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6.1 等差数列（精讲）
考点一 等差数列的基本运算
【例1】（1）（2021·河南高三）在等差数列中，若，，则的公差为（ ）
A．-2 B．2 C．-3 D．3
（2）（2021·全国高三其他模拟）已知等差数列的前项和为，，，则（ ）．
A．10 B．11 C．12 D．13
（3）（2021·重庆一中高三月考）记为等差数列的前项和．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2021·四川遂宁市）已知等差数列满足，则它的前8项的和（ ）
A．70 B． C． D．105
2．（2021·河南高三）已知等差数列的前项和为，若，，则的公差为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2021·全国高三）等差数列中，前n项和为，且，则（ ）
A．17 B．25 C．5 D．81
4．（2021·全国高三三模）数列为等比数列，，公比为，且满足，，成等差数列，则_______．
考点二 等差数列的性质
【例2】（1）（2021·贵州贵阳市）已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，，则S5=（ ）
A．2 B．14 C．50 D．10
（2）（2021·山西太原市）在等差数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
（3）（2021·黑龙江哈尔滨市）已知数列是等差数列，若，，则（ ）
A．5 B．4 C．9 D．7
（4）（2021·黑龙江大庆市）设等差数列的前项和为，其中，，则=（ ）
A．9 B．18 C．27 D．36
（5）（2021·云南高三二模）已知数列、都是等差数列，设的前项和为，的前项和为.若，则（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2021·山西临汾市）设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．28 B．34 C．40 D．44
2．（2021·河南洛阳市）已知等差数列的前项和为，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·林芝市第二高级中学）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·江苏高三专题练习）已知等差数列的前项和分别为，若对于任意的自然数，都有，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全国高三专题练习）已知等差数列，的前项和分别为和，且，则
A． B． C． D．
考法三 等差数列的最值问题
【例3】（1）（2021·吉林长春市）等差数列的前项和为，，则取最大值时的为（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·浙江高三）在等差数列中，若，且它的前项和有最小值，则当时，的最小值为
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2021·新疆乌鲁木齐市）等差数列中，是数列的前项和，则最大时，（ ）
A．10 B．11 C．10或11 D．11或12
2．（2021·全国高三专题练习）若公差为负的等差数列中的两项是方程的两个根，设数列的前项和为，则当最大时，的值为（ ）
A．5 B．9或10 C．10 D．9
3．（2021·通辽新城第一中学高三）已知等差数列的前项和为，且，，则下面结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．与均为的最小值
4．（2021·中央民族大学附属中学高三三模）等差数列的前项和为，若，，则数列的通项公式可能是（ ）
A． B． C． D．
考法四 等差数列的证明与判断
【例4】（2021·全国高考真题）记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
【一隅三反】
1．（2021·黑龙江大庆市）在数列中，，是1与的等差中项，求证：数列是等差数列，并求的通项公式；
2．（2021·浙江温州市·高三三模）已知正项数列满足，且对任意的正整数n，是和的等差中项，证明：是等差数列，并求的通项公式；
3．（2021·全国高考真题）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
考法五 实际生活中的等差数列
【例5】（2021·辽宁葫芦岛市·高三二模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，据书中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为五级：男 子 伯 侯 公.现有每个级别的诸侯各一人，共5人，要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分个(为正整数)，若按这种方法分橘子，“子”恰好分得13个橘子的概率是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2021·江苏南通市）《张丘建算经》是我国古代的一部数学著作，现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算 各种等差数列问题的解决 某些不定方程问题求解等.书中记载如下问题：“今有女子善织，日增等尺，初日织五尺，三十日共织390尺，问日增几何？”那么此女子每日织布增长（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
2．（2021·全国高三）我国明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：今有钞二百三十八贯，令五等人从上作互和减半分之，只云戊不及甲三十三贯六百文，问：各该钞若干？其意思是：现有钱238贯，采用等差数列的方法依次分给甲 乙 丙 丁 戊五个人，现在只知道戊所得钱比甲少33贯600文(1贯=1000文)，问各人各得钱多少？在这个问题中，戊所得钱数为（ ）
A．30.8贯 B．39.2贯 C．47.6贯 D．64.4贯
3．（2021·吉林高三月考（文））中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“九百九十六斤棉，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”其意思为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女作旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，使孝顺子女的美德外传，试求各人应分得多少斤．”则第3个子女分得棉花（ ）
A．65斤 B．82斤 C．99斤 D．106斤
4．（2021·山西高三三模（文））《九章算术》卷七“盈不足”有这样一段话：“今有良马与弩马发长安至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里．日增十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．”意思是：今有良马与弩马从长安出发到齐国，齐国与长安相距3000里，良马第一日走193里，以后逐日增加13里，弩马第一日走97里，以后逐日减少0.5里．则8天后两马之间的距离为___________里．6.1 等差数列（精练）
【题组一 等差数列的基本运算】
1．（2021·海南高三其他模拟）等差数列、、、的第五项等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为、、、成等差数列，所以，解得，
所以这个等差数列的每一项均为．故选：B.
2．（2021·全国高三其他模拟（文））在等差数列{an}中，a1+a2+a3＝21，a2a3＝70，若an＝61，则n＝（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
【答案】C
【解析】由a1+a2+a321,得,a2a3＝70，∴a3＝10,
∴公差∴，,解得故选：C.
3．（2021·黑龙江高三）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得：，，
设等差数列公差为，则，解得：，
，.故选：A.
4（2021·宁波市北仑中学）设是某个等差数列的前n项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知：即，且，
∴，故，
∴.故选：A
5（2021·广东茂名市·高三二模）已知是数列的前项和，则“”是“数列是公差为2的等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】已知，所以，当时，，
所以数列是公差为2的等差数列；当数列是公差为2的等差数列时，因为不知首项，所以数列的前n项和不确定，所以是充分不必要条件故选：A
6．（2021·广东汕头市·高三二模）已知数列中各项为非负数，，，若数列为等差数列，则（ ）
A．169 B．144 C．12 D．13
【答案】B
【解析】由题意，，又因为数列是等差数列，
所以，且满足各项为非负数，则有，
可得故选：B
7．（2021·安徽六安市·六安一中）已知公比不等于1的等比数列和公差不等于0的等差数列满足，，则___________.
【答案】
【解析】因为公比不等于1的等比数列和公差不等于0的等差数列满足
，，
所以，则，
因此．
故答案为：．
8．（2021·福建厦门市·厦门一中）已知公差不为0的等差数列中，，，则______．
【答案】2.5
【解析】设等差数列的公差为，，，
，，解得：，
则，故答案为：．
9．（2021·全国高三其他模拟（理））已知等差数列的前项和为，若成等差数列，且成等比数列．则__________
【答案】
【解析】为等差数列，设首项为，公差为，且成等差数列，
，化简可得，
又成等比数列，
，
，
，解得：或，
，当时，，舍去
当时，，
.
故答案为：.
10．（2021·全国高三其他模拟（文））已知等差数列的前项和为，若，则的通项公式为_____________
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，
因为，
所以，解得，
所以，
故答案为：
【题组二 等差数列的性质】
1．（2021·安徽高三月考（文））已知数列为等差数列，且，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】因为数列为等差数列，且，所以.故选：C
2．（2021·黑龙江哈尔滨市）是等差数列的前项和，，，则（ ）
A．9 B．16 C．20 D．27
【答案】D
【解析】由得，则，
由得，则，
所以故选：D
3．（2021·江西南昌市·高三三模（理））已知公差不为0的等差数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，
，又，
，故选：C
4．（2021·江苏高三专题练习）已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ 是等差数列的前项和，∴ ，即，
∵ 是等差数列的前项和，∴ ，即，
∴ ，故选：B.
5．（2021·全国高三专题练习（文））已知数列，为等差数列，其前项和分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【解析】根据等差数列的性质可得，
所以可设，.
则，，所以.故选:D.
6．（2021·全国高三专题练习）等差数列的前项和为30，前项和为100，则前项和为（ ）
A．130 B．170 C．210 D．260
【答案】C
【解析】∵为等差数列，∴成等差数列，即成等差数列，
，解得.故选：C.
7．（2021·安徽滁州市）两等差数列和的前项和分别是,已知,则
A．7 B． C． D．
【答案】D
【解析】.故选：D.
8．（2021·湖北高三二模）设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
【答案】B
【解析】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，
，，解得．故选：B．
9．（2021·济南市·山东省实验中学高三二模）已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则该数列的中间项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设等差数列共有项，
则，，中间项为，
故，
，故选：B.
10．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三其他模拟（文））等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a7+a12＝12，则S13＝_____.
【答案】
【解析】设等差数列{an}的公差为，
则，即，
所以.
故答案为：.
11．（2021·湖南永州市·高三其他模拟）已知等差数列的前项和为，若，则___________.
【答案】45
【解析】由等差数列的性质且，可得，
因此.故答案为45.
12．（2021·江西上饶市·高三一模（文））已知数列、均为正项等比数列，、分别为数列、的前项积，且，则的值为___________.
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，则（常数），
所以，数列为等差数列，同理可知，数列也为等差数列，
因为，
同理可得，因此，.
故答案为：.
13．（2021·全国高三专题练习）已知数列和均为等差数列，前n项和分别为，，且满足：，，则____________.
【答案】
【解析】故答案为：
【题组三 等差数列的最值问题】
1．（2021·黑龙江哈尔滨市）等差数列的前项和记为，若，，则不成立是（ ）
A． B．
C． D．当且仅当时
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，
由，得，即，又，
所以，正确.
，正确.
，
当时，有最大值当时，即，正确.
令，得，即，解得，错误.
故选：.
2．（2021·浙江宁波市·效实中学）已知等差数列的前项和为，且满足，，则该数列的公差可取的值是（ ）
A．3 B．1 C．-1 D．-3
【答案】D
【解析】由，即
又，所以
则，即
又，则，解得
选项中只有选项D 满足.
故选：D
3．（2021·吉林长春市·高三其他模拟（理））等差数列的前n项和为，若，则数列的通项公式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为是等差数列，且，得，
对于A， ，故错误；
对于B， ，故正确；
对于C， ，故错误；
对于D，，故错误.
故选：B.
4．（2021·江西抚州市）等差数列中，是数列的前项和，则数列的前项和最大时，（ ）
A．20 B． C．20或21 D．21或22
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，
因为，可得，则，
所以，
所以，可得，
可得当时，；当时，；时，，
所以当或时，数列的前项和取得最大值.
故选：C.
5．（2021·山东高三其他模拟）设等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．当且仅当时取最小值 B．当且仅当时取最大值
C．当且仅当时取最小值 D．当且仅当时取最大值
【答案】A
【解析】因为，则，从而，因此该等差数列是递增数列，
所以.
由，得，则数列的前6项为负数，从第7项起为正数，所以当且仅当时，取最小值，故选：A.
6．（2021·全国高三专题练习（理））已知数列的通项公式为，，为其前项和，则当时，正整数的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】因为数列的通项公式为，，
所以数列是首项为，公差为1的等差数列，
所以．
当时，，
当时，．
当时，，当时，．
所以时，．
故选：C．
7．（2021·浙江高三专题练习）若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为
A．6 B．7
C．8 D．9
【答案】B
【解析】∵a1＝19，an＋1－an＝－3，∴数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，
∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n，则an是递减数列．
设{an}的前k项和数值最大，则有
即∴≤k≤，
∵k∈N*，∴k＝7．
∴满足条件的n的值为7．
故选：B
8．（2021·浙江高三专题练习）设为等差数列的前项和，．若，则（ ）
A．的最大值是 B．的最小值是
C．的最大值是 D．的最小值是
【答案】D
【解析】由得：，整理可得：，
等差数列为递增数列，又，，，
当且时，；当且时，；
有最小值，最小值为.
故选：D.
9．（2021·山西朔州市·高三期末（理））已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知，
对任意的，都有成立，即，即，
又数列是首项为，公差为1的等差数列，
，且是单调递增数列，当时，，
，即，解得.
故选：B.
10．（2021·北京高三其他模拟）已知等差数列的前项和记为，则“”是“为单调数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】设公差为d，由，则，，
，对称轴为，
则当时，，对于，数列是单减数列，故“”是“是单调数列”的充分条件；
弱对于，数列是单调数列，根据一元二次函数的性质知，对称轴，即，故“”是“是单调数列”的不必要条件；
综上所说，“”是“是单调数列”的充分不必要条件
故选：A
11．（2021·全国高三专题练习）已知是等差数列的前项和,且,给出下列五个命题:
①;②;③;④数列中的最大项为;⑤.
其中正确命题的是___________.
【答案】①②
【解析】因为,所以,所以公差d<0,且,则由等差数列的前n项和公式与性质可得,且,又等差数列的前6项为正数,从第7项开始都是负数,所以数列中的最大项为,因此正确命题是①②.
11．（2021·浙江高三期末）设，为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足：，且，则的最小值为_________．
【答案】88
【解析】由题意，.
.设.
则
．
因为关于的方程有实数解，故.
即，解得或（舍去）.
故.此时，满足．
即的最小值为88.
故答案为：88．
12．（2021·全国高三其他模拟）已知为等差数列的前项和，且，，则当取最大值时，的值为___________.
【答案】7
【解析】方法一：设数列的公差为，则由题意得，解得
则.又，∴当时，取得最大值.
方法二：设等差数列的公差为.∵，∴，
∴，解得，
则，
令
解得，又，
∴，即数列的前7项为正数，从第8项起各项均为负数，
故当取得最大值时，.
故答案为：7.
【题组四 等差数列的证明与判断】
1．（2021·福建厦门市·高三二模）已知数列满足，，证明：数列是等差数列；
【答案】证明见解析
【解析】因为，所以，
因为，所以﹐
所以
所以
又因为.所以是以1为首项，公差为1的等差数列.
2．（2021·鄂尔多斯市第一中学）已知数列，且满足（且），证明新数列是等差数列，并求出的通项公式.
【答案】证明见解析，；
【解析】由可得，
则，又，
所以，数列是首项为2，公差为1的等差数列.
从而，
所以.
3．（2021·河南洛阳市）已知数列首项，且满足，令.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）求数列中的最小项.
【答案】（1）证明见解析；（2）-3.
【解析】（1），
，
即.
又，
为首项为-3，公差为1的等差数列，.
（2），即.
又，，，当时，.数列中的最小项为.
4．（2021·全国高三其他模拟）已知在数列中，，，求证：为等差数列；
【答案】证明见解析
【解析】证明：由，得，
所以，即数列的奇数项和偶数项均为公差为的等差数列.
由，，得.
所以；.
所以，
则，
所以是首项为，公差为的等差数列.
5．（2021·江苏南通市）已知数列的前项和为，且满足，数列满足且，求证：数列成等差数列，并求和的通项公式；
【答案】（1）证明见解析，，
【解析】因，则，
所以为首项为1，公差为2的等差数列，
有，；
又，则时，，相减得，，
则有，而，即，即为首项为-1，公比为2的等比数列，
所以.
6．（2021·全国高三其他模拟）在正项数列中，，，，求证：数列为等差数列；
【答案】证明见解析
【解析】由题意，正项数列中，满足，
整理得，
又由，可得，
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列.
7．（2021·全国高三其他模拟）已知数列满足，，，证明：是等差数列；
【答案】证明见解析；
【解析】因为，所以，
，
两边同时除以，得．
因为，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．
8．（2021·安徽安庆市·高三二模（理））已知数列满足，，，，求证：数列为等差数列；
【答案】证明见解析
【解析】证明：（Ⅰ）∵，，
∴，
∴，
∴数列是首项为1，公差为1的等差数列；
9．（2021·广东江门市·高三一模）已知数列满足，且，证明：数列是等差数列；
【答案】证明见解析
【解析】证明：，
，是以为首项，为公差的等差数列．
10．（2021·江西九江市·九江一中高三月考）已知数列中，，且满足，证明：数列是等差数列，并求的通项公式；
【答案】（证明见解析，；
【解析】证明：因为，
所以，故，
所以数列是等差数列，且公差为1，
而，故.
【题组五 实际生活中的等差数列】
1．（2021·甘肃白银市）在古印度的数学著作《丽拉沃蒂》中，有这样一个问题：某人给一个人布施，初日施3德拉玛(古印度货币单位)，其后日增2德拉玛，共布施360德拉玛，请快告诉我，他布施了几日？这个问题的答案是（ ）
A．9 B．18 C．20 D．24
【答案】B
【解析】由题意，这个人每日布施的金钱数构成以为首项，公差为的等差数列，
设他布施了日，则，解得或 (舍去).
故选：B.
2．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三月考（理））《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种质量单位）在这个问题中，戊所得为（ ）
A．钱 B．钱 C．钱 D．钱
【答案】C
【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，a，，，
则根据题意有，
解得，
所以戊所得为，
故选：C.
3．（2021·湖南郴州市·高三月考）习近平同志提出：乡村振兴，人才是关键，要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业.2020年1月8日，人力资源和社会保障部、财政部、农业农村部印发《关于进一步推动返乡入乡创业工作的意见》意见指出，要贯彻落实党中央、国务院的决策部署，进一步推动返乡入乡创业，以创新带动创业，以创业带动就业促进农村一、二、三产业融合发展，实现更充分、更高质量就业．为鼓励返乡创业，某镇政府决定投入“创业资金”和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成一个等差数列（单位：万元，），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金的3倍，已知．则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（ ）
A．72万元 B．96万元 C．120万元 D．144万元
【答案】C
【解析】由题意，五年累计总投入资金为：
，
而，
当且仅当时等号成立，
∴预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元．
故选：C．
4．（2021·江苏高三专题练习）《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问小满日影长为（ ）（1丈＝10 尺＝100寸）
A．四尺五寸 B．三尺五寸 C．二尺五寸 D．一尺五寸
【答案】B
【解析】从冬至日起，依次构成等差数列，设为，
由题意得： ，
解得，
又，
所以，
所以，
所以，
故选：B.6.1 等差数列（精练）
【题组一 等差数列的基本运算】
1．（2021·海南高三其他模拟）等差数列、、、的第五项等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国高三其他模拟（文））在等差数列{an}中，a1+a2+a3＝21，a2a3＝70，若an＝61，则n＝（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
3．（2021·黑龙江高三）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
4（2021·宁波市北仑中学）设是某个等差数列的前n项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
5（2021·广东茂名市·高三二模）已知是数列的前项和，则“”是“数列是公差为2的等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2021·广东汕头市·高三二模）已知数列中各项为非负数，，，若数列为等差数列，则（ ）
A．169 B．144 C．12 D．13
7．（2021·安徽六安市·六安一中）已知公比不等于1的等比数列和公差不等于0的等差数列满足，，则___________.
8．（2021·福建厦门市·厦门一中）已知公差不为0的等差数列中，，，则______．
9．（2021·全国高三其他模拟（理））已知等差数列的前项和为，若成等差数列，且成等比数列．则__________
10．（2021·全国高三其他模拟（文））已知等差数列的前项和为，若，则的通项公式为_____________
【题组二 等差数列的性质】
1．（2021·安徽高三月考（文））已知数列为等差数列，且，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2021·黑龙江哈尔滨市）是等差数列的前项和，，，则（ ）
A．9 B．16 C．20 D．27
3．（2021·江西南昌市·高三三模（理））已知公差不为0的等差数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·江苏高三专题练习）已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为．若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全国高三专题练习（文））已知数列，为等差数列，其前项和分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．2
6．（2021·全国高三专题练习）等差数列的前项和为30，前项和为100，则前项和为（ ）
A．130 B．170 C．210 D．260
7．（2021·安徽滁州市）两等差数列和的前项和分别是,已知,则
A．7 B． C． D．
8．（2021·湖北高三二模）设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
9．（2021·济南市·山东省实验中学高三二模）已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则该数列的中间项为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三其他模拟（文））等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a7+a12＝12，则S13＝_____.
11．（2021·湖南永州市·高三其他模拟）已知等差数列的前项和为，若，则___________.
12．（2021·江西上饶市·高三一模（文））已知数列、均为正项等比数列，、分别为数列、的前项积，且，则的值为___________.
13（2021·全国高三专题练习）已知数列和均为等差数列，前n项和分别为，，且满足：，，则____________.
【题组三 等差数列的最值问题】
1．（2021·黑龙江哈尔滨市）等差数列的前项和记为，若，，则不成立是（ ）
A． B．
C． D．当且仅当时
2．（2021·浙江宁波市·效实中学）已知等差数列的前项和为，且满足，，则该数列的公差可取的值是（ ）
A．3 B．1 C．-1 D．-3
3．（2021·吉林长春市·高三其他模拟（理））等差数列的前n项和为，若，则数列的通项公式可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·江西抚州市）等差数列中，是数列的前项和，则数列的前项和最大时，（ ）
A．20 B． C．20或21 D．21或22
5．（2021·山东高三其他模拟）设等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．当且仅当时取最小值 B．当且仅当时取最大值
C．当且仅当时取最小值 D．当且仅当时取最大值
6．（2021·全国高三专题练习（理））已知数列的通项公式为，，为其前项和，则当时，正整数的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2021·浙江高三专题练习）若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为
A．6 B．7
C．8 D．9
8．（2021·浙江高三专题练习）设为等差数列的前项和，．若，则（ ）
A．的最大值是 B．的最小值是
C．的最大值是 D．的最小值是
9．（2021·山西朔州市·高三期末（理））已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·北京高三其他模拟）已知等差数列的前项和记为，则“”是“为单调数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．（2021·全国高三专题练习）已知是等差数列的前项和,且,给出下列五个命题:
①;②;③;④数列中的最大项为;⑤.
其中正确命题的是___________.
11．（2021·浙江高三期末）设，为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足：，且，则的最小值为_________．
12．（2021·全国高三其他模拟）已知为等差数列的前项和，且，，则当取最大值时，的值为___________.
【题组四 等差数列的证明与判断】
1．（2021·福建厦门市·高三二模）已知数列满足，，证明：数列是等差数列；
2．（2021·鄂尔多斯市第一中学）已知数列，且满足（且），证明新数列是等差数列，并求出的通项公式.
3．（2021·河南洛阳市）已知数列首项，且满足，令.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）求数列中的最小项.
4．（2021·全国高三其他模拟）已知在数列中，，，求证：为等差数列；
5．（2021·江苏南通市）已知数列的前项和为，且满足，数列满足且，求证：数列成等差数列，并求和的通项公式；
6．（2021·全国高三其他模拟）在正项数列中，，，，求证：数列为等差数列；
7．（2021·全国高三其他模拟）已知数列满足，，，证明：是等差数列；
8．（2021·安徽安庆市·高三二模（理））已知数列满足，，，，求证：数列为等差数列；
9．（2021·广东江门市·高三一模）已知数列满足，且，证明：数列是等差数列；
10．（2021·江西九江市·九江一中高三月考）已知数列中，，且满足，证明：数列是等差数列，并求的通项公式；
【题组五 实际生活中的等差数列】
1．（2021·甘肃白银市）在古印度的数学著作《丽拉沃蒂》中，有这样一个问题：某人给一个人布施，初日施3德拉玛(古印度货币单位)，其后日增2德拉玛，共布施360德拉玛，请快告诉我，他布施了几日？这个问题的答案是（ ）
A．9 B．18 C．20 D．24
2．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三月考（理））《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种质量单位）在这个问题中，戊所得为（ ）
A．钱 B．钱 C．钱 D．钱
3．（2021·湖南郴州市·高三月考）习近平同志提出：乡村振兴，人才是关键，要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业.2020年1月8日，人力资源和社会保障部、财政部、农业农村部印发《关于进一步推动返乡入乡创业工作的意见》意见指出，要贯彻落实党中央、国务院的决策部署，进一步推动返乡入乡创业，以创新带动创业，以创业带动就业促进农村一、二、三产业融合发展，实现更充分、更高质量就业．为鼓励返乡创业，某镇政府决定投入“创业资金”和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成一个等差数列（单位：万元，），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金的3倍，已知．则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（ ）
A．72万元 B．96万元 C．120万元 D．144万元
4．（2021·江苏高三专题练习）《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问小满日影长为（ ）（1丈＝10 尺＝100寸）
A．四尺五寸 B．三尺五寸 C．二尺五寸 D．一尺五寸6.1 等差数列（精讲）
考点一 等差数列的基本运算
【例1】（1）（2021·河南高三）在等差数列中，若，，则的公差为（ ）
A．-2 B．2 C．-3 D．3
（2）（2021·全国高三其他模拟）已知等差数列的前项和为，，，则（ ）．
A．10 B．11 C．12 D．13
（3）（2021·重庆一中高三月考）记为等差数列的前项和．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）B（2）B（3）A
【解析】（1）设公差为，因为，所以，从而.故选：B.
（2）设等差数列的公差为，由，，
得，解得，所以.故选:B．
（3）由
又
,故选：A.
【一隅三反】
1．（2021·四川遂宁市）已知等差数列满足，则它的前8项的和（ ）
A．70 B． C． D．105
【答案】C
【解析】设等差数列的首项为，公差为．由，得，解得，．
所以．故选：．
2．（2021·河南高三）已知等差数列的前项和为，若，，则的公差为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】由，得.又，所以.故选：B
3．（2021·全国高三）等差数列中，前n项和为，且，则（ ）
A．17 B．25 C．5 D．81
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，则，解得，
所以.故选：B
4．（2021·全国高三三模）数列为等比数列，，公比为，且满足，，成等差数列，则_______．
【答案】
【解析】由题意知，所以，即，
且由知，所以．故答案为：3
考点二 等差数列的性质
【例2】（1）（2021·贵州贵阳市）已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，，则S5=（ ）
A．2 B．14 C．50 D．10
（2）（2021·山西太原市）在等差数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
（3）（2021·黑龙江哈尔滨市）已知数列是等差数列，若，，则（ ）
A．5 B．4 C．9 D．7
（4）（2021·黑龙江大庆市）设等差数列的前项和为，其中，，则=（ ）
A．9 B．18 C．27 D．36
（5）（2021·云南高三二模）已知数列、都是等差数列，设的前项和为，的前项和为.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）D（2）A（3）A（4）D（5）A
【解析】（1）由得所以a3=2所以，
故选：D
（2），所以，，
设等差数列的公差为，则.
故选：A.
（3）设等差数列的公差为，则，，
故，故选：A.
（4）根据等差数列的性质，成等差数列，所以，成等差数列，进而得到，所以，故选：D
（5）∵，∴，故选：A
【一隅三反】
1．（2021·山西临汾市）设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．28 B．34 C．40 D．44
【答案】D
【解析】因为，所以由，可得所以，
所以，故选：D
2．（2021·河南洛阳市）已知等差数列的前项和为，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由等差数列的前项和性质，
得：，，也成等差数列，
即，
又因，，则解得，
因此.
故选：C.
3．（2021·林芝市第二高级中学）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据等差数列公式及性质可得，
所以，所以.故选：D
4．（2021·江苏高三专题练习）已知等差数列的前项和分别为，若对于任意的自然数，都有，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】数列{an}，{bn}均为等差数列，由等差数列下标和的性质得
.故选：B
5．（2021·全国高三专题练习）已知等差数列，的前项和分别为和，且，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为等差数列，的前项和分别为和，且，
所以可设，，
所以，，所以.故选：A
考法三 等差数列的最值问题
【例3】（1）（2021·吉林长春市）等差数列的前项和为，，则取最大值时的为（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·浙江高三）在等差数列中，若，且它的前项和有最小值，则当时，的最小值为
A． B． C． D．
【答案】（1）A（2）C
【解析】由题可知，则，
又，则，则
因此，故取最大值时的n值为7故选：A.
（2）∵数列是等差数列，它的前项和有最小值
∴公差，首项，为递增数列
∵∴，
由等差数列的性质知：，.
∵， ∴当时，的最小值为16．故选C.
【一隅三反】
1．（2021·新疆乌鲁木齐市）等差数列中，是数列的前项和，则最大时，（ ）
A．10 B．11 C．10或11 D．11或12
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，则，即，
∴，由，可得，∴前10或11项和最大，故选：C
2．（2021·全国高三专题练习）若公差为负的等差数列中的两项是方程的两个根，设数列的前项和为，则当最大时，的值为（ ）
A．5 B．9或10 C．10 D．9
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，
因为是方程的两个根，
所以，
解得，.
因为，
取整数时，最大.
故选:D.
3．（2021·通辽新城第一中学高三）已知等差数列的前项和为，且，，则下面结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．与均为的最小值
【答案】C
【解析】对于A选项，由可得，A选项正确；
对于C选项，由可得，，C选项错误；
对于D选项，由可得，且，，，
所以，当且时，，且，则与均为的最小值，D选项正确；
对于B选项，，，当时，，
所以，，B选项正确.
故选：C.
4．（2021·中央民族大学附属中学高三三模）等差数列的前项和为，若，，则数列的通项公式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，，，则数列的最大项为.
对于A选项，，当时，且数列为递增数列，此时无最大项，A选项不满足条件；
对于B选项，由，可得，故数列中最大，B选项不满足条件；
对于C选项，，数列为递增数列且当时，，此时无最大项，C选项不满足条件；
对于D选项，由，可得，故数列中最大，D选项满足条件.
故选：D.
考法四 等差数列的证明与判断
【例4】（2021·全国高考真题）记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
【答案】证明见解析.
【解析】∵数列是等差数列，设公差为
∴，
∴，
∴当时，
当时，，满足，
∴的通项公式为，
∴
∴是等差数列.
【一隅三反】
1．（2021·黑龙江大庆市）在数列中，，是1与的等差中项，求证：数列是等差数列，并求的通项公式；
【答案】证明见解析，；
【解析】由题意知是1与的等差中项，可得，
可得，则，可得，
又由，可得，
所以数列是首项和公差均为1的等差数列，
可得，解得，
即的通项公式.
2．（2021·浙江温州市·高三三模）已知正项数列满足，且对任意的正整数n，是和的等差中项，证明：是等差数列，并求的通项公式；
【答案】证明见解析；
【解析】证明：由题知，即有，
所以是以为首项，公差为2的等差数列，即，
当时，
，当时，也符合题意，
所以，又，所以：；
3．（2021·全国高考真题）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题设可得
又，，
故，即，即
所以为等差数列，故.
（2）设的前项和为，则，
因为，
所以
考法五 实际生活中的等差数列
【例5】（2021·辽宁葫芦岛市·高三二模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，据书中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为五级：男 子 伯 侯 公.现有每个级别的诸侯各一人，共5人，要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分个(为正整数)，若按这种方法分橘子，“子”恰好分得13个橘子的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设男 子 伯 侯 公各分得个橘子，
∴由题意有：，即，又且为正整数，
∴，若“子”恰好分得13个橘子，则，即.
∴“子”恰好分得13个橘子的概率为.故选：B
【一隅三反】
1．（2021·江苏南通市）《张丘建算经》是我国古代的一部数学著作，现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算 各种等差数列问题的解决 某些不定方程问题求解等.书中记载如下问题：“今有女子善织，日增等尺，初日织五尺，三十日共织390尺，问日增几何？”那么此女子每日织布增长（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
【答案】C
【解析】设每日织布增长x尺，则，
即，解得.故选：C.
2．（2021·全国高三）我国明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：今有钞二百三十八贯，令五等人从上作互和减半分之，只云戊不及甲三十三贯六百文，问：各该钞若干？其意思是：现有钱238贯，采用等差数列的方法依次分给甲 乙 丙 丁 戊五个人，现在只知道戊所得钱比甲少33贯600文(1贯=1000文)，问各人各得钱多少？在这个问题中，戊所得钱数为（ ）
A．30.8贯 B．39.2贯 C．47.6贯 D．64.4贯
【答案】A
【解析】依次记甲 乙 丙 丁 戊五个人所得钱数为a1，a2，a3，a4，a5，
由数列{an}为等差数列，可记公差为d，依题意得：，
解得a1=64.4，d=﹣8.4，所以a5=64.4﹣33.6=30.8，即戊所得钱数为30.8贯.故选：A.
3．（2021·吉林高三月考（文））中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“九百九十六斤棉，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”其意思为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女作旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，使孝顺子女的美德外传，试求各人应分得多少斤．”则第3个子女分得棉花（ ）
A．65斤 B．82斤 C．99斤 D．106斤
【答案】C
【解析】设该等差数列为，由题意可得：，，
则，解得，
所以，
即第3个子女分得棉花99斤．
故选：C．
4．（2021·山西高三三模（文））《九章算术》卷七“盈不足”有这样一段话：“今有良马与弩马发长安至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里．日增十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．”意思是：今有良马与弩马从长安出发到齐国，齐国与长安相距3000里，良马第一日走193里，以后逐日增加13里，弩马第一日走97里，以后逐日减少0.5里．则8天后两马之间的距离为___________里．
【答案】
【解析】良马日行里数构成以193为首项，13为公差的等差数列；驽马日行里数则构成以97为首项，-0.5为公差的等差数列，
则两马同时出发后第8日，良马日行里数里)，
而驽马日行里数(里)，
所以良马较驽马日行里数多1908-762=1146里．
故答案为：1146.

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