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6.3 利用递推公式求通项（精练）
【题组一 公式法求通项】
1．（2021·黑龙江大庆市）已知数列前项和为，且，则求数列的通项公式；.
【答案】，.
【解析】当时，，
当且时，，
而，即也满足，
∴，.
故答案为：，.
2．（2021·安徽马鞍山市）已知数列的前项和，求数列的通项公式；
【答案】
【解析】当时，；
当时，，满足，综上所述，.
3．（2021·甘肃高三二模节选）数列的前项和为，且，求数列的通项公式
【答案】
【解析】当时，，得，
当时，，
所以，即，又，
所以数列是首项为，公比的等比数列，所以
4．（2021·江西九江市）已知正项数列的前项和为，且满足求的通项公式：
【答案】
【解析】由已知条件可知，对任意的，.
当时，，解得；
当时，由可得，
上述两式作差得，即，
即，
由已知条件可知，，
所以，数列是等差数列，且首项为，公差也为，因此，
5．（2021·河南郑州市·高三二模）已知数列满足，，求数列的通项公式
【答案】，
【解析】由，，①可得时，，②
由①②可得，化为，
即，可得，上式对也成立，
则数列的通项公式为，；
6．（2021·四川眉山市·高三三模）已知数列的前项和满足，求数列的通项公式．
【答案】1
【解析】当时，由得，
当时，由有，
所以，，则，
又．所以数列是以为首项，以为公差的等差数列．
，所以．
当时，．
当时，也满足．
所以数列的通项公式为．
7．（2021·全国高三）已知正项数列满足，是的前项和，且，求数列的通项公式。
【答案】
【解析】，，
两式相减得，
所以，
所以，
所以，
因为数列是正项数列，所以，
所以，所以，
所以数列是一个以为首项，以为公差的等差数列.
令得，解之得，
所以.
8．（2021·全国高三）已知数列的前项和为，且满足，求数列的通项公式；
【答案】
【解析】由题意，数列满足，
所以当时，，
两式相减可得，
因为，符合上式，
所以，故，
当时，，
当时，，符合上式，
所以数列的通项公式为.
【题组二 累加法求通项】
1．（2021·奉新县第一中学）数列满足(，且)，，求数列的通项公式；
【答案】
【解析】
从而可得即
2．（2021·南宁市邕宁高级中学）设数列中，，，求数列的通项公式；
【答案】
【解析】因为，所以，
则；
；
.
各式相加可得，
所以，
故答案为：.
3（2021·四川达州市·高三二模（文））数列满足，求数列的通项公式
【答案】
【解析】根据题意，可得到，
，
，
……
将以上个式子累加可得，，
，
，
4．（2021·江苏高三）已知数列满足，，求数列的通项公式；
【答案】
【解析】因为，所以.
因为，，…，，
所以，
于是.当时，，所以.
5．（2021·浙江宁波市）已知数列、满足，，当时，，求数列、的通项公式；
【答案】，
【解析】，
所以，，即，
所以，
，
所以，.
因为当时，，故；
【题组三 累乘法求通项】
1．（2021·全国高三专题练习）已知在数列中，，求数列的通项公式
【答案】
【解析】，即，
2．（2021·吉林白山市）在数列中，，求数列的通项公式
【答案】
【解析】依题意，，
即，
所以
.故答案为：
3．（2021·全国高三二模）已知数列满足，．数列的通项公式
【答案】
【解析】，
当时，
当时，，
两式相减得：，即，，，，
，累乘得：，所以，，故答案为：.
4．（2021·深圳实验学校高中部）数列满足：，，则数列的通项公式
【答案】
【解析】因为①；
当时，②；
①减②得，即，所以，所以，所以
所以，，，……，，
所以，所以，又，所以，当时也成立，所以
故答案为：
5．（2020·浙江杭州市）已知数列满足，，求数列的通项公式；
【答案】
【解析】因为，所以，则
当时，满足上式，所以.
6．（2021·辽宁高三）数列满足：，，求的通项公式；
【答案】
【解析】由得，，
，
即．
【题组四 构造等差数列求通项】
1（2021·江苏省响水中学）已知数列中，，，求数列的通项公式
【答案】
【解析】∵，∴，
∴数列是等差数列，公差为，又，
∴，∴．故答案为：．
2．（2020·安徽亳州市）已知数列满足，，若，则数列的通项公式
【答案】
【解析】因为，所以，所以，
而，且，数列是首项为1，公比为2的等比数列，.故答案为：
3．（2020·怀仁县大地学校）在数列中，，且，求数列的通项公式
【答案】
【解析】，，化简得：，
两边同时除以并整理得：，
即，，，…，，
将上述个式子相加得：……，
即，，
又也满足上式，，.
4．（2020·中山市华侨中学）数列中，则数列的通项公式.
【答案】
【解析】因为，所以，即，又，
所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，
所以，所以.故答案为：
5．（2020·湖北高三期中）已知数列满足数列的通项公式
【答案】
【解析】因为，
所以，即，
则
，
当时，上式成立，故
【题组五 构造等比数列求通项】
1．（2021·天津）已知数列的首项，且满足（），数列的通项公式
【答案】
【解析】由得，
因为，所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以
2．（2021·四川攀枝花市）设数列的前n项和为，，，求数列的通项公式；
【答案】
【解析】由得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.故答案为：
3．（2021·辽宁抚顺市）已知是数列的前项和，，，，求数列的通项公式；
【答案】
【解析】证明：因为，所以，即．
因为，，所以，
故数列是首项为，公比为的等比数列，．
因为，
所以．
4．（2021·新安县第一高级中学）已知数列前项和是，且，设，求数列的通项公式
【答案】
【解析】当时，，可得，
当时，由，可得，
上述两式作差得，即，
所以，，且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，；
5．（2021·江西临川一中高三）已知数列的前n项和为，，，求数列的通项公式
【答案】
【解析】由已知，整理得，，
所以，当时，，
所以是以为首项，3为公比的等比数列，
所以，所以
6．（2021·珠海市第二中学）设为数列的前项和，，且，求数列的通项公式；
【答案】
【解析】，，
又，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，，
当时，，
故.
7.（2021·全国高三）已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式；
【答案】
【解析】当时，，
当时，，
两式相减得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
则，所以.故答案为：
【题组六 周期数列】
1．（2021·浙江绍兴市·高三二模）数列中，，，则______.
【答案】
【解析】，，
，，，……
数列是以3为周期的周期数列，
，.
故答案为：.
2．（2021·全国高三专题练习（理））已知数列的首项，则_________．
【答案】
【解析】由，则，
以此类推可知，对任意的，都有，
即数列是以为周期的周期数列，
因为，所以.
故答案为：.
3．（2021·全国高三专题练习）已知数列为等差数列，数列的前n项和为，若，=6，则S2020=____________.
【答案】
【解析】，
，∴的连续3项的和为常数列，
故答案为：．
4．（2021·浙江）在数列中，，，则的值为
【答案】
【解析】在数列中，，，
，，，
数列是周期为3的周期数列，
，．6.3 利用递推公式求通项（精练）
【题组一 公式法求通项】
1．（2021·黑龙江大庆市）已知数列前项和为，且，则求数列的通项公式；.
2．（2021·安徽马鞍山市）已知数列的前项和，求数列的通项公式；
3．（2021·甘肃高三二模节选）数列的前项和为，且，求数列的通项公式
4．（2021·江西九江市）已知正项数列的前项和为，且满足求的通项公式：
5．（2021·河南郑州市·高三二模）已知数列满足，，求数列的通项公式
6．（2021·四川眉山市·高三三模）已知数列的前项和满足，求数列的通项公式．
7．（2021·全国高三）已知正项数列满足，是的前项和，且，求数列的通项公式。
8．（2021·全国高三）已知数列的前项和为，且满足，求数列的通项公式；
【题组二 累加法求通项】
1．（2021·奉新县第一中学）数列满足(，且)，，求数列的通项公式；
2．（2021·南宁市邕宁高级中学）设数列中，，，求数列的通项公式；
3（2021·四川达州市·高三二模（文））数列满足，求数列的通项公式
4．（2021·江苏高三）已知数列满足，，求数列的通项公式；
5．（2021·浙江宁波市）已知数列、满足，，当时，，求数列、的通项公式；
【题组三 累乘法求通项】
1．（2021·全国高三专题练习）已知在数列中，，求数列的通项公式
2．（2021·吉林白山市）在数列中，，求数列的通项公式
3．（2021·全国高三二模）已知数列满足，．数列的通项公式
4．（2021·深圳实验学校高中部）数列满足：，，则数列的通项公式
5．（2020·浙江杭州市）已知数列满足，，求数列的通项公式；
6．（2021·辽宁高三）数列满足：，，求的通项公式；
【题组四 构造等差数列求通项】
1（2021·江苏省响水中学）已知数列中，，，求数列的通项公式
2．（2020·安徽亳州市）已知数列满足，，若，则数列的通项公式
3．（2020·怀仁县大地学校）在数列中，，且，求数列的通项公式
4．（2020·中山市华侨中学）数列中，则数列的通项公式.
5．（2020·湖北高三期中）已知数列满足数列的通项公式
【题组五 构造等比数列求通项】
1．（2021·天津）已知数列的首项，且满足（），数列的通项公式
2．（2021·四川攀枝花市）设数列的前n项和为，，，求数列的通项公式；
3．（2021·辽宁抚顺市）已知是数列的前项和，，，，求数列的通项公式；
4．（2021·新安县第一高级中学）已知数列前项和是，且，设，求数列的通项公式
5．（2021·江西临川一中高三）已知数列的前n项和为，，，求数列的通项公式
6．（2021·珠海市第二中学）设为数列的前项和，，且，求数列的通项公式；
7.（2021·全国高三）已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式；
【题组六 周期数列】
1．（2021·浙江绍兴市·高三二模）数列中，，，则______.
2．（2021·全国高三专题练习（理））已知数列的首项，则_________．
3．（2021·全国高三专题练习）已知数列为等差数列，数列的前n项和为，若，=6，则S2020=____________.
4．（2021·浙江）在数列中，，，则的值为6.3 利用递推公式求通项（精讲）
考点一 公式法求通项
【例1】（1）（2021·全国高三节选）已知数列的前项和为，求数列的通项公式。
（2）（2021·广东）已知数列的前项和为，满足，，求数列的通项公式。
（3）（2021·云南）已知数列的前n项和为，且满足，求数列的通项公式。
（4）（2021·黑龙江节选）已知数列满足，求数列的通项公式；
【答案】（1）（2）（3）（4）
【解析】（1）由题意，数列的前项和为，
当时，，
当时，，
经验证满足，
所以数列的通项公式．
（2）当时，,解得：,
当时，,即,
∴数列为等比数列，首项和公比都是,∴；
（3）①，
当时，解得，
当时，②，
①减②得，
则是以为首项，为公比的等比数列，
（4）∵，①
∴当时，，②
①-②得，则．
当时，由①得，不满足上式，∴
【一隅三反】
1．（2021·新疆高三）记数列的前项和为，已知，求数列的通项公式；
【答案】
【解析】当时，．
当时，，
得．
又也满足，所以．
于是，所以
2．（2021·浙江高三）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n-5an+23，n∈N*，则数列{an}的通项公式。
【答案】3×+1
【解析】当n=1时，，解得a1=4.
当n≥2时，，即，
即，故数列是以3为首项，为公比的等比数列，
则，所以.故选：C.
3．（2021·全国高三）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，求数列的通项公式。
【答案】
【解析】当时，，即，解得或（舍）.
当时，，，
两式相减得，
又数列的各项为正数，所以，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.
所以.
4．（2021·浙江高三）已知数列的前项和为，，，，求数列的通项公式；
【答案】
【解析】因为，，
所以，，又，
得，所以，又，所以，；
考法二 累加法求通项
【例2】（1）（2021·浙江高三）已知数列满足，，则数列的通项公式
（2）（2021·全国高三）在数列中，，，则数列的通项公式
【答案】（1）（2）
【解析】因为数列满足，，所以当时，又也满足上式，所以
（2）由题意得，，
则，…，，
由累加法得，，
即，则，所以
【一隅三反】
1．（2021·南京）已知数列{an}满足，，n∈N*，求数列的通项公式an.
【答案】
【解析】，
，
将以上个式子相加，
得
，
即.
.
又当n=1时，也符合上式，.
2．（2021·浙江）设数列满足，，则数列的通项公式
【答案】
【解析】，
所以当时，，，，，
将上式累加得：，
，即，
又时，也适合，
．
3．（2020·六盘山高级中学）已知数列满足，，则数列的通项公式
【答案】
【解析】由得：，即，
所以.
考法三 累乘法
【例3】（1）（2020·河南高三月考（理））已知数列的首项为，且满，求的通项公式；
（2）（2021·江苏高三）已知，，则数列的通项公式。
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由，得，
又，所以当时，
，
又也满足上式，所以；
（2）由得：，即，
则，，，……..，，
由累乘法可得，又因为，所以.
【一隅三反】
1．（2021·东莞市东方明珠学校）在数列中，且，则它的前项和（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，，
因此，.故选：A.
2．（2021·全国高三专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式；
【答案】
【解析】由，得，
∴，
∵，∴．
3．（2021·吉林白山市）在数列中，，求数列的通项公式；
【答案】
【解析】依题意，，
即，
所以
.故答案为：
考法四 构造等差数列求通项
【例4】（1）（2021·全国高三专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式
（2）（2021·重庆一中高三其他模拟）已知数列满足，求数列的通项公式
【答案】（2）
【解析】已知数列满足，，
在等式两边同时取倒数得，，
所以，数列是等差数列，且首项为，公差为，则，
（2）由，可得=1，则数列是首项为=1，公差为1的等差数列，
则=，即
【一隅三反】
1．（2021·宁夏长庆高级中学）已知数列满足，，求数列的通项公式；
【答案】
【解析】由，得，所以，
又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，
2．（2020·江苏南通市）设数列满足: ，求数列的通项公式；
【答案】
【解析】由知：，而，
∴数列是首项、公差为的等差数列，即，∴.
3．（2021·湖北黄冈市）在数列中，若且，求数列的通项公式
【答案】
【解析】证明：∵，∴，∴，
∴是首项为，公差为的等差数列.，∴.
考法五 构造等比数列求通项
【例5】（2021·黑龙江大庆市）在数列中，，求；
【答案】
【解析】由题意知：，而，
∴是首项为4，公比为2的等比数列，故，∴.
【一隅三反】
1．（2021·青海）若，，则_______________.
【答案】
【解析】原式可化为（），
因为，所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，即.故答案为：.
2．（2020·上海上外附中）若数列满足，且，则数列的通项公式为_________.
【答案】
【解析】由，则，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，故答案为：
3．（2021·浙江）数列中，，，求的通项公式.
【答案】
【解析】，
两边取倒数得：，
令，则,可得又
所以数列是首项为，公比为3的等比数列，故即，解得
考法六 周期数列
【例6】（2021·河南）在数列中，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，
所以，，，，，…，
由此可归纳得到(，)，所以.故选：.
【一隅三反】
1．（2021·鄂尔多斯市第一中学）已知数列中，，()，则等于（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】∵，()，
，
，
，
，
…，
∴数列是以3为周期的周期数列，
，
，
故选：A.
2．（2021·安徽合肥市·高三二模（理））设是数列的前项和，若，，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在数列中，，，则，，，
以此类推可知，对任意的，，即数列是以为周期的周期数列，
，因此，.
故选：B.
3．（2021·北京）已知数列满足，，则数列的前50项和为（ ）
A．48 B． C．52 D．
【答案】D
【解析】由，得，
则，
，
，
，
所以，于是数列的前50项和
．
故选：D.6.3 利用递推公式求通项（精讲）
考点一 公式法求通项
【例1】（1）（2021·全国高三节选）已知数列的前项和为，求数列的通项公式。
（2）（2021·广东）已知数列的前项和为，满足，，求数列的通项公式。
（3）（2021·云南）已知数列的前n项和为，且满足，求数列的通项公式。
（4）（2021·黑龙江节选）已知数列满足，求数列的通项公式；
【一隅三反】
1．（2021·新疆高三）记数列的前项和为，已知，求数列的通项公式；
2．（2021·浙江高三）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n-5an+23，n∈N*，则数列{an}的通项公式。
3．（2021·全国高三）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，求数列的通项公式。
4．（2021·浙江高三）已知数列的前项和为，，，，求数列的通项公式；
考法二 累加法求通项
【例2】（1）（2021·浙江高三）已知数列满足，，则数列的通项公式
（2）（2021·全国高三）在数列中，，，则数列的通项公式
【一隅三反】
1．（2021·南京）已知数列{an}满足，，n∈N*，求数列的通项公式an.
2．（2021·浙江）设数列满足，，则数列的通项公式
3．（2020·六盘山高级中学）已知数列满足，，则数列的通项公式
考法三 累乘法
【例3】（1）（2020·河南高三月考（理））已知数列的首项为，且满，求的通项公式；
（2）（2021·江苏高三）已知，，则数列的通项公式。
【一隅三反】
1．（2021·东莞市东方明珠学校）在数列中，且，则它的前项和（ ）
A． B． C． D．.
2．（2021·全国高三专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式；
3．（2021·吉林白山市）在数列中，，求数列的通项公式；
考法四 构造等差数列求通项
【例4】（1）（2021·全国高三专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式
（2）（2021·重庆一中高三其他模拟）已知数列满足，求数列的通项公式
【一隅三反】
1．（2021·宁夏长庆高级中学）已知数列满足，，求数列的通项公式；
2．（2020·江苏南通市）设数列满足: ，求数列的通项公式；
3．（2021·湖北黄冈市）在数列中，若且，求数列的通项公式
考法五 构造等比数列求通项
【例5】（2021·黑龙江大庆市）在数列中，，求；
【一隅三反】
1．（2021·青海）若，，则_______________.
2．（2020·上海上外附中）若数列满足，且，则数列的通项公式为_________.
3．（2021·浙江）数列中，，，求的通项公式.
考法六 周期数列
【例6】（2021·河南）在数列中，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2021·鄂尔多斯市第一中学）已知数列中，，()，则等于（ ）
A． B． C． D．2
2．（2021·安徽合肥市·高三二模（理））设是数列的前项和，若，，则
A． B． C． D．
3．（2021·北京）已知数列满足，，则数列的前50项和为（ ）
A．48 B． C．52 D．

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