比赛中的记录，甲取胜的概率是0.5，和棋的概率是0.1，那么乙不输的概率是　0.5　．
【分析】利用对立事件概率计算公式求解．
【解答】解：∵甲取胜的概率是0.5，和棋的概率是0.1，
∴乙不输的概率p＝1﹣0.5＝0.5．
故答案为：0.5．
四．解答题（共6小题）
35．某校高中三个年级的在校学生人数情况如表：
性别 年级 高一年级 高二年级 高三年级
女 110 150 z
男 290 450 600
按年级采用分层抽样的方法从在校学生中抽取50人，其中高一年级有10人．
（1）求z的值；
（2）按性别采用分层抽样的方法从高三年级中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1个女同学的概率．
【分析】（1）根据条件结合分层抽样的定义求得三个年级的总人数，从而求得x的值．
（2）先求出样本中男、女生数量，再求得所抽取2人中没有女生的概率，则用1减去此概率，即为所求．
【解答】解：（1）由于高一年级总人数为110+290＝400，故三个年级的总人数为4002000，
故z＝2000﹣400﹣（150+450）﹣600＝400 （人）．
（2）样本中女生数为52，故男生数为3，将该样本看成一个总体，从中任取2人，其中没有女生的概率为，
∴至少有1个女同学的概率为 1．
36．为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛．比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，；甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．
（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．
【分析】（1）设事件A1表示“甲在第一轮比赛中胜出”，事件A2表示“甲在第二轮比赛中胜出”，事件B1表示“乙在第一轮比赛中胜出”，事件B2表示“乙在第二轮比赛中胜出”，则A1A2表示“甲赢得比赛”，B1B2表示“乙赢得比赛“，利用相互独立事件概率乘法公式分别求出甲赢得比赛的概率和乙赢得比赛的概率，由此得到派甲参赛赢得比赛的概率更大．
（2）设C表示“甲赢得比赛”，D表示“乙赢得比赛”，C∪D表示“两人中至少有一个赢得比赛”，P（C∪D）＝1﹣P（）＝1﹣P（）P（），由此能求出两人中至少有一人赢得比赛的概率．
【解答】解：（1）设事件A1表示“甲在第一轮比赛中胜出”，事件A2表示“甲在第二轮比赛中胜出”，
事件B1表示“乙在第一轮比赛中胜出”，事件B2表示“乙在第二轮比赛中胜出”，
则A1A2表示“甲赢得比赛”，P（A1A2）＝P（A1）P（A2），
B1B2表示“乙赢得比赛“，P（B1B2）＝P（B1）P（B2），
∵，∴派甲参赛赢得比赛的概率更大．
（2）设C表示“甲赢得比赛”，D表示“乙赢得比赛”，
由（1）知P（）＝1﹣P（A1A2）＝1，
P（）＝1﹣P（B1B2）＝1，
∴C∪D表示“两人中至少有一个赢得比赛”，
∴P（C∪D）＝1﹣P（）＝1﹣P（）P（）＝1．
37．将编号为1、2、3的三个小球放入编号为甲、乙、丙的三个盒子中，每盒放入一个小球，已知1号小球放入甲盒，2号小球放入乙盒，3号小球放入丙盒的概率分别为，记1号小球放入甲盒为事件A，2号小球放入乙盒为事件B，3号小球放入丙盒为事件C，事件A、B、C相互独立．
（Ⅰ）若，求事件A、B、C中至少有两件发生的概率；
（Ⅱ）若事件A、B、C中恰有两件发生的概率不低于，求p的取值范围．
【分析】（I）根据三个事件相互独立，可以得到三个事件至少有两件发生包括四种情况，即有两件发生和三件发生，根据相互独立事件同时发生的概率公式和互斥事件的概率公式得到结果．
（II）利用相互独立事件同时发生的概率公式写出事件恰有两件发生的概率，得到关于p的不等式，解出不等式得到结果，注意概率本身的范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵事件A、B、C相互独立
∴事件A、B、C中至少有两件发生的概率为
（6分）
（Ⅱ）依题意有（9分）
即
∴
解得（11分）
∵p≤1
所以p的取值范围是（12分）
38．某中学高中毕业的三名同学甲、乙、丙参加某大学的自主招生考核，在本次考核中只有合格和优秀两个等次，若考核为合格，则给子10分的降分资格：若考核为优秀，则给予20分的降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等次相互独立．
（Ⅰ）求在这次考核中，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率．
（Ⅱ）记在这次考核中．甲、乙、丙三名同学所得降分之和为随机变量X，写出X所有可能的取值，并求P（X≥50）的值．
【分析】（Ⅰ）利用相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率计算公式能求出在这次考核中，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率．
（Ⅱ）记在这次考核中．甲、乙、丙三名同学所得降分之和为随机变量X，则X所有可能的取值为30，40，50，60，利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率计算公式能求出P（X≥50）．
【解答】解：（Ⅰ）某中学高中毕业的三名同学甲、乙、丙参加某大学的自主招生考核，
在本次考核中只有合格和优秀两个等次，
若考核为合格，则给子10分的降分资格：若考核为优秀，则给予20分的降分资格．
假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等次相互独立．
∴在这次考核中，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率：
P＝1﹣（1）（1）（1）．
（Ⅱ）记在这次考核中．甲、乙、丙三名同学所得降分之和为随机变量X，
则X所有可能的取值为30，40，50，60，
P（X＝50）（1），
P（X＝60），
∴P（X≥50）＝P（X＝50）+P（X＝60）．
39．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或者每人都已投3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．
（1）求乙获胜的概率；
（2）求投篮结束时，乙只投了2个球的概率．
【分析】（1）设事件Ai，Bi（i＝1，2，3）分别表示甲、乙在第i次投篮投中，利用相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式能求出乙获胜的概率为．
（2）利用相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式能求出投篮结束时，乙只投了2个球的概率．
【解答】解：（1）设事件Ai，Bi（i＝1，2，3）分别表示甲、乙在第i次投篮投中，
则乙获胜的概率为：
．
（2）投篮结束时，乙只投了2个球的概率为：
．
40．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是，．假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．
（1）若甲、乙两人各射击一次，求均没有击中目标的概率；
（2）若甲连续射击，命中为止，求甲恰好射击3次结束射击的概率；
（3）若乙连续射击，直至命中2次为止，求乙恰好射击3次结束射击的概率．
【分析】（1）根据题意，记甲击中目标为A，乙击中目标为B，求出P（）和p（），由相互独立事件的概率公式计算可得答案；
（2）根据题意，甲恰好射击3次结束射击，即前2次甲没有击中，第3次击中了目标，由相互独立事件的概率公式计算可得答案；
（3）根据题意，乙恰好射击3次结束射击，即前2次中有且只有1次击中，第3次击中目标，由互斥事件和相互独立事件的概率公式计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，记甲击中目标为A，乙击中目标为B，
甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是，．则甲没有击中目标的概率P（），乙没有击中目标的概率p（）；
故甲乙均没有击中目标的概率P（）；
（2）根据题意，甲恰好射击3次结束射击，即前2次甲没有击中，第3次击中了目标，
其概率P1＝P（A）；
（3）根据题意，乙恰好射击3次结束射击，即前2次中有且只有1次击中，第3次击中目标，
则其概率P2＝P（BB）+p（BB）．
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