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5.4 三角函数的性质（精讲）
考法一 周期
【例1】（1）（2021·黑龙江哈尔滨市）函数的最小正周期为_______．
（2021·张家口市宣化）函数的最小正周期T=___________.
（3）在函数①y＝cos|2x|；②y＝|cos x|；③y＝cos；④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为
【一隅三反】
1．（2021·全国）函数f(x)=sin22x的最小正周期是__________．
2.（多选）（2021·海南）下列函数中，以为周期的函数有（ ）
A． B． C． D．
3.(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝的最小正周期为(　　)
A.　　　　　　　B. C．π D．2π
4.（2021年湖南）下列函数中，周期为2π的奇函数为(　　)
A．y＝sincos　　　　 B．y＝sin2x
C．y＝tan 2x D．y＝sin 2x＋cos 2x
考法二 对称性
【例2】（1）（2021·全国高三）函数y=tan(3x+)的一个对称中心是（ ）
A．(0，0) B．(，0)
C．(，0) D．以上选项都不对
（2）（2021·浑源县第七中学校）函数的图象的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
（3）（2021·全国高三月考）已知函数的图象关于对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2021·河南洛阳市）已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于直线对称
2．（2021·黑龙江大庆市）已知函数，若直线是曲线的一条对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·临川一中实验学校）若函数的图象在区间上只有一个对称中心，则的取范围为（ ）
A． B． C． D．
考法三 单调性
【例3】（1）（2021·全国高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·河南商丘市）函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2021·宁夏石嘴山市）下列函数中，周期为，且在区间单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·上海）设定义在上的函数，则（ ）
A．在区间上是增函数 B．在区间上是减函数
C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数
3．（2021·商丘市第一高级中学）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·吉林长春市）若在上是减函数，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
考法四 奇偶性
【例5】（1）（多选）（2021·辽宁营口市）下列四个函数中，以为周期的偶函数为（ ）
A． B．
C． D．
（2）（2021·江苏淮安市）使函数为偶函数的的一个值为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2021·全国高三专题练习）函数是（ ）
A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数
2．（2021·四川高三月考）已知函数为奇函数，且存在，使得，则的一个可能值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·浙江）若函数为偶函数，则的一个值为________.（写出一个即可）
4．（2021·全国高三其他模拟）写出一个最小正周期为3的非奇非偶函数___________.
5．（2021·河南）若函数是偶函数，则___________.
考法五 定义域
【例5】（2021·全国专题练习）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2020·全国课时练习）函数的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．且
2．（2021·安徽）函数定义域为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2020·江西南昌市）函数定义域为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020·辽宁）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
考法六 值域
【例6】(1)（2021·天津）函数f(x)＝3sin在区间上的值域为________．
（2）（2021·四川资阳市）函数的最大值为
（3）（2021·河北）设x∈，则函数y＝的最大值为________．　
（4）（2021年甘肃）函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为____________．
【一隅三反】
1．（2021陕西）在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·绵阳南山中学实验学校）函数的最小值是（ ）
A．-3 B．-1 C． D．3
3．（2020·台州市书生中学）函数的值域是________________.
4．（2021·陕西高三零模）已知函数是偶函数，则函数的最大值为
5．（2021·石泉县石泉中学）已知函数在处取得最小值，则
6．(2021·银川模拟)已知函数f(x)＝sin，其中x∈，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是________．
考法七 解析式
【例7】（2021·安徽省泗县）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点对称
C．若方程在上有两个不相等的实数根，则实数
D．将函数的图象向左平移个单位可得到一个偶函数
【一隅三反】
1．（多选）（2021·福建上杭一中）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点对称 C．函数在区间上单调递减 D．若，则的值为
2．（多选）（2021·山东）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数f(x)在上单调递减
C．函数g(x)＝cos2x的图象可由函数f(x)的图象向左平移个单位得到
D．函数f(x)的图象关于（，0）中心对称
3．（多选）（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（ ）
A．的振幅为2 B．为的对称中心
C．向右平移单位后得到的函数为奇函数 D．在上的值域为
考法八 伸缩平移
【例8】（1）（2021·江苏连云港市）要得到函数的图象，则（ ）
A．可将函数的图象向右平移个单位得到
B．可将函数的图象向左平移个单位得到
C．可将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来倍得到
D．可将函数的图象纵坐标不变，横坐标扩大到原来2倍得到
（2）（2021·广西高三三模）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
（3）（2021·江苏泰州市）将函数的图象向右平移个单位后得到一个奇函数的图象，则该函数的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2021·浙江）已知函数的部分图像如下图所示.则能够使得变成函数的变换为（ ）
A．先横坐标变为原来的倍，再向左平移
B．先横坐标变为原来的2倍，再向左平移
C．先向左平移，再横坐标变为原来的倍
D．先向左平移，再横坐标变为原来的2倍
2．（2021·全国高三月考）将曲线图象上所有点的横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．的周期为
C．的单调递增区间为
D．的单调递增区间为
3．（2021·北京）将函数的图象沿轴向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国高三其他模拟（理））将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数在上的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．5.4 三角函数的性质（精练）
【题组一 周期】
1．（2021·陕西榆林市）若函数的最小正周期为，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】∵的最小正周期为，∴，得.故选：D.
2．（2021·全国高三专题练习）函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以最小正周期为.
故选：D.
3．（2021·新疆乌鲁木齐市）下列函数中，周期为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A中，函数的最小正周期为，不符合题意；
对于B中，函数的最小正周期为，不符合题意；
对于C中，函数的最小正周期为，不符合题意；
对于D中，函数的最小正周期为，符合题意故选：D.
4．（2021·浙江宁波市）已知奇函数的最小正周期为，则的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】为R上的奇函数，，即，
又，，的最小正周期为且，，解得，
，故选：C.
5.(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是(　　)
A．f(x)＝|cos 2x| B．f(x)＝|sin 2x| C．f(x)＝cos |x| D．f(x)＝sin|x|
【答案】A
【解析】作出函数f(x)＝|cos 2x|的图象，如图．由图象可知f(x)＝|cos 2x|的周期为，在区间上单调递增．同理可得f(x)＝|sin 2x|的周期为，在区间上单调递减，f(x)＝cos|x|的周期为2π.f(x)＝sin|x|不是周期函数，排除B、C、D.故选A.
【题组二 对称性】
1．（2021·全国高三）函数在上的所有零点之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，得．
分别画出函数的图象，
由图可知，的对称轴为，的对称轴为．
所以所有零点之和为．故选：B．
2．（2021·云南昆明市）已知函数(ω>0)，若f(x)在上恰有两个零点，则ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，且ω>0，所以，又f(x)在上恰有两个零点，所以且，解之得.故选：A.
3．（2021·全国）已知函数图象相邻两个对称中心之间的距离为，将函数的图象所左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
【答案】C
【解析】由函数图象相邻两个对称中心之间的距离为.
可知其周期为，所以，所以，
将函数的图象向左平移个单位后，
得到函数图象.
因为得到的图象关于轴对称，所以，
即，又，所以，所以，
令，解得.
当时，得的图象关于直线.故选：C.
4．（多选）（2021·广东汕头市·高三三模）已知函数，且对任意都有，则以下正确的有（ ）
A．的最小正周期为 B．在上单调递减
C．是的一个零点 D．
【答案】ACD
【解析】由题意可知函数的图象关于直线对称，则，
即，整理可得，即，
所以，，，所以，，D选项正确；
，故函数的最小正周期为，A选项正确；
当时，可得，若，则函数 在上单调递增，B选项错误；
，故是的一个零点，C选项正确.故选：ACD.
5．（2021·常州市新桥高级中学高三三模）若函数f(x)满足且最大值为2，请写出一个满足条件的函数的解析式：___________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】由，得，由此可知符合此条件，
因为函数的最大值为2，所以满足条件的函数的解析式可以为，
故答案为：（答案不唯一）
【题组三 单调性】
1．（2021·天津）函数
A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递减
【答案】A
【解析】因为
，
所以，即在上单调递增，选A.
2．（2021·广东）在区间中，使与都单调递减的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在区间中，的减区间是，的减区间是；
和的公共减区间是．故选：B．
3．（2021·黑龙江哈尔滨市）下列函数中，周期为，且在区间单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A：的周期为，单调递减，不合要求；
B：的周期为，、单调递增，不合要求；
C：的周期为，单调递增，符合要求；
D：的周期为，不单调，不合要求；故选：C.
4．（2021·千阳县中学）函数在上单调递减，则的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．4
【答案】C
【解析】因为函数在上单调递减，
所以，所以.
所以
因为的单调递减区间为，
所以，解得，
由于，故.
所以当时，得的最大区间：.故的最大值是.故选：C.
5．（多选）（2021·辽宁）设函数在上单调递减，则下述结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．关于轴对称
C．在上的最小值为2 D．关于点对称
【答案】BC
【解析】因为函数在上单调递减，
所以，即，
或，
当时，在上单调递增，与已知矛盾，不成立；
当时，在上单调递减，满足条件．
此时函数的最小正周期为，故A选项错误；
当时，，故B选项正确；
当时，，故当，即时，，故C选项正确；
由于函数是由向上平移了3个单位得到，故对称中心的纵坐标为，故D选项错误.
故选：BC
6．（2021·黑龙江哈尔滨市）已知把函数的图象向左平移后得到的图象关于对称，在上具有单调性，则的最大值为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．36
【答案】D
【解析】把函数的图象向左平移后得到，
因为的图象关于对称，所以，即，
因为在上具有单调性，所以，
解得，所以的最大值为36，故选：D
7．（2021·四川自贡市）已知，若f(x)在[]上单调递增，则ω的取值范围为__________________．
【答案】
【解析】：∵，f(x)在[]上单调递增，
所以，，所以，解得.
故答案为：．
【题组四 奇偶性】
1．（2021·北京高三二模）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A．的最小正周期为，不符合；
B．记，所以，且定义域为，所以为偶函数，不符合；
C．，显然为偶函数，不符合；
D．最小正周期为，且为奇函数，符合，故选：D.
2．（2021·北京市大兴区精华培训学校高三三模）下列函数中，既是奇函数又以为最小正周期的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A选项：是周期为的偶函数，故A不正确；
B选项：是周期为的奇函数，故B正确；
C选项：，周期为且非奇非偶函数，故C不正确；
D选项：是周期为的奇函数，故D不正确.故选：B.
3．（2021·北京高三一模）函数①，②，③中，周期是且为奇函数的所有函数的序号是（ ）
A．①② B．② C．③ D．②③
【答案】D
【解析】对于①，，周期为π，但不是奇函数；
对于②，周期为；
又故符合题意；
对于③，，
由②推导过程可知：周期是且为奇函数，符合题意.故选：D
4．（2021·陕西西安市）已知函数．则“是偶函数“是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若，则，，所以为偶函数；若为偶函数，则，，不一定等于.
所以“是偶函数“是“”的必要不充分条件.故选：B
5．（2021·上海）在下列四个函数中，周期为的偶函数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A.，函数是奇函数，周期，故A不正确；
B.，函数是偶函数，周期，故B正确；
C. 函数，满足，是偶函数，但不是周期函数，，，即，所以函数的周期不是，故C不正确；
D.，函数是偶函数，函数的周期，故D不正确.故选：B
6．（2021·江苏扬州市）已知函数（，）的最小正周期为，将的图象向左平移（）个单位长度，所得函数为偶函数时，则的最小值是______．
【答案】
【解析】∵函数（，）的最小正周期为，
∴，．
将的图象向左平移（）个单位长度，所得函数的图象，
由于得到的函数为偶函数，
∴，，则的最小值是，
故答案为：．
【题组五 定义域】
1．（2021·陕西西安市）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，因为，所以，
即，故选：A
2．（2021·湖北荆州市）函数()的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，得，则，即，
∴.故选：A.
（2021·上海）函数的定义域是____________．
【答案】
【解析】因为，所以，即，即，解得，故函数的定义域为故答案为：
4．（2021·全国）函数的定义域为______
【答案】
【解析】要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0．
利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示．
在[0，2π]内，满足sinx＝cosx的x为，，
再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为
．
5．（2021·黑龙江）函数的定义域为________.
【答案】
【解析】由题知：，所以.
解得：，.
所以函数的定义域为
故答案为：
6（2021.哈尔滨）函数的定义域是________.
【答案】
【解析】由已知，得，即，则.
因此，函数的定义域为.
故答案为：．
【题组六 值域】
1．（2021·青海）函数y＝cos，x∈的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为x∈，所以，所以.故选：B.
2．（2021·重庆一中）函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由
因为 所以当时故选：B
3．（2021·任丘市第一中学）函数，其中的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，令，则原函数为，
该函数对称轴为，开口向上，故
又，
的值域为故选：B
4．（2021·山东）函数在区间上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数
因为，所以，，
所以函数的值域为，故选：B
5．（2021·无锡市）已知函数在处取得最小值，则函数的一个单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
且在处有最小值，所以，所以，
所以，取的一个值为，
所以，令，
所以，令，所以此时单调递减区间为，故选：D.
6．（2021·广西）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
令，则，函数转化为，
时，，时，，函数的值域为.故选：D.
7．（2021·安徽）已知函数，的一个零点为，一条对称轴是x=，则函数，的值域为（ ）
A．[-1，1] B．[-1，5]. C．[-1，2+2]. D．[-5，1]
【答案】D
【解析】根据题意可得(k1，k2∈Z)，解得，因为，所以，所以，k1∈Z，因为，所以，所以，所以
2，因为，，，所以g(x)的值域为[一5，1].
故选：D.
8．（2021·重庆西南大学附中）若，则的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意，作出函数的图象，如图所示，
当时，可得，
则；
当时，可得，则，
所以函数的值域为.故选：B.
【题组七 解析式】
1．（2021·河南）已知函数在上的大致图象如图所示，则的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，可得，可得，
解得且，
又由，即，解得，
当且仅当时，满足题意，
所以函数的最小正周期为.故选：B.
2．（2021·云南）如图是下列哪个函数的图象（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【】细节取，，只有C满足，排除ABD；
将的图象沿轴进行对称变换得的图象，再将的图象沿轴上移1个单位，得，的图象，如选项C所示.故选：C．
3．（2021·海南）函数（其中，，的图象如图所示，为了得到的图象，只需将图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】C
【解析】根据函数（其中，，的图象，
可得，，即，．
将代入，可得，
则，，
又，，故．
故把图象向左平移个单位长度，即可得到的图象.故选：C．
4．（2021·黑龙江佳木斯市）将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标变为原来的倍，得到函数g(x)＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象．已知函数g(x)的部分图象如图所示，则下列关于函数f(x)的说法正确的是（ ）
A．f(x)的最小正周期为
B．f(x)在区间上单调递减
C．f(x)的图象关于直线x＝对称
D．f(x)的图象关于点成中心对称
【答案】D
【解析】根据g(x)的部分图象，可得A＝2，，∴ω＝2．
结合五点法作图，可得2×（﹣）+φ＝，∴φ＝，
故g(x)＝2sin（2x+）．
由题意，把g(x)的图象上的所有点的横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位，
可得f(x)＝2sin（3x+﹣π）＝2sin（3x﹣）的图象，
故f(x)的最小正周期为，故A错误；
在区间上，3x﹣∈[0，]，f(x)没有单调性，故B错误；
令x＝，求得f(x)＝0，不是最值，f(x)的图象不关于直线x＝对称，故C错误；
令x＝，求得f(x)＝0，故f(x)的图象关于（，0）对称，故D正确，故选：D．
5．（2021·四川宜宾市）函数（）的图象如图，下列说法正确的是（ ）
A．的周期为
B．的图象关于对称
C．的图象关于对称
D．将图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象
【答案】C
【解析】根据的图象，结合五点法作图可得，
∴，故.
故它的周期为，故A错误；
令，求得，故B错误；
令，求得，为最大值，故C正确；
将图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象，故D错误，故选：C.
6．（2021·安徽合肥市）函数的部分图象如图所示，则下列叙述错误的是（ ）
A．函数的图象可由的图象向右平移个单位得到
B．函数在区间上是单调递增的
C．函数在区间上的值域为
D．是函数图象的一条对称轴
【答案】D
【解析】根据图象可得，所以函数的解析式为.
对于A，，故可由的图像向右平移个单位得到的图象，故该选项正确；
对于B，可求得的单增区间为，故是它的一个单增区间，而，故该选项正确；
对于C，，由余弦函数的图象可得，所以该选项正确；
对于D，，不是函数的最值，故不是对称轴，所以该选项错误.故选：D
7．（2021·天津市）函数的图象如图，把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，下列结论中：
①；②函数的最小正周期为；
③函数在区间上单调递增；④函数关于点中心对称
其中正确结论的个数是（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】解：由图可知： ，，即，
又，，由图可知：，
又，，且，
，故，
当时，，解得：，满足条件，，
故，对①，由上述可知①错误；对②，，的最小正周期为，故②正确；
对③，令，即，
令，此时单调递增区间为，且，故③正确；
对④，，不是对称中心，故④错误；故选：C.
【题组八 伸缩平移】
1．（2021·江西抚州市）将函数的图像向左平移个最小正周期后，所得图像对应的函数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意知：图象平移个单位，∴.故选：A
2．（2021·全国高考真题（理））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.故选：B.
3．（2021·上海交大附中）为了得到函数的图象，可以将函数的图象作怎样的平移变换得到（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】B
【解析】，
，
∴向左平移个单位得到.故选：B
4．（2021·全国高三）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得，
当时，，所以，
所以函数在上的值域为．故选：B
5．（2021·四川内江市）已知函数，现将的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将函数的图象向左平移个单位长度，
得到的图象，
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，
得到函数的图象， ，
∵ ，所以，
∴，∴，∴在上的值域为，故选：A.
6．（2021·山东青岛市）若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称，则函数在上的最大值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【解析】函数的图象向左平移个单位长度后，
图象所对应解析式为：，
由关于轴对称，则，
可得，，又，所以，
即，
当时，，
所以当时，即时，.故选：A．
7．（2021·陕西宝鸡市）已知函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数的图象向左平移后得到偶函数的图象，则函数在下列区间上是单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数f(x)＝sin(ωx+θ)(ω＞0，)的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，则T＝π，所以ω＝2，
将函数f(x)的图象向左平移后，得到g(x)＝sin(2xθ)是偶函数，故，
解得，由于，所以当k＝0时．
则，令，解得，
当k＝0时，单调递减区间为，由于，故选：D.
8．（2021·合肥市第八中学）函数图像向右平移个单位后所得函数图像与函数的图像关于轴对称，则最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】由题意知，得，
又，则最小值为4.
故选：C.
9．（2021·青海西宁市·高三二模（理））将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象.若在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
当时，，
由，有，，
有，得.
故选：B.5.4 三角函数的性质（精练）
【题组一 周期】
1．（2021·陕西榆林市）若函数的最小正周期为，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．（2021·全国高三专题练习）函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·新疆乌鲁木齐市）下列函数中，周期为的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·浙江宁波市）已知奇函数的最小正周期为，则的值是（ ）
A．2 B． C． D．
5.(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是(　　)
A．f(x)＝|cos 2x| B．f(x)＝|sin 2x| C．f(x)＝cos |x| D．f(x)＝sin|x|
【题组二 对称性】
1．（2021·全国高三）函数在上的所有零点之和为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·云南昆明市）已知函数(ω>0)，若f(x)在上恰有两个零点，则ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国）已知函数图象相邻两个对称中心之间的距离为，将函数的图象所左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
4．（多选）（2021·广东汕头市·高三三模）已知函数，且对任意都有，则以下正确的有（ ）
A．的最小正周期为 B．在上单调递减
C．是的一个零点 D．
5．（2021·常州市新桥高级中学高三三模）若函数f(x)满足且最大值为2，请写出一个满足条件的函数的解析式：___________.
【题组三 单调性】
1．（2021·天津）函数
A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递减
2．（2021·广东）在区间中，使与都单调递减的区间是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·黑龙江哈尔滨市）下列函数中，周期为，且在区间单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·千阳县中学）函数在上单调递减，则的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．4
5．（多选）（2021·辽宁）设函数在上单调递减，则下述结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．关于轴对称
C．在上的最小值为2 D．关于点对称
6．（2021·黑龙江哈尔滨市）已知把函数的图象向左平移后得到的图象关于对称，在上具有单调性，则的最大值为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．36
7．（2021·四川自贡市）已知，若f(x)在[]上单调递增，则ω的取值范围为__________________．
【题组四 奇偶性】
1．（2021·北京高三二模）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·北京市大兴区精华培训学校高三三模）下列函数中，既是奇函数又以为最小正周期的函数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·北京高三一模）函数①，②，③中，周期是且为奇函数的所有函数的序号是（ ）
A．①② B．② C．③ D．②③
4．（2021·陕西西安市）已知函数．则“是偶函数“是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2021·上海）在下列四个函数中，周期为的偶函数为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·江苏扬州市）已知函数（，）的最小正周期为，将的图象向左平移（）个单位长度，所得函数为偶函数时，则的最小值是______．
【题组五 定义域】
1．（2021·陕西西安市）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·湖北荆州市）函数()的定义域是（ ）
A． B． C． D．
（2021·上海）函数的定义域是____________．
4．（2021·全国）函数的定义域为______
5．（2021·黑龙江）函数的定义域为________.
6（2021.哈尔滨）函数的定义域是________.
【题组六 值域】
1．（2021·青海）函数y＝cos，x∈的值域是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·重庆一中）函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·任丘市第一中学）函数，其中的值域为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·山东）函数在区间上的值域为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·无锡市）已知函数在处取得最小值，则函数的一个单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·广西）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·安徽）已知函数，的一个零点为，一条对称轴是x=，则函数，的值域为（ ）
A．[-1，1] B．[-1，5]. C．[-1，2+2]. D．[-5，1]
8．（2021·重庆西南大学附中）若，则的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【题组七 解析式】
1．（2021·河南）已知函数在上的大致图象如图所示，则的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·云南）如图是下列哪个函数的图象（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2021·海南）函数（其中，，的图象如图所示，为了得到的图象，只需将图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
4．（2021·黑龙江佳木斯市）将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标变为原来的倍，得到函数g(x)＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象．已知函数g(x)的部分图象如图所示，则下列关于函数f(x)的说法正确的是（ ）
A．f(x)的最小正周期为
B．f(x)在区间上单调递减
C．f(x)的图象关于直线x＝对称
D．f(x)的图象关于点成中心对称
5．（2021·四川宜宾市）函数（）的图象如图，下列说法正确的是（ ）
A．的周期为
B．的图象关于对称
C．的图象关于对称
D．将图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象
6．（2021·安徽合肥市）函数的部分图象如图所示，则下列叙述错误的是（ ）
A．函数的图象可由的图象向右平移个单位得到
B．函数在区间上是单调递增的
C．函数在区间上的值域为
D．是函数图象的一条对称轴
7．（2021·天津市）函数的图象如图，把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，下列结论中：
①；②函数的最小正周期为；
③函数在区间上单调递增；④函数关于点中心对称
其中正确结论的个数是（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
【题组八 伸缩平移】
1．（2021·江西抚州市）将函数的图像向左平移个最小正周期后，所得图像对应的函数为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·全国高考真题（理））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·上海交大附中）为了得到函数的图象，可以将函数的图象作怎样的平移变换得到（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
4．（2021·全国高三）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·四川内江市）已知函数，现将的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在的值域为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·山东青岛市）若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称，则函数在上的最大值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
7．（2021·陕西宝鸡市）已知函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数的图象向左平移后得到偶函数的图象，则函数在下列区间上是单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·合肥市第八中学）函数图像向右平移个单位后所得函数图像与函数的图像关于轴对称，则最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
9．（2021·青海西宁市·高三二模（理））将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象.若在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．5.4 三角函数的性质（精讲）
考法一 周期
【例1】（1）（2021·黑龙江哈尔滨市）函数的最小正周期为_______．
（2021·张家口市宣化）函数的最小正周期T=___________.
（3）在函数①y＝cos|2x|；②y＝|cos x|；③y＝cos；④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为
【答案】（1）π（2）（3）①②③
【解析】（1） 因为，所以函数f(x)＝cos2x－sin2x的最小正周期为
（2）
，是以为周期的函数，
当时，，函数单调递减，
当，，函数单调递增，
在内不存在小于的周期，是的最小正周期.故答案为：.
（3）①y＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期为π；②由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π；
③y＝cos的最小正周期T＝＝π；④y＝tan的最小正周期T＝，故选A.
【一隅三反】
1．（2021·全国）函数f(x)=sin22x的最小正周期是__________．
【答案】.
【解析】函数,周期为
2.（多选）（2021·海南）下列函数中，以为周期的函数有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】A，，则， A正确；
B，函数的最小正周期为，因此B不正确；
C，函数不是周期函数，故C不正确；
D，，最小正周期为，所以也是它的一个周期，故D正确.故选：AD
3.(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝的最小正周期为(　　)
A.　　　　　　　B. C．π D．2π
【答案】C
【解析】由已知得f(x)＝＝＝＝sin xcos x＝sin 2x，所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
4.（2021年湖南）下列函数中，周期为2π的奇函数为(　　)
A．y＝sincos　　　　 B．y＝sin2x
C．y＝tan 2x D．y＝sin 2x＋cos 2x
【答案】A
【解析】　y＝sin2x为偶函数；y＝tan 2x的周期为；y＝sin 2x＋cos 2x为非奇非偶函数，故B、C、D都不正确，故选A.
考法二 对称性
【例2】（1）（2021·全国高三）函数y=tan(3x+)的一个对称中心是（ ）
A．(0，0) B．(，0)
C．(，0) D．以上选项都不对
（2）（2021·浑源县第七中学校）函数的图象的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
（3）（2021·全国高三月考）已知函数的图象关于对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）D（2）C（3）B
【解析】（1）因为正切函数y=tanx图象的对称中心是(，0)，k∈Z；令3x+=，解得，k∈Z；所以函数y=tan(3x+)的图象的对称中心为(，0)，k∈Z；选项ABC都不正确，故选：D.
（2），
令，可得，则函数的图象的对称中心为，
因此函数的图象的一个对称中心为.故选：C
（3）由题意，函数，
因为函数的图象关于对称，可得，
即，因为，当时，的最小值为.故选：B.
【一隅三反】
1．（2021·河南洛阳市）已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于直线对称
【答案】B
【解析】∵函数的最小正周期为，∴，
∴
令，求得，且不是最值，故A、D错误；
令，求得，为最大值，故函数的图象关于直线对称，故B正确，C错误；
故选：B．
2．（2021·黑龙江大庆市）已知函数，若直线是曲线的一条对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，函数，其中，
因为直线是曲线的一条对称轴，可得，
所以，所以，
所以，
又因为，所以.故选：A.
3．（2021·临川一中实验学校）若函数的图象在区间上只有一个对称中心，则的取范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可知，在上只有一个零点，
又，，所以，即.故选：A.
考法三 单调性
【例3】（1）（2021·全国高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·河南商丘市）函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）A（2）C
【解析】（1）因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件.选：A.
（2）由题意可得，
因为，所以，
令，由此可得，
因为在上单调递减，所以由此解得.故选：C.
【一隅三反】
1．（2021·宁夏石嘴山市）下列函数中，周期为，且在区间单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A，的图象是将的图象中轴下方的图象翻折到上方得到的，故最小正周期为；
当时，，∴在上单调递减，故A不正确；
对于B，当时，，当时，，所以周期不是，故B不正确；
对于C，的最小正周期为，当时，，单调递增，故C正确；
对于D，的最小正周期为，当时，，不是单调递增的，故D不正确.故选：C.
2．（2021·上海）设定义在上的函数，则（ ）
A．在区间上是增函数 B．在区间上是减函数
C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数
【答案】A
【解析】对于A，当时，，函数为减函数，所以为增函数，故A正确；
对于B，当时，，函数先递减后递增，所以先递增后递减，故B不正确；
对于C，当时，，函数先递增后递减 ，所以先递增后递减，故C不正确；
对于D，当时，，函数为递减函数，所以为递减函数，当时，，函数为递减函数，所以为增函数，故D不正确.
故选：A
3．（2021·商丘市第一高级中学）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，，
因为函数在上单调递增，
所以，解得，的取值范围为，故选：A.
4．（2021·吉林长春市）若在上是减函数，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
画出的图象如下图所示，由图可知，的最大值是.故选：B
考法四 奇偶性
【例5】（1）（多选）（2021·辽宁营口市）下列四个函数中，以为周期的偶函数为（ ）
A． B．
C． D．
（2）（2021·江苏淮安市）使函数为偶函数的的一个值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）BD（2）D
【解析】（1）对于A，，，，为奇函数，故A错误；
对于B，，，，为偶函数，故B正确；
对于C，，，不符合，故C错误；
对于D，，，周期为π，，为偶函数，故D正确；
故选：BD
（2）
函数为偶函数，所以（为奇数），当时，=．故选：D．
【一隅三反】
1．（2021·全国高三专题练习）函数是（ ）
A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数
【答案】D
【解析】，.
设，定义域为，
，所以为偶函数.故选：D
2．（2021·四川高三月考）已知函数为奇函数，且存在，使得，则的一个可能值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】为奇函数，
则，可得，所以排除BD选项；
对于A，当时，，
当时，，，不合题意；
对于C，当时，，满足题意.故选：C.
3．（2021·浙江）若函数为偶函数，则的一个值为________.（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】依据题意：函数为偶函数，则的奇数倍都可以.
故答案为：（答案不唯一）
4．（2021·全国高三其他模拟）写出一个最小正周期为3的非奇非偶函数___________.
【答案】
【解析】如满足最小正周期为3，若为非奇非偶函数，
需满足且，即，且，即，.
故答案为: .
5．（2021·河南）若函数是偶函数，则___________.
【答案】
【解析】因为函数为偶函数，则，
所以，
整理得，解得，经检验，m的值符合题意故答案为: .
考法五 定义域
【例5】（2021·全国专题练习）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，得，解得．
所以函数的定义域是.选：D．
【一隅三反】
1．（2020·全国课时练习）函数的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．且
【答案】C
【解析】在内，由，得，由，得或，
所以或，所以函数的定义域为
，故选：C
2．（2021·安徽）函数定义域为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意，函数有意义，则满足，即
解得，
所以函数的定义域.故选：A.
3．（2020·江西南昌市）函数定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由函数式知：，
∴，即.故选：B.
4．（2020·辽宁）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对于函数，，可得，解得，
因此，函数的定义域是.故选：A.
考法六 值域
【例6】(1)（2021·天津）函数f(x)＝3sin在区间上的值域为________．
（2）（2021·四川资阳市）函数的最大值为
（3）（2021·河北）设x∈，则函数y＝的最大值为________．　
（4）（2021年甘肃）函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为____________．
【答案】（1）（2）（3）（4）
【解析】(1)当x∈时，2x－∈，∴sin∈，故3sin∈，
∴函数f(x)在区间上的值域为.
（2）函数，
令，，则，，
所以当时，函数取得最大值为.
（3）因为x∈，所以tan x＞0，y＝＝＝＝≤＝，
当且仅当3tan x＝时等号成立，故最大值为.
(4)设t＝sin x－cos x，则－≤t≤，t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，则sin xcos x＝，
∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－－.∴函数的值域为.
【一隅三反】
1．（2021陕西）在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，即，
故函数的值域为；故选：C.
2．（2021·绵阳南山中学实验学校）函数的最小值是（ ）
A．-3 B．-1 C． D．3
【答案】C
【解析】由题意，函数，
令，可得，
当时，即时，函数取得最小值，最小值为.故选：C.
3．（2020·台州市书生中学）函数的值域是________________.
【答案】
【解析】由题意，
因为，所以，所以，
所以函数的值域为，故答案为：.
4．（2021·陕西高三零模）已知函数是偶函数，则函数的最大值为
【答案】
【解析】因为函数是偶函数，
所以，即，化简可得：，
解得：，即.又因为，，
所以（当且仅当时两个“”同时成立）.
5．（2021·石泉县石泉中学）已知函数在处取得最小值，则
【答案】
【解析】∵函数在处取得最小值，
∴，∴，又解得：
6．(2021·银川模拟)已知函数f(x)＝sin，其中x∈，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】∵x∈，∴x＋∈，∵当x＋∈时，f(x)的值域为，
∴由函数的图象(图略)知≤a＋≤，∴≤a≤π.
考法七 解析式
【例7】（2021·安徽省泗县）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点对称
C．若方程在上有两个不相等的实数根，则实数
D．将函数的图象向左平移个单位可得到一个偶函数
【答案】C
【解析】根据函数的部分图象，
可得，，∴.再根据五点法作图，可得，
∴，.排除A；排除B；
在上，，方程在上有两个不相等的实数根，则实数，故C正确；将函数的图象向左平移个单位，可得的图象，故所得函数为奇函数，故D错误；故选C.
【一隅三反】
1．（多选）（2021·福建上杭一中）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点对称 C．函数在区间上单调递减 D．若，则的值为
【答案】BD
【解析】由函数的部分图象知，，且，
所以，解得；又，所以，
即，；又，所以；所以．
对于：函数的最小正周期，不对；
对于：当时，可得，则关于点，对称；对；
对于：令，可得，则在区间上是单调递增，错误；
对于：，所以，所以，所以
，对故选：．
2．（多选）（2021·山东）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数f(x)在上单调递减
C．函数g(x)＝cos2x的图象可由函数f(x)的图象向左平移个单位得到
D．函数f(x)的图象关于（，0）中心对称
【答案】AC
【解析】对于A：根据函数的图象：φ＝（k∈Z），解得φ＝（k∈Z），
由于|φ|＜，
所以当k＝0时，φ＝．
由于f（0）＝，所以A，解得A＝．
所以f(x)＝，故A正确；
对于B：令（k∈Z），
解得：（k∈Z），
所以函数的单调递减区间为[]（k∈Z），
故函数在[]上单调递减，在[]上单调递增，故B错误；
对于C：函数f（x＋）＝，故C正确；
对于D：令（k∈Z），解得（k∈Z），
所以函数的对称中心为（）（k∈Z），由于k为整数，故D错误；
故选：AC．
3．（多选）（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（ ）
A．的振幅为2 B．为的对称中心
C．向右平移单位后得到的函数为奇函数 D．在上的值域为
【答案】ABC
【解析】观察图象得：A=2，周期T，则，
由得，而，则，
所以有，显然A正确；，B正确；
向右平移得是奇函数，C正确；
时，，，，D错误.故选：ABC
考法八 伸缩平移
【例8】（1）（2021·江苏连云港市）要得到函数的图象，则（ ）
A．可将函数的图象向右平移个单位得到
B．可将函数的图象向左平移个单位得到
C．可将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来倍得到
D．可将函数的图象纵坐标不变，横坐标扩大到原来2倍得到
（2）（2021·广西高三三模）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
（3）（2021·江苏泰州市）将函数的图象向右平移个单位后得到一个奇函数的图象，则该函数的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】（1）C（2）B（3）D
【解析】（1）对于A选项：变换后，故A错误；
对于B选项：变换后，故B错误；
对于C选项：变换后，故C正确；
对于D选项：变换后，故D错误.故选：C.
（2）因为，
所以，要得到函数，只需要将函数得图象向右平移个单位长度即可.
故选：B.
（3）A选项，将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，函数显然不是奇函数，故A错；
B选项，将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，函数显然是偶函数，故B错；
C选项，将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，函数显然是偶函数，故C错；
D选项，将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，函数显然是奇函数，故D正确.故选：D.
【一隅三反】
1．（2021·浙江）已知函数的部分图像如下图所示.则能够使得变成函数的变换为（ ）
A．先横坐标变为原来的倍，再向左平移
B．先横坐标变为原来的2倍，再向左平移
C．先向左平移，再横坐标变为原来的倍
D．先向左平移，再横坐标变为原来的2倍
【答案】C
【解析】观察图象知A=2，周期为T，则，即，，
又，即，而，则，
所以，
把图象向左平移得图象，再把所得图象上每一点的横坐标变为原来的倍即得.故选：C
2．（2021·全国高三月考）将曲线图象上所有点的横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．的周期为
C．的单调递增区间为
D．的单调递增区间为
【答案】D
【解析】A，，故A错误；
B，由，故B错误；
由题意可得，
则，
解得，
故的单调递增区间为，故C错误、D正确.故选：D
3．（2021·北京）将函数的图象沿轴向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将函数的图象沿轴向左平移个单位后得到的图象对应的函数解析式为，
由题意可知，函数为奇函数，则，
所以，，，因此，.
故选：B.
4．（2021·全国高三其他模拟（理））将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数在上的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得，
在上的值域为时，，
当时，，而当时，，
，．
故选：C.

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