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2.3.1 两条直线平行与垂直的判定
【知识1】两条直线平行
(1)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2 k1＝k2.
(2)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
注意点：
(1)l1∥l2 k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．
(2)k1＝k2 l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在)．
(3)l1∥l2 k1＝k2或两条直线的斜率都不存在．
【知识2】两条直线垂直
(1)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2 k1·k2＝－1.
(2)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.
注意点：
(1)l1⊥l2 k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在．
(2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2.
(3)当两条直线的斜率都存在时，若有两条直线的垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率．
【例1-1】　直线L1：ax+3y+1=0，L2：2x+（a+1）y+1=0，若L1∥L2，则a的值为（　　）
A．-3 B．2 C．-3或2 D．3或-2
【例1-2】判断下列各题中的直线l1与l2是否平行：
(1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)；
(2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；
(3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2,0)；
(4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)．
【例1-3】过点P（2，-2）且平行于直线2x+y+1=0的直线方程为（　　）
A．2x+y-2=0 B．2x-y-2=0 C．2x+y-6=0 D．2x+y+2=0
【练习1-1】试确定m的值，使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行．
【练习1-2】若直线mx+2y-2=0与直线x+（m-1）y+2=0平行，则m的值为（　　）
A．-1 B．1 C．2或-1 D．2
【练习1-3】已知过点A（-2，m）和B（m，4）的直线与直线y=2x+1平行，则m=（　　）
A．0 B．-8 C．2 D．10
【例2-1】已知△ABC三个顶点坐标分别为A（-2，-4），B（6，6），C（0，6），则边AB上的高所在直线的斜率
【例2-2】已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值．
【例2-3】过点P（1，-2）且与直线3x+2y-5=0垂直的直线方程是 ．
【例2-4】若直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a-1）y+a2-1=0垂直，则a= ．
反思感悟　判断两条直线是否垂直的方法
在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可；若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直．
【练习2-1】(多选)下列各对直线互相垂直的是(　　)
A．l1过点M(1,1)，N(1,2)，l2过点P(1,5)，Q(3,5)
B．l1的斜率为－，l2过点P(1,1)，Q
C．l1的倾斜角为30°，l2过点P(3，)，Q(4,2)
D．l1过点M(1,0)，N(4，－5)，l2过点P(－6,0)，Q(－1,3)
【练习2-2】已知直线l1：mx+4y-2=0与l2：2x-5y+n=0互相垂直，其垂足为（1，p），则m+n-p的值为（　　）
A．4 B．-16 C．0 D．20
【练习2-3】已知直线l1：ax-y+2a=0，l2：（2a-1）x+ay+a=0互相垂直，则实数a的值是
。
【例3-1】已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状．
【练习3-1】已知点A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)．
课后练习
1．已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a等于(　　)
A．－1 B．2
C．0或－2 D．－1或2
2.与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程为________．
3.经过点A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程为________．
4.如果直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则直线l2的斜率为(　　)
A. B．a C．－ D．－或不存在
5.已知直线l过点(0,7)，且与直线y＝－4x＋2平行，则直线l的方程为(　　)
A．y＝－4x－7 B．y＝4x－7
C．y＝4x＋7 D．y＝－4x＋7
6.若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为(　　)
A．－12 B．－2 C．0 D．10
2.3.1 两条直线平行和垂直的判定
【知识1】两条直线平行
(1)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2 k1＝k2.
(2)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
注意点：
(1)l1∥l2 k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．
(2)k1＝k2 l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在)．
(3)l1∥l2 k1＝k2或两条直线的斜率都不存在．
【知识2】两条直线垂直
(1)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2 k1·k2＝－1.
(2)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.
注意点：
(1)l1⊥l2 k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在．
(2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2.
(3)当两条直线的斜率都存在时，若有两条直线的垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率．
【例1-1】　直线L1：ax+3y+1=0，L2：2x+（a+1）y+1=0，若L1∥L2，则a的值为（　　）
A．-3 B．2 C．-3或2 D．3或-2
【答案】A
【例1-2】判断下列各题中的直线l1与l2是否平行：
(1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)；
(2)l1的斜率为1，l2:y=x；
(3)l1：x+2y=1，l2：4x+8y-2=0；
(4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)．
解　(1)k1＝＝1，k2＝＝，k1≠k2，l1与l2不平行．
(2)k1＝1，k2＝1,l1与l2平行或重合
(3)故l1∥l2.
(4)由已知点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且不重合，故有l1∥l2.
【例1-3】过点P（2，-2）且平行于直线2x+y+1=0的直线方程为（　　）
A．2x+y-2=0 B．2x-y-2=0 C．2x+y-6=0 D．2x+y+2=0
【解答】解：设与直线2x+y+1=0平行的直线方程为2x+y+m=0，
代入P（2，-2），可得2×2-2+m=0，即m=-2．
∴过点P（2，-2）且平行于直线2x+y+1=0的直线方程为2x+y-2=0．
故选：A
【练习1-1】试确定m的值，使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行．
解　由题意知直线CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在．kAB＝＝，kCD＝＝，由于AB∥CD，所以kAB＝kCD，即＝，得m＝－2.经验证，当m＝－2时直线AB的斜率存在，所以m＝－2.
【练习1-2】若直线mx+2y-2=0与直线x+（m-1）y+2=0平行，则m的值为（　　）
A．-1 B．1 C．2或-1 D．2
【答案】D
【练习1-3】已知过点A（-2，m）和B（m，4）的直线与直线y=2x+1平行，则m=（　　）
A．0 B．-8 C．2 D．10
【答案】A
【例2-1】已知△ABC三个顶点坐标分别为A（-2，-4），B（6，6），C（0，6），则边AB上的高所在直线的斜率
【答案】-4/5
【例2-2】已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值．
解　若∠A为直角，则AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1，
即·＝－1，解得m＝－7；
若∠B为直角，则AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1，
即·＝－1，解得m＝3；
若∠C为直角，则AC⊥BC，∴kAC·kBC＝－1，
即·＝－1，解得m＝±2.
综上所述，m＝－7或m＝3或m＝±2.
【例2-3】过点P（1，-2）且与直线3x+2y-5=0垂直的直线方程是 ．
【答案】2x-3y+4=0．
【例2-4】若直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a-1）y+a2-1=0垂直，则a= ．
【解答】解：当a=1时，直线l1：x+2y+6=0，直线l2：x+a2-1=0，显然两直线不垂直． 当a≠1时，由斜率之积等于-1可得 解得
反思感悟　判断两条直线是否垂直的方法
在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可；若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直．
【练习2-1】(多选)下列各对直线互相垂直的是(　　)
A．l1过点M(1,1)，N(1,2)，l2过点P(1,5)，Q(3,5)
B．l1的斜率为－，l2过点P(1,1)，Q
C．l1的倾斜角为30°，l2过点P(3，)，Q(4,2)
D．l1过点M(1,0)，N(4，－5)，l2过点P(－6,0)，Q(－1,3)
答案　ABD
解析　A中，l1与x轴垂直，l2与x轴平行，故两直线垂直；
B中，l2过点P(1,1)，Q，kPQ＝，故两条直线垂直．
C中，kPQ＝，故l1不与l2垂直．
D中，l1过点M(1,0)，N(4，－5)，kMN＝－ ，l2过点P(－6，0)，Q(－1,3)，kPQ＝，故两条直线垂直．
【练习2-2】已知直线l1：mx+4y-2=0与l2：2x-5y+n=0互相垂直，其垂足为（1，p），则m+n-p的值为（　　）
A．4 B．-16 C．0 D．20
【答案】C
【练习2-3】已知直线l1：ax-y+2a=0，l2：（2a-1）x+ay+a=0互相垂直，则实数a的值是
。
【解答】解：∵直线l1：ax-y+2a=0与直线l2：（2a-1）x+ay+a=0互相垂直，
∴a×（2a-1）+（-1）×a=0，解之得a=0或1
故答案为：0或1
【例3-1】已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状．
解　A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图，
由斜率公式可得
kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3，kBC＝＝－，
∴kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，
∴AB∥CD.
由kAD≠kBC，∴AD与BC不平行．
又kAB·kAD＝×(－3)＝－1，
∴AB⊥AD.
故四边形ABCD为直角梯形．
【练习3-1】已知点A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)．
解　设所求点D的坐标为(x，y)，
如图所示，由于kAB＝3，kBC＝0，
∴kAB·kBC＝0≠－1，
即AB与BC不垂直，
故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰．
(1)若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥CD，AD⊥CD，
∵kBC＝0，
∴CD的斜率不存在，从而有x＝3.
又kAD＝kBC，
∴＝0，即y＝3，此时AB与CD不平行，
故所求点D的坐标为(3,3)．
(2)若AD是直角梯形的直角腰，则AD⊥AB，AD⊥CD，
∵kAD＝，kCD＝，
∴
解得x＝，y＝，
∴D点坐标为.
综上，D点坐标为(3,3)或.
课后练习
1．已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a等于(　　)
A．－1 B．2
C．0或－2 D．－1或2
答案　D
解析　方法一　∵直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0的斜率存在．
又∵l1∥l2，∴＝－，
∴a＝－1或a＝2，又两条直线在y轴上的截距不相等．
∴a＝－1或a＝2时满足两条直线平行．
方法二　由A1B2－A2B1＝0得，(a－1)a－1×2＝0，
解得a＝－1或a＝2.
由A1C2－A2C1≠0，得(a－1)×3－1×1≠0.
所以a＝－1或a＝2.
2.与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程为________．
答案　3x＋4y－11＝0
解析　由题意，可设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)，
又因为直线l过点(1,2)，
所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11.
因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.
3.经过点A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程为________．
答案　x－2y＝0
解析　因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋c＝0，又直线过点A(2,1)，
所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，
即所求直线方程为x－2y＝0.
4.如果直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则直线l2的斜率为(　　)
A. B．a C．－ D．－或不存在
答案　D
解析　设直线l1，l2的斜率分别是k1，k2，
当a≠0时，由l1⊥l2得k1·k2＝a·k2＝－1，∴k2＝－；
当a＝0时，l1与x轴平行或重合，则l2与y轴平行或重合，
∴直线l2的斜率不存在．
故直线l2的斜率为－或不存在．
5.已知直线l过点(0,7)，且与直线y＝－4x＋2平行，则直线l的方程为(　　)
A．y＝－4x－7 B．y＝4x－7
C．y＝4x＋7 D．y＝－4x＋7
答案　D
解析　过点(0,7)且与直线y＝－4x＋2平行的直线方程为y－7＝－4x，即直线l的方程为y＝－4x＋7，故选D.
6.若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为(　　)
A．－12 B．－2 C．0 D．10
答案　A
解析　由2m－20＝0，得m＝10.
由垂足(1，p)在直线mx＋4y－2＝0上，得p＝－2，
∴垂足坐标为(1，－2)．
又垂足在直线2x－5y＋n＝0上，得n＝－12.

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