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2.3.2 两条直线的交点坐标
【知识1】求相交直线的交点坐标
已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则交点P的坐标是方程组的解．
【知识2】判断两直线位置关系的方法
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)：
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个
直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行
注意点：
(1)判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．
有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.
(2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用．
【知识3】直线系过定点问题
1．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．
2．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0.
3．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．
【例1-1】求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程．
【例1-2】求斜率为-1，且过两条直线2x+y+4=0和x-2y-3=0交点的直线方程。
【例1-3】已知直线kx-y+1=0和x-ky=0相交，且交点在第二象限，则实数k的取值范围为（　　）
A．（-1，0） B．（0，1] C．（0，1） D．（1，+∞）
【练习1-1】直线l1：2x+y-3=0与l2：x-y+6=0交点的坐标为（　　）
A．（-1，5） B．（1，1） C．（-2，4） D．（2，-1）
【练习1-2】求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
【练习1-3】直线kx-y-1=0与直线x+2y-2=0的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【例2-1】点A（-3，2），B（3，2），直线ax-y-1=0与线段AB相交，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【例2-2】直线2x-y+k=0与4x-2y+1=0的位置关系是（　　）
A．平行 B．不平行
C．平行或重合 D．既不平行也不重合
【练习2-1】已知直线l：ax-y+1=0，点A（1，-3），B（2，3），若直线l与线段AB有公共点，则实数a的取值范围是（　　）
A．[-4，1] B．
C． D．
【练习2-2】直线2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置关系是（　　）
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．不能确定
【例3-1】无论m为何值，直线l：(m＋1)x－y－7m－4＝0恒过一定点P，求点P的坐标．
【练习3-1】不论m为何值，直线（2m-1）x+（m+2）y+5=0恒过定点（　　）
A．（-1，-2） B．（1，-2） C．（-1，2） D．（1，2）
【练习3-2】对任意实数m，直线mx-y-m+3=0恒过定点，则该定点的坐标为 。
课后练习
1．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为(　　)
A．(3,2) B．(2,3)
C．(－2，－3) D．(－3，－2)
2．不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点(　　)
A．(－3，－1) B．(－2，－1)
C．(－3,1) D．(－2,1)
3．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．
4．已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________．
5．求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程为________________．
6．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为_______．
2.3.2 两条直线的交点坐标
【知识1】求相交直线的交点坐标
已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则交点P的坐标是方程组的解．
【知识2】判断两直线位置关系的方法
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)：
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个
直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行
注意点：
(1)判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．
有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.
(2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用．
【知识3】直线系过定点问题
1．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．
2．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0.
3．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．
【例1-1】求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程．
解　方法一　由方程组
解得
即l1与l2的交点坐标为(－2,2)．
∵直线过坐标原点，
∴其斜率k＝＝－1.
故直线方程为y＝－x，即x＋y＝0.
方法二　∵l2不过原点，
∴可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，
即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0.
将原点坐标(0,0)代入上式，得λ＝1，
∴直线l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.
【例1-2】求斜率为-1，且过两条直线2x+y+4=0和x-2y-3=0交点的直线方程为
解　联立直线2x+y+4=0和x-2y-3=0，
解得x=-1，y=-2，
所以两条直线2x+y+4=0和x-2y-3=0交点为（-1，-2），
又直线的斜率为-1，
所以所求直线的方程为y+2=-（x+1），即x+y+3=0．
故答案为：x+y+3=0．
【例1-3】已知直线kx-y+1=0和x-ky=0相交，且交点在第二象限，则实数k的取值范围为（　　）
A．（-1，0） B．（0，1] C．（0，1） D．（1，+∞）
【答案】A
【练习1-1】直线l1：2x+y-3=0与l2：x-y+6=0交点的坐标为（　　）
A．（-1，5） B．（1，1） C．（-2，4） D．（2，-1）
【答案】A
【练习1-2】求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
解　方法一　由方程组
得即P(0,2)．
∵l⊥l3，l3的斜率为，
∴kl＝－，
∴直线l的方程为y－2＝－x，
即4x＋3y－6＝0.
方法二　∵直线l过直线l1和l2的交点，
∴可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，
即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.
∵l与l3垂直，
∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，∴λ＝11，
∴直线l的方程为12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0.
【练习1-3】直线kx-y-1=0与直线x+2y-2=0的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【例2-1】点A（-3，2），B（3，2），直线ax-y-1=0与线段AB相交，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【例2-2】直线2x-y+k=0与4x-2y+1=0的位置关系是（　　）
A．平行 B．不平行
C．平行或重合 D．既不平行也不重合
【答案】C
【练习2-1】已知直线l：ax-y+1=0，点A（1，-3），B（2，3），若直线l与线段AB有公共点，则实数a的取值范围是（　　）
A．[-4，1] B．
C． D．
【答案】A
【练习2-2】直线2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置关系是（　　）
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．不能确定
【答案】C
【例3-1】无论m为何值，直线l：(m＋1)x－y－7m－4＝0恒过一定点P，求点P的坐标．
解　∵(m＋1)x－y－7m－4＝0，
∴m(x－7)＋(x－y－4)＝0，
∴∴
∴点P的坐标为(7,3)．
【练习3-1】不论m为何值，直线（2m-1）x+（m+2）y+5=0恒过定点（　　）
A．（-1，-2） B．（1，-2） C．（-1，2） D．（1，2）
【答案】B
【练习3-2】对任意实数m，直线mx-y-m+3=0恒过定点，则该定点的坐标为 。
【答案】（1，3）．
课后练习
1．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为(　　)
A．(3,2) B．(2,3)
C．(－2，－3) D．(－3，－2)
答案　B
解析　解方程组得
2．不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点(　　)
A．(－3，－1) B．(－2，－1)
C．(－3,1) D．(－2,1)
答案　C
解析　直线l的方程可化为m(x＋2y＋1)－x－3y＝0，
令解得
∴直线l恒过定点(－3,1)．故选C.
3．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．
答案　－9
解析　由得
所以点(1,2)满足方程mx＋2y＋5＝0，
即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9.
4．已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________．
答案　
解析　由方程组
解得
(若2k＋1＝0，即k＝－，则两直线平行)
∴交点坐标为.
又∵交点位于第一象限，∴
解得－5．求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程为________________．
答案　5x＋3y－1＝0
解析　先解方程组
得l1，l2的交点坐标为(－1,2)，
再由l3的斜率为求出l的斜率为－，
于是由直线的点斜式方程求出l：
y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.
6．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为_______．
答案　3x＋19y＝0
解析　过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原点坐标，求得λ＝－，故所求直线方程为x－3y＋4－(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.

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