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5.6 三角函数专题的综合运用（精讲）
考点一 实际生活中的解三角形
【例1】（2021·浙江）要测量电视塔的高度，在C点测得塔顶的仰角是，在D点测得塔顶的仰角是，并测得水平面上的，，则电视塔的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，设，
由于平面，、平面，，，
由题意可得，，
在中，，，同理可得，
在中，，，
根据余弦定理，得，
即：，
整理得，解之得 或 （舍）即所求电视塔的高度为米．故选：D.
【一隅三反】
1．（2021·全国高三专题练习（文））如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝（ ）
A．150m B．180m C．120m D．160m
【答案】A
【解析】由题意∠CAB＝45°，BC＝100 m，，三角形ABC为直角三角形，可得，在中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，则∠AMC＝45°
由正弦定理有：即故
在直角三角形中，可得故选：
2．（2021·海原县第一中学（文））国庆阅兵式上举行升国旗仪式，在坡度为的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为24.5米，则旗杆的高度约为，，
A．17米 B．22米 C．30米 D．35米
【答案】C
【解析】根据题意,将各个位置用点标出来如下图所示:
由题意可得:
在中，利用正弦定理得:
故选:C.
3．（2021·山西临汾市）说起延安革命纪念地景区，可谓是家喻户晓，它由宝塔山、枣园革命旧址、杨家岭革命旧址、中共中央西北局旧址、延安革命纪念馆组成.尤其宝塔山，它可是圣地延安的标志，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，宝塔山的坡度比为（坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比），在山坡处测得，从处沿山坡往上前进到达处，在山坡处测得，则宝塔的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可知，，则，
，
设坡角为，则由题可得，则可求得，
在中，，
由正弦定理可得，即，解得，
故宝塔的高为44m.
故选：A.
4．（2021·辽宁高三月考）岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山.始建于东汉建安二十年(215年)，历代屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年(1880年)重建时的形制与格局.因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.自古有"洞庭天下水，岳阳天下楼"之美誉.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线，如图，测得，，米，则岳阳楼的高度约为(，)（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【解析】Rt△ADC中，，则，Rt△BDC中，，则，
由AC-BC=AB得，约为米.故选：B
考点二 解三角形与三角函数的性质
【例2】（2021·浙江）已知函数，将的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到的图象，且在区间内的最大值为.
（1）求的值；
（2）在锐角中，若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）将函数的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到的图象，
则，
，，
当，即时，最大值，所以，；
（2），
，则，所以，，所以，，
，
是锐角三角形，由，解得，
所以，，，则.
【一隅三反】
1．（2021·珠海市第二中学高三其他模拟）已知函数.
（1）利用“五点法”列表，并画出在上的图象；
（2），，分别是锐角中角，，的对边.若，，求面积的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【解析】（1）函数
，
利用“五点法”列表如下，
0
0 1 0 0
画出在上的图象，如图所示；
（2）在中，，(A)，
可知，或，
解得或，故；
由正弦定理可知，即，，
，
∵ 锐角三角形，∴ ，
,，
∴的取值范围是.
2．（2021·陕西西安市）已知函数的最大值为，且的最小正周期为．
（1）若，求的最小值和最大值；
（2）设的内角、、的对应边分别为、、，为的中点，若，，，求的面积．
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1），为锐角，且.
所以，，解得，
由题意可得，因为为锐角，且，可得，.
当时，，，；
（2），，即，
，，则，.
，，
所以，，
即，即，，解得.
因此，.
3．（2021·全国高三）已知函数中，角的对边分别为，且．
（1）求的单调递减区间；
（2）若，求三角形中的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】(1)依题
又故的单调递减区间为
(2)由题意知，又，故，
依题意，
在三角形中，由余弦定理
故.
4．（2021·河南驻马店市）已知，，，其中，若的最小正周期为.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）锐角中，，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题意可知：
，
因为的最小正周期为，则，所以，，，
令，，
解得，，
所以，函数的单调递减区间为；
（2），由正弦定理可得，
所以，，
为锐角，则，
所以，，即，为锐角，所以，，
因为为锐角，则，即，解得，
所以，，，
因此，的取值范围是.
考点三 平面几何中的解三角形
【例3】（2021·安徽马鞍山市）如图，在中，，D为AC边上一点且，.
（1）若，求的面积；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），，，
在中，，解得：，
；
（2）在中，得：，
在中，得：，
，
，，，
整理得：，
，，，故的取值范围为.
【一隅三反】
1．（2021·广东茂名市·高三二模）如图，△为等腰三角形，点A，E在△外，且，若，．
（1）从以下三个条件中任选一个，求的长度；
①；②，③锐角的面积为．
（2）在你所选的（1）条件下，求的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一解答给分．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【解析】（1）选择①：，
在△中，由余弦定理得：，
∴，又，
∴，又，
∴，
在△中，．
选择②：，
在△中，由余弦定理得：，解得．
由，，在中，利用余弦定理可得，解得或（舍）．
选择③：锐角的面积为，
在△中，由余弦定理得：，
∴，又，，
∴，
在中，利用余弦定理得，解得．
（2）若选择①和②，解答如下：
在中，，．
由余弦定理得，即，
故，即，
∴，当且仅当时等号成立，
∴的最大值为．
若选择③，解答如下：
在中，，．
由余弦定理得，即，
故，即，
∴，当且仅当时等号成立，
∴的最大值为．
2．（2021·广东广州市·高三二模）如图，在四边形中，是等腰直角三角形，，，，，与交于点．
（1）求；
（2）求的面积．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为是等腰直角三角形，，，
所以，；
在中，，，所以，
因此，则；
记，则，，
在中，由正弦定理可得：，即，
则，即，
代入可得，解得，
因为，所以，即；
（2）由（1）知，由可得；则，所以；
因此在中，，
所以的面积为.
3．（2021·广东高三其他模拟）已知等腰三角形，，为边上的一点，，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知，求的面积及的长．
条件①；条件②；条件③．
【答案】答案见解析.
【解析】选①②，，，，
∵，∴，
∵在中，，
∴，∵，
∴，，，
在中，∴，，
∴，
．
选①③，，，
在中，，，
在中，∵，
∴，∴，∴，
∴．
选②③，，，
∵，
∴，∴，
∴，
∵，∴，
∴，
∵在中，，
∴，∴．
考点四 三角形与其他知识的综合运用
【例4】（1）（2021·河南洛阳市）设函数，则下列说法错误的个数是（ ）
（1）；（2）的最大值为；
（3）在单调递增；（4）在单调递减.
A．1 B．2 C．3 D．4
（2）（2021·全国高三）已知函数，若在区间上有且仅有4个零点和1个极大值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）B（2）A
【解析】（1）函数，
对于（1），故（1）正确；
对于（2），令，所以，
则时，不单调，；时，，函数单调递减，
当时，，所以的最大值，故（2）（3）错误，（4）正确．故选：．
（2）由，设；
在区间上有且仅有4个零点和1个极大值点，即在区间上有且仅有4个零点和1个极大值点.作出的图像如图.
则，解得故的取值范围是.故选：A
【一隅三反】
1．（2021·全国高三）已知命题，命题的最小正周期为π，则以下是真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，命题，是真命题；
命题，其最小正周期为，则q是假命题；
故是真命题，都是假命题；
故选：D.
2．（2021·合肥一六八中学高三其他模拟（理））骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（ ）
A．8 B． C． D．4
【答案】C
【解析】以为坐标原点，为轴，过做的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则．
圆的方程为，可设，
所以．
故．
故选：C．
3．（2021·四川高三月考（理））函数的图象在上恰有两个极大值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
设，
因为，
所以，函数的图象在上恰有两个极大值点，
则，
∴，
所以．
故选：D．
4．（2021·宁夏银川市·银川一中高三其他模拟（理））已知，，，记与夹角为θ，则cos为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
，，
即，则
，则
则.
故选：D.
5．（2021·重庆市蜀都中学校高三月考）已知函数，将的图象向左平移个单位得到的图象，实数，满足，且，则的最小取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
，
将的图象向左平移个单位得到，
所以，
因为实数，满足，
所以中一个取最大值1，一个取最小值
不妨取，
所以，解得，
，解得，
所以，
，当时，，
所以时，，
因为，所以，
所以的最小取值为，
故选：A.5.6 三角函数专题的综合运用（精练）
【题组一 实际生活中的解三角形】
1．（2021·福建漳州市）为了增强数学的应用性，强化学生的理解，某学校开展了一次户外探究.当地有一座山，高度为，同学们先在地面选择一点，在该点处测得这座山在西偏北方向，且山顶处的仰角为；然后从处向正西方向走140米后到达地面处，测得该山在西偏北方向，山顶处的仰角为.同学们建立了如图模型，则山高为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．（2021·全国高三专题练习）一辆汽车在一水平的公路上由北向南行驶，在公路右侧有一高山．汽车行驶到A处测得高山在南偏西15°方向上，山顶处的仰角为60°，继续向南行驶到B处测得高山在南偏西75°方向上，则山高为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国高三专题练习）《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？用现代语言来解释，其意思为：立两个3丈高的标杆，之间距离为1000步，两标杆与海岛的底端在同一直线上.从第一个标杆M处后退123步，人眼贴地面，从地上A处仰望岛峰，人眼，标杆顶部和山顶三点共线；从后面的一个标杆N处后退127步，从地上B处仰望岛峰，人眼，标杆顶部和山顶三点也共线，则海岛的高为（3丈=5步）（ ）
A．1200步 B．1300步 C．1155步 D．1255步
4．（2021·河南高三二模）“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面点看楼顶点的仰角为30°，沿直线前进79米到达点，此时看点的仰角为45°，若，则楼高约为（ ）．
A．65米 B．74米 C．83米 D．92米
5．（2021·广东）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小（仰角为直线与平面所成角）．若，，则的最大值（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国高三专题练习）如图，在平面四边形中，，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·山东）自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了.造化钟神秀，阴阳割昏晓，荡胸生层云，决毗入归鸟.会当凌绝顶，一览众山小.”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再阻碍人们出行，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”.在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等.如图为某工程队将到修建一条隧道，测量员测得一些数据如图所示（，，，在同一水平面内），则，间的距离为______.
8．（2021·海南附属中学）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与现测得，，米，又在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB.
【题组二 解三角形与三角函数的性质】
1．（2021·江苏徐州市）已知函数.
（1）求的对称轴和单调区间；
（2）在中，角，，的对边为，，，若，，，求中线的长.
2．（2021·浙江）已知函数．
（1）当时，求的取值范围；
（2）已知锐角三角形的内角所对的边分别为，且满足，求的面积．
3．（2020·安徽省太和第一中学）已知，，令.
（1）求的最小正周期及的解集；
（2）锐角中，，边，求周长最大值.
4．（2021·云南）已知函数.
（1）求的单调递减区间；
（2）在锐角中，，，分别为角，，的对边，且满足，求的取值范围.
5．（2021·浙江温州市）已知函数．
（Ⅰ）求函数在区间上的值域．
（Ⅱ）在中，角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，若角C为锐角，，且，求面积的最大值．
6．（2021·浙江宁波市）已知函数，．
（Ⅰ）求函数的最小值及对应的的值；
（Ⅱ）设的内角是，，，若，且，的角平分线交于，，求的值．
7．（2021·上海）已知函数的部分图像如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）在中，角 的对边分别为 ，若，，求周长的取值范围.
8．（2021·浙江温州市·高三其他模拟）已知函数．
（1）求的最小正周期及单调减区间；
（2）在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，边上的中线，求的最大值．
【题组三 平面几何中的解三角形】
1．（2021·广东湛江市·高三二模）如图，在平面四边形中，，，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
2．（2021·北大附中深圳南山分校高三一模）如图，在平面四边形ABCD中，AD⊥CD， ∠BAD=，2AB=BD=4.
（1）求cos∠ADB；
（2）若BC=，求CD.
3．（2021·广东广州市·高三二模）如图，在四边形中，，，.
（1）求；
（2）若，求周长的最大值.
4．（2021·广东佛山市·高三一模）如图，在梯形中，，，，．
(1)若，求梯形的面积；
(2)若，求．
【题组四 三角形与其他知识的综合运用】
1．（2021·浙江高三其他模拟）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2021·珠海市第二中学高三其他模拟）已知为锐角的内角，满足，则（ ）
A． B．， C．， D．，
3．（2021·河南商丘市·高三月考（文））若，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
4．（2021·河南商丘市·高三月考（理））已知，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a>c>b B．a>b>c C．b>a>c D．c>b>a
5．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
6．（多选）（2021·河北唐山市）设，其中，，若对一切则恒成立，则以上结论正确的是（ ）
A．
B．
C．的单调递增区间是
D．存在经过点的直线与函数的图像不相交
7（多选）（2021·全国高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
8（多选）．（2021·重庆高三其他模拟）设表示不超过实数的最大整数，函数，则（ ）
A．的最大值为 B．是以为周期的周期函数
C．在区间上单调递增 D．对，
9．（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（理））已知函数，若，，则实数的取值范围为______．
10．（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）设函数在上的最大值为，最小值为，则在上最大值为________．5.6 三角函数专题的综合运用（精练）
【题组一 实际生活中的解三角形】
1．（2021·福建漳州市）为了增强数学的应用性，强化学生的理解，某学校开展了一次户外探究.当地有一座山，高度为，同学们先在地面选择一点，在该点处测得这座山在西偏北方向，且山顶处的仰角为；然后从处向正西方向走140米后到达地面处，测得该山在西偏北方向，山顶处的仰角为.同学们建立了如图模型，则山高为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【解析】设山的高度为，在中，，，
在中，，，
在中，，
由余弦定理得，；
即，化简得；
又，所以解得；
即山的高度为（米）.
故选：C
2．（2021·全国高三专题练习）一辆汽车在一水平的公路上由北向南行驶，在公路右侧有一高山．汽车行驶到A处测得高山在南偏西15°方向上，山顶处的仰角为60°，继续向南行驶到B处测得高山在南偏西75°方向上，则山高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示：
设A处到山顶处下方的地面C距离为，则山高，
在中，，，，
由正弦定理，得，
，
所以，.
故选：C
3．（2021·全国高三专题练习）《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？用现代语言来解释，其意思为：立两个3丈高的标杆，之间距离为1000步，两标杆与海岛的底端在同一直线上.从第一个标杆M处后退123步，人眼贴地面，从地上A处仰望岛峰，人眼，标杆顶部和山顶三点共线；从后面的一个标杆N处后退127步，从地上B处仰望岛峰，人眼，标杆顶部和山顶三点也共线，则海岛的高为（3丈=5步）（ ）
A．1200步 B．1300步 C．1155步 D．1255步
【答案】D
【解析】设海岛的高为步，由题意知，步，步，步，
步，则，即，
，所以，
则，解得，即海岛的高为步，
故选：D.
4．（2021·河南高三二模）“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面点看楼顶点的仰角为30°，沿直线前进79米到达点，此时看点的仰角为45°，若，则楼高约为（ ）．
A．65米 B．74米 C．83米 D．92米
【答案】B
【解析】设的高度为，
则由已知可得，，，
所以，解得，
所以楼高（米）．故选：B．
5．（2021·广东）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小（仰角为直线与平面所成角）．若，，则的最大值（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作，垂足为，设，则，
由余弦定理，
，
故当时，取得最大值，最大值为，故选：D．
6．（2021·全国高三专题练习）如图，在平面四边形中，，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，在中，由正弦定理得，即
整理得，
由余弦定理得，
因为，所以，在中，由余弦定理得，
所以当时，．
故选：C
7．（2021·山东）自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了.造化钟神秀，阴阳割昏晓，荡胸生层云，决毗入归鸟.会当凌绝顶，一览众山小.”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再阻碍人们出行，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”.在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等.如图为某工程队将到修建一条隧道，测量员测得一些数据如图所示（，，，在同一水平面内），则，间的距离为______.
【答案】
【解析】如图，连接，
在中，由余弦定理得，
，
所以，
由正弦定理得，，即，
解得，
因为，
所以，
在中，
，
所以，即，间的距离为，
故答案为：
8．（2021·海南附属中学）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与现测得，，米，又在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB.
【答案】米.
【解析】因为，所以，
又因为，所以，所以米，
又因为，所以，所以米，所以塔高为米.
【题组二 解三角形与三角函数的性质】
1．（2021·江苏徐州市）已知函数.
（1）求的对称轴和单调区间；
（2）在中，角，，的对边为，，，若，，，求中线的长.
【答案】（1）对称轴为，；减区间为：，；增区间为：，；（2）.
【解析】（1），
令，解得，，
∴函数的对称轴为，，
令，解得，
令，解得，
的递减区间为：，；递增区间为：，.
（2）由（1）知，
∵在中，∴，
∴，∴，又，∴，
∴，
在中，由正弦定理，得，∴，∴，
在中，由余弦定理得，
∴.
2．（2021·浙江）已知函数．
（1）当时，求的取值范围；
（2）已知锐角三角形的内角所对的边分别为，且满足，求的面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意得，．
∵，∴，
∴．
故当时，的取值范围是．
（2）∵，
∴由（1）得，∴．
又，∴，∴．
∵，且，∴，
∴，
∴由正弦定理得，，
∴．
3．（2020·安徽省太和第一中学）已知，，令.
（1）求的最小正周期及的解集；
（2）锐角中，，边，求周长最大值.
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）
，
∴，∵，∴，
∴，
∴的解集是.
（2），∴，
∴，∵，
∴
，
∵锐角三角形且角，
∴，当时，最大为，
∴周长最大值为.
4．（2021·云南）已知函数.
（1）求的单调递减区间；
（2）在锐角中，，，分别为角，，的对边，且满足，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】（1），
由得
所以的单调递减区间为；
（2）由正弦定理得，
∵∴，
即，
，
得，或，
解得，或（舍），
∵为锐角三角形，
∴解得
∴
∴的取值范围为．
5．（2021·浙江温州市）已知函数．
（Ⅰ）求函数在区间上的值域．
（Ⅱ）在中，角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，若角C为锐角，，且，求面积的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）
，
由，有，所以
函数的值域为．
（Ⅱ）由，有，
为锐角，，．
，由余弦定理得：，
，．
，
当，即为正三角形时，的面积有最大值．
6．（2021·浙江宁波市）已知函数，．
（Ⅰ）求函数的最小值及对应的的值；
（Ⅱ）设的内角是，，，若，且，的角平分线交于，，求的值．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）由题设，，，
∴，
∴当时，.
（Ⅱ）由，得：，又，
∴，则或，解得(舍)或.
由题设，，又，
∵，
∴.
7．（2021·上海）已知函数的部分图像如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）在中，角 的对边分别为 ，若，，求周长的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由图像可知，
周期，∴.
因为点在函数图像上，所以，即.
又∵，∴，从而，即.
又点在函数图像上，所以，.
故函数的解析式为.
（2）由，，.
由正弦定理，
同理，
周长
，，
所以
8．（2021·浙江温州市·高三其他模拟）已知函数．
（1）求的最小正周期及单调减区间；
（2）在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，边上的中线，求的最大值．
【答案】（1）最小正周期为；单调减区间为；（2）．
【解析】（1）函数
所以最小正周期为，
当，，解得，
所以单调减区间为.
（2）∵，∴，∴，
∵，∴，
∴，
∴，
∴，∴，当且仅当时，取等号．
所以.
【题组三 平面几何中的解三角形】
1．（2021·广东湛江市·高三二模）如图，在平面四边形中，，，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由正弦定理，得，
即.
所以，故.
所以
.
（2）由（1）可知，所以.
由余弦定理，得，
所以.
2．（2021·北大附中深圳南山分校高三一模）如图，在平面四边形ABCD中，AD⊥CD， ∠BAD=，2AB=BD=4.
（1）求cos∠ADB；
（2）若BC=，求CD.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）中，，即，解得，故；
（2）
中，，即，
化简得，解得．
3．（2021·广东广州市·高三二模）如图，在四边形中，，，.
（1）求；
（2）若，求周长的最大值.
【答案】（1）；（2）12
【解析】（1）在中，，
利用正弦定理得：，
又为钝角，为锐角，
（2）在中，由余弦定理得
解得：或（舍去）
在中，，设
由余弦定理得，即
整理得：，又
利用基本不等式得：，即，
即，当且仅当时，等号成立，即，
所以
所以周长的最大值为12
4．（2021·广东佛山市·高三一模）如图，在梯形中，，，，．
(1)若，求梯形的面积；
(2)若，求．
【答案】(1)；(2)．
【解析】(1)设，在中，由余弦定理得：
，即，而x>0，解得，
所以，则的面积，
梯形中，，与等高，且，
所以的面积，
则梯形的面积；
(2)在梯形中，设，而，
则，，，，
在中，由正弦定理得：，
在中，由正弦定理得：，
两式相除得：，
整理得，
即
解得或，
因为，则，即．
【题组四 三角形与其他知识的综合运用】
1．（2021·浙江高三其他模拟）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为，
得，所以
，因此“”是“”的充分不必要条件，故选A.
2．（2021·珠海市第二中学高三其他模拟）已知为锐角的内角，满足，则（ ）
A． B．， C．， D．，
【答案】C
【解析】解：为锐角的内角，满足，
设，即，，则函数在上为连续函数，又在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增；
在中取，得，
在中取，得，
，
，，.
故选：.
3．（2021·河南商丘市·高三月考（文））若，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】D
【解析】不妨设则，所以，展开整理得，
则，所以
故选：D.
4．（2021·河南商丘市·高三月考（理））已知，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a>c>b B．a>b>c C．b>a>c D．c>b>a
【答案】B
【解析】因为，所以故选：B
5．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【解析】，令，，于是
，所以是奇函数，从而的最大值G与最小值g的和为0，而.故选：B
6．（多选）（2021·河北唐山市）设，其中，，若对一切则恒成立，则以上结论正确的是（ ）
A．
B．
C．的单调递增区间是
D．存在经过点的直线与函数的图像不相交
【答案】AB
【解析】由题可知，直线与函数的图象的一条对称轴，
可得，整理可得，即，.
.
对于命题A，，A正确；
对于命题B，，
，所以，，B正确；
对于命题C，当时，则，
当时，函数在区间上单调递减，C错误；
对于命题D，假设经过点的直线与函数的图象不相交，
则该直线与轴平行，此时该直线的方程为，则，无解，D错误
故选：AB．
7（多选）（2021·全国高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
故选：AC
8（多选）．（2021·重庆高三其他模拟）设表示不超过实数的最大整数，函数，则（ ）
A．的最大值为 B．是以为周期的周期函数
C．在区间上单调递增 D．对，
【答案】BD
【解析】因为，，
所以，所以是以为周期的周期函数，
故是以为周期的周期函数，故选项B正确；
由题意可得，，故的最大值为1，故选项A错误；
函数在上为常数函数，故选项C错误；
当时，，故选项D正确．
故选：BD
9．（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（理））已知函数，若，，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】由题意，得，
因为，所以．
又在上单调递增，在上单调递减，
且，所以，解得．
故答案为：．
10．（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）设函数在上的最大值为，最小值为，则在上最大值为________．
【答案】1
【解析】函数的周期为6，函数在上单调递减，
当时，
因为，所以，所以
所以
当时取最大值1
故答案为：5.6 三角函数专题的综合运用（精讲）
考点一 实际生活中的解三角形
【例1】（2021·浙江）要测量电视塔的高度，在C点测得塔顶的仰角是，在D点测得塔顶的仰角是，并测得水平面上的，，则电视塔的高度是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2021·全国高三专题练习（文））如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝（ ）
A．150m B．180m C．120m D．160m
2．（2021·海原县第一中学（文））国庆阅兵式上举行升国旗仪式，在坡度为的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为24.5米，则旗杆的高度约为，，
A．17米 B．22米 C．30米 D．35米
3．（2021·山西临汾市）说起延安革命纪念地景区，可谓是家喻户晓，它由宝塔山、枣园革命旧址、杨家岭革命旧址、中共中央西北局旧址、延安革命纪念馆组成.尤其宝塔山，它可是圣地延安的标志，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，宝塔山的坡度比为（坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比），在山坡处测得，从处沿山坡往上前进到达处，在山坡处测得，则宝塔的高为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·辽宁高三月考）岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山.始建于东汉建安二十年(215年)，历代屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年(1880年)重建时的形制与格局.因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.自古有"洞庭天下水，岳阳天下楼"之美誉.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线，如图，测得，，米，则岳阳楼的高度约为(，)（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
考点二 解三角形与三角函数的性质
【例2】（2021·浙江）已知函数，将的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到的图象，且在区间内的最大值为.
（1）求的值；
（2）在锐角中，若，求的取值范围.
【一隅三反】
1．（2021·珠海市第二中学高三其他模拟）已知函数.
（1）利用“五点法”列表，并画出在上的图象；
（2），，分别是锐角中角，，的对边.若，，求面积的取值范围.
2．（2021·陕西西安市）已知函数的最大值为，且的最小正周期为．
（1）若，求的最小值和最大值；
（2）设的内角、、的对应边分别为、、，为的中点，若，，，求的面积．
3．（2021·全国高三）已知函数中，角的对边分别为，且．
（1）求的单调递减区间；
（2）若，求三角形中的值．
4．（2021·河南驻马店市）已知，，，其中，若的最小正周期为.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）锐角中，，求的取值范围.
考点三 平面几何中的解三角形
【例3】（2021·安徽马鞍山市）如图，在中，，D为AC边上一点且，.
（1）若，求的面积；
（2）求的取值范围.
【一隅三反】
1．（2021·广东茂名市·高三二模）如图，△为等腰三角形，点A，E在△外，且，若，．
（1）从以下三个条件中任选一个，求的长度；
①；②，③锐角的面积为．
（2）在你所选的（1）条件下，求的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一解答给分．
2．（2021·广东广州市·高三二模）如图，在四边形中，是等腰直角三角形，，，，，与交于点．
（1）求；
（2）求的面积．
3．（2021·广东高三其他模拟）已知等腰三角形，，为边上的一点，，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知，求的面积及的长．
条件①；条件②；条件③．
考点四 三角形与其他知识的综合运用
【例4】（1）（2021·河南洛阳市）设函数，则下列说法错误的个数是（ ）
（1）；（2）的最大值为；
（3）在单调递增；（4）在单调递减.
A．1 B．2 C．3 D．4
（2）（2021·全国高三）已知函数，若在区间上有且仅有4个零点和1个极大值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2021·全国高三）已知命题，命题的最小正周期为π，则以下是真命题的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·合肥一六八中学高三其他模拟（理））骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（ ）
A．8 B． C． D．4
3．（2021·四川高三月考（理））函数的图象在上恰有两个极大值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·宁夏银川市·银川一中高三其他模拟（理））已知，，，记与夹角为θ，则cos为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·重庆市蜀都中学校高三月考）已知函数，将的图象向左平移个单位得到的图象，实数，满足，且，则的最小取值为（ ）
A． B． C． D．

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