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6.2 等比数列（精练）
【题组一 等比数列基本量的运算】
1．（2021·金昌市第一中学）等差数列的首项为，公差不为，若、、成等比数列，则前项的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】的公差为，则，
由于、、成等比数列，则，即，可得，
，解得，因此，数列的前项和为.故选：B.
2．（2021·广西崇左市）已知等比数列的公比为3，且，则的值为（ ）
A．2 B．6 C． D．12
【答案】B
【解析】．故选：B.
3．（2021·全国课时练习）已知中，，，则数列的通项公式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为中，，,所以数列是首项为,公比的等比数列,
设通项公式为: ,所以.故选:C
4．（2021·全国课时练习）等比数列2，4，8，…的公比为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【解析】由已知2，4，8，…为等比数列，则公比.故选：C.
5．（2021·河南信阳市）已知正项数列满足，的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由,得，又为正项数列，所以，所以数列是等比数列，且公比，设首项为，则，，则.故选：A.
6．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三月考（理））正项等比数列的前项和，若，，则公比（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【解析】因为，，
解得或（舍去）故选：A
7．（2021·四川成都市）已知等比数列的前项和为，若，，则数列的公比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设等比数列公比为，
若，则，不合题意，；
，；
，，解得：，
，解得：.故选：C.
8．（2021·广东汕头市·高三一模）在正项等比数列中，，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为，由题意可知，对任意的，，，
由等比中项的性质可得，解得，
所以，，整理可得，
，解得，因此，.故选：A.
9．（2021·全国高三其他模拟（文））已知各项均为正数的等比数列中，，，其前项和为，则___.
【答案】
【解析】设等比数列的公比，则，则，即，
，则，，解得.
因此，.
故答案为：.
10．（2021·重庆高三）已知等比数列的前项和为，，，则___________.
【答案】
【解析】等比数列的前项和为，，，
，解得，．故答案为：．
【题组二 等比数列的性质】
1．（2021·广东高三专题练习）已知正项等比数列{an}，满足a2 a72 a2020＝16，则a1 a2… a1017＝（　　）
A．41017 B．21017 C．41018 D．21018
【答案】B
【解析】在正项等比数列{an}中， a2 a72 a2020＝16，
因为，所以，即 ，所以，
所以，故选：B．
2．（2021·河南濮阳市·高三一模（文））已知公比大于1的等比数列满足，，则（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【解析】由等比数列的性质知，解得，所以.故选：C
3．（2021·广西河池市）在等比数列中，若，则（ ）
A． B．3 C．或2 D．4
【答案】C
【解析】由等比数列的性质有，可得.故选：C
4．（2021·河北衡水市·高三其他模拟）若等比数列中的，是方程的两个根，则（ ）
A． B．1010 C． D．1011
【答案】C
【解析】由题得，
根据等比数列性质知：，于是，
则，故选：C
5．（2021·全国高三月考（文））已知正项等比数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
从而可得，
所以，
所以.
故选：B.
6．（2021·四川遂宁市·高三三模（文））在递增的数列中，，若，且前项和，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】因为在递增的数列中，，所以数列是单调递增的等比数列，
因为，所以，
所以，解得 或(舍)，
所以，即，————①
又因为，即，———————②
①②联立，解得，.
故选：B.
7．（2021·山东日照市·高三二模）已知数列是等比数列，是其前项之积，若，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】因为数列是等比数列，设公比为，
由得，即，即，
由等比数列的性质可得，.故选：A
8．（2021·陕西咸阳市·高三三模（理））已知命题成等比数列，命题，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当成等比数列，能推出，
而不能推出成等比数列，如：，满足，但不成等比数列，
所以是的充分不必要条件，故选：A．
9．（2021·全国高三其他模拟（文））已知等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于是等比数列，所以也成等比数列，
其中，所以，
所以.故选：A
10．（2021·湖北荆州市）设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】是等比数列，也称等比数列，
，设，
则，，则，
.
故选：D.
11．（2021·天津南开中学高三三模）“，，成等比数列”是“，，成等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，，成等比数列，则，
此时，则，，成等比数列，即充分性成立，
反之当，，时满足，，成等比数列，但，，不成等比数列，即必要性不成立，
即“，，成等比数列”是“，，成等比数列”的充分不必要条件，
故选：A.
12．（多选）（2021·全国高三专题练习）(多选)在正项等比数列{an}中，已知，，则（ ）
A． B．
C． D．n＝14
【答案】BD
【解析】设数列的公比为q，
由，可得，
又由，所以A、C不正确；
因为，可得，
所以，解得，所以B、D正确.
故选：BD.
13．（2021·全国高三月考（理））已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】当时，，又，
即前10项分别为，
所以数列的前10项中，，所以，
故选：C．
14．（2021·全国高三专题练习）已知数列{an}的各项都为正数，对任意的m，n∈N*，am·an＝am＋n恒成立，且a3·a5＋a4＝72，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a7＝________.
【答案】21
【解析】因为对任意的m，n∈N*，am·an＝am＋n恒成立，
令m＝1，则a1·an＝a1＋n对任意的n∈N*恒成立，
∴数列{an}为等比数列，公比为a1，
由等比数列的性质有a3a5＝，因为a3·a5＋a4＝72，则＋a4＝72，
∵a4＞0，∴a4＝8，
∴log2a1＋log2a2＋…＋log2a7
＝log2(a1·a2·…·a7)＝log2＝log287＝21.
故答案为：21．
15．（2021·全国专题练习）公差不为零的等差数列{an}中，，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.
【答案】16
【解析】∵数列{an}为等差数列，
∴，
解得或，
又b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4.
∴
故答案为：16
16．（2021·全国高二课时练习）已知是的等差中项，是，的等比中项，则等于___________.
【答案】
【解析】因为是的等差中项，所以，
因为是，的等比中项，所以，
，所以.故答案为：.
【题组三 等比数列的证明或判断】
1．（2021·全国专题练习）下面四个数列中，一定是等比数列的是（ ）
A．q，2q，4q，6q B．q，q2，q3，q4
C．q，2q，4q，8q D．，，，
【答案】D
【解析】对于A、B、C： 当q＝0时不是等比数列，故A、B、C错误；
对于D：由题意可得，且符合等比数列的定义，公比是，故D正确，故选：D
2．（2021·全国单元测试）已知数列是等比数列，则下列数列中：①；②；③，等比数列的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】设的公比为，则，，故、均为等比数列.
取，，则，
此时，，故不是等比数列，故选：C.
3．（多选）（2021·全国课时练习）已知数列是公比为的等比数列，则以下一定是等比数列的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】因为数列是公比为的等比数列,则,
对于选项A,,因为不是常数,故A错误；
对于选项B,,因为为常数,故B正确；
对于选项C,,因为为常数,故C正确；
对于选项D,若,即时,该数列不是等比数列,故D错误.
故答案为:BC
4．（2021·广德市实验中学高三月考（理））已知，，，，则下列等式一定成立的是（ ）
A．、、成等比数列 B．、、成等比数列
C．、、成等比数列 D．、、成等比数列
【答案】C
【解析】由条件得，，即．故选：C.
5．（2021·全国专题练习）已知不全相等的实数，，成等比数列，则一定不可能是等差数列的为（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】D
【解析】因为不全相等的实数，，成等比数列，
所以该等比数列的公比，显然有，，
A：若，，成等差数列，显然成立，即，
化简为，解得，或（舍去），所以假设成立，故，，有可能是等差数列；
B：若，，成等差数列，显然成立，即，
化简为：，解得：，显然或，所以假设成立，故，，有可能成等差数列；
C：若，，成等差数列，显然，即，
化简为：，解得，因为，所以，因此假设成立，
故，，有可能 成等差数列；
D：若，，成等差数列，显然，即，
化简为：，解得，而，因此假设不成立，故，，一定不可能成等差数列，
故选：D
6．（2021·云南民族大学附属中学高三月考（理））已知数列满足，，求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
【答案】证明见解析，；
【解析】证明：∵，，∴，，又，
∴，故数列为首项为1，公比为的等比数列，
∴，故.
7．（2021·湖南岳阳市·高三一模）已知数列满足，且点在函数的图象上，求证：是等比数列，并求的通项公式：
【答案】证明见解析；
【解析】由点在函数的图象上，
可得，
所以，即，
也即，
由，所以，
所以是首项和公比均为的等比数列，
则，
所以；
【题组四 实际生活中的等比数列】
1．（2020·四川宜宾市·高三一模（理））《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的3倍，则的值为（ ）(结果精确到0.1，参考数据：，)
A．2.2 B．2.4 C．2.6 D．2.8
【答案】C
【解析】设大老鼠每天打洞的进度形成数列，小老鼠每天打洞的进度形成数列，
则由题可得数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以第天后大老鼠打洞的总进度为，
数列是首项为1，公比为的等比数列，
所以第天后小老鼠打洞的总进度为，
则由题可得，整理可得，
解得或，即（舍去）或，
.
故选：C.
2．（2021·全国高三专题练习）古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何 ”意思是：“女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这名女子每天分别织布多少 ”某数学兴趣小组依托某制造厂用织布机完全模拟上述情景，则从第一天开始，要使织布机织布的总尺数为165尺，则所需的天数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【解析】设该女子第一天织布尺，则5天共织布，解得尺，在情境模拟下，设需要天织布总尺数达到165尺，则有整理得，解得.故选：D．
3．（2021·湖南）《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么该人第1天所走路程里数为（ ）
A．96 B．126 C．192 D．252
【答案】C
【解析】由题意得，该人每天走的路程形成以为首项，以为公比的等比数列，
因为该人6天后到达目的地，则有,
解得，
所以该人第1天所走路程里数为192，
故选：C
4．（2021·全国高三专题练习）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4倍，则的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【解析】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列，
则，所以.
设小老鼠每天打洞的长度构成等比数列，
则，所以.
所以，即，化简得
解得：或(舍)
故选：C
5．（2020·江西高三期中（文））中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】斗升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3，
由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，且S3＝50，则＝50，
解得a1＝，所以牛主人应偿还粟的量为
故选：D
6．（2021·海南高三专题练习）我国古代著作《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.在这个问题中，记第天后剩余木棍的长度为，数列的前项和为，则使得不等式成立的正整数的最小值为（ ）.
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【解析】由题意可知：数列是以为首项，为公比的等比数列，，
若，则，即，，
又，，，
使得不等式成立的正整数的最小值为.
故选：B.
7．（2021·河北石家庄市）已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数．它指的是，在自然情况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数它的简单计算公式是：确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，确诊病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根据以上数据计算，若甲得这种传染病，则6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（ ）
A．243 B．248 C．363 D．1092
【答案】D
【解析】记第1轮感染人数为，第2轮感染人数为，…，第轮感染人数为，则数列是等比数列，公比为，
由题意，即，所以，
总人数为人.
故选：D．
8．（2021·江苏南通市·海安高级中学高三月考）有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍.初日屠五两，今三十日屠讫，向共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？"在这个问题中，该屠夫前5天所屠肉的总两数为（ ）
A．35 B．75 C．155 D．315
【答案】C
【解析】由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列，记首项为，公比为，前项和为，
所以，，因此前5天所屠肉的总两数为.故选：C.
9．（多选）（2021·福建三明市·高三其他模拟）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（ ）
A．此人第三天走了二十四里路
B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C．此人第二天走的路程占全程的
D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍
【答案】BD
【解析】由题意，此人每天所走路程构成以为公比的等比数列，
记该等比数列为，公比为，前项和为，
则，解得，
所以此人第三天走的路程为，故A错；
此人第一天走的路程比后五天走的路程多里，故B正确；
此人第二天走的路程为，故C错；
此人前三天走的路程为，后三天走的路程为，，即前三天路程之和是后三天路程之和的8倍，D正确；
故选：BD.
【题组五 等比数列的最值】
1．（2021·陕西西安市）在等比数列{an}中，且a8＞a9，则使得的自然数n的最大值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】C
【解析】因为，即，所以，
又因为，所以数列为单调递减，
因为，
所以，所以.又因为为整数，故.故选：C
2．（2021·安徽芜湖市·高三二模（理））已知无穷等比数列满足，其前项和为，则（ ）
A．数列为递增数列 B．数列为递减数列
C．数列有最小项 D．数列有最大项
【答案】C
【解析】因为无穷等比数列满足，所以，即，
由，所以，又，所以
所以
当时，，递减，单调递增，所以有最小项；
当时，，不具有单调性，不单调，但，，，且，所以有最小项；
故选：C
3．（多选）（2021·全国高三专题练习）已知等比数列{an}的公比，等差数列{bn}的首项b1＝12，若a9＞b9且a10＞b10，则以下结论正确的有（　　）
A．a9 a10＜0 B．a9＞a10 C．b10＞0 D．b9＞b10
【答案】AD
【解析】数列{an}是公比q为的等比数列，{bn}是首项为12，公差设为d的等差数列，
则，，∴a9 a10＝＜0，故A正确；
∵a1正负不确定，故B错误；
∵a10正负不确定，∴由a10＞b10，不能求得b10的符号，故C错误；
由a9＞b9且a10＞b10，则＞12+8d，＞12+9d，
可得等差数列{bn}一定是递减数列，即d＜0，即有b9＞b10，故D正确.
故选：AD.
4．（多选）（2021·广东东莞市）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．是数列中的最大项 D．
【答案】ACD
【解析】由可得与异号，
或，
又，且，可得与同号，即，
且一个大于，一个小于，
若，则，不符合题意；
若，则，为递减数列，
满足，故A正确；
对于B选项，由于，数列为正项递减数列，
，所以，，故B选项错误；
对于C选项，由上可知，正项数列前项都大于，
而从第项起都小于，所以，是数列中的最大值，故C选项正确；
对于D选项，，
D选项正确.
故选：ACD.6.2 等比数列（精练）
【题组一 等比数列基本量的运算】
1．（2021·金昌市第一中学）等差数列的首项为，公差不为，若、、成等比数列，则前项的和为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·广西崇左市）已知等比数列的公比为3，且，则的值为（ ）
A．2 B．6 C． D．12
3．（2021·全国课时练习）已知中，，，则数列的通项公式是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国课时练习）等比数列2，4，8，…的公比为（ ）
A． B． C．2 D．4
5．（2021·河南信阳市）已知正项数列满足，的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三月考（理））正项等比数列的前项和，若，，则公比（ ）
A．2 B． C．4 D．
7．（2021·四川成都市）已知等比数列的前项和为，若，，则数列的公比为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·广东汕头市·高三一模）在正项等比数列中，，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·全国高三其他模拟（文））已知各项均为正数的等比数列中，，，其前项和为，则___.
10．（2021·重庆高三）已知等比数列的前项和为，，，则___________.
【题组二 等比数列的性质】
1．（2021·广东高三专题练习）已知正项等比数列{an}，满足a2 a72 a2020＝16，则a1 a2… a1017＝（　　）
A．41017 B．21017 C．41018 D．21018
2．（2021·河南濮阳市·高三一模（文））已知公比大于1的等比数列满足，，则（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
3．（2021·广西河池市）在等比数列中，若，则（ ）
A． B．3 C．或2 D．4
4．（2021·河北衡水市·高三其他模拟）若等比数列中的，是方程的两个根，则（ ）
A． B．1010 C． D．1011
5．（2021·全国高三月考（文））已知正项等比数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·四川遂宁市·高三三模（文））在递增的数列中，，若，且前项和，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2021·山东日照市·高三二模）已知数列是等比数列，是其前项之积，若，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2021·陕西咸阳市·高三三模（理））已知命题成等比数列，命题，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2021·全国高三其他模拟（文））已知等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·湖北荆州市）设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·天津南开中学高三三模）“，，成等比数列”是“，，成等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．（多选）（2021·全国高三专题练习）(多选)在正项等比数列{an}中，已知，，则（ ）
A． B．
C． D．n＝14
13．（2021·全国高三月考（理））已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ）
A． B．2 C． D．
14．（2021·全国高三专题练习）已知数列{an}的各项都为正数，对任意的m，n∈N*，am·an＝am＋n恒成立，且a3·a5＋a4＝72，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a7＝________.
15．（2021·全国专题练习）公差不为零的等差数列{an}中，，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.
16．（2021·全国高二课时练习）已知是的等差中项，是，的等比中项，则等于___________.
【题组三 等比数列的证明或判断】
1．（2021·全国专题练习）下面四个数列中，一定是等比数列的是（ ）
A．q，2q，4q，6q B．q，q2，q3，q4
C．q，2q，4q，8q D．，，，
2．（2021·全国单元测试）已知数列是等比数列，则下列数列中：①；②；③，等比数列的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．（多选）（2021·全国课时练习）已知数列是公比为的等比数列，则以下一定是等比数列的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·广德市实验中学高三月考（理））已知，，，，则下列等式一定成立的是（ ）
A．、、成等比数列 B．、、成等比数列
C．、、成等比数列 D．、、成等比数列
5．（2021·全国专题练习）已知不全相等的实数，，成等比数列，则一定不可能是等差数列的为（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
6．（2021·云南民族大学附属中学高三月考（理））已知数列满足，，求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
7．（2021·湖南岳阳市·高三一模）已知数列满足，且点在函数的图象上，求证：是等比数列，并求的通项公式：
【题组四 实际生活中的等比数列】
1．（2020·四川宜宾市·高三一模（理））《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的3倍，则的值为（ ）(结果精确到0.1，参考数据：，)
A．2.2 B．2.4 C．2.6 D．2.8
2．（2021·全国高三专题练习）古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何 ”意思是：“女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这名女子每天分别织布多少 ”某数学兴趣小组依托某制造厂用织布机完全模拟上述情景，则从第一天开始，要使织布机织布的总尺数为165尺，则所需的天数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（2021·湖南）《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么该人第1天所走路程里数为（ ）
A．96 B．126 C．192 D．252
4．（2021·全国高三专题练习）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4倍，则的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
5．（2020·江西高三期中（文））中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·海南高三专题练习）我国古代著作《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.在这个问题中，记第天后剩余木棍的长度为，数列的前项和为，则使得不等式成立的正整数的最小值为（ ）.
A．6 B．5 C．4 D．3
7．（2021·河北石家庄市）已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数．它指的是，在自然情况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数它的简单计算公式是：确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，确诊病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根据以上数据计算，若甲得这种传染病，则6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（ ）
A．243 B．248 C．363 D．1092
8．（2021·江苏南通市·海安高级中学高三月考）有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍.初日屠五两，今三十日屠讫，向共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？"在这个问题中，该屠夫前5天所屠肉的总两数为（ ）
A．35 B．75 C．155 D．315
9．（多选）（2021·福建三明市·高三其他模拟）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（ ）
A．此人第三天走了二十四里路
B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C．此人第二天走的路程占全程的
D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍
【题组五 等比数列的最值】
1．（2021·陕西西安市）在等比数列{an}中，且a8＞a9，则使得的自然数n的最大值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
2．（2021·安徽芜湖市·高三二模（理））已知无穷等比数列满足，其前项和为，则（ ）
A．数列为递增数列 B．数列为递减数列
C．数列有最小项 D．数列有最大项
3．（多选）（2021·全国高三专题练习）已知等比数列{an}的公比，等差数列{bn}的首项b1＝12，若a9＞b9且a10＞b10，则以下结论正确的有（　　）
A．a9 a10＜0 B．a9＞a10 C．b10＞0 D．b9＞b10
4．（多选）（2021·广东东莞市）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．是数列中的最大项 D．6.2 等比数列（精讲）
考点一 等比数列基本量的运算
【例1】（1）（2021·安徽合肥市）设正项等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B．2 C． D．4
（2）（2020·全国高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（ ）
A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1
【一隅三反】
1．（2021·全国）设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3=a4﹣3，3S2=a3﹣3，则公比q=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2（2021·广东）已知等比数列为，则该数列的第二十项为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·临川一中实验学校）已知是等比数列的前项和，若，，则数列的公比是（ ）
A．8 B．4 C．3 D．2
4．（2021·陕西西安市）等比数列中，，．设为的前项和，若，则的值为（ ）．
A．5 B．6 C．7 D．8
考点二 等比数列的性质
【例2】（1）（2021·山西）若三个数1，2，m成等比数列，则实数（ ）
A．8 B．4 C．3 D．2
（2）（2021·珠海市第二中学高三其他模拟）若1，，，，4成等比数列，则（ ）
A．16 B．8 C． D．
（3）（2021·四川雅安市）若是等比数列，且前项和为，则=（ ）
A． B． C．-1 D．1
（4）（2021·正阳县高级中学）设等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．66 B．65 C．64 D．63
【一隅三反】
1．（2021·全国高考真题（文））记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．（2021·西藏拉萨市）等比数列各项均为正数，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·陕西渭南市）在等比数列中，是方程的根，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
4．（2021·吉林吉林市·高三三模）已知是和的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（ ）
A． B．或2 C． D．或
5．（2020·全国高考真题（理））数列中，，，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
考点三 等比数列的证明或判断
【例3】（1）（2021·全国高三其他模拟）已知数列满足，，，求证：数列是等比数列；
（2）（2021·四川成都市）已知各项均为正数的数列满足：，，.若，求证：数列为等比数列，并求的通项公式；
【一隅三反】
1.（2021·全国课时练习）以下条件中，能判定数列是等比数列的有（ ）
①数列1，2，6，18，…； ②数列中，已知，；③常数列，，…，，…；④数列中，，其中.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2021·全国高三专题练习）已知数列{an}，{bn}，其中a1＝3，b1＝－1，且满足an＝(3an－1－bn－1)，bn＝－(an－1－3bn－1)，n∈N*，n≥2.求证：数列{an－bn}为等比数列；
3．（2021·陕西）已知数列{an}满足a1=2，an+1=4an-3n+1，(n∈N*)”.
（1）证明：数列{an-n}是等比数列；
（2）求出{an}的通项公式.
4．（2021·浙江金华市·高三三模）已知数列{an}满足，，，成等差数列，证明:数列是等比数列，并求{an}的通项公式；
考点四 实际生活中的等比数列
【例4】（2021·河南新乡市·高三三模（文））《九章算术》卷第三中有个关于织布的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”，意思为“今有一女子善于织布，每天所织布是前一天的两倍，她五天织布五尺，试问她每天各织布多少”，则该女子第三天织布___________尺.
【一隅三反】
1．（2021·山东省济南市莱芜第一中学高三月考）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十四里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，七朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走254里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了7天后到达目的地，请问第四天走了（ ）
A．64里 B．32里 C．16里 D．8里
2．（2021·山西高三其他模拟（理））明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑．其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一．”注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔从塔底数第二层灯的盏数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·广东中山市）音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；……．依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得（ ）
A．“宫、商、角”的频率成等比数列 B．“宫、徵、商”的频率成等比数列
C．“商、羽、角”的频率成等比数列 D．“徵、商、羽”的频率成等比数列
考点五 等比数列的最值
【例5】（1）（2021·全国高三）在等比数列中，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·全国高三专题练习）（多选题）设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并满足条件，，下列结论正确的是（ ）
A．S2019C．T2020是数列中的最大值 D．数列无最大值
【一隅三反】
1．（2021·北大附中深圳南山分校高三一模）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则“Sn+1>Sn”是“{an}单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2021·山东菏泽市·高三一模）在等比数列中，若则（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·浙江）已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·陕西西安市·西安中学高三其他模拟（理））数列是等比数列，首项为，公比为，则“”是“数列递增”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5（2021·辽宁丹东市·高三月考）等比数列的公比为，前项积，若 ，，，则
A． B．
C．是的最大值 D．使的的最大值是40406.2 等比数列（精讲）
考点一 等比数列基本量的运算
【例1】（1）（2021·安徽合肥市）设正项等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B．2 C． D．4
（2）（2020·全国高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（ ）
A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1
【答案】（1）A（2）B
【解析】（1）设等比数列的公比为且
由，所以
又，则
所以
即，所以故选：A
（2）设等比数列的公比为，
由可得：，
所以，因此.故选：B.
【一隅三反】
1．（2021·全国）设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3=a4﹣3，3S2=a3﹣3，则公比q=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】根据题意，等比数列{an}中，有3S3=a4﹣3，3S2=a3﹣3，
则有3S3﹣3S2=(a4﹣3)﹣(a3﹣3)，即3a3=(a4﹣a3)，所以a4=4a3，即q=4；故选：B.
2（2021·广东）已知等比数列为，则该数列的第二十项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由等比数列的前四项分别为，
知该数列是首项为，公比为的等比数列，
则通项，得.故选：B.
3．（2021·临川一中实验学校）已知是等比数列的前项和，若，，则数列的公比是（ ）
A．8 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【解析】由，所以，.故选：D.
4．（2021·陕西西安市）等比数列中，，．设为的前项和，若，则的值为（ ）．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】设公比为，因为，所以，解得或，
当时，，解得；
当时，，无解，故选:B.
考点二 等比数列的性质
【例2】（1）（2021·山西）若三个数1，2，m成等比数列，则实数（ ）
A．8 B．4 C．3 D．2
（2）（2021·珠海市第二中学高三其他模拟）若1，，，，4成等比数列，则（ ）
A．16 B．8 C． D．
（3）（2021·四川雅安市）若是等比数列，且前项和为，则=（ ）
A． B． C．-1 D．1
（4）（2021·正阳县高级中学）设等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．66 B．65 C．64 D．63
【答案】（1）B（2）B（3）B（4）B
【解析】（1）因为为等比数列，故即，故选：B.
（2）因为1，，，，4成等比数列，，
，(负不合题意，奇数项符号相同)，则，故选：B.
（3）由，得，，，
因为是等比数列，所以，即，得.故选：B
（4）由题知：，，
，
所以，，成等比数列，即5，15，成等比数列，
所以，解得.故选：B.
【一隅三反】
1．（2021·全国高考真题（文））记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【解析】∵为等比数列的前n项和，∴，，成等比数列
∴，∴，∴.故选：A.
2．（2021·西藏拉萨市）等比数列各项均为正数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，又，，
，故选：A.
3．（2021·陕西渭南市）在等比数列中，是方程的根，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【解析】因为在等比数列中，是方程的根，
所以，所以，
由等比数列的性质得，所以，
所以，故选：B
4．（2021·吉林吉林市·高三三模）已知是和的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（ ）
A． B．或2 C． D．或
【答案】B
【解析】由是和的等比中项，可得，
当时，曲线方程为，该曲线为焦点在轴上的椭圆，离心率，
当时，曲线方程为，该曲线为焦点在轴上的双曲线，离心率，
故选：B.
5．（2020·全国高考真题（理））数列中，，，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】在等式中，令，可得，，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
，
，则，解得.故选：C.
6．（2021·辽宁沈阳市·高三一模）在正项等比数列中，，则______．
【答案】10
【解析】因为，所以，即，
因为数列是正项数列，所以，故答案为：.
考点三 等比数列的证明或判断
【例3】（1）（2021·全国高三其他模拟）已知数列满足，，，求证：数列是等比数列；
（2）（2021·四川成都市）已知各项均为正数的数列满足：，，.若，求证：数列为等比数列，并求的通项公式；
【答案】证明见解析；
【解析】（1）因为，所以，
因为，所以，，
因为，所以数列是以为首项、为公比的等比数列，.
（2）且，，
，即，
又，数列是以为首项，为公比的等比数列，；
，，…，，
各式相加可得：，
，；
【一隅三反】
1.（2021·全国课时练习）以下条件中，能判定数列是等比数列的有（ ）
①数列1，2，6，18，…； ②数列中，已知，；③常数列，，…，，…；④数列中，，其中.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】①中，数列不符合等比数列的定义，故不是等比数列；
②中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列；
③中，当时，不是等比数列；
④中，数列符合等比数列的定义，是等比数列.故选：A.
2．（2021·全国高三专题练习）已知数列{an}，{bn}，其中a1＝3，b1＝－1，且满足an＝(3an－1－bn－1)，bn＝－(an－1－3bn－1)，n∈N*，n≥2.求证：数列{an－bn}为等比数列；
【答案】证明见解析
【解析】证明：an－bn＝(3an－1－bn－1)－(an－1－3bn－1)＝2(an－1－bn－1)，即，又a1－b1＝3－(－1)＝4，
所以{an－bn}是首项为4，公比为2的等比数列；
3．（2021·陕西）已知数列{an}满足a1=2，an+1=4an-3n+1，(n∈N*)”.
（1）证明：数列{an-n}是等比数列；
（2）求出{an}的通项公式.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：由an+1=4an-3n+1得an+1-(n+1)=4(an-n)，n∈N*.
因为a1-1=1≠0，所以an-n≠0，所以，
所以数列{an-n}是首项为1，公比为4的等比数列.
（2）由（1）可知，
所以数列{an}的通项公式为.
4．（2021·浙江金华市·高三三模）已知数列{an}满足，，，成等差数列，证明:数列是等比数列，并求{an}的通项公式；
【答案】证明见解析，；
【解析】由已知得4an+1=3an+anan+1,
∵a1≠0，∴由递推关系可得an≠0恒成立，∴,∴，即,
又∵,∴数列是首项为，公比为的等比数列，
，,；
考点四 实际生活中的等比数列
【例4】（2021·河南新乡市·高三三模（文））《九章算术》卷第三中有个关于织布的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”，意思为“今有一女子善于织布，每天所织布是前一天的两倍，她五天织布五尺，试问她每天各织布多少”，则该女子第三天织布___________尺.
【答案】
【解析】依题意可知该女子前5天所织布的尺数依次成公比为2的等比数列，
设她第一天织布尺，则，解得，∴她第三天织布尺数为.
故答案为：.
【一隅三反】
1．（2021·山东省济南市莱芜第一中学高三月考）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十四里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，七朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走254里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了7天后到达目的地，请问第四天走了（ ）
A．64里 B．32里 C．16里 D．8里
【答案】C
【解析】由题意知：此人每天所走里程成等比数列.且.
解得：,所以.故选：C.
2．（2021·山西高三其他模拟（理））明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑．其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一．”注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔从塔底数第二层灯的盏数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，可知从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为，则有，解得，从塔底数第二层灯的盏数为，
故选：C.
3．（2021·广东中山市）音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；……．依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得（ ）
A．“宫、商、角”的频率成等比数列 B．“宫、徵、商”的频率成等比数列
C．“商、羽、角”的频率成等比数列 D．“徵、商、羽”的频率成等比数列
【答案】A
【解析】设“宫”的频率为，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率是；
“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率是，
“商”经过一次“损”，可得“羽”的频率是；
最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是，
由于成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列．故选：A．
考点五 等比数列的最值
【例5】（1）（2021·全国高三）在等比数列中，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·全国高三专题练习）（多选题）设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并满足条件，，下列结论正确的是（ ）
A．S2019C．T2020是数列中的最大值 D．数列无最大值
【答案】（1）B（2）AB
【解析】（1）由等比数列性质知：，
（当且仅当时取等号），
，，即的最大值为.故选：B.
【解析】当时，，不成立；
当时，，不成立；
故，且，故，正确；
，故正确；
是数列中的最大值，错误；故选：
【一隅三反】
1．（2021·北大附中深圳南山分校高三一模）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则“Sn+1>Sn”是“{an}单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】，例如，但是数列不单调递增，故不充分；
数列单调递增，例如，但是，故不必要；故选：D
2．（2021·山东菏泽市·高三一模）在等比数列中，若则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，，不满足题意;
当时，等式左边，所以，等式右边，不满足题意，
所以，，则中奇数项为正，偶数项为负．
故选B.
3．（2021·浙江）已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】等差数列的通项公式是关于的一次函数，，图象中的孤立的点在一条直线上，
而等比数列的通项公式是关于的指数函数形式，图象中孤立的点在指数函数图象上，
如图所示当时，如下图所示，
当公差时，如下图所示，
如图可知当时，，，，.
故选：D
4．（2021·陕西西安市·西安中学高三其他模拟（理））数列是等比数列，首项为，公比为，则“”是“数列递增”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由已知，解得或，，
此时数列不一定是递增数列；
若数列为递增数列，可得或，
所以“”是“数列为递增数列”的必要不充分条件.
故选：B.
5（2021·辽宁丹东市·高三月考）等比数列的公比为，前项积，若 ，，，则
A． B．
C．是的最大值 D．使的的最大值是4040
【答案】AD
【解析】根据条件可得，则， ,又
选项A. ，所以
若，则，
所以与条件 矛盾.
所以，所以选项A正确.
选项B. 由, ，可得等比数列单调递减.
又，可得 ，
，所以选项B不正确.
选项C . 由，，可得等比数列单调递减.
可得，，即数列 的前项大于1，当时，
所以是的最大值，所以选项C不正确.
选项D.
，由上可知 ，可得，由此类推可得当时，
，
由，可得，由此类推可得可得当 时，
所以使的的最大值是4040，所以选项D正确
故选：AD.

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