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数列求和的基本方法和技巧
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
等差数列求和公式：
2、等比数列求和公式：
4、
[例1] 已知，求的前n项和.
解：由
由等比数列求和公式得 （利用常用公式）
＝＝＝1－
[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.
解：由等差数列求和公式得 ， （利用常用公式）
∴ ＝
＝＝
∴ 当 ，即n＝8时，
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·　bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
[例3] 求和：………………………①
解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积
设………………………. ② （设制错位）
①－②得 （错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：
∴
[例4] 求数列前n项的和.
解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积
设…………………………………①
………………………………② （设制错位）
①－②得 （错位相减）
∴
练习：
求：Sn=1+5x+9x2+······+(4n-3)xn-1
解：Sn=1+5x+9x2+······+(4n-3)xn-1 ①
①两边同乘以x，得
x Sn=x+5 x2+9x3+······+(4n-3)xn ②
①-②得，（1-x）Sn=1+4（x+ x2+x3+······+ ）-（4n-3）xn
当x=1时，Sn=1+5+9+······+（4n-3）=2n2-n
当x≠1时，Sn= 1 1-x [ 4x(1-xn) 1-x +1-（4n-3）xn ]
三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.
[例5] 求的值
解：设…………. ①
将①式右边反序得
…………..② （反序）
又因为
①+②得 （反序相加）
＝89
∴ S＝44.5
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
[例6] 求数列的前n项和：，…
解：设
将其每一项拆开再重新组合得
（分组）
当a＝1时，＝ （分组求和）
当时，＝
[例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
解：设
∴ ＝
将其每一项拆开再重新组合得
Sn＝ （分组）
＝
＝ （分组求和）
＝
练习：求数列的前n项和。
解：
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1） （2）
（3） （4）
（5）
(6)
[例9] 求数列的前n项和.
解：设 （裂项）
则 （裂项求和）
＝
＝
[例10] 在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.
解： 　 ∵
　 ∴ （裂项）
∴ 数列{bn}的前n项和
（裂项求和）
＝ ＝
[例11] 求证：
解：设
∵ （裂项）
∴ （裂项求和）
＝
＝＝＝
∴　原等式成立
练习：求 1 3， 1 1 5， 1 3 5， 1 63之和。
解：
六、合并法求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.
[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
解：设Sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°
∵ （找特殊性质项）
∴Sn＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···
+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和）
＝ 0
[例13] 数列{an}：，求S2002.
解：设S2002＝
由可得
……
∵ （找特殊性质项）
∴　S2002＝ （合并求和）
＝
＝
＝
＝5
[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若的值.
解：设
由等比数列的性质 （找特殊性质项）
和对数的运算性质 得
（合并求和）
＝
＝
＝10
七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.
[例15] 求之和.
解：由于 （找通项及特征）
∴
＝ （分组求和）
＝
＝
＝
[例16] 已知数列{an}：的值.
解：∵ （找通项及特征）
＝ （设制分组）
＝ （裂项）
∴ （分组、裂项求和）
＝
＝

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