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4、数与代数——数的认识（基础知识）
一、整数与小数
自然数、0和整数
自然数：数物体的时候,用来表示物体个数的0、1、2、3…叫做自然数；
0：一个物体也没有用0表示，0也是自然数；
整数：0和自然数都是整数。（注意：不能说整数只包括0和自然数）
十进制计数法
一(个)、十、百、千、万……都叫做计数单位，其中“一”是计数的基本单位。
10个一是十、10个十是百……10个一百亿是一千亿……每相邻两个计数单位之间的进率都是十，这种计数方法叫做十进制计数法。
整数的读法和写法
读数时从高位起，一级一级地往下读，属于亿级和万级的要读出级名。例如，684528563读作：六亿八千四百五十二万八千五百六十三。
读数时每级末尾的“0”都不读，其他数位有一个0或连续几个0都只读一个0。例如，8000406000读作：八十亿零四十万六千。
写数时从高位起，一级一级地往下写,哪一位上一个单位也没有，就在哪个数位上写0。
四舍五入法
求一个数的近似数，要看尾数的最高位上的数是几，如果比5小，就把尾数都舍去；如果尾数最高位上的数是5或大于5，就把尾数舍去后,要向它的前一位进1。
整数大小的比较
比较两个多位数的大小，首先看它们位数的多少，位数较多的数较大；如果两个数的位数相同，那么首先看最高位，最高位上的数较大的，这个数就大；如果最高位相同，则左边第二位上的数较大的，这个数就大……
小数
把整数 “1”平均分成10份、100份……这样的一份或几份分别是十分之几、百分之几……可以用小数表示。例如，记作0.1、记作0.08。
小数的单位是0.1、0.01、0.001、……它是十进制分数的另一种表现。
小数部分的最大计数单位是十分之一,没有最小的计数单位。
小数的读法和写法
读小数时，小数的整数部分按整数的读法来读，小数点读作“点”，小数部分按照顺序读出每一个数位上的数字。
写小数时，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。
小数的大小比较
比较两个小数的大小，先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数相同的，百分位上的数大的那个数就大……。
小数的性质
小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变。运用小数的性质，可以在小数末尾添上0，例如，3.5=3.50；也可以把小数化简，例如，3.500=3.5。
小数点数位移动引起小数大小的变化
小数点向右(左)移动一位、两位、三位……原来的数就扩大(缩小)10倍、100倍、1000倍……
如果要把一个数扩大或缩小10倍、100倍……只需要移动小数点,数位不够时用0补足。
小数的分类
按数位分
按小数的整数部分分
循环小数
一个小数的小数部分，从某一位起,有一个或几个数字依次不断重复出现，这样的数叫做循环小数。如 0.5555…… 、 7.23838……
依次不断重复出现的数字叫做循环节。
循环小数的简便记法：0.5555…… 记作：
7.23838……记作：
循环节从小数部分第一位开始的叫纯循环小数，如
循环节不是从小数部分第一位开始的叫混循环小数，如
数的改写
一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的尾数，写成近似数。例如
把76450000改写成用“万”作单位的数是( 7645万 )
把235800改写成用“万”作单位的数是( 23.58万 )
235800省略万位后面的尾数约为( 24万 )
把34562800000改写成用“亿”作单位的数后，保留两位小数是( 345.63亿 )
分数与百分数
分数的意义和分数单位
单位“1”——一个物体，一个计量单位或是许多物体组成的一个整体，都可以用自然数1来表示，通常我们把它叫做单位“1”
分数——把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数，叫做分数
分数单位——把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数
分数各部分的名称：
分数与除法
分数与除法的关系：，即
分数带单位与否的区别：表示：把单位“1”平均分成9份，取其中的5份；
米表示：把5米平均分成9份，每份是( )，每份
是( )米。
分数大小的比较
①分母相同的两个分数，分子大的分数比较大：例如，、；
②分子相同的两个分数，分母小的分数比较大：例如，；
③分子、分母都不相同的两个分数，通分化成同分母或同分子分数，再比较大小：例如，。
分数的分类
5、分数的基本性质
分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数(零除外),分数的大小不变。
例如：一个分数的分母不变，分子乘以3，则这个分数( 扩大3倍 )
如果分子不变，分母除以5，则这个分数( 扩大5倍 )
约分和通分
约分——把一个分数化成和它相等,但分子和分母都比较小的分数。
约分的方法:
①用分子分母的公约数(1除外)逐次去除分子和分母，直到得到最简分数为止；
②用分子和分母的最大公约数去除分子和分母。
通分——先求出原来几个分母的最小公倍数，然后把各个分数分别化成用这个最
小公倍数作分母的分数。
最简分数
分子、分母只有公因数1的分数叫做最简分数或者分子、分母互质的分数，叫做最简分数。如：、、等等。
做题时计算的结果，能约分的要约成最简分数；假分数的，一般要化成带分数或整数。
判断一个最简分数能不能化成有限小数:分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，就能化成有限小数。
百分数的意义
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫百分数，百分数又叫百分率或百分比。（注意：百分数后面不能带单位名称）
分数、小数、百分数的互化
数的整除
整除与除尽
整除：整数a除以整数b(b≠0)，除得的商是整数而没有余数，我们就说数a能
被数b整除，或数b能整除a。
除尽：数a除以数b(b≠0)，除得的商是整数或是有限小数，这就叫做除尽。
整除与除尽的区别：整除是除尽的一种特殊情况，整除也可以说是除尽，但除尽
不一定是整除。
约数与倍数
如果数a能被数b整除(b≠0)，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
约数 一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。 约数和倍数是相互依存的。
倍数 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
能被2、3、5整除的数的特征
能被2整除的数的特征：个位上是0、2、4、6、8；
能被5整除的数的特征：个位上是0或5；
能被3整除的数的特征：各位上的数字之和能被3整除；
能同时被2、5整除的数的特征：个位是0；
能同时被2、3、5整除的数的特征：个位是0，且各位上的数字之和能被3整除。
偶数和奇数
一个自然数,不是奇数就是偶数。
偶数：能被2整除的数叫做偶数（包括0）；
奇数：不能被2整除的数叫做奇数
最小的偶数是：0；
最小的奇数是：1。
奇偶性质：
偶数±偶数=( 偶数 ) 奇数±奇数=( 偶数 ) 偶数±奇数=( 奇数 )
偶数×偶数=( 偶数 ) 奇数×奇数=( 奇数 ) 偶数×奇数=( 偶数 )
质数和合数
质数（素数）：只有1和它本身两个约数；
合数：除了1和它本身还有别的约数；
1：既不是质数也不是合数；
最小的质数是：2；
最小的合数是：4。
质因数和分解质因数
质因数：每一个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数叫做这个合数
的质因数；
分解质因数：把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
分解质因数的方法：短除法，例如
把30分解质因数
把30分解质因数正确的做法是( C )
A、30=1×2 ×3 ×5——1不是质数
B、2 ×3 ×5=30——书写格式不符
C、30=2×3×5
7、最大公约数和最小公倍数
公约数、最大公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的
一个叫做这几个数的最大公约数。
例如：( 1、2、4 )是8和12的公约数，( 4 )是8和12的最大公约数。
公倍数、最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的
一个叫做这几个数的最小公倍数。
例如：( 12、24、36 … )都是4和6的公倍数，( 12 )是4和6的最小公倍数。
互质数：公约数只有1的两个数叫做互质数。
互质数的几种特殊情况：
⑴、两个数都是质数，这两个数一定互质；
⑵、相邻的两个数互质；
⑶、1和任何数都互质。
求最大公约数和最小公倍数：
4和28——最大公约数是( 4 ) 、最小公倍数是( 28 )
如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数，较
大数就是这两个数的最小公倍数。
4和15——最大公约数是( 1 ) 、最小公倍数是( 60 )
如果两个数互质，它们的最大公约数就是1，最小公倍数就是它们的积。
短除法
例如：求24和36的最大公约数和最小公倍数、
商互质
24和36的最大公约数是:2×2×3=12 除数相乘
24和36的最小公倍数是: 2×2×3×2×3=72 所有的除数和商相乘

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