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初中数学七上02有理数及其运算方法归纳及配套试题（建议收藏）
有理数
注意：有限小数和无限循环小数都是分数，都是有理数
数轴
1、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴
①数轴三要素：原点、正方向、单位长度
②任何一个有理数都可以用数轴上的点表示。（反过来说不对）
③在同一数轴上，右边的数总比左边的数大
2、相反数（a+b=0）
①概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0的相反数是0
②性质：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且到原点的距离相等
③性质：互为相反数的两个数和是0.即a+(-a)=0
3、倒数(ab=1)
①概念：乘积为1的两个有理数互为倒数（乘积为-1的两个有理数互为负倒数）
②性质：如果a与b互为倒数，则有ab=1,反之亦成立
③特例：倒数等于本身的数是1和-1.0没有倒数
4、有理数比较大小
①正数>0>负数
②正数和正数比较大小，绝对值大的就大
③负数和负数比较大小，绝对值大的反而小
绝对值
①概念：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值，记做|a|
②性质：任何数的绝对值总是非负数，即|a|≥0
③性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0
四、有理数的运算
运算顺序：先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的
运算律
①加法交换律：a+b=b+a
②加法结合律：（a+b）+c=a+(b+c)
③乘法交换律：ab=ba
④乘法结合律：（ab）c=a（bc）
⑤乘法对加法的分配率：a(b+c)=ab+ac
有理数的加法法则
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加
②异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值
③一个数同0相加，仍得这个数
有理数的减法法则
①减去一个数，等于加上这个数的相反数
有理数的乘法法则
①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘
②任何数与0相乘，积仍为0
③几个不为0的因数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正；当负因数的个数是奇数时，积为负。
有理数的除法法则
①两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除
②0除以任何非0数都得0，0不可作为除数，否则无意义
③除以一个数等于乘以这个数的倒数
7、有理数的乘方
①几个相同因数积的运算叫做乘方
②一个数可以看作是本身的一次方
③当底数是负数或分数时，首先用括号将底数扩上，再在右上角写指数
④乘方的运算性质
⑴正数的任何次幂都是正数
⑵负数的奇次幂是负数，偶数次幂是正数
⑶任何数的偶数次幂都是非负数
⑷1的任何次幂都得1，0的任何次幂都得0
⑸-1的偶数次幂得1，奇数次幂得-1
⑹在运算的过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值
科学技术法
①一般地，一个数可以表示成的形式，其中1≤|a|<10，a不为分数形式，n为整数，这种计数方法叫做科学计数法。
五、本章重要数学思想
5.1、数形结合思想
数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。本章主要体现在：
①用数轴比较有理数大小．
在同一数轴上，右边的数总比左边的数大，原点左侧的数小于0，原点右侧的数大于0.
②利用数轴来理解相反数、绝对值、有理数的加减法等．
如：互为相反数的两个数在数轴上对应的点到原点的距离相等；异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值．
③借助数轴化简绝对值．
例1、已知a＜0＜c，ab＞0，|b|＞|c|＞|a|，化简|a＋c|＋|b＋c|－|a－b|.
【思考】：本题关键是确定a＋c，b＋c，a－b的符号，根据已知可在数轴上标出a，b，c的大致位置，如图所示：
图3 数轴
很容易确定a＋c＞0，b＋c＜0，a－b＞0.
解：由题意知a＋c＞0，b＋c＜0，a－b＞0，所以原式＝(a＋c)－(b＋c)－(a－b)＝a＋c－b－c－a＋b＝0.
5.2、分类讨论思想
有些问题包括多种情况时，要分情况讨论，即分类讨论．本章中有理数的分类、绝对值的化简、求负数的幂等问题都需要分类讨论．运用分类讨论思想时要注意：每一次分类要按照同一标准；分类时要做到不重不漏。
例2、试比较2 013a与－2 013a的大小．
解：(1)当a>0时，2 013a>0，－2 013a<0，根据正数大于一切负数，则2 013a>－2 013a；
(2)当a＝0时，2 013a＝－2 013a＝0；
(3)当a<0时，2 013a<0，－2 013a>0，根据正数大于一切负数，则2 013a<－2 013a.
练习：
1、计算的结果是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．
2．如图，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C.若点C表示的数为0，则点A表示的数为（ ）
（第2题图）
A．7　　　　　　B．3 C．－3　　　　 D．－2
3.绝对值不大于8的所有整数的和，绝对值小于6的所有负整数的积分别是（ ）
A.0 0 B.10 0 C.0 -120 D.5 120
4.如果（a+1）2+（2b+3）2+|c－1|=0，那么 +的值是（ ）
A.32 B.3 C. 76 D. 116
5.在下列（－1）2009，（－1）2010，－22，（－3）2这四个数中，最大的数与最小的数的和等于 ．
6．若,则＝__________.
7、先阅读材料再计算：
=1－；=－；…；
故＋＋＋…＋
=（1－）＋（－）＋（－）＋…＋（－）=1－=.
根据上述材料，计算：＋＋＋…＋＋.
答案与解析
例1、【思考】：本题关键是确定a＋c，b＋c，a－b的符号，根据已知可在数轴上标出a，b，c的大致位置，如图所示：
很容易确定a＋c＞0，b＋c＜0，a－b＞0.
解：由题意知a＋c＞0，b＋c＜0，a－b＞0，所以原式＝(a＋c)－(b＋c)－(a－b)＝a＋c－b－c－a＋b＝0.
例2、分析：a的值不确定，要分类讨论，分三种情况：当a>0时，当a＝0时，当a<0时．
解：(1)当a>0时，2 013a>0，－2 013a<0，根据正数大于一切负数，则2 013a>－2 013a；
(2)当a＝0时，2 013a＝－2 013a＝0；
(3)当a<0时，2 013a<0，－2 013a>0，根据正数大于一切负数，则2 013a<－2 013a.
例3、答案；15或-15
本章练习
A
2、C 如图，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C.若点C表示的数为0，则点A表示的数为（ C ）
（第8题图）
A．7　　　　　　B．3 C．－3　　　　 D．－2
3、C 绝对值不大于8的所有整数的和，绝对值小于6的所有负整数的积分别是（ C ）
A.0 0 B.10 0 C.0 -120 D.5 120
【解析】绝对值不大于8的所有整数有1，2，3，4，5，6，7，8，0，-1，-2，-3，-4，-5，-6，-7，-8，它们的和等于0.绝对值小于6的所有负整数有-1，-2，-3，-4，-5，其积为-120.故选C.
4、D 如果（a+1）2+（2b+3）2+|c－1|=0，那么 +的值是（ D ）
A.32 B.3 C. 76 D. 116
【解析】因为（a+1）2+（2b+3）2+|c-1|=0，所以a=-1，b=-，c=1.所以+=+=+=.故选D.
5、5
6、0
7、解：＋＋＋…＋＋
=（1－）＋（－）＋（－）＋…＋（－）＋（－）
=1－=.

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