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5.3 诱导公式及恒等变化（精练）
【题组一 诱导公式】
1．（2021·赤峰二中高三一模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·陕西西安市·西安中学）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国高三专题练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国高三专题练习）若数列为等差数列，且，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·湖北武汉市·汉阳一中高三三模）17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（ ）
A． B． C． D．
【题组二 恒等变化】
1．（2021·全国高三专题练习（文））计算：=（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国高三专题练习）sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝（ ）
A．－ B．
C．－ D．
3．（2021·全国高三专题练习（文））（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国高三其他模拟）已知黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度的比值为黄金比值（即黄金分割值，该值恰好等于），则（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·广西南宁三中高三其他模拟（文））的值等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·内蒙古包头市·高三二模（文））已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．（多选）（2021·全国高三专题练习）下列计算正确的选项有（　　）
A．sin158°cos48°+cos22°sin48°＝1
B．sin20°cos110°+cos160°sin70°＝1
C．
D．
8．（2021·山东高三二模）________．
9．（2021·全国高三月考（理））已知，则的值为______.
10．（2021·河南高三月考（理））若，则______．
【题组三 角的拼凑】
1．（2021·全国高三专题练习（文））已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国高三其他模拟）若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国高三专题练习（文））若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·江西抚州市·临川一中高三其他模拟（理））若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全国高三三模）已知为锐角，且，则（ ）
A． B． C．1 D．
6．（2021·全国高三其他模拟（理））已知，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·全国高三三模）角和满足，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·云南昆明市·昆明一中）已知，若，则（ ）
A． B． C． D．5.3 诱导公式及恒等变化（精讲）
考点一 诱导公式
【例1】（1）（2021·全国高三）已知则=（ ）
A．﹣ B． C．2 D．﹣2
（2）（2021·全国高三专题练习）若角的终边在直线上，则（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】（1）C（2）A
【解析】（1）因为，所以===2.故选：C
（2）因为角的终边在直线上，所以，
即，即，所以，
所以
.故选A.
【一隅三反】
1（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校）的值为______________.
【答案】
【解析】由诱导公式可得：，故答案为：
2．（2021·全国高三）化简：________.
【答案】
【解析】原式.故答案为：.
3．（2021·全国高三）若sinθ=，求的值。
【答案】6
【解析】原式=+
,
因为，所以.
所以.
考点二 恒等变化
【例2】（1）（2020·福建福州市）（ ）
A． B． C． D．
（2）．（2021·全国高考真题）（ ）
A． B． C． D．
（3）（2021·安徽师范大学附属中学）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
（4）（2021·奉新县第一中学高三三模）的值为（ ）
A． B． C． D．
（5）（2021·千阳县中学高三二模（理））化简所得的结果是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】（1）D（2）D（3）D（4）D（5）B
【解析】（1）因为，，
所以
．故选：D．
（2）由题意，.故选：D.
（3），，
.故选：D.
（4）由辅助角公式整理可得
.故选：D
（5）
.故选：B
【一隅三反】
1．（2021·全国高三其他模拟）化简______．
【答案】
【解析】
．
2．（2021·全国高三二模）已知，则
【答案】
【解析】.
3．（2021·河南焦作市）若，则
【答案】
【解析】因为，
所以，解得，
则故选：A.
4．（2021·全国高三月考（理））若，则
【答案】
【解析】因为所以，则.
因为，所以，即，故.所以.故选：D.
5．（2021·四川眉山市）计算______.
【答案】
【解析】.
故答案为：.
6．（2021·湖南长沙市·长郡中学）设，，化简 。
【答案】
【解析】因为，，所以，，
，
，
考点三 角的拼凑
【例3】（1）（2021·全国高三月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·安徽省泗县第一中学）若，则（ ）
A． B． C． D．
（3）（2021·安徽合肥市·合肥一中）已知、为锐角，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】（1）C（2）C（3）D
【解析】（1），故选:.C
（2）∵.∴，
∴，故选：C.
（3）因为，，则，
所以，，.
当时，
；
当时，.
综上所述，的值为或.故选：D.
【一隅三反】
1．（2021·云南高三）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】.故选：B.
2．（2021·合肥市第八中学高三）已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，则，，
故，故选：A.
3（2021·陕西西安市·交大附中高三）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
即，
则，.故选：A
4.（2021·湖南衡阳市八中）已知为锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以
.
故选：A.
5．（2021·江苏南京市·高三三模）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【解析】令，则，，
故选：D.
6．（2021·千阳县中学高三其他模拟（文））已知，则__________．
【答案】
【解析】因为，
所以，
，
故.
故答案为：.5.3 诱导公式及恒等变化（精练）
【题组一 诱导公式】
1．（2021·赤峰二中高三一模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，
则.故选：A.
2．（2021·陕西西安市·西安中学）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，所以，
因为，所以.故选：A.
3．（2021·全国高三专题练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由得，
则，故选：B.
4．（2021·全国高三专题练习）若数列为等差数列，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
故选：C
5．（2021·湖北武汉市·汉阳一中高三三模）17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得：，且，
所以，
所以，故选：C
【题组二 恒等变化】
1．（2021·全国高三专题练习（文））计算：=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
故选：B
2．（2021·全国高三专题练习）sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝（ ）
A．－ B．
C．－ D．
【答案】D
【解析】原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝，故选：D.
3．（2021·全国高三专题练习（文））（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，故选：C.
4．（2021·全国高三其他模拟）已知黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度的比值为黄金比值（即黄金分割值，该值恰好等于），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知可得，故，
则
.故选:D.
5．（2021·广西南宁三中高三其他模拟（文））的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】.
故选：A.
6．（2021·内蒙古包头市·高三二模（文））已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】,
.故选：D.
7．（多选）（2021·全国高三专题练习）下列计算正确的选项有（　　）
A．sin158°cos48°+cos22°sin48°＝1
B．sin20°cos110°+cos160°sin70°＝1
C．
D．
【答案】CD
【解析】对于A，sin158°cos48°+cos22°sin48°＝sin22°cos48°+cos22°sin48°＝sin（22°+48°）＝sin70°≠1，故A错误；
对于B，sin20°cos110°+cos160°sin70°＝sin20°（﹣cos70°）+（﹣cos20°）sin70°＝﹣（sin20°cos70°+cos20°sin70°）＝﹣sin（20°+70°）＝﹣1，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，cos74°sin14°﹣sin74°cos14°＝sin（14°﹣74°）＝﹣sin60°，故D正确.
故选：CD.
8．（2021·山东高三二模）________．
【答案】
【解析】，，
所以，
.故答案为：.
9．（2021·全国高三月考（理））已知，则的值为______.
【答案】
【解析】由题意知，，则，
所以.故答案为：.
10．（2021·河南高三月考（理））若，则______．
【答案】
【解析】由三角函数的诱导公式和倍角公式，可得
．故答案为：.
【题组三 角的拼凑】
1．（2021·全国高三专题练习（文））已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得.故选：D
2．（2021·全国高三其他模拟）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，得，即，
所以．故选：D．
3．（2021·全国高三专题练习（文））若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】.
.
故选：A
4．（2021·江西抚州市·临川一中高三其他模拟（理））若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
所以，故选：C.
5．（2021·全国高三三模）已知为锐角，且，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】为锐角，则，，
因为，
所以，
解得，或舍，
故选：
6．（2021·全国高三其他模拟（理））已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，∴，
∵，∴，
∴．
故选：B
7．（2021·全国高三三模）角和满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，
所以，
故．
故选：A.
8．（2021·云南昆明市·昆明一中）已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，所以，
因此，
故选：B.5.3 诱导公式及恒等变化（精讲）
考点一 诱导公式
【例1】（1）（2021·全国高三）已知则=（ ）
A．﹣ B． C．2 D．﹣2
（2）（2021·全国高三专题练习）若角的终边在直线上，则（ ）
A．2 B． C． D．1
【一隅三反】
1（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校）的值为______________.
2．（2021·全国高三）化简：________.
3．（2021·全国高三）若sinθ=，求的值。
考点二 恒等变化
【例2】（1）（2020·福建福州市）（ ）
A． B． C． D．
（2）．（2021·全国高考真题）（ ）
A． B． C． D．
（3）（2021·安徽师范大学附属中学）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
（4）（2021·奉新县第一中学高三三模）的值为（ ）
A． B． C． D．
（5）（2021·千阳县中学高三二模（理））化简所得的结果是（ ）
A． B． C． D．2
【一隅三反】
1．（2021·全国高三其他模拟）化简______．
2．（2021·全国高三二模）已知，则
.
3．（2021·河南焦作市）若，则
4．（2021·全国高三月考（理））若，则
5．（2021·四川眉山市）计算______.
6．（2021·湖南长沙市·长郡中学）设，，化简 。
考点三 角的拼凑
【例3】（1）（2021·全国高三月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·安徽省泗县第一中学）若，则（ ）
A． B． C． D．
（3）（2021·安徽合肥市·合肥一中）已知、为锐角，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【一隅三反】
1．（2021·云南高三）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·合肥市第八中学高三）已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3（2021·陕西西安市·交大附中高三）已知，则（ ）
A． B． C． D．
4.（2021·湖南衡阳市八中）已知为锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·江苏南京市·高三三模）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
6．（2021·千阳县中学高三其他模拟（文））已知，则__________．

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