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5.5 正余弦定理（精讲）
考点一 正余弦定理的选择
【例1】（1）（2021·全国高考真题（文））在中，已知，，，则（ ）
A．1 B． C． D．3
（2）（2021·浙江）的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c若, 则c等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【一隅三反】
1．（2021·四川攀枝花市·高三三模（文））在中，角的对边分别为，且，，，则（ ）．
A． B． C． D．
2．（多选）（2021·全国）在中，角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·四川成都市）设的内角，，所对的边分别为，，．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·安徽安庆市）在中，a，b，c分别是的对边．若a，b，c成等比数列，且，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·甘肃高三二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
考点二 边角互换
【例2】（1）（2021·全国高三）已知的内角，，的对边分别为，，，且，则（ ）
B． C． D．
（2）（2021·全国）在中，角、、的对边分别为、、，若，，则角（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2021·宁夏高三）在中，若，则（ ）
A． B． C．或 D．或
2．（2021·全国高三月考）已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，则___________.
3．（2021·江西九江市）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则_________．
4．（2021·四川高三三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则c的值等于
5．（2021·云南民族大学附属中学高三月考（理））在中，，，，若，且，则______.
考点三 三角形的面积
【例3】（1）（2021·江西高三）中，，，，则的面积为（ ）
B． C．或 D．或
（2）（2021·兰州市第二十七中学）在△中，内角A，，所对的边分别为，，，，，，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
（3）（多选）（2021·全国高三专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且的面积为，则角不可能是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2021·陕西宝鸡市）的内角的对边分别为，，，则的面积为（ ）
A． B．2 C． D．3
2．（2021·全国高三）内角的对边分别为，若，且，则该三角形的面积为（ ）
A．1 B．4 C．3 D．
3．（2021·陕西宝鸡市）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，，的面积为，则b=（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·四川眉山市·高三三模）在中，，，分别是角，，所对的边，若的面积，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·陕西西安市）已知的内角的对边分别为且，的面积为则（ ）
A． B．5 C．8 D．
考点四 判断三角形的形状
【例4】（1）（2021·四川省内江市第六中学）若的三个内角满足，则（ ）
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
（2）（2021·全国高三）在中，若满足，则该三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【一隅三反】
1．（2021·全国高三专题练习）在中，若，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
2．（2021·广东）的三边长分别为4，5，7，则该三角形的形状为（ ）
A．没有满足要求的三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
3．（2021·吉林）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
4．（2021·安徽高三月考）的内角A，B，C的对边分别为，已知且满足，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
考点五 三角形的个数
【例5】（1）（2021·山西高三其他模拟（理））在中，角，，所对的边分别为，，，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的取值不可能为（ ）
A．3 B．4 C． D．
（2）（2021·江西）已知中，满足 的三角形有两解，则边长的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2020·六安市城南中学高三月考）在中，内角，，的对边分别为，，．根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．（2021·安徽省怀宁县第二中学高三月考（文））在中，角，，所对的边分别为，，，，，若满足条件的三角形有且只有两个，则边的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·江西宜春市）中，，则符合条件的三角形有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
考点六 几何问题
【例6】（1）（2021·江苏盐城市）在平行四边形ABCD中，，则的值是
（2）（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（理））在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，C＝，c＝2，D为BC中点，cosB＝，求AD的长度为______________．
【一隅三反】
1．（2021·浙江金华市·）在锐角△ABC中，，D点在线段BC上，且BD=2DC，，则△ABC的面积为___________.
2．（2021·江西九江市·九江一中高三月考（文））已知平面四边形中，，则四边形的面积为___________.
3．（2021·浙江温州市·高三三模）如图，的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，，若点D在线段上，且，则__________．
4．（2021·上海市七宝中学）如图，在四边形中，.求：
（1）的长度；
（2）三角形的面积.
考点七 最值问题
【例7】（1）（多选）（2021·湖南长沙市）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角B可以是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·四川高三月考）在中，，平分交于，且，则的面积的最小值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
（3）（2021·北京人大附中）在中，，，则的最大周长是（）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2021·全国高三）△ABC中，b=4，a=4cosC+csinB，则△ABC面积的最大值为___________.
2．（2021·江西）在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若ccosA+acosC=2，AC边上的高为，则∠ABC的最大值为
3．（2021·甘肃）已知中，、分别是线段、的中点，与交于点，且，若，则周长的最大值为
4．（2021·四川高三月考）在中，，平分交于，且，则的面积的最小值为___________.5.5 正余弦定理（精练）
【题组一 正余弦定理的选择】
1．（2021·陕西高三三模）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝，A＝，则c＝（ ）
A．1或2 B．1或 C．1 D．3
【答案】A
【解析】，化简得，c2﹣3c+2＝0，解得c＝1或2．故选：A．
2．（2021·河南商丘市）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则___________．
【答案】8
【解析】由，得，因为，所以，
由余弦定理得，即，解得舍去．故答案为：8
3．（2021·上海华师大二附中高三三模）已知中，，则___________.
【答案】2或4
【解析】，，，
或
当时，，,
当时，,为等腰三角形，故故答案为：2或4
4．（2021·山东泰安市·高三三模）在中，，，，则
【答案】
【解析】由余弦定理得：，
所以，因为，所以，所以，
5．（2021·黑龙江齐齐哈尔市）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则 等于_______．
【答案】
【解析】因为中，，，，
由正弦定理，可得，所以，
因为，所以，所以，可得．故答案为：
6．（2021·山西晋城市）已知外接圆的直径为d，，，，则___________.
【答案】
【解析】由余弦定理得：，所以，
由正弦定理得.故答案为：
7．（多选）（2021·重庆市育才中学高三二模）已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，，，则下列说法正确的是
A．或 B．
C． D．该三角形的面积为
【答案】BC
【解析】由余弦定理得，所以.
由正弦定理得，所以，
由于，所以.所以.
三角形的面积为.
故BC选项正确，AD选项错误.故选：BC
8．（多选）（2021·江苏高三专题练习）在中，角的对边分别为，若，则角可为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由余弦定理得：，
又，，整理可得：；
对于A，，则，A错误；
对于B，，则，B正确；
对于C，，则，C正确；
对于D，，则，D错误.故选：BC.
【题组二 边角互换】
1．（2021·广西高三）锐角内角的对边分别为，已知，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【答案】C
【解析】，，
为锐角三角形，，，，.故选：C.
2．（2021·湖南株洲市·高三二模）在中，内角A B C所对的边分别为a b c，若，则角C的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
所以，
因为，所以，又所以故选：A
3．（2021·宁夏银川市·银川二中高三三模（文））△的内角的对边分别为，，，已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由正弦定理知：，而，
∴，又，即，∴.故选：D.
4．（2021·吉林吉林市）已知分别为三个内角的对边，且，则A为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
因为，所以，
所以，
，
因为，所以，所以，
因为，所以，得故选：B
5．（2021·四川成都市）在中，内角成等差数列，则___________.
【答案】
【解析】由内角成等差数列，知：，而，
∴，而由余弦定理知：，
由正弦定理边角关系，得：.故答案为：.
6．（2021·陕西西安市）已知在中，，则________.
【答案】
【解析】因为，
所以由正弦定理得，即，
由余弦定理得，所以，从而，
所以，故答案为：.
【题组三 三角形的面积】
1．（2021·四川内江市）在△中，，，，则△的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由余弦定理得，,所以,所以△的面积为.故选：B.
2．（2021·河南高三月考）在中，，，，则的面积为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】A
【解析】因为，，，由余弦定理得，
所以，所以.又因为，，所以，所以.故选：A.
3．（2021·四川雅安市）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在中， ，所以，
又因为，所以，
因为，所以，且，所以，
又因为，，所以的面积为，故选：D
4．（2021·北京高三二模）在中，.则的面积为（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】A
【解析】，，
，.解得：，
的面积为.故选：A.
5．（2021·安徽黄山市）在中，角，，所对的边分别为，，，若，的面积为，，则角（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】因为，由正弦定理得，
因为的面积，所以，
因为，所以，故或．故选：C．
6．（2021·河南高三）在中，角，，的对边分别是，，，已知，，且的面积为，则的内切圆的半径为______．
【答案】
【解析】因为的面积为，所以，解得．
又，由余弦定理可得，所以，
所以的周长为，
设的内切圆的半径为，则，
解得．故答案为：.
7．（多选）（2021·全国高三专题练习），，分别为内角，，的对边.已知，且，则（ ）
A． B．
C．的周长为 D．的面积为
【答案】ABD
【解析】∵，∴，∴.
由余弦定理得，整理得，又，
∴，.周长为.
故的面积为.故选：ABD
8（多选）（2021·湖南高三月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=b=3，B=2C，则下列结论正确的是（ ）
A．sinC= B．a= C．a=c D．
【答案】AB
【解析】∵B=2C，∴sinB=sin2C=2sinCcosC，由正弦定理知，，
∵c=b，∴cosC=，sinC=，即选项A正确；
由余弦定理知，c2=a2+b2﹣2ab cosC，∴9=a2+﹣2a (2) ，即a2﹣4a+3=0，解得a=3或a=1，
若a=3，则A=C=，此时cosC=，与题意不符，
∴a=1=，即选项B正确，选项C错误；
的面积=ab sinC=×1××=，即选项D错误.故选：AB
9．（2021·上海高三三模）在中，，，且的面积为，则__________.
【答案】或
【解析】中，，，且的面积为，
所以，所以，整理得：，
因为，所以或，故答案为：或
10．（2021·广西）在中，，，的面积为，则___________.
【答案】
【解析】因为，，所以，
由余弦定理得，
所以.故答案为：
【题组四 判断三角形的形状】
1．（2021·全国高三专题练习（理））在中，内角、所对的边分别为、，若，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
【答案】B
【解析】，，
即，即，
整理得，或，
因此，是等腰三角形或直角三角形.故选：B.
2．（2021·全国（文））若△ABC中，，则此三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】中，，
已知等式变形得：，即，
整理得：，即，
或（不合题意，舍去），
，则此三角形形状为直角三角形．故选：
3．（2021·福建）设的三个内角成等差数列，、、成等比数列，则这个三角形的形状是 （ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
【答案】B
【解析】因为的三个内角成等差数列，所以 ,
又因为、、成等比数列，所以
所以
即
又因为 所以故选B
4．（2021·甘谷县第四中学）在中，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】由已知，得或，即或，由正弦定理得，即，即，∵，均为的内角，∴或，∴或，∴为等腰三角形或直角三角形.
故选：D.
5．（2021·全国高三专题练习）已知的三个内角，，所对的边分别为，，，满足，且，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．顶角为的非等腰三角形 D．顶角为的等腰三角形
【答案】D
【解析】因为，
所以，
所以，
根据正弦定理可得，即，
所以，因为，所以，所以，
由得，
得，得，得，
得，因为为三角形的内角，所以，，
所以为顶角为的等腰三角形.故选：D
6．（多选）（2021·全国高三专题练习）在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论正确的是（ ）
A．当时，是直角三角形 B．当时，是锐角三角形
C．当时，是钝角三角形 D．当时，是钝角三角形
【答案】ABC
【解析】对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，，显然是直角三角形，故命题正确；
对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，，
显然是等腰三角形，，
说明为锐角，故是锐角三角形，故命题正确；
对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，，
可得，说明为钝角，故是钝角三角形，故命题正确；对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，，
此时，不等构成三角形，故命题错误.故选：.
【题组五 三角形的个数】
1．（2021·广东若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则B的解的个数是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．不确定
【答案】A
【解析】由正弦定理知，，即 ，解得，
又，由三角函数性质知角B由两个解，
当角B为锐角时，满足，即存在；
当角B为钝角时，，，
则满足，即存在；故有两个解.故选：A
2．（2021·重庆巴蜀中学）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，满足条件，的三角形有两个，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，
由正弦定理可得，所以，
又满足题意的三角形有两个，所以只需，即，解得.故选：C.
3．（2021·浙江）在中，，则“”是“有两个解”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】，
若有两个解，则，即，即，
“”是“有两个解”的必要不充分条件.
故选：B.
4．（2021·天津南开中学）在中，角所对的边分别为，下列条件使有两解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】选项A. 由余弦定理可得
的三边分别为，所以满足条件的三角形只有一个.
选项B. ，则, 由正弦定理可得
所以，的三边为定值，三个角为定值，所以满足条件的三角形只有一个.
选项C. 由，则由正弦定理可得
所以, 由则，所以角为一确定的角，且，
则角角为一确定的角，从而边也为定值，所以满足条件的三角形只有一个.
选项D. 作,在的一条边上取，过点作垂直于的另一边，垂足为.
则,以点为圆心，4为半径画圆弧，
因为，所以圆弧与的另一边有两个交点
所以均满足条件，所以所以满足条件的三角形有两个.
故选：D
5．（2021·天津）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则满足条件的（ ）
A．无解 B．有一个解
C．有两个解 D．不能确定
【答案】C
【解析】因为，，
由正弦定理可得，，所以，
因为为三角形内角，所以，因此或，
若，则符合题意；若，则，符合题意；
因此有两个解；故选：C.
6．（2021·河南高三月考（理））中，角A,B,C的对边分别是，，，，，若这个三角形有两解，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得：有两解时需要：，则，解得:.故选：B．
7．（2021·黑龙江哈尔滨市）在中，已知：，，，如果解该三角形有两解，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图：，
因为三角形有两解，
所以，
所以，
所以，得.
故选：D
8．（2021·全国高三专题练习（文））在中，角所对的边分别为，下列条件使得无法唯一确定的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A：∵，∴A=140°，
由正弦定理得：，
∴
∴唯一确定；故A正确.
对于B：∵，
由余弦定理，可得：
由正弦定理：，有：
可以求出角A、B，∴唯一确定；故B正确.
对于C：∵
由正弦定理：，有：，
∴，
∵∴∴,这样的角B有2个，所以不唯一，故C错误.
对于D：∵
由正弦定理：，有：，
∴，
∵∴∴,这样的角A有唯一一个，
∴角C唯一，所以唯一，故D正确.
故选：C
9．（2021·全国高三专题练习（文））在中，若，，，则此三角形有（ ）
A．无解 B．两解 C．一解 D．解的个数不确定
【答案】B
【解析】在中，，，，由正弦定理，
得：，
，，的度数有两解，则此三角形有两解．故选：．
10．（多选）（2021·全国高三专题练习）在中，内角所对的边分别为.根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】对于选项A中：由，所以，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；
对于选项B中：因为，且，所以角有两解；
对于选项C中：因为，且，所以角有两解；
对于选项D中：因为，且，所以角仅有一解.
故选：BC.
【题组六 几何问题】
1．（2021·安徽高三一模）如图所示，在四边形ABCD中，AC=AD=CD=7，∠ABC=120°，sin∠BAC=且BD为∠ABC的平分线，则BD=（ ）
A．6 B．9 C．7 D．8
【答案】D
【解析】由正弦定理得，
由，可得，，
所以四点共圆，，
由余弦定理．故选：D.
2．（2021·新安县第一高级中学）如图，在ABC中，∠BAC=，点D在线段BC上，AD⊥AC，，则sinC=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在中，，解得又 所以故选：B.
3．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三月考（理））在如图所示四边形中，，，，，，则四边形的面积为________.
【答案】
【解析】由题意，知：，且，，
∴，，
∴四边形的面积.
故答案为：
4．（2021·安徽宣城市）如图，在四边形中，．若是的角平分线，则的长为_____．
【答案】5．
【解析】中，，
由余弦定理得，所以，
又，由正弦定理得，所以，
又，中，，
由正弦定理得，所以，即的长为5．故答案为：5．
5．（2021·全国高三专题练习（文））在中，，，是上的点，平分，若，则的面积为__________.
【答案】
【解析】
∴由正弦定理，，，即，，而，
∴，
∵，即，，
∴，即，
又由余弦定理知：，
∴，即，令，
∴，即（舍去），
∴.
故答案为：.
6．（2021·江苏苏州市·高三月考）如图，在平面四边形ABCD中，，．
（1）若，求三角形ABD的面积；
（2）若求的大小．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）在中，由，
可得，
在中，由正弦定理知，可得．
所以
（2）由，
在中，由正弦定理知，
又，所以sin∠ABD=cos∠CBD
从而有
两式相除可得
又由
因此有，由可得
（延长BA，CD交与点E，在三角形EAD中计算同样给分）
【题组七 最值问题】
1．（2021·浙江高三二模）在中，，为的中点，，则__________，面积的最大值为__________．
【答案】1
【解析】在中，，由正弦定理得，，
即，又已知，则.
设,则，
由余弦定理得，，则.
.
当时，取最大值.
故答案为：；.
2．（2021·黑龙江实验中学高三其他模拟（文））在锐角中，内角A，B所对的边分别为a，b，若，则___________；边长a的取值范围是___________.
【答案】4
【解析】由题可知：，所以
所以，由正弦定理可知,则，
由为锐角三角形，所以，即
所以，则故答案为：4,
3．（2021·湖南益阳市·高三二模）在锐角三角形中，角的对边分别为，若，则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】因为，整理可得，
所以由余弦定理可得
即结合正弦定理可得即，
因为， ，所以，可得，
又因为为锐角三角形，
所以，可得，
所以
又因为
所以<<，即的取值范围为(，).
故答案为：(，).
4．（2021·浙江高三期末）南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式（其中、、、为三角形的三边和面积）表示.在中，、、分别为角、、所对的边，若，且，则面积的最大值为___________.
【答案】
【解析】，则，
可得，
.
当且仅当时，等号成立.
因此，面积的最大值为.
故答案为：.
5．（2021·全国高三专题练习（文））在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的周长的最大值是___________.
【答案】9
【解析】对已知等式进行角化边可得：，
因为，所以，即，
因为，，所以，
所以，即，当且仅当时，，
所以，即的周长的最大值为9.
故答案为：9.
6．（2021·全国高三专题练习）在中，角，，的对边分别是，，.且满足.若，且为锐角三角形，则面积的取值范围为___________.
【答案】
【解析】，，，
又，故，即，，
由为锐角三角形知，，解得.
由正弦定理可知，，即，得，
故面积为，
因为，则，，
故.故答案为：.5.5 正余弦定理（精练）
【题组一 正余弦定理的选择】
1．（2021·陕西高三三模）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝，A＝，则c＝（ ）
A．1或2 B．1或 C．1 D．3
2．（2021·河南商丘市）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则___________．
3．（2021·上海华师大二附中高三三模）已知中，，则___________.
4．（2021·山东泰安市·高三三模）在中，，，，则
5．（2021·黑龙江齐齐哈尔市）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则 等于_______．
6．（2021·山西晋城市）已知外接圆的直径为d，，，，则___________.
7．（多选）（2021·重庆市育才中学高三二模）已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，，，则下列说法正确的是
A．或 B．
C． D．该三角形的面积为
8．（多选）（2021·江苏高三专题练习）在中，角的对边分别为，若，则角可为（ ）
A． B． C． D．
【题组二 边角互换】
1．（2021·广西高三）锐角内角的对边分别为，已知，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
2．（2021·湖南株洲市·高三二模）在中，内角A B C所对的边分别为a b c，若，则角C的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·宁夏银川市·银川二中高三三模（文））△的内角的对边分别为，，，已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·吉林吉林市）已知分别为三个内角的对边，且，则A为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·四川成都市）在中，内角成等差数列，则___________.
6．（2021·陕西西安市）已知在中，，则________.
【题组三 三角形的面积】
1．（2021·四川内江市）在△中，，，，则△的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·河南高三月考）在中，，，，则的面积为（ ）
A． B．2 C．4 D．
3．（2021·四川雅安市）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·北京高三二模）在中，.则的面积为（ ）
A． B．6 C． D．
5．（2021·安徽黄山市）在中，角，，所对的边分别为，，，若，的面积为，，则角（ ）
A． B． C．或 D．或
6．（2021·河南高三）在中，角，，的对边分别是，，，已知，，且的面积为，则的内切圆的半径为______．
7．（多选）（2021·全国高三专题练习），，分别为内角，，的对边.已知，且，则（ ）
A． B．
C．的周长为 D．的面积为
8（多选）（2021·湖南高三月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=b=3，B=2C，则下列结论正确的是（ ）
A．sinC= B．a= C．a=c D．
9．（2021·上海高三三模）在中，，，且的面积为，则__________.
10．（2021·广西）在中，，，的面积为，则___________.
【题组四 判断三角形的形状】
1．（2021·全国高三专题练习（理））在中，内角、所对的边分别为、，若，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
2．（2021·全国（文））若△ABC中，，则此三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
3．（2021·福建）设的三个内角成等差数列，、、成等比数列，则这个三角形的形状是 （ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
4．（2021·甘谷县第四中学）在中，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
5．（2021·全国高三专题练习）已知的三个内角，，所对的边分别为，，，满足，且，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．顶角为的非等腰三角形 D．顶角为的等腰三角形
6．（多选）（2021·全国高三专题练习）在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论正确的是（ ）
A．当时，是直角三角形 B．当时，是锐角三角形
C．当时，是钝角三角形 D．当时，是钝角三角形
【题组五 三角形的个数】
1．（2021·广东若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则B的解的个数是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．不确定
2．（2021·重庆巴蜀中学）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，满足条件，的三角形有两个，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
3．（2021·浙江）在中，，则“”是“有两个解”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2021·天津南开中学）在中，角所对的边分别为，下列条件使有两解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2021·天津）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则满足条件的（ ）
A．无解 B．有一个解
C．有两个解 D．不能确定
6．（2021·河南高三月考（理））中，角A,B,C的对边分别是，，，，，若这个三角形有两解，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·黑龙江哈尔滨市）在中，已知：，，，如果解该三角形有两解，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·全国高三专题练习（文））在中，角所对的边分别为，下列条件使得无法唯一确定的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021·全国高三专题练习（文））在中，若，，，则此三角形有（ ）
A．无解 B．两解 C．一解 D．解的个数不确定
10．（多选）（2021·全国高三专题练习）在中，内角所对的边分别为.根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A． B．
C． D．
【题组六 几何问题】
1．（2021·安徽高三一模）如图所示，在四边形ABCD中，AC=AD=CD=7，∠ABC=120°，sin∠BAC=且BD为∠ABC的平分线，则BD=（ ）
A．6 B．9 C．7 D．8
2．（2021·新安县第一高级中学）如图，在ABC中，∠BAC=，点D在线段BC上，AD⊥AC，，则sinC=（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三月考（理））在如图所示四边形中，，，，，，则四边形的面积为________.
4．（2021·安徽宣城市）如图，在四边形中，．若是的角平分线，则的长为_____．
5．（2021·全国高三专题练习（文））在中，，，是上的点，平分，若，则的面积为__________.
6．（2021·江苏苏州市·高三月考）如图，在平面四边形ABCD中，，．
（1）若，求三角形ABD的面积；
（2）若求的大小．
【题组七 最值问题】
1．（2021·浙江高三二模）在中，，为的中点，，则__________，面积的最大值为__________．
2．（2021·黑龙江实验中学高三其他模拟（文））在锐角中，内角A，B所对的边分别为a，b，若，则___________；边长a的取值范围是___________.
3．（2021·湖南益阳市·高三二模）在锐角三角形中，角的对边分别为，若，则的取值范围为___________.
4．（2021·浙江高三期末）南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式（其中、、、为三角形的三边和面积）表示.在中，、、分别为角、、所对的边，若，且，则面积的最大值为___________.
5．（2021·全国高三专题练习（文））在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的周长的最大值是___________.
6．（2021·全国高三专题练习）在中，角，，的对边分别是，，.且满足.若，且为锐角三角形，则面积的取值范围为___________.5.5 正余弦定理（精讲）
考点一 正余弦定理的选择
【例1】（1）（2021·全国高考真题（文））在中，已知，，，则（ ）
A．1 B． C． D．3
（2）（2021·浙江）的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c若, 则c等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】（1）D（2）D
【解析】（1）设，
结合余弦定理：可得：，
即：，解得：（舍去），故.故选：D.
（2）由已知得，根据正弦定理： ，故.故选：D.
【一隅三反】
1．（2021·四川攀枝花市·高三三模（文））在中，角的对边分别为，且，，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在中，由余弦定理得：，
即，解得：或（舍），.故选：B.
2．（多选）（2021·全国）在中，角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】由在中，角，，所对的边分别为，，，知：
在选项中，由余弦定理得：，故正确；
在选项中，由正弦定理得：，
，故正确；
在选项中，，
由余弦定理得：，
整理，得，故正确；
在选项中，由余弦定理得：，
故错误.
故选：.
3．（2021·四川成都市）设的内角，，所对的边分别为，，．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由正弦定理可知：，故选：A
4．（2021·安徽安庆市）在中，a，b，c分别是的对边．若a，b，c成等比数列，且，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知得，因此可化为．
于是，又，所以．故选：A．
5．（2021·甘肃高三二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由正弦定理：
得
又因为，所以
令所以故选：D.
考点二 边角互换
【例2】（1）（2021·全国高三）已知的内角，，的对边分别为，，，且，则（ ）
B． C． D．
（2）（2021·全国）在中，角、、的对边分别为、、，若，，则角（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）A（2）B
【解析】（1） 因为，所以由正弦定理可得，
因为为角形内角，所以，
所以，即，可得，
因为，所以．故选：A
（2）因为，由正弦定理可得，
，所以，，
由余弦定理可得，
，因此，.故选：B.
【一隅三反】
1．（2021·宁夏高三）在中，若，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【解析】因为，由正弦定理得，
，
因为，所以，所以，而B为三角形内角，故．故选：A．
2．（2021·全国高三月考）已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，则___________.
【答案】
【解析】因为，由正弦定理得，
又因为，所以，
又，即，所以.
由余弦定理得和，得，
即，解得或(舍)，故答案为：.
3．（2021·江西九江市）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则_________．
【答案】
【解析】因为，所以由正弦定理得，
即，
所以，
所以，
是三角形内角，所以，所以，，
，又，所以，即．故答案为：．
4．（2021·四川高三三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则c的值等于
【答案】
【解析】，
∴，又，则，
∴，，又，故，∴.
5．（2021·云南民族大学附属中学高三月考（理））在中，，，，若，且，则______.
【答案】
【解析】，可得，则，
因为，由正弦定理可得，则，
所以，，，解得，
所以，.故答案为：.
考点三 三角形的面积
【例3】（1）（2021·江西高三）中，，，，则的面积为（ ）
B． C．或 D．或
（2）（2021·兰州市第二十七中学）在△中，内角A，，所对的边分别为，，，，，，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
（3）（多选）（2021·全国高三专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且的面积为，则角不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）C（2）A（3）ACD
【解析】（1）因为，故，故为锐角，所以，
故，解得或，
故或，故选：C.
（2）∴
∴，∴
∴.故选：A.
（3），
即，
所以，，
利用正弦定理得：，
将代入可得：，
因为，所以或 ，
因为，且 ，所以，
所以，角不可能是,, 故选：ACD
【一隅三反】
1．（2021·陕西宝鸡市）的内角的对边分别为，，，则的面积为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【解析】由余弦定理可知，，即，
整理得，解得或（舍去），
则.故选：A.
2．（2021·全国高三）内角的对边分别为，若，且，则该三角形的面积为（ ）
A．1 B．4 C．3 D．
【答案】C
【解析】因为，
所以由正弦定理得，即，
所以，
因为，所以，
所以的面积为，故选：C
3．（2021·陕西宝鸡市）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，，的面积为，则b=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，成等差数列，，平方得，
又的面积为，且，故由，
得，，
由余弦定理得，
解得，又为边长，，故选.
4．（2021·四川眉山市·高三三模）在中，，，分别是角，，所对的边，若的面积，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由，得整理得：
由余弦定理得：，即，即
又，解得.故选：C.
5．（2021·陕西西安市）已知的内角的对边分别为且，的面积为则（ ）
A． B．5 C．8 D．
【答案】B
【解析】由正弦定理，可将化为，
因为为三角形内角，所以，因此，
所以，解得，又，所以；
又的面积为，所以，则；
又，所以由余弦定理可得：，
所以.故选：B.
考点四 判断三角形的形状
【例4】（1）（2021·四川省内江市第六中学）若的三个内角满足，则（ ）
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
（2）（2021·全国高三）在中，若满足，则该三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】（1）A（2）C
【解析】（1）三个内角所对的边分别为，
，
设，，
最大角为锐角，为锐角三角形.故选:A.
（2）由三角函数的诱导公式，可得，
又由正弦定理得，即，可得，
因为，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形.故选：D.
【一隅三反】
1．（2021·全国高三专题练习）在中，若，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】由知：，即，
∴，即或，∴或，故选：D
2．（2021·广东）的三边长分别为4，5，7，则该三角形的形状为（ ）
A．没有满足要求的三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】D
【解析】因为，由余弦定理易知，最大角为钝角，该三角形为钝角三角形.故选：D．
3．（2021·吉林）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】∵，可得，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴为直角三角形，且，故选：A.
4．（2021·安徽高三月考）的内角A，B，C的对边分别为，已知且满足，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【解析】，解得，，则，
∵，∴由正弦定理得，
，，
，因为，∴，∴，
∴，，是直角三角形、故选：B．
考点五 三角形的个数
【例5】（1）（2021·山西高三其他模拟（理））在中，角，，所对的边分别为，，，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的取值不可能为（ ）
A．3 B．4 C． D．
（2）（2021·江西）已知中，满足 的三角形有两解，则边长的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】（1）B（2）C
【解析】（1）由已知，到直线的距离为，所以当或时，即或时，满足条件的三角形有且只有一个.
所以对于A，符合，故三角形有一解；
对于B：当b=4时，符合，故三角形有两解；
对于C：符合，故三角形有一解；对于D：符合，故三角形有一解.故选：B.
（2）由三角形有两解，则满足，即 ，解得：2＜＜，所以边长的取值范围（2，），故选C．
【一隅三反】
1．（2020·六安市城南中学高三月考）在中，内角，，的对边分别为，，．根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】A
【解析】对于A，若，，，由正弦定理可得，得，
得，再根据b＞a，可得B＞A，得B可能是锐角也可能是钝角，即角B有2个值，故△ABC有两解；
对于B，若，，，由正弦定理可得，得，
得，再根据b＞a，可得B＞A，B只能是锐角，故△ABC有一个解；
对于C，若a＝7，b＝5，A＝80°，∵a＝7，b＝5，A＝80°，由正弦定理可得，得，得，再根据b＜a，∴B只能是锐角，故△ABC有一解；
对于D，若a＝14，b＝20，A＝45°，则由正弦定理可得，得，求得sinB＝，故B无解，得△ABC不存在.故选：A．
2．（2021·安徽省怀宁县第二中学高三月考（文））在中，角，，所对的边分别为，，，，，若满足条件的三角形有且只有两个，则边的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图，作于，，
．若有两解，则，
故选：C．
3．（2021·江西宜春市）中，，则符合条件的三角形有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【解析】
由正弦定理可得: ,解得sinA= > ，故满足条件的角A有两个,一个钝角,一个锐角,应选B.
考点六 几何问题
【例6】（1）（2021·江苏盐城市）在平行四边形ABCD中，，则的值是
（2）（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（理））在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，C＝，c＝2，D为BC中点，cosB＝，求AD的长度为______________．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）如图所示，在平行四边形ABCD中，，
在中，由余弦定理可得
，即，
又由.
（2）因为cosB＝，所以sinB＝，
sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+sinCcosB＝，
由正弦定理得，所以a＝2，因为D为BC的中点，BD＝，
△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2+BD2﹣2AB BDcosB＝26，所以AD＝．故答案为：．
【一隅三反】
1．（2021·浙江金华市·）在锐角△ABC中，，D点在线段BC上，且BD=2DC，，则△ABC的面积为___________.
【答案】
【解析】设,
由题意可知，代入解得，且，
，
，
故答案为：.
2．（2021·江西九江市·九江一中高三月考（文））已知平面四边形中，，则四边形的面积为___________.
【答案】
【解析】连接，在中，，
在中，，
所以，又因为，所以，
所以代入计算得，所以，所以四边形的面积为
故答案为：.
3．（2021·浙江温州市·高三三模）如图，的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，，若点D在线段上，且，则__________．
【答案】
【解析】∵∴且B为钝角，
根据正弦定理得到：∴即
又∵B为钝角，所以为锐角且
∴
∴∴.故答案为：.
4．（2021·上海市七宝中学）如图，在四边形中，.求：
（1）的长度；
（2）三角形的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）在中，由余弦定理可得：
，则；
（2）在中，，
，
由正弦定理可得，
所以，
则.
考点七 最值问题
【例7】（1）（多选）（2021·湖南长沙市）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角B可以是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·四川高三月考）在中，，平分交于，且，则的面积的最小值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
（3）（2021·北京人大附中）在中，，，则的最大周长是（）
A． B． C． D．
【答案】（1）AB（2）B（3）B
【解析】（1），
当且仅当时等号成立，所以，
所以AB选项正确，CD选项错误.故选：AB
（2）
因为的面积等于与的面积之和，
所以，
又因为，，代入得，
又因为，
所以，得，
当且仅当时取等号．
所以的面积的最小值为．故选B．
（3）由余弦定理知，,即，
故，当且仅当时等号成立
解得，又，所以，故周长，故选：B
【一隅三反】
1．（2021·全国高三）△ABC中，b=4，a=4cosC+csinB，则△ABC面积的最大值为___________.
【答案】4+4
【解析】△ABC中，b=4，a=4cosC+csinB，
整理得：a=bcosC+csinB，
利用正弦定理：sinA=sinBcosC+sinCsinB，
故sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+sinCsinB，
可得，且由，
所以sinB=cosB，故tanB=1，
由于0利用余弦定理，
所以，
所以=4+4，故答案为：4+4.
2．（2021·江西）在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若ccosA+acosC=2，AC边上的高为，则∠ABC的最大值为
【答案】
【解析】，
由余弦定理可得，整理可得，
又AC边上的高为，所以，即，
，当且仅当取等号，
，即，即，
，，则，
，故∠ABC的最大值为.
3．（2021·甘肃）已知中，、分别是线段、的中点，与交于点，且，若，则周长的最大值为
【答案】
【解析】在中，、分别是线段、的中点，与交于点，则为的重心，
因为，故，则.
，，
所以，，
即
，
所以，，
，当且仅当时，等号成立.
因此，周长的最大值为.
4．（2021·四川高三月考）在中，，平分交于，且，则的面积的最小值为___________.
【答案】
【解析】设的内角，，的对边分别为，，，
因为的面积等于与的面积之和，
所以，
又因为，，代入得，
又因为，
所以，得，当等号成立
所以的面积.
故答案为：.

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