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专题12函数的对称性与周期性
一、基础知识
（一）函数的对称性
1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称
2、轴对称的等价描述：
（1）关于轴对称（当时，恰好就是偶函数）
（2）关于轴对称
在已知对称轴的情况下，构造形如的等式只需注意两点，一是等式两侧前面的符号相同，且括号内前面的符号相反；二是的取值保证为所给对称轴即可。例如：关于轴对称，或得到均可，只是在求函数值方面，一侧是更为方便
（3）是偶函数，则，进而可得到：关于轴对称。
① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在中，仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的取相反数时，函数值相等，即，要与以下的命题区分：
若是偶函数，则：是偶函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有
② 本结论也可通过图像变换来理解，是偶函数，则关于轴对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称。
3、中心对称的等价描述：
（1）关于轴对称（当时，恰好就是奇函数）
（2）关于轴对称
在已知对称中心的情况下，构造形如的等式同样需注意两点，一是等式两侧和前面的符号均相反；二是的取值保证为所给对称中心即可。例如：关于中心对称，或得到均可，同样在求函数值方面，一侧是更为方便
（3）是奇函数，则，进而可得到：关于轴对称。
① 要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在中，仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的取相反数时，函数值相反，即，要与以下的命题区分：
若是奇函数，则：是奇函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有
② 本结论也可通过图像变换来理解，是奇函数，则关于中心对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称。
4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：
（1）可利用对称性求得某些点的函数值
（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像
（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称
（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同
（二）函数的周期性
1、定义：设的定义域为，若对，存在一个非零常数，有，则称函数是一个周期函数，称为的一个周期
2、周期性的理解：可理解为间隔为的自变量函数值相等
3、若是一个周期函数，则，那么，即也是的一个周期，进而可得：也是的一个周期
4、最小正周期：正由第3条所说，也是的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期。然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数
5、函数周期性的判定：
（1）：可得为周期函数，其周期
（2）的周期
分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：
所以有：，即周期
注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期
（3）的周期
分析：
（4）（为常数）的周期
分析：，两式相减可得：
（5）（为常数）的周期
（6）双对称出周期：若一个函数存在两个对称关系，则是一个周期函数，具体情况如下：（假设）
① 若的图像关于轴对称，则是周期函数，周期
分析：关于轴对称
关于轴对称
的周期为
② 若的图像关于中心对称，则是周期函数，周期
③ 若的图像关于轴对称，且关于中心对称，则是周期函数，周期
7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质。
（1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值
（2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”
（3）单调区间：由于间隔的函数图象相同，所以若在上单调增（减），则在上单调增（减）
（4）对称性：如果一个周期为的函数存在一条对称轴 （或对称中心），则 存在无数条对称轴，其通式为
证明：关于轴对称
函数的周期为
关于轴对称
注：其中（3）（4）在三角函数中应用广泛，可作为检验答案的方法
二、典型例题：
例1：设为定义在上的奇函数，，当时，，则__________
解：由可得：的周期，考虑将用中的函数值进行表示：，此时周期性已经无法再进行调整，考虑利用奇偶性进行微调： ，所以
答案：
例2：已知函数是定义在上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．
【答案】A【详解】当时，－，
所以即当时，，
所以，
，
所以f(－2 015)＋f(2 017).故选：A
例3：已知定义在上的函数满足，①，② 为奇函数，③当时，恒成立.则、、的大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【详解】
由可得，所以的周期为，
因为为奇函数，所以为奇函数，
因为时，，所以在上单调递增，
因为为奇函数，所以在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为，，
，
所以，即.
故选：C.
例题4：定义在上的函数对任意，都有，则等于（ ）
A. B. C. D.
由及所求可联想到周期性，所以考虑，所以是周期为4的周期函数，故，而由已知可得，所以
答案：D
例5：已知是定义在上的奇函数，满足，当时，，则在区上所有零点之和为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A【详解】
由已知是定义在R上的奇函数，所以，又，所以的周期是2，且得是其中一条对称轴，又当时，，，于是图象如图所示，
又函数零点即为图象与的图象的交点的横坐标，四个交点分别关于对称，从左至右，交点的横坐标分别为所以，所以零点之和为.故选：A
例6：已知是定义在上的函数，满足，当时，，则函数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
思路：由可得是周期为2的周期函数，所以只需要求出一个周期内的最值即可。由可得为奇函数，所以考虑区间，在时，，所以，而由于为奇函数，所以在时，，所以即为在的最小值，从而也是在上的最小值
答案：B
例7：（多选题）已知是偶函数，对任意的都有，且当，且时，恒成立，则（ ）
A． B．直线是图像的对称轴
C．在上是增函数 D．方程在上有个实根.
【答案】ABD【详解】
对于，对任意的都有（3），令，则（3）（3）（3）
故（3），即，因为是偶函数，
即，（5），故正确；
对于，由可得，可知是函数的对称轴，又为偶函数，故也是的对称轴，故选项是正确的；
对于，由，，，且时，恒成立知在，为减函数，是函数的对称轴，则可得在，为增函数，由可得在，为减函数，在，是增函数，故不正确；
对于，已知（5），则（1），，，故正确．
故选：．
例8：（多选题）已知定义在上的函数满足，，，且为奇函数，则（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．是周期为3的周期函数 D．
【答案】BCD
【详解】
因为，所以，
所以，所以是周期为3的周期函数，所以C正确，
因为，，所以，
因为为奇函数，所以，
所以，所以
所以，
因为，
所以，所以
所以，所以D正确，
因为，，所以不可能为奇函数，所以A错误，
因为，是周期为3的周期函数，所以，
因为，所以，所以为偶函数，所以B正确，
故选：BCD
练习
1.已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】
因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
2．已知函数为R上的奇函数，且，当，，则的值为（ ）
A． B．0
C． D．
【答案】A【详解】
根据题意,函数为R上的奇函数，则，又由时，则有，解可得:a=-1，则有.
又由，即，则有，即函数是周期为4的周期函数.
则，
，
所以.
3．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】
由题意得，，
所以①，
所以②，
①②联立可得：，即的周期为4，
又，，
所以且，解得，，即
所以.
4．已知定义在上函数的图象是连续不断的，满足且在上单调递増，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【详解】
因为，那么函数关于 对称，且为奇函数，
周期为8 ，即
， ，即
，根据奇函数关于原点对称的特点，可知，函数在 上为增函数，那么有 ，即.故选：C
5．偶函数关于点中心对称，且当时，，则（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】B【详解】
偶函数关于点对称，则，，
令，则，
故，
是周期为4的函数，
，，
又，
，
，
．
6．已知函数是定义在R上的奇函数，对任意实数x，恒有成立，且，则下列说法正确的是（ ）
①是函数的一个对称中心
②函数的一个周期是4
③
④
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】B【详解】
由知，所以函数的图象关于直线对称，故①错误；
由得，由是奇函数得，则 ，所以，即函数的一个周期是4，故②正确；
由得，故③正确；
因为是上的奇函数，所以，由得，故④正确.
7函数的定义域为，若与都是奇函数，则（ ）
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. D. 是奇函数
解析：从已知条件入手可先看的性质，由为奇函数分别可得到：
，所以关于中心对称，双对称出周期可求得，所以不正确，且由已知条件无法推出一定符合。对于选项，因为，所以，进而可推出关于中心对称，所以为图像向左平移个单位，即关于对称，所以为奇函数，正确
8.已知是定义在上的奇函数，，恒有,且当时，,则
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】,,用替换中的得到，，
的最小正周期是4，是定义在上的奇函数，,
时，，，
，，，
的最小正周期是4，
.
9．已知函数，，有下列4个命题：
①若，则的图像关于直线对称；
②与的图像关于直线对称；
③若为偶函数，且，则的图像关于直线对称；
④若为奇函数，且，则的图像关于直线对称；
其中正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D【详解】
①若，则的图像关于直线对称；故①正确，
的图像向右平移1个单位，可得的图像，将的图像关于轴对称得的图像，然后将其图像向右平移1个单位得的图像，
与的图像关于直线对称②对.
，
为偶函数，的图像自身关于直线对称③对.
为奇函数，且
的图像自身关于直线对称
④对；综上正确的命题是①②③④，
10.定义在上的函数满足，则的值为（ ）
A. B. C. D.
解：所给的特点为才有解析式能够求值，而只能通过减少自变量的取值，由所求可联想到判断是否具有周期性，时，，则有，两式相加可得：，则，即在时周期是6，故
，而
答案：C
11.已知定义在上的非常数函数满足为奇函数，为偶函数，则下列说法中不正确的是（ ）
A． B．函数为奇函数
C． D．
【答案】C【详解】
因定义在上的非常数函数满足为奇函数，则有，
又为偶函数，则有，即，
于是得，，即，函数周期为6，A正确；
由得：，而，于是有，函数为奇函数，B正确；
因函数周期为6，则，C不正确；
因为奇函数，则，D正确.
12．（多选题）已知函数是上的偶函数，对于任意，都有成立，当，且时，都有，给出下列命题，其中所有正确命题为（ ）.
A．B．直线是函数的图象的一条对称轴
C．函数在上为增函数D．函数在上有四个零点
【答案】ABD【详解】令，则由，
得，故,A正确；
由得：，故以6为周期．
又为偶函数即关于直线对称，
故直线是函数的图象的一条对称轴，B正确；
因为当，，时，有成立，
故在上为增函数，又为偶函数，故在上为减函数，
又周期为6．故在上为减函数，
C错误；该抽象函数图象草图如下：
函数周期为6，故
，故在上有四个零点，D正确．
13．（多选题）已知定义在上的函数满足，，且，当时，都有，则以下判断正确的是（ ）
A．是奇函数 B．函数在单调递增
C．是函数的对称轴 D．函数的最小正周期是6
【答案】ABC【详解】由定义域为， ，即，则函数为奇函数，故A正确；因为，而，所以，
所以函数的对称轴为，故C选项正确；
因为，所以，所以的最小正周期是12，故D选项不正确；
因为，当时，都有，
则，所以时，为减函数.
因为函数为奇函数，所以时，为减函数，
又因为函数关于对称，所以时，为增函数.
因为的最小正周期是12，所以的单调性与时的单调性相同.
故，时，单调递增，故B选项正确.
故选：ABC
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