资源简介

直线的斜率与倾斜角
新课程标准解读 核心素养
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素 数学抽象
2.理解直线的斜率和倾斜角的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式 直观想象
意大利中部的比萨城内，有一座造型古朴而又秀巧的钟塔，是罗马式建筑的范本，这就是堪称世界建筑史奇迹的比萨斜塔．每年有80万游客来到塔下，无不对它那“斜而不倒”的塔身表示忧虑和焦急，同时也为能亲眼目睹这一由缺陷造成的奇迹而庆幸万分．那么经过600多年的风雨沧桑，比萨斜塔的倾斜度又是多少呢？
[问题]　如何确定比萨斜塔的倾斜程度？你有哪些方法可以运用？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　直线的斜率
对于直线l上的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果x1≠x2，则是一个定值，我们将这个定值称为直线l的斜率，即k＝(x1≠x2)．
对斜率定义的理解
(1)并非所有直线都有斜率，当直线PQ垂直于x轴时，即x1＝x2时，直线l的斜率不存在；
(2)对于与x轴不垂直的直线PQ，它的斜率也可以看做是k＝＝＝；
(3)直线l的斜率是一个定值，与P，Q的位置无关．　　　　
1．已知点A(1，0)，B(－1，1)，则直线AB的斜率为(　　)
A．－　　　　　　　　 B.
C．－2 D．2
解析：选A　直线AB的斜率k＝＝－.
2．若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的斜率为1，则y＝(　　)
A．－ B.
C．－1 D．1
解析：选C　由已知，得＝1.故y＝－1.
知识点二　直线的倾斜角
1．倾斜角的定义
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角，称为这条直线的倾斜角．
2．倾斜角的范围
直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
3．倾斜角与斜率的关系
当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角α之间满足：k＝tan_α(α≠90°)．
1．每一条直线都有一个确定的倾斜角对吗？
提示：对．
2．已知直线上一点和该直线的倾斜角，该直线是否唯一确定？
提示：确定．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任一直线都有倾斜角，都存在斜率．(　　)
(2)倾斜角为135°的直线的斜率为1.(　　)
(3)若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tan α.(　　)
(4)直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．若直线l经过原点和(－1，1)，则它的倾斜角是(　　)
A．45°　　　　　　　　 B．135°
C．45°或135° D．－45°
解析：选B　作出直线l，如图所示，由图易知，应选B.
3．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为(　　)
A. B.
C．1 D.
解析：选A　由题意可知，直线l的斜率k＝tan 30°＝.
直线的斜率
[例1]　经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.
(1)A(2，3)，B(4，5)；
(2)C(－2，3)，D(2，－1)；
(3)P(－3，1)，Q(－3，10)．
[解]　(1)存在．直线AB的斜率kAB＝＝1，即tan α＝1，又0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝45°.
(2)存在．直线CD的斜率kCD＝＝－1，即tan α＝－1，又 0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝135°.
(3)不存在．因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.
利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；
(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置；
(3)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.
倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150°
斜率k 0 1 － －1 －
[跟踪训练]
(1)直线过两点A(1，3)，B(2，7)，求直线的斜率；
(2)过原点且斜率为1的直线l，绕原点沿逆时针方向旋转90°到达l′位置，求l′的斜率．
解：(1)由题意知两点的横坐标不相等，
则直线存在斜率，
根据直线的斜率公式得k＝＝4.
(2)直线l的斜率k＝1，
所以直线l的倾斜角为45°，
所以直线l′的倾斜角为45°＋90°＝135°，
即l′的斜率k′＝tan 135°＝－1.
直线的倾斜角
[例2]　设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为(　　)
A．α＋45°　　　　　　 B．α－135°
C．135°－α D．α＋45°或α－135°
[解析]　由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜180°(0°≤α＜180°)，即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角才是α＋45°.而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为α－135°(如图)．
[答案]　D
求直线的倾斜角的方法及两点注意
(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角；
(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°；
②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.　　　　
[跟踪训练]
1.如图，直线l的倾斜角为(　　)
A．60° B．120°
C．30° D．150°
解析：选D　由图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°.
2．已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　)
A．0°≤α＜90° B．90°≤α＜180°
C．90°＜α＜180° D．0°＜α＜180°
解析：选C　直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°＜α＜180°.
直线的倾斜角、斜率的应用
[例3]　已知点A(2，1)，B(－2，2)，若直线l过点P且总与线段AB有交点，求直线l的斜率k的取值范围．
[解]　当直线l由位置PA绕点P转动到位置PB时，l的斜率逐渐变大直至当l垂直于x轴，当直线l垂直于x轴时，l无斜率，再转动时斜率为负值并逐渐变大直到PB的位置，所以直线l的斜率k≥kPA＝或k≤kPB＝－，即直线l的斜率k的取值范围为∪.
1．由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用k＝tan α(α≠90°)解决．
2．由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解．
3．涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解．　　　　
[跟踪训练]
1．若经过两点A(2，1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(－1，＋∞)
C．(－1，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：选C　∵直线l的倾斜角为锐角，
∴斜率k＝>0，∴－12．已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2)．
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．
解：(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝＝.直线AC的斜率kAC＝＝.故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为.
(2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是.
1．下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是(　　)
A．(4，2)与(－4，1) B．(0，3)与(3，0)
C．(3，－1)与(2，－1) D．(－2，2)与(－2，5)
解析：选D　D项，因为x1＝x2＝－2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在．
2．若直线l经过点M(2，3)，N(4，3)，则直线l的倾斜角为(　　)
A．0° B．30°
C．60° D．90°
解析：选A　因为M，N两点的纵坐标相等，所以直线l平行于x轴，所以直线l的倾斜角为0°.
3.已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________．
解析：设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°.
答案：135°
4．已知直线l经过点A(－1，2)，且斜率k＝－2，判断B(1，－2)，C(0，4)，D(0，0)中，哪些点在直线l上，哪些点不在直线l上．
解：因为kAB＝＝－2，kAC＝＝2≠－2，kAD＝＝－2，且直线l经过点A(－1，2)，
所以点B，D在直线l上，点C不在直线l上．
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6直线的点斜式方程
新课程标准解读 核心素养
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程与斜截式方程 数学抽象、数学运算
2.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关问题 数学抽象、数学运算
射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向．若把子弹飞行的轨迹看作一条直线，并且射击手达到了上述的两个动作要求，结合教材，试从数学角度分析子弹是否会命中目标．
[问题]　(1)情境中托枪的手的位置相当于直线中哪个几何要素？
(2)眼睛瞄准的方向对应的是哪个几何要素？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　直线的点斜式方程与斜截式方程
名称 条件 方程 图形
点斜式 直线l过定点P1(x1，y1)，斜率为k y－y1＝k(x－x1)
续表
名称 条件 方程 图形
斜截式 直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)(直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距) y＝kx＋b
1．过点P(x0，y0)斜率不存在的直线l的方程形式是什么？提示：x＝x0.
2．直线的点斜式及斜截式方程适用条件是什么？
提示：斜率存在．
3．直线l在y轴的截距是直线l与y轴的交点到原点的距离吗？
提示：截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、负数或零．
1．已知直线l的点斜式方程为y－2＝x－1，则直线l的斜率为________．
答案：1
2．直线l在y轴上的截距为2，且倾斜角α＝60°，则直线l的斜截式方程为________．
答案：y＝x＋2
求直线的点斜式方程
[例1]　(链接教科书第11页例1)已知在第一象限的△ABC中，A(1，1)，B(5，1)，A＝60°，B＝45°，求：
(1)AB边所在直线的点斜式方程；
(2)AC边所在直线的点斜式方程．
[解]　(1)如图所示，
因为A(1，1)，B(5，1)，所以AB∥x轴，
所以AB边所在直线的方程为y＝1.
(2)因为A＝60°，
所以kAC＝tan 60°＝，
所以直线AC的方程为y－1＝(x－1)．
[母题探究]
1．(变设问)本例条件不变，试求BC边所在直线的点斜式方程．
解：因为B＝45°，所以kBC＝tan 135°＝－1，
故BC边所在直线的点斜式方程为y－1＝－(x－5)．
2．(变条件)若本例中的条件“B＝45°”换为“B＝60°”，其他条件不变，试求直线BC的点斜式方程．
解：因为B＝60°，所以kBC＝tan 120°＝－，
故直线BC的点斜式方程为y－1＝－(x－5)．
求直线的点斜式方程的方法步骤
(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)；
(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．　　　　
[跟踪训练]
1．过点(－1，2)，且倾斜角为60°的直线方程为________．
解析：直线的斜率k＝tan 60°＝，
由直线的点斜式方程得y－2＝(x＋1)．
答案：y－2＝(x＋1)
2．若直线l过点(2，1)，分别求l满足下列条件的方程：
(1)倾斜角为150°；
(2)平行于x轴．
解：(1)直线的斜率为k＝tan 150°＝－，
所以由点斜式方程得y－1＝－(x－2)，
即方程为y－1＝－(x－2)．
(2)平行于x轴的直线的斜率k＝0，故所求的直线方程为y＝1.
直线的斜截式方程
[例2]　(链接教科书第12页例2)根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
[解]　(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5.
(2)由于直线的倾斜角为150°，所以斜率k＝tan 150°＝－，由斜截式可得方程为y＝－x－2.
(3)由于直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝.由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3.
直线的斜截式方程的求解策略
(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别；
(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决一次函数的图象问题时，常通过把一次函数解析式化为直线的斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断．　　　　　
[跟踪训练]
求倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且在y轴上的截距是－5的直线方程．
解：∵直线y＝－x＋1的斜率k＝－，∴其倾斜角α＝120°，由题意，得所求直线的倾斜角α1＝α＝30°，故所求直线的斜率k1＝tan 30°＝.
∵所求直线的斜率是，在y轴上的截距为－5，
∴所求直线的方程为y＝x－5.
1．下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是(　　)
A．x＝3　　　　　　　 B．y＝－5
C．2y＝x D．x＝4y－1
答案：B
2．方程y＝k(x－2)表示(　　)
A．经过点(－2，0)的所有直线
B．经过点(2，0)的所有直线
C．经过点(2，0)且不垂直于x轴的所有直线
D．经过点(2，0)且除去x轴的所有直线
解析：选C　易验证直线经过点(2，0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴．
3．若直线l的倾斜角为45°，且经过点(2，0)，则直线l的方程是(　　)
A．y＝x＋2　　　　　　 B．y＝x－2
C．y＝x－ D．y＝x－2
解析：选B　由题得直线l的斜率等于tan 45°＝1，由点斜式求得直线l的方程为y－0＝x－2，即y＝x－2.故选B.
4．已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则此直线的方程为(　　)
A．y＝x＋2 B．y＝－x＋2
C．y＝－x－2 D．y＝x－2
解析：选D　∵α＝60°，∴k＝tan 60°＝，
∴直线l的方程为y＝x－2.
5．直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限，则有(　　)
A．k>0，b>0 B．k>0，b<0
C．k<0，b>0 D．k<0，b<0
解析：选B　∵直线经过第一、三、四象限，
∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0.
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5直线的两点式方程
新课程标准解读 核心素养
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程 数学抽象
2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围 逻辑推理
斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上一点与桥面上一点的直线．
[问题]　(1)怎样表示该直线的方程呢？
(2)能否用直线上两个已知点的坐标来表示该直线的方程？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　直线的两点式与截距式方程
两点式 截距式
条件 直线l经过两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2 直线l在x轴上截距为a，在y轴上截距为b
图形
方程 ＝ ＋＝1
适用范围 不表示垂直于坐标轴的直线 不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线
1．所有的直线都可以用两点式方程来表示吗？
提示：垂直于坐标轴的直线不能用两点式方程来表示．
2．方程＝和方程＝表示同一图形吗？
提示：不表示同一圆形．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示．(　　)
(2)方程＝和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示的图形相同．(　　)
(3)过点(1，3)和(1，5)的直线也可以用两点式方程来表示．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×
2．过点A(5，6)和点B(－1，2)的直线的两点式方程是(　　)
A.＝　　　　　　 B.＝
C.＝ D.＝
答案：B
3．在x轴、y轴上的截距分别为2，－3的直线方程为(　　)
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝0
答案：A　
直线的两点式方程
[例1]　(链接教科书第14页例4)已知A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中．
(1)求BC边的方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程．
[解]　(1)∵BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，
∴由两点式得＝，
即2x＋5y＋10＝0.
故BC边的方程为2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)．
(2)设BC的中点为M(x0，y0)，
则x0＝＝，y0＝＝－3.
∴M，
又BC边上的中线经过点A(－3，2)．
∴由两点式得＝，
即10x＋11y＋8＝0.
故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.
求直线的两点式方程的策略以及注意点
(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程；
(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．　　　　
[跟踪训练]
已知直线经过点A(1，0)，B(m，1)，求这条直线的方程．
解：由直线经过点A(1，0)，B(m，1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在．
①当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1；
②当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为＝，即x－(m－1)y－1＝0.
综上可得：当m＝1时，直线方程为x＝1；
当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0.
直线的截距式方程
[例2]　求过点A(5，2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．
[解]　法一：①当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0；
②当直线l在坐标轴上的截距不为0时，
可设方程为＋＝1，即x－y＝a，
又∵l过点A(5，2)，∴5－2＝a，a＝3，
∴l的方程为x－y－3＝0，
综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x－y－3＝0.
法二：由题意知直线的斜率一定存在．
设直线的点斜式方程为y－2＝k(x－5)，
x＝0时，y＝2－5k，y＝0时，x＝5－.
根据题意得2－5k＝－，解方程得k＝或1.
当k＝时，直线方程为y－2＝(x－5)，即2x－5y＝0；
当k＝1时，直线方程为y－2＝1×(x－5)，即x－y－3＝0.
[母题探究]
(变条件)若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为：“在x轴上的截距是y轴上截距的2倍”，其它条件不变，如何求解？
解：①当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0符合题意．
②当直线l在两坐标轴上的截距均不为0时，可设方程为＋＝1，
又l过点(5，2)，∴＋＝1，解得a＝.
∴l的方程为x＋2y－9＝0.
求直线的截距式方程的方法(思路)
(1)由已知条件确定横、纵截距；
(2)若两截距为零，则直线过原点，直接写出方程即可；若两截距不为零，则代入公式＋＝1，可得所求的直线方程．
[注意]　如果题目中出现直线在两坐标轴上的截距相等、截距互为相反数或在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的多少倍等条件，采用截距式求直线方程时一定要注意考虑“零截距”的情况．　　　　
[跟踪训练]
1．直线－＝1在两坐标轴上的截距之和为(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．－1
C．7 D．－7
解析：选B　直线在x轴上截距为3，在y轴上截距为－4，因此截距之和为－1.
2．求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程．
解：设直线方程的截距式为＋＝1.
则＋＝1，解得a＝2或a＝1，
则直线方程是＋＝1或＋＝1，
即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.
截距式方程的应用
[例3]　直线l过点P，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点．
(1)当△AOB的周长为12时，求直线l的方程；
(2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程．
[解]　(1)设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，由题意知，a＋b＋＝12.①
因为直线l过点P，所以＋＝1.②
联立①②，解得或
所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
(2)设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，由题意知，ab＝6即ab＝12.③
联立②③，解得或
所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.
直线的截距式方程是两点式方程的特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点记为(a，0)，(0，b))，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的图形面积或周长时较为方便．一条直线与坐标轴围成的三角形的面积S＝|a|·|b|.　　　　
[跟踪训练]
求经过点(－2，2)且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程．
解：由题意知，直线l在两坐标轴上的截距存在且不为零，故可设所求直线l的方程为＋＝1，
由已知可得解得或
所以＋＝1或＋＝1，
故直线l的方程为2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0.
直线方程的点法式
规定：与直线的方向向量垂直的向量称为直线的法向量．
若直线l经过点P，且一个法向量为n，则直线l上不同于点P的任意一点M都满足n·＝0.反之，满足n·＝0的任意一点M一定在直线l上．
如图，在平面直角坐标系中，已知直线l经过点P(x0，y0)，且它的一个法向量为n＝(A，B)，如何求直线l的方程呢？
设直线l上的任意一点M的坐标为(x，y)，则＝(x－x0，y－y0)．
由n·＝0，可得A(x－x0)＋B(y－y0)＝0. ①
这说明：直线l上的任意一点M(x，y)都满足方程①.
另外，容易验证以方程①的解为坐标的点都在直线l上．
也就是说，方程①是直线l的方程．称这个方程为直线方程的点法式．
[迁移应用]
1．已知△ABC的三个顶点分别为A(1，2)，B(－2，1)，C(0，－1)，求BC边上的高所在直线的方程．
解：由已知，可得＝(－2，2)．
因为＝(－2，2)就是BC边上的高所在直线的法向量，又所求直线经过点A(1，2)，
所以由直线方程的点法式可得所求直线的方程为－2(x－1)＋2(y－2)＝0，
即x－y＋1＝0.
2．已知直线l经过点A(3，1)，且与P(－1，0)，Q(3，2)两点的连线垂直，求直线l的方程．
解：因为PQ⊥l，所以＝(3＋1，2－0)＝(4，2)为直线l的一个法向量．
又直线l经过点A(3，1)，代入直线的点法式方程，得
4(x－3)＋2(y－1)＝0，
即2x＋y－7＝0.
1．已知△ABC三顶点A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为(　　)
A．2x＋y－8＝0　　　　 B．2x－y＋8＝0
C．2x＋y－12＝0 D．2x－y－12＝0
解析：选A　点M的坐标为(2，4)，点N的坐标为(3，2)，由两点式方程得＝，即2x＋y－8＝0.
2．直线＋＝1过第一、三、四象限，则(　　)
A．a>0，b>0 B．a>0，b<0
C．a<0，b>0 D．a<0，b<0
解析：选B　因为直线过第一、三、四象限，所以它在x轴上的截距为正，在y轴上的截距为负，所以a>0，b<0.
3．过坐标平面内两点P1(2，0)，P2(0，3)的直线方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝0
C.＋＝1 D.－＝1
答案：C　
4．过点P(1，2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为____________________．
解析：当直线过原点时，得直线方程为2x－y＝0；
当在坐标轴上的截距不为零时，
可设直线方程为－＝1，
将x＝1，y＝2代入方程可得a＝－1，
得直线方程为x－y＋1＝0.
∴直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.
答案：2x－y＝0或x－y＋1＝0
5．已知点A(3，2)，B(－1，4)，则经过点C(2，5)且经过线段AB的中点的直线方程为________．
解析：AB的中点坐标为(1，3)，
由直线的两点式方程可得＝，
即2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
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7直线的一般式方程
新课程标准解读 核心素养
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式 数学抽象
2.会进行直线方程的五种形式间的转化 数学运算
同学们，前面我们学习了直线方程的四种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式．
[问题]　(1)你能发现这四种形式的直线有什么共同特征吗？
(2)探究它们的方程能否化简为统一的形式．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　直线的一般式方程
1．定义：关于x，y的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)叫作直线的一般式方程．
2．系数的几何意义：当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)；
当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率．
1．平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？
提示：都可以．
2．每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)都能表示一条直线吗？
提示：都能表示一条直线．
1．直线x－y＋1＝0的倾斜角为(　　)
A．30°　　　　　　　 B．60°
C．120° D．150°
解析：选A　由直线的一般式方程，得它的斜率为，从而倾斜角为30°.
2．斜率为2，且经过点A(1，3)的直线的一般式方程为________．
解析：由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化成一般式为2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
直线的一般式方程
[例1]　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．
(1)斜率是且经过点A(5，3)；
(2)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点；
(3)在x，y轴上的截距分别是－3，－1.
[解]　(1)由点斜式方程得y－3＝(x－5)，
整理得x－y＋3－5＝0.
(2)由两点式方程得＝，
整理得2x＋y－3＝0.
(3)由截距式方程得＋＝1，
整理得x＋3y＋3＝0.
求直线一般式方程的策略
(1)当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值；若B≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需确定，的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程；
(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．　　　　
[跟踪训练]
1．已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－4，则直线l的点斜式方程为________；截距式方程为________；斜截式方程为________；一般式方程为________．
解析：点斜式方程： y＋4＝(x－0)，截距式方程：＋＝1，斜截式方程： y＝x－4，一般式方程：x－y－4＝0.
答案：y＋4＝(x－0)　＋＝1　y＝x－4　x－y－4＝0
2．把直线l的一般式方程x－2y＋6＝0化为斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形．
解：把直线l的一般式方程化为斜截式y＝x＋3.
因此，直线l的斜率k＝，它在y轴上的截距是3.
在直线l的方程x－2y＋6＝0中，令y＝0，得x＝－6，
即直线l在x轴上的截距是－6.
由上面可得直线l与x轴、y轴的交点坐标分别为A(－6，0)，B(0，3)，
如图，过A，B两点作直线，就得直线l.
直线的一般式方程的应用
[例2]　(链接教科书第17页例6)设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.
(1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值；
(2)已知直线l的斜率为1，求m的值．
[解]　(1)由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1，
令y＝0，则x＝，
∴＝－3，得m＝－或m＝3(舍去)．
∴m＝－.
(2)由题意知，2m2＋m－1≠0，即m≠且m≠－1.
由直线l化为斜截式方程得y＝x＋，
则＝1，
得m＝－2或m＝－1(舍去)．
∴m＝－2.
[母题探究]
(变设问)对于本例中的直线l，若直线l与y轴平行，求m的值．
解：∵直线l与y轴平行，
∴∴m＝.
已知含参的直线的一般式方程求参数的值(范围)的步骤
　　　　
[跟踪训练]
直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
解：(1)①当a＝－1时，直线l的方程为y＋3＝0，显然不符合题意；
②当a≠－1时，令x＝0，则y＝a－2，
令y＝0，则x＝.
∵l在两坐标轴上的截距相等，
∴a－2＝，
解得a＝2或a＝0.
综上，a的值为2或0.
(2)直线l的方程可化为y＝－(a＋1)x＋a－2，故要使l不经过第二象限，只需解得a≤－1.
∴a的取值范围为(－∞，－1]．
1．直线＋＝1化成一般式方程为(　　)
A．y＝－x＋4　　　　 B．y＝－(x－3)
C．4x＋3y－12＝0 D．4x＋3y＝12
答案：C
2．在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是(　　)
A．30° B．60°
C．150° D．120°
解析：选C　直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°，故选C.
3．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为(　　)
A．A≠0 B．B≠0
C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0
解析：选D　方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0.
4．已知直线mx－2y－3m＝0(m≠0)在x轴上的截距是它在y轴上截距的4倍，则m＝________．
解析：直线方程可化为＋＝1，
∴－×4＝3，解得m＝－.
答案：－
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4两条直线的平行与垂直
新课程标准解读 核心素养
能根据斜率判定两条直线平行或垂直 数学运算、逻辑推理
过山车是一种富有刺激性的娱乐工具．实际上，过山车的运动包含了许多数学、物理学原理．过山车的两条铁轨是永远平行的轨道，它们依靠一根根巨大且垂直于地面的钢筋支撑着．
[问题]　(1)你能感受到过山车中的平行和垂直吗？
(2)两条直线的平行与垂直又用什么来刻画呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　两条直线的平行与垂直
1．两条不重合直线平行的判定
类型 斜率存在 斜率不存在
前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
对应关系 l1∥l2 k1＝k2 l1∥l2 两直线斜率都不存在
图示
2.两条直线垂直的判定
图示
对应关系 l1⊥l2(两直线斜率都存在) k1·k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0 l1⊥l2
1．l1∥l2 k1＝k2成立的前提条件
(1)两条直线的斜率都存在；
(2)l1与l2不重合．
2．l1⊥l2 k1·k2＝－1成立的前提条件
(1)两条直线的斜率都存在；
(2)k1≠0且k2≠0.　　　　
1．如果两条直线平行，则这两条直线的斜率一定相等吗？
提示：不一定．
2．若两条直线的斜率都不存在，那么这两条直线都与x轴垂直吗？
提示：垂直．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行．(　　)
(2)若l1∥l2，则k1＝k2.(　　)
(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．(　　)
(4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是(　　)
A．平行　　　　　　　　 B．重合
C．相交但不垂直 D．垂直
解析：选D　设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－1.
3．判断下列各组直线是否平行或垂直，并说明理由．
(1)l1：y＝－2x＋1与l2：6x＋3y－3＝0；
(2)l1：x－2＝0与l2：y＋2＝0.
解：(1)l1与l2不平行，而是重合．
∵l1：y＝－2x＋1，
l2：6x＋3y－3＝0可化为3y＝－6x＋3，
即y＝－2x＋1，∴l1与l2重合，不平行．
(2)l1⊥l2.
可知l1的斜率不存在，则l1⊥x轴，
l2的斜率为0，则l2平行x轴，
∴l1⊥l2.
两条直线平行、垂直的判定
[例1]　(链接教科书第21页例2，23页例4)判断下列各组直线是否平行或垂直，并说明理由．
(1)l1经过点A(2，3)，B(－4，0)，l2经过点M(－3，1)，N(－2，2)；
(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10，2)，B(20，3)；
(3)l1：3x－2y－7＝0，l2：2x＋3y－1＝0；
(4)l1：y－2＝0，l2：y＋1＝0.
[解]　设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.
(1)k1＝＝，k2＝＝1，
所以k1≠k2且k1·k2≠－1，从而l1与l2既不平行又不垂直．
(2)因为k1＝－10，k2＝＝，
所以k1·k2＝－1，从而l1与l2垂直．
(3)因为k1＝，k2＝－，
所以k1·k2＝－1从而l1与l2垂直．
(4)因为k1＝k2＝0，
从而l1∥l2.
判断两条不重合直线是否平行或垂直的步骤
　　　　
[跟踪训练]
1．判断下列各题中直线l1与l2是否平行．
(1)l1经过点A(－1，－2)，B(2，1)，l2经过点M(3，4)，N(－1，－1)；
(2)l1经过点A(－3，2)，B(－3，10)，l2经过点M(5，－2)，N(5，5)．
解：(1)k1＝＝1，k2＝＝.
∵k1≠k2，∴l1与l2不平行．
(2)∵l1与l2都与x轴垂直，且l1与l2不重合，∴l1∥l2.
2．判断下列各题中l1与l2是否垂直．
(1)l1经过点A(－3，－4)，B(1，3)，l2经过点M(－4，－3)，N(3，1)；
(2)l1经过点A(3，4)，B(3，10)，l2经过点M(－10，40)，N(10，40)．
解：(1)k1＝＝，k2＝＝，k1k2＝1，
∴l1与l2不垂直．
(2)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴；k2＝＝0，则l2∥x轴，∴l1⊥l2.
平行与垂直在平面几何中的应用
[例2]　(链接教科书第21页例1)已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状．
[解]　由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置，如图所示，
由斜率公式可得kAB＝＝，
kCD＝＝，kAD＝＝－3，
kBC＝＝－.
所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，
所以AB∥CD.由kAD≠kBC，
所以AD与BC不平行．
又因为kAB·kAD＝×(－3)＝－1，
所以AB⊥AD，
故四边形ABCD为直角梯形．
利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤
　　　　
[跟踪训练]
1．已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为(　　)
A.　　　　　　 B.
C. D.
解析：选D　设D(x，y)．
∵AD⊥BC，∴·＝－1，
∴x＋5y－9＝0.
∵AB∥CD，∴＝，∴x－2y－4＝0.
联立解得故选D.
2．已知四边形MNPQ的顶点坐标为M(1，1)，N(3，－1)，P(4，0)，Q(2，2)，求证：四边形MNPQ为矩形．
证明：∵kMN＝＝－1，kPQ＝＝－1，
∴MN∥PQ.
又∵kMQ＝＝1，kNP＝＝1，
∴MQ∥NP，∴四边形MNPQ为平行四边形．
又kMN·kMQ＝－1，∴MN⊥MQ，
∴四边形MNPQ为矩形.
平行与垂直在直线方程中的应用
[例3]　(链接教科书第22页例3，24页例5)已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：
(1)过点(－1，3)，且与l平行；
(2)过点(－1，3)，且与l垂直．
[解]　法一：l的方程可化为y＝－x＋3，
∴l的斜率为－.
(1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－.又∵l′过点(－1，3)，
由点斜式知方程为y－3＝－(x＋1)，
即3x＋4y－9＝0.
(2)∵l′与l垂直，∴l′的斜率为，
又l′过点(－1，3)，
由点斜式可得方程为y－3＝(x＋1)，
即4x－3y＋13＝0.
法二：(1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠－12)．
将点(－1，3)代入上式得m＝－9.
∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.
(2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0.
将(－1，3)代入上式得n＝13.
∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.
过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的两种求法
方法一：由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程；
方法二：可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2.　　　　
[跟踪训练]
已知点A(3，3)和直线l：y＝x－.求：
(1)过点A且与直线l平行的直线的方程；
(2)过点A且与直线l垂直的直线的方程．
解：因为直线l：y＝x－，
所以该直线的斜率k＝.
(1)过点A(3，3)且与直线l平行的直线方程为
y－3＝(x－3)，即3x－4y＋3＝0.
(2)过点A(3，3)且与直线l垂直的直线方程为
y－3＝－(x－3)，即4x＋3y－21＝0.
由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直
[例4]　已知直线l1：ax＋2y－3＝0，l2：3x＋(a＋1)y－a＝0，求满足下列条件的a的值．
(1)l1∥l2；
(2)l1⊥l2.
[解]　法一：由题可知A1＝a，B1＝2，C1＝－3，
A2＝3，B2＝a＋1，C2＝－a.
(1)当l1∥l2时，
解得a＝2.
(2)当l1⊥l2时，A1A2＋B1B2＝0，
即3a＋2(a＋1)＝0，解得a＝－.
法二：直线l1可化为y＝－x＋.
(1)当a＝－1时，l2：x＝－与l1不平行；
当a≠－1时，直线l2：y＝－x＋，
∵l1∥l2，∴－＝－且≠，
解得a＝2.
(2)当a＝－1时，l2：x＝－与l1不垂直；
当a≠－1时，l2：y＝－x＋，
∵l1⊥l2，∴－·＝－1，
解得a＝－.
利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0：
(1)若l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)；
(2)若l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.　　　　
[跟踪训练]
已知直线l1：3x＋(m＋1)y－6＝0，l2：mx＋2y－(m＋2)＝0，分别求满足下列条件的m的值．
(1)l1⊥l2；(2)l1∥l2.
解：(1)∵l1⊥l2，∴3×m＋(m＋1)×2＝0，
∴m＝－.
(2)∵l1∥l2，∴3×2＝m×(m＋1)，
∴m＝－3或m＝2，
当m＝－3时，l1∥l2；
当m＝2时，l1与l2重合，不符合题意，舍去．
∴m＝－3.
1．已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是(　　)
A．平行 B．垂直
C．可能重合 D．无法确定
解析：选B　由方程3x2＋mx－3＝0，知Δ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立．
故方程有两相异实根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在．设两根为x1，x2，则k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2，故选B.
2．已知直线l1经过点A(0，－1)和点B，直线l2经过点M(1，1)和点N(0，－2)，若l1与l2没有公共点，则实数a的值为________．
解析：由题意得l1∥l2，∴kAB＝kMN.
∵kAB＝＝－，kMN＝＝3，
∴－＝3，∴a＝－6.
答案：－6
3．已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，a＋2)．
(1)若l1∥l2，求a的值；
(2)若l1⊥l2，求a的值．
解：直线l2的斜率k2＝＝－.
(1)若l1∥l2，则直线l1的斜率为k1＝，所以＝－，解得a＝1或a＝6，经检验当a＝1或a＝6时，l1∥l2.
(2)若l1⊥l2，①当k2＝0时，此时a＝0，k1＝－，不符合题意；②当k2≠0时，l1的斜率存在，k1＝，
由k1·k2＝－1得到×＝－1，
解得a＝3或a＝－4，经检验当a＝3或a＝－4时，l1⊥l2.
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9两条直线的交点
新课程标准解读 核心素养
能用解方程组的方法求两直线的交点坐标 数学抽象、数学运算
中段导弹防御系统是用来对敌方弹道导弹进行探测和跟踪，然后发射拦截导弹，在敌方弹道导弹尚未到达目标之前，在空中对其进行拦截并将其摧毁．假若导弹的飞行路线是一条直线，拦截导弹的飞行路线也是直线，则被拦截的一瞬间即为两直线相交的过程．
[问题]　把上述问题放在平面直角坐标系中，如何求解两直线的交点坐标？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　两直线的交点坐标
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如表所示：
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1，l2的公共点 一个 无数个 零个
直线l1，l2的位置关系 相交 重合 平行
1．仅用直线的斜率能判断两直线的位置关系吗？
提示：不能．
2．两个直线方程联立组成方程组，此方程组的解是这两条直线的交点坐标吗？
提示：是．
1．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是(　　)
A．(4，1)　　　　　　　 B．(1，4)
C. D.
解析：选C　由方程组得即直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是.
2．直线l1：x＋y＋2＝0与直线l2：2x＋2y＋3＝0位置关系是________．
答案：平行
两条直线的交点问题
[例1]　(链接教科书第27页例1)分别判断下列直线l1与l2是否相交．如果相交，求出交点的坐标．
(1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；
(2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；
(3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0.
[解]　(1)解方程组得
所以，l1与l2相交，交点是M.
(2)解方程组
①×2－②得9＝0，矛盾，这个方程组无解，所以l1与l2无公共点，l1∥l2.
(3)解方程组
①×2得6x＋8y－10＝0.
①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合．
两条直线相交的判定方法
方法1 联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交
方法2 两直线的斜率都存在，且斜率不相等
方法3 两直线的斜率一个存在，另一个不存在
[跟踪训练]
判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标．
(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.
解：(1)解方程组得所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1)．
(2)解方程组
①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2.
求过两条直线交点的直线问题
[例2]　(链接教科书第28页例3)求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．
[解]　法一：解方程组得交点坐标为(－1，2)．
又由直线l3的斜率为，得直线l的斜率为－，
则直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.
法二：由于直线l⊥l3，故直线l满足5x＋3y＋C＝0.又直线l过直线l1，l2的交点(－1，2)，
故5×(－1)＋3×2＋C＝0，解得C＝－1，故直线l的方程为5x＋3y－1＝0.
[母题探究]
(变条件)若本例中的条件“垂直于直线l3”换为“平行于直线l3”其他条件不变，试求直线l的方程．
解：解方程组得交点坐标为(－1，2)，
又由直线l3的斜率为得直线l的斜率为，
故直线l的方程为y－2＝(x＋1)，
即3x－5y＋13＝0.
过两条直线交点的直线方程的求法
(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程；
(2)特殊解法(直线系法)：先设出过两直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程．　　　　
[跟踪训练]
求过两直线l1：x－3y－1＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程．
解：解方程组得交点坐标为(－2，－1)，
又直线过原点(0，0)，所以直线的斜率为k＝＝，
故直线l的方程是y＝x即x－2y＝0.
直线恒过定点问题
[例3]　求证：不论λ为何实数，直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3都恒过一定点．
[证明]　法一(特殊值法)：取λ＝0，得到直线l1：2x＋y＋3＝0，
取λ＝1，得到直线l2：x＝－3，
故l1与l2的交点为P(－3，3)．
将点P(－3，3)代入方程左边，
得(λ＋2)×(－3)－(λ－1)×3＝－6λ－3，
∴点(－3，3)在直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3上．
∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3，3)．
法二(分离参数法)：由(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3，
整理，得(2x＋y＋3)＋λ(x－y＋6)＝0.
则直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3通过直线2x＋y＋3＝0与x－y＋6＝0的交点．
由方程组得
∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3，3)．
解决过定点问题常用的三种方法
(1)特殊值法：给方程中的参数取两个特殊值，可得关于x，y的两个方程，从中解出的x，y的值即为所求定点的坐标；
(2)点斜式法：将含参数的直线方程写成点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；
(3)分离参数法：将含参数的直线方程整理为过交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0的形式，则该方程表示的直线必过直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点，而此交点就是定点．比较这三种方法可知，方法一计算较烦琐，方法二变形较困难，方法三最简便因而也最常用．　　　　
[跟踪训练]
求证：不论m取何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过一定点．
证明：当m＝1时，直线方程为y＝－4；
当m＝时，直线方程为x＝9.这两条直线的交点为(9，－4)．
又当x＝9，y＝－4时，9(m－1)＋(－4)(2m－1)＝m－5，即点(9，－4)在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上，
故无论m取何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过定点(9，－4)．
过两条直线交点的直线系方程
(1)设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则过l1，l2的交点的直线系方程为m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中m，n为参数，且m2＋n2≠0)．
当m＝1，n＝0时，此方程即直线l1的方程；
当m＝0，n＝1时，此方程即直线l2的方程．
上面的直线系方程可以改写为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中λ为参数)，(*)
需注意，此时直线系中不包括直线l2.
(2)点斜式y－y0＝k(x－x0)和斜截式y＝kx＋b都是交点直线系方程．
①将点斜式整理为y－y0－k(x－x0)＝0，对照交点直线系方程(*)，其中λ就是－k，y－y0＝0是直线l1，x－x0＝0是直线l2，故y－y0＝k(x－x0)是过点(x0，y0)除x＝x0外的所有直线；
②同①可说明直线系方程y＝kx＋b(b为已知，k为参数)是过点(0，b)除x＝0(即y轴)外的所有直线．
[迁移应用]
(2021·江苏扬州中学月考)求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．
解：设所求直线为l.∵直线l过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点，∴设直线l的方程为2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0，即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0.∵直线l与直线3x＋y－1＝0平行，∴＝≠，解得λ＝.从而所求直线方程为15x＋5y＋16＝0.
1．直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是(　　)
A．(2，2)　　　　　　　 B．(1，1)
C．(1，2) D．(2，1)
解析：选C　由得交点坐标为(1，2)，故选C.
2．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点坐标为(　　)
A．(－4，－3) B．(4，3)
C．(－4，3) D．(3，4)
解析：选C　由方程组得故选C.
3．不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点(　　)
A．(－3，－1) B．(－2，－1)
C．(－3，1) D．(－2，1)
解析：选C　直线l的方程可化为m(x＋2y＋1)－x－3y＝0，
令解得
∴直线l恒过定点(－3，1)．故选C.
4．斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为________．
解析：设所求直线方程为3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0，
即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0，
∴k＝＝－2，解得λ＝5.
∴所求直线方程为2x＋y－4＝0.
答案：2x＋y－4＝0
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6平面上两点间的距离
新课程标准解读 核心素养
探索并掌握平面上两点间的距离公式 数学抽象、数学运算、逻辑推理
在平面直角坐标系中，我们建立了点与坐标、直线与方程的对应关系，并据此研究了点与直线、直线与直线之间的位置关系．
[问题]　(1)怎样借助点的坐标来探求点与点之间的距离？
(2)对于平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)如何求这两点间的距离？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　两点间的距离公式
1．公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ ．
2．文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．
1．两点间的距离公式与两点的先后顺序无关．
2．当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|.
当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|.
当点P1，P2中有一个是原点时，|P1P2|＝eq \r(x＋y)或|P1P2|＝eq \r(x＋y).　　　　
1．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．－5
C．1或－5 D．－1或5
解析：选C　∵|AB|＝＝5，
∴a＝－5或a＝1.
2．已知A(－2，3)，B(－2，－3)，则|AB|＝________．
答案：6
两点间的距离公式
[例1]　(链接教科书第32页例2)已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状．
[解]　法一：∵|AB|＝＝2，
|AC|＝＝2，
又|BC|＝＝2，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，
∴△ABC是等腰直角三角形．
法二：∵kAC＝＝，kAB＝＝－，
则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.
又|AC|＝＝2，
|AB|＝＝2，
∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形．
[母题探究]
(变设问)本例条件不变，求BC边上的中线AM的长．
解：设点M的坐标为(x，y)，因为点M为BC的中点，所以x＝＝2，y＝＝2，即点M的坐标为(2，2)．由两点间的距离公式得|AM|＝＝，所以BC边上的中线AM的长为.
计算两点间距离的方法
(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝；
(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．　　　　
[跟踪训练]
已知点A(－3，4)，B(2，)，在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．
解：设点P的坐标为(x，0)，则有
|PA|＝ ＝ ，
|PB|＝ ＝ .
由|PA|＝|PB|，
得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－.
故所求点P的坐标为.
|PA|＝ ＝.
运用坐标法解决平面几何问题
[例2]　(链接教科书第33页例3)在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．
[证明]　设BC边所在直线为x轴，以D为原点，建立平面直角坐标系，如图所示，
设A(b，c)，C(a，0)，则B(－a，0)．
因为|AB|2＝(a＋b)2＋c2，
|AC|2＝(a－b)2＋c2，
|AD|2＝b2＋c2，
|DC|2＝a2，
所以|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，
|AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2，
所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．
利用坐标法解平面几何问题的四个步骤
(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；
(2)用坐标表示有关的量；
(3)将几何关系转化为坐标运算；
(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系．　　　　
[跟踪训练]
已知等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.
求证：|AC|＝|BD|.
证明：如图所示，建立平面直角坐标系，设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，
则点D的坐标是(a－b，c)．
∴|AC|＝＝，
|BD|＝＝.
故|AC|＝|BD|.
1．已知M(2，1)，N(－1，5)，则|MN|等于(　　)
A．5　　　 B.　　　　
C.　　　　 D．4
解析：选A　|MN|＝＝5.
2．直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1，5，则|PQ|等于(　　)
A．4 B．4
C．2 D．2
解析：选B　∵P(1，1)，Q(5，5)，∴|PQ|＝＝4.
3．已知点M(x，－4)与点N(2，3)间的距离为7，则x＝________．
解析：由|MN|＝7，
得|MN|＝ ＝7，
即x2－4x－45＝0，解得x＝9或x＝－5.
故所求x的值为9或－5.
答案：9或－5
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4点到直线的距离
新课程标准解读 核心素养
1.探索并掌握点到直线的距离公式 直观想象
2.会求两条平行直线间的距离 数学运算
在铁路的附近，有一大型仓库．现要修建一条公路与之连接起来，易知沿仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P.
[问题]　怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　点到直线的距离与两条平行线间的距离
点到直线的距离 两条平行直线间的距离
定义 点到直线的垂线段的长度 夹在两条平行直线间公垂线段的长度
公式 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离d＝
1．已知点P(x0，y0)及直线l上任意一点M，那么点P到直线l的距离|PQ|等于两点间距离|PM|的最小值．
2．点到直线距离的向量表示
如图，设n为过点P且垂直于l的单位向量，就是在n上的投影向量，点P到直线l的距离||＝|·n|.　　　　
1．在使用点到直线的距离公式时，对直线方程的形式有何要求？
提示：应用点到直线距离公式的前提是直线方程为一般式．
2．在使用两平行线间距离公式时，对直线方程的形式有何要求？
提示：两直线的方程为一般式且x，y的系数分别相同．
1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　　)
A．1　　　　　　　　　 B.
C．2 D.
解析：选D　d＝＝.
2．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为(　　)
A．1 B.
C. D．2
解析：选B　由题意知l1，l2平行，则l1∥l2之间两直线的距离为＝.
点到直线的距离
[例1]　(链接教科书第36页例4)求点P(3，－2)到下列直线的距离：
(1)y＝x＋；(2)y＝6；(3)x＝4.
[解]　(1)直线y＝x＋化为一般式为3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d＝＝.
(2)因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8.
(3)因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1.
应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式；
(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用；
(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．　　　　
[跟踪训练]
　倾斜角为60°，并且与原点的距离是5的直线方程为________．
解析：因为直线斜率为tan 60°＝，可设直线方程为y＝x＋b，化为一般式得x－y＋b＝0.由直线与原点距离为5，得＝5 |b|＝10.所以b＝±10，所以所求直线方程为x－y＋10＝0或x－y－10＝0.
答案：x－y＋10＝0或 x－y－10＝0
两平行线间的距离
[例2]　(链接教科书第36页例5)已知直线l1：2x－3y＋4＝0，l2：ax－y－1＝0且l1∥l2.
(1)求a的值；
(2)求两平行线l1与l2之间的距离．
[解]　(1)因为l1∥l2，所以＝，即a＝1.
(2)由(1)知l2的方程为x－y－1＝0即2x－3y－2＝0，所以l1与l2间的距离为d＝＝＝.
求两平行线间的距离的方法
一般是直接利用两平行线间的距离公式：
(1)当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝；
(2)当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．　　　　
[跟踪训练]
1．两直线3x＋4y－2＝0与6x＋8y－5＝0的距离等于(　　)
A．3　　　　　　　　 B．7
C. D.
解析：选C　3x＋4y－2＝0变为6x＋8y－4＝0，则两平行线间的距离为d＝＝.
2．求与两条平行直线l1：2x－3y＋4＝0与l2：2x－3y－2＝0距离相等的直线l的方程．
解：设所求直线l的方程为2x－3y＋C＝0.
由直线l与两条平行线的距离相等，
得＝，即|C－4|＝|C＋2|，
解得C＝1.
故直线l的方程为2x－3y＋1＝0.
距离公式的综合应用
[例3]　已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．
[解]　设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5)．由得正方形的中心坐标为P(－1，0)，
由点P到两直线l，l1的距离相等，
得＝，得c＝7或c＝－5(舍去)．
∴l1：x＋3y＋7＝0.
又正方形另两边所在直线与l垂直，
∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0，3x－y＋b＝0.
∵正方形中心到四条边的距离相等，
∴＝，
得a＝9或a＝－3，
同理得b＝9或b＝－3.
∴另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0.
∴另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0.
利用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式解综合题时，需特别注意直线方程要化为一般式，同时要注意构造法、数形结合法的应用，本节中距离公式的形式为一些代数问题提供了几何背景，可构造几何图形，借助几何图形的直观性去解决问题．　　　　
[跟踪训练]
若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上，则AB的中点M到原点的距离的最小值为________．
解析：依题意，知l1∥l2，故点M所在的直线平行于l1和l2，可设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0(m≠－7且m≠－5)，根据平行线间的距离公式，得＝ |m＋7|＝|m＋5| m＝－6，即l：x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得点M到原点的距离的最小值为＝3.
答案：3
1．已知点(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　)
A.　　　　　　　　 B.－1
C.＋1 D．2－
解析：选B　由点到直线的距离公式，得1＝，即|a＋1|＝.∵a＞0，∴a＝－1，故选B.
2．两平行直线x＋y－1＝0与2x＋2y＋1＝0之间的距离是(　　)
A. B.
C．2 D．1
解析：选A　2x＋2y＋1＝0可化为x＋y＋＝0，由两平行直线间的距离公式，得＝.
3．已知点M(1，2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是(　　)
A. B.
C. D．3
解析：选B　点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为|MP|的最小值，所以|MP|的最小值为＝.
4．与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点(－1，－1)距离为2的直线方程为__________________________．
解析：设所求直线方程为4x＋3y＋C＝0.
则＝2，即|C－7|＝10.
解得C＝－3或C＝17.
故所求直线方程为4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0.
答案：4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0
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