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3　简谐运动的回复力和能量
一、简谐运动的回复力
1．简谐运动的动力学定义：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动．
2．回复力的方向跟振子偏离平衡位置的位移方向相反，总是指向平衡位置，它的作用是使振子能够回到平衡位置．
3．表达式：F＝－kx，即回复力与物体的位移大小成正比，负号表示回复力与位移方向始终相反，k是常量．对于弹簧振子，k为弹簧的劲度系数．
二、振动的能量
1．振子的速度与动能：速度不断变化，动能也在不断变化．
弹簧形变量与势能：弹簧形变量在变化，因此势能也在变化．
2．简谐运动过程是一个动能和势能不断变化的过程，在任意时刻振动系统的总机械能不变．在平衡位置处，动能最大，势能最小；在最大位移处，势能最大，动能最小．振动系统的机械能与振幅有关，振幅越大，机械能就越大．
考点一 简谐运动的回复力
1.回复力：振动物体偏离平衡位置后，所受到的使它回到平衡位置的力．
2．简谐运动的回复力
简谐运动中回复力满足F＝－kx，即回复力的大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反．在平衡位置处，回复力为零．
3．对简谐运动回复力的理解
(1)“负号”表示回复力的方向与位移方向始终相反．
(2)式中“k”对于在水平方向运动的弹簧振子来说，当回复力由弹簧的弹力提供时，k为弹簧的劲度系数，其值为回复力F的大小与位移x的比例系数．其单位是由F和x的单位决定的，即为N/m.
(3)公式反映出了回复力F与位移之间的正比关系，位移越大，回复力越大；位移增大为原来的几倍，回复力也增大为原来的几倍．
(4)因x＝Asin(ωt＋φ)，故回复力F＝－kx＝－kAsin(ωt＋φ)，可见回复力随时间按正弦规律变化．
(5)回复力是根据力的效果命名的，它可以是一个力，也可以是多个力的合力，还可以由某个力的分力提供．例如：如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，m随M一起振动，m的回复力是静摩擦力．
　回复力为0时，物体所受合力一定为0吗？
物体做简谐运动到平衡位置时，回复力为0，但合力可能不为0.
例如：物体沿圆弧做简谐运动，如图所示．当小球运动到圆弧的最低点(平衡位置)时，回复力为0，小球所受的合力用来提供向心力，所以小球所受的合力不为0.
4．简谐运动的动力学定义
如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动．
5．简谐运动的运动学特征
由简谐运动的回复力F＝－kx和牛顿第二定律，可得简谐运动的加速度a＝＝－.此式表明加速度的大小与振动物体的位移成正比，方向始终与位移方向相反．
1 简谐运动是一种变加速度的往复运动.物体离开平衡位置的运动是加速度不断增大的减速运动，物体向着平衡位置的运动是加速度不断减小的加速运动.
2 回复力F＝－kx和加速度a＝是简谐运动的动力学特征和运动学特征.一个物体是否做简谐运动，在它满足了在平衡位置附近做振动的运动特征后，就看它是否满足F＝－kx或a＝.
【例1】　弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中(　　)
A．振子所受的回复力逐渐增大
B．振子的位移逐渐增大
C．振子的速度逐渐减小
D．振子的加速度逐渐减小
【审题指导】
1．简谐运动的回复力与位移有什么样的关系？
2．简谐运动的回复力一定是振动物体所受合力吗？
3．简谐运动过程中加速度与回复力有怎样的关系？
4．简谐运动过程中振动物体的速度与加速度有怎样的联系？
【解析】　振子位移特指由平衡位置指向振动物体所在位置的位移，因而向平衡位置运动时位移逐渐减小，而回复力与位移的大小成正比，故回复力也减小，所以A、B错误；由牛顿第二定律a＝得，加速度也减小，物体向着平衡位置运动时，回复力与速度方向一致，故物体的速度逐渐增大，所以C错误，D正确．
【答案】　D
如右图所示，对做简谐运动的弹簧振子m的受力分析，正确的是(　A　)
A．重力、支持力、弹簧的弹力
B．重力、支持力、弹簧的弹力、回复力
C．重力、支持力、回复力、摩擦力
D．重力、支持力、摩擦力
解析：回复力不是做简谐运动物体受到的具体的力，它由物体受到的具体的力所提供．在此情景中弹簧的弹力充当回复力，因此只有选项A正确．
考点二 简谐运动的能量
1．简谐运动的能量
弹簧振子的振动过程是一个动能和势能不断转化的过程．
如下图所示，水平弹簧振子在AB之间往复运动，它在一个周期内的能量转化过程：
A→O弹力做正功，弹性势能转化为动能；
O→B弹力做负功，动能转化为弹性势能；
B→O弹力做正功，弹性势能转化为动能；
O→A弹力做负功，动能转化为弹性势能．
2．关于简谐运动能量的理解
(1)若不考虑阻力，弹簧振子在振动过程中只有弹力做功，故在任意时刻的动能与势能之和不变，即机械能守恒．
(2)简谐运动中的能量跟振幅有关，振幅越大，振动的能量越大．
在简谐运动中，振动的能量保持不变，所以振幅保持不变，因此简谐运动又称等幅振动，只要没有能量损耗，它将永不停息地振动下去．
从能量转化角度分析，简谐运动没有考虑阻力做功的能量损耗．实际的运动会受到摩擦或空气阻力，但简谐运动中忽略了其他阻力，因此简谐运动是一种理想化的模型．
(3)在一个振动周期内，动能和势能完成两次周期性变化．经过平衡位置时动能最大，势能最小；经过最大位移处时，势能最大，动能最小．
振子经过平衡位置两侧的对称点时，具有相等的动能和相等的势能．
势能可以是重力势能，可以是弹性势能，也可以是重力势能和弹性势能之和 如沿竖直方向振动的弹簧振子 ，我们规定以平衡位置为零势能位置.
【例2】　(多选)如右图所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M，若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面，且m和M无相对运动而一起运动，下列叙述正确的是(　　)
A．振幅不变　　　　　　 B．振幅减小
C．最大动能不变 D．最大动能减小
【审题指导】
1．做简谐运动的弹簧振子系统机械能守恒吗？
2．质量为m的物体放在质量为M的振子上，在这个过程中有没有机械能损失？为什么？
3．本题中如果质量为m的物体放在质量为M的振子上有相对滑动，系统的机械能有没有损失？为什么？
【解析】　振子运动到B点时速度恰为0，此时放上m，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变．因此选项A正确，B错误；由于机械能守恒，最大动能不变，所以选项C正确，D错误．
【答案】　AC
(多选)弹簧振子在光滑水平面内做简谐运动的过程中，下列说法正确的是(　BC　)
A．在平衡位置时它的机械能最大
B．在最大位移处它的弹性势能最大
C．从平衡位置到最大位移处它的动能减小
D．从最大位移到平衡位置处它的机械能减小
解析：简谐运动过程中机械能守恒，因此选项A、D错误；在最大位移处，弹簧形变量最大，因此弹性势能最大，选项B正确；从平衡位置到最大位移处，位移增大，速度减小，动能减小，选项C正确.
考点三 简谐运动中各物理量的变化规律
如下图所示，振子以O为平衡位置在AB之间做简谐运动，各物理量的变化规律为：
1 简谐运动中在最大位移处，x、F、a、Ep最大，v＝0，Ek＝0；在平衡位置处，x＝0，F＝0，a＝0，Ep最小，v、Ek最大.
2 简谐运动中振动系统的动能和势能相互转化，机械能的总量不变，即机械能守恒.
【例3】　(多选)在物体做简谐运动的过程中，t1、t2两时刻物体分别处在关于平衡位置对称的两点，则从t1至t2这段时间物体的(　　)
A．t1、t2两时刻动能一定相同
B．t1、t2两时刻势能一定相同
C．速度一定先增大，后减小
D．加速度可能先增大，后减小，再增大
【审题指导】
1．简谐运动中关于平衡位置对称的两点，动能、势能一定相等吗？
2．简谐运动中关于平衡位置对称的两点，位移、回复力、加速度大小一定相等吗？方向呢？
3．简谐运动中关于平衡位置对称的两点，速度大小一定相等吗？方向呢？
【解析】　由对称性可知，物体分别处在关于平衡位置对称的两点，速度大小相同，动能相等，A正确．由机械能守恒知势能也一定相等，B正确．如果t1时刻物体向最大位移处运动，再回到该点后向t2时刻的位置运动，则速度是先减小再增大再减小，位移先增大再减小再增大，加速度先增大再减小再增大，故C错，D正确．
【答案】　ABD
(多选)如图所示是某一质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是(　BC　)
A．在第1 s内，质点速度逐渐增大
B．在第2 s内，质点速度逐渐增大
C．在第3 s内，动能转化为势能
D．在第4 s内，动能转化为势能
解析：质点在第1 s内，由平衡位置向正向最大位移处运动，做减速运动，所以选项A错误；在第2 s内，质点由正向最大位移处向平衡位置运动，做加速运动，所以选项B正确；在第3 s内，质点由平衡位置向负向最大位移处运动，动能转化为势能，所以选项C正确；在第4 s内，质点由负向最大位移处向平衡位置运动，势能转化为动能，所以选项D错误．
学科素养提升
利用“对称性”展现简谐运动的全景
简洁美、对称美在物理现象和规律中司空见惯，特别是在最基本的机械振动——简谐运动中，对称美更体现得淋漓尽致．
在简谐运动中，若任意两位置P、P′关于平衡位置O对称，即OP＝OP′，则振动的质点在这两点速度大小一定相等，加速度一定等大反向，这就是说速度、加速度存在着对称性．利用这一对称性，可以把“残缺”的简谐运动的全景展现出来．
【典例】　如图所示，一升降机在箱底装有若干弹簧，设在某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦力，则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的运动过程中(　　)
A．升降机的速度不断减小
B．升降机的加速度不断变大
C．升降机的加速度最大值等于重力加速度值
D．升降机的加速度最大值大于重力加速度值
【解析】　从弹簧接触地面开始分析，升降机做简谐运动(简化为如图中小球的运动)，在升降机从A→O的运动过程中，速度由v1增大到最大vm，加速度由g减小到零，当升降机运动到A的对称点A′(OA＝OA′)时，速度也变为v1(方向竖直向下)，加速度为g(方向竖直向上)，升降机从O→A′的运动过程中，速度由最大vm减小到v1，加速度由零增大到g，从A′点运动到最低点B的过程中，速度由v1减小到零，加速度由g增大到a(a>g)，故答案为D选项．
【答案】　D
本题巧妙之处在于找出了A的对称点A′，A′并不是运动的最低点，A、A′两点速度、加速度对称，在A′点下面的B点为最低点，加速度最大，这样问题就迎刃而解．
1．(多选)物体做简谐运动的过程中，下述物理量中保持不变的是(　AD　)
A．振幅　　　B．动能　　　C．势能　　　D．机械能
解析：物体做简谐运动的过程中，机械能守恒，振幅不变，选项A、D正确；当物体向平衡位置运动时，动能增加，势能减少；当物体远离平衡位置运动时，动能减少，势能增加，选项B、C错误．
2．振动的物体都具有周期性，若简谐运动的弹簧振子的周期为T，那么它的动能、势能变化的周期为(　C　)
A．2T B．T
C． D．
解析：振动中动能、势能相互转化，总机械能不变，动能和势能为标量，没方向．C正确．
3．(多选)一质点做简谐运动，则下列说法中正确的是(　AD　)
A．若位移为负值，则加速度一定为正值
B．质点通过平衡位置时，动能为零，势能最大
C．质点每次通过平衡位置时，加速度不一定相同，速度也不一定相同
D．质点每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同
解析：若位移为负值，由a＝－，可知加速度一定为正值，A正确；质点通过平衡位置时，动能最大，势能最小，B错误；质点每次通过平衡位置时，位移相同，加速度一定相同，而速度不一定相同，C错误；质点每次通过同一位置时，位移相同，加速度一定相同，速度有两种可能的方向，不一定相同，D正确．
4．做简谐运动的物体，其加速度a随位移x变化的规律应是下图中的(　B　)
解析：以弹簧振子为例，F＝－kx＝ma，所以a＝－，即a＝－k′x，故正确选项应为B.
5．做简谐运动的弹簧振子质量为0.2 kg，当它运动到平衡位置左侧20 cm时，受到的回复力是4 N；当它运动到平衡位置右侧40 cm时，它的加速度为(　D　)
A．20 m/s2，向右 B．20 m/s2，向左
C．40 m/s2，向右 D．40 m/s2，向左
解析：加速度方向指向平衡位置，因此方向向左．由力和位移的大小关系可知，当x＝40 cm时，F＝8 N，a＝＝40 m/s2.

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