资源简介 7.4 几何法解空间角(精讲)考点一 线线角【例1】(2021·全国高三)在四面体中,,,是棱的中点,,则异面直线与所成的角为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】取的中点为,连接,又是的中点,则,所以(或其补角)就是异面直线与所成的角.在中,,,,所以为等边三角形,故,即异面直线与所成的角为.故选:A.【一隅三反】1.(2021·山东泰安市)《九章算术》是中国古代第一部数学专著,它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.例如,堑堵指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱,阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图,在堑堵中,,若,当阳马的体积最大时,堑堵中异面直线所成角的大小是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】在堑堵中, 平面,平面所以,又,且,所以平面所以阳马的体积为在直角三角形中,即,当且仅当时取得等号.所以当时,阳马的体积取得最大值又,所以(或其补角)为异面直线所成角,即,所以故选:C2.(2021·河北饶阳中学)如图,正方体的棱长为6,点F是棱的中点,AC与BD的交点为O,点M在棱BC上,且,动点T(不同于点M)在四边形ABCD内部及其边界上运动,且,则直线与TM所成角的余弦值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】法一:易知.因为平面ABCD,所以,所以平面AFO,又平面AFO,所以,在棱DC上取一点N,且,连接NM,则,所以,所以动点T的轨迹为线段MN(不包括M).取棱的中点H,连接DH,易知,则即异面直线与TM所成的角.连接BH,因为,,,所以法二:以A为坐标原点,直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,易知,,,,设,则,,.由题意知,得,所以,则,又T不与点M重合,所以,所以,所以直线与TM所成角的余弦值为,故选:B.3.(2021·全国高三其他模拟(理))如图,在正方体中,为的中点,则直线与直线所成角的正切值是___________.【答案】【解析】故答案为:4.(2021·全国高三其他模拟(理))如图,已知圆柱的上底面圆心为O,高和底面圆的半径相等,AB是底面圆的一条直径,点C为底面圆周上一点,且,则异面直线AC与OB所成角的余弦值为___________.【答案】【解析】如图,设底面圆心为,则底面,,过点B作,交圆于D,连接OD,AD,则即为直线AC与OB所成角,设底面圆半径为1,由圆柱高和底面圆的半径相等,得圆柱高为1,在中,,,,由圆的对称性可知,所以为等比三角形,则,故直线AC与OB所成角的余弦值为.故答案为:.考点二 线面角【例2】(2021·全国高三二模(文))已知正方体的体积为,点在面上,且,到的距离分别为2,,则直线与平面所成角的正弦值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】如图所示:设正方体的边长为,则,故,即,∴,连接,,∴,则点在上且为中点,连接与交于,连接,可知平面,则为直线与平面所成角,在直角三角形中,∴.故选:B.【一隅三反】1.(2021·山东烟台市·高三二模)许多球状病毒的空间结构可抽象为正二十面体.正二十面体的每一个面均为等边三角形,共有12个顶点、30条棱.如图所示,由正二十面体的一个顶点和与相邻的五个顶点可构成正五棱锥,则与面所成角的余弦值约为( )(参考数据)A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意,在面上的射影,如下图示,∴五个三角形都是等腰三角形且,易知,而,令,∴,又正二十面体的每一个面均为等边三角形即,且面,∴与面所成角的余弦值为.故选:A2.(2021·济南市·山东师范大学附中高三其他模拟)(多选)如图,平面四边形ABCD中,E,F分别是AD,BD的中点,,,,将沿对角线BD折起至,使平面平面,则四面体中,下列结论正确的是( )A.平面B.异面直线CD与所成的角为90°C.异面直线EF与所成的角为60°D.直线与平面BCD所成角为30°【答案】ABD【解析】因E,F分别为的中点,则平面,平面,则平面,A正确;因平面平面,平面平面,而,则平面,于是,异面直线CD与所成的角为90°,B正确;,则,而,,从而得平面,,,异面直线EF与所成的角为90°,C不正确;连,由,F为的中点得,于是有平面,则CF是在平面内射影,是直线与平面BCD所成角,如图:而,则,则,D正确.故选:ABD.3.(2021·正阳县高级中学高三其他模拟(理))如图,在正三棱柱中,,,是侧棱的中点,则直线与平面所成角的余弦值为___________.【答案】【解析】因为平面平面,所以直线与平面所成的角即是直线与平面所成的角.因为平面,所以即是直线与平面所成的角,设其为,则,所以.故答案为:4.(2021·河南高三其他模拟(理))在三棱锥中,已知,,则直线与平面所成角的余弦值为___________.【答案】【解析】如图,取AC的中点O,连接PO,BO,因为,所以,又,所以,可证,所以,从而平面,所以PB与平面所成角为,.故答案为:.考点三 二面角【例3】(2021·江苏南通市·高三其他模拟)已知菱形ABCD的边长为2,.现将菱形沿对角线AC折成空间几何体ABCD'.设空间几何体ABCD'的外接球为球O,若球O的表面积为8π,则二面角B﹣AC﹣D'的余弦值为___________.【答案】【解析】设,为三角形ABC外接圆的圆心,半径为r,外接球的球心为O,半径为R,则.因为球O的表面积为8π,所以,解得:.因为面ABC,所以.因为,所以在BM延长线上的投影长为.所以为BD的中点,所以.在菱形ABCD中,,所以面,所以即为面角B﹣AC﹣D'的平面角.由余弦定理得:.故答案为:【一隅三反】1.(2021·浙江高三其他模拟)如图,三棱柱的底面是边长为的正三角形,,,为的中点,,则二面角的正切值为______.【答案】【解析】取的中点,连接,.因为为的中点,是边长为的正三角形,所以,,,,所以为二面角的平面角.在中,,,,所以由余弦定理得,所以,所以.故答案为:2.(2021·全国高三其他模拟(理))在直四棱柱中,底面ABCD为平行四边形,,点M在棱上,点N是BC的中点,且满足.(1)证明:AM⊥平面;(2)若M是的中点,求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2)【解析】(1)联结AC,由知,,即,由在直四棱柱中,平面ABCD,则又,则平面ACM,又平面ACM,则,又,则,由条件知,且,故平面;(2)由(1)知为等腰直角三角形,取的中点为E,联结,则,又在直四棱柱中,平面,则,从而有平面,过E点作的垂线,垂直为F,联结,此时由知,平面,则,为二面角的平面角,又M是的中点,取的中点为G,易知,由题知,设,则,,则则在中,,即,解得则在中,,,则,故二面角的正弦值为.3.(2021·山东泰安市·高三其他模拟)如图,在三棱柱中,平面平面(1)证明:平面平面;(2)若与平面所成角的正弦值为,求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2);【解析】(1)由题知,四边形为菱形,则,又平面平面,且AC为交线,,则平面,又平面,则,又,则平面,又平面,则平面平面;(2)设,由(1)知,平面,则即为与平面所成角,,由,结合(1)中结论有,,则,,三角形为正三角形,在菱形中,,,,由(1)知,平面,则,延长,作于F点,则,平面,从而则即为二面角的平面角,则,则即二面角的余弦值为7.4 几何法解空间角(精练)【题组一 线线角】1.(2021·全国高三其他模拟(理))如图所示,直三棱柱中,,,分别是,的中点,,则与所成角的余弦值为( )A. B. C. D.2.(2021·河南商丘市·高三月考(文))在正方体中,点分别在棱上,且,则异面直线与所成角的余弦值为( )A. B. C. D.3.(2021·四川自贡市·高三三模(文))已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则异面直线CD与PB所成的角的余弦值为( )A. B. C. D.4.(2021·全国高三其他模拟(理))已知点,分别为圆锥的顶点和底面圆心,为圆锥底面的内接正三角形,,则异面直线与所成角的余弦值为( )A. B. C. D.5.(2021·辽宁高三其他模拟)如图是一个正方体的平面展开图,则在原正方体中,与所成的角为( )A. B. C. D.6.(2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三月考(文))已知在正四面体中,点为棱的中点,则异面直线与成角的余弦值为( )A. B. C. D.7.(2021·全国高考真题(理))在正方体中,P为的中点,则直线与所成的角为( )A. B. C. D.8.(2021·玉林市第十一中学高三其他模拟(文))如图,在正方体中,M,N分别为AD,AB的中点,则异面直线D1M与DN所成角的余弦值为( )A. B. C. D.9.(2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三月考(文))三棱锥所有棱长都为2,,分别为,的中点,则异面直线,所成角的余弦值为( )A. B. C. D.10.(2021·广西南宁三中高三其他模拟(文))在正方体中,O是底面的中心,E为的中点,那么异面直线与所成角的余弦值等于( )A. B. C. D.【题组二 线面角】1.(2021·浙江温州市·温州中学高三其他模拟)已知在六面体中,平面,平面,且,底面为菱形,且.(1)求证.平面平面.(2)若直线与平面所成角为,求直线与平面所成角的正弦值.2.(2021·宁波市北仑中学高三其他模拟)在三棱锥中,.(1)求证:;(2)求直线与平面所成角的正弦值.3.(2021·全国高三其他模拟)如图所示的几何体是由三棱柱和四棱锥组合而成的,已知,线段与交于点,,分别为线段,的中点,平面平面,平面.(1)求证:四边形为平行四边形;(2)若是边长为2的等边三角形,,求直线与平面所成角的正弦值.4.(2021·浙江高三其他模拟)已知直角梯形,,,,为的中点,将沿翻折至.(1)求证:;(2)若,求与平面所成角的正弦值.5.(2021·浙江温州市·高三三模)如图,四棱台的底面为正方形,面,.(1)求证:平面;(2)若平面平面,求直线m与平面所成角的正弦值.6.(2021·浙江湖州市·高三二模)已知三棱柱,是正三角形,四边形是菱形且,是的中点,.(1)证明:;(2)求直线与平面所成角的正弦值.7.(2021·山西临汾市·高三其他模拟(理))图1是由和组成的一个平面图形,其中,,,,分别为,的中点,,,将沿折起,使点到达点的位置,且平面平面,如图2.(1)求证:点在平面内;(2)求直线与平面所成角的正弦值.8.(2021·全国高三其他模拟(文))如图,在三棱锥中,三角形为等腰直角三角形且,侧棱,,相等且,为的中点.(1)求证:平面平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.【题组三 二面角】1.(2021·黑龙江哈尔滨市)如图,四棱锥中,平面,,,,为线段上一点,且.(1)证明:平面平面;(2)求二面角的余弦值.2.(2021·河北高三其他模拟)在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,为等腰直角三角形,,E为的中点,且.(1)求证:平面平面;(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.3.(2021·全国高考真题)如图,在三棱锥中,平面平面,,为的中点.(1)证明:;(2)若是边长为1的等边三角形,点在棱上,,且二面角的大小为,求三棱锥的体积.4.(2021·重庆高三三模)如图正三棱柱的所有棱长均为2,分别是棱的中点.(1)求证:面;(2)求三棱锥的体积;(3)求二面角的余弦值 .5.(2021·广东珠海市·高三二模)如图,圆柱,矩形为过轴的圆柱的截面,点为弧的中点,点为的中点.(1)求证:平面;(2)若,三棱锥的体积为,求二面角的余弦值.6.(2021·江苏苏州市·常熟中学高三三模)如图,在多面体ABCDE中,平面ACDE⊥平面ABC,四边形ACDE为直角梯形,CD∥AE,AC⊥AE,∠ABC=60°,CD=1,AE=AC=2,F为BE的中点.(1)当BC的长为多少时,DF⊥平面ABE.(2)求平面ABE与平面BCD所成的锐二面角的大小.7.(2021·江苏扬州市·高三其他模拟)如图,四棱锥中,平面,,,,,,平面.(1)证明:平面;(2)若与平面所成角为,求二面角的余弦值.8.(2021·辽宁锦州市·高三一模)如图,在正三棱柱中,为的中点,若,.(1)证明:平面;(2)求二面角的余弦值.9.(2021·天津高三二模)如图所示,在中,侧棱底面,且底面是边长为2的正三角形,侧棱长为1,是的中点.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值;(Ⅲ)求二面角的大小.10.(2021·湖北武汉市·高三三模)如图,在正方体中,点在线段上,,点为线段上的动点,,且平面.(1)求的值;(2)求二面角的余弦值.7.4 几何法解空间角(精练)【题组一 线线角】1.(2021·全国高三其他模拟(理))如图所示,直三棱柱中,,,分别是,的中点,,则与所成角的余弦值为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】取的中点为,的中点为,,,所以或其补角即为与所成角,设,则,,在,,故选:A2.(2021·河南商丘市·高三月考(文))在正方体中,点分别在棱上,且,则异面直线与所成角的余弦值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】如图,在平面内作,交BG于N,则(或其补角)即为与所成角.因为是正方体,不妨设,则,由勾股定理得,又,所以,所以在中,,即与所成角的余弦值为,故选:C.3.(2021·四川自贡市·高三三模(文))已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则异面直线CD与PB所成的角的余弦值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】解:设AB=1,则PA=2,AE==,PE==,BE=2,PB==∵CD与BE平行,∴∠PBE是是直线CD与PB所成的角(或所成角的补角),∴直线CD与PB所成的角的余弦值为:,故选:C.4.(2021·全国高三其他模拟(理))已知点,分别为圆锥的顶点和底面圆心,为圆锥底面的内接正三角形,,则异面直线与所成角的余弦值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】如图所示连接,,延长交于点,取中点,连接,.因为为正三角形,且为的外心,所以为的中点,故∥,则即为异面直线与所成的角.设,则,.由题意可知为等边三角形﹐则,在中,.故选:B5.(2021·辽宁高三其他模拟)如图是一个正方体的平面展开图,则在原正方体中,与所成的角为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知正方体的直观图如图:连接,,则,所以就是与所成的角,因为几何体是正方体,所以是正三角形,所以与所成的角为:.故选:C.6.(2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三月考(文))已知在正四面体中,点为棱的中点,则异面直线与成角的余弦值为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】取中点,连接,为,中点,,即为异面直线与成角,设正四面体棱长为2,则,.故选:A.7.(2021·全国高考真题(理))在正方体中,P为的中点,则直线与所成的角为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】如图,连接,因为∥,所以或其补角为直线与所成的角,因为平面,所以,又,,所以平面,所以,设正方体棱长为2,则,,所以.故选:D8.(2021·玉林市第十一中学高三其他模拟(文))如图,在正方体中,M,N分别为AD,AB的中点,则异面直线D1M与DN所成角的余弦值为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】取的中点Q,连接,则,或其补角即为异面直线D1M与DN所成角,不妨设正方体的棱长为4,则,,,所以,所以异面直线D1M与DN所成角的余弦值为.故选:A.9.(2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三月考(文))三棱锥所有棱长都为2,,分别为,的中点,则异面直线,所成角的余弦值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】连接CF,取CF的中点O,连接EO,BO,∵E是PC的中点,∴EO∥PF,∴(或其补角)是异面直线BE与PF所成的角.设三棱锥P-ABC的所有棱长为2,则,则,则,在中,由余弦定理得,∴异面直线BE与PF所成角的余弦值为.10.(2021·广西南宁三中高三其他模拟(文))在正方体中,O是底面的中心,E为的中点,那么异面直线与所成角的余弦值等于( )A. B. C. D.【答案】B【解析】取的中点,连接,如图所示,为的中点,,故即为异面直线与所成角,设正方体的棱长为,则在中,,故,故选:B.【题组二 线面角】1.(2021·浙江温州市·温州中学高三其他模拟)已知在六面体中,平面,平面,且,底面为菱形,且.(1)求证.平面平面.(2)若直线与平面所成角为,求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2)【解析】(1)连接,交于,底面为菱形,,平面,平面,,,平面,平面,平面平面;(2)设,则平面,即为直线与平面所成角,即,,平面,平面,,,平面,平面,平面平面,即为直线与平面所成角,,为菱形,,,则.2.(2021·宁波市北仑中学高三其他模拟)在三棱锥中,.(1)求证:;(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】⑴如图,作,连接,由,可知为边长为的正方形,,又,所以平面,;同理,,得平面,,,所以平面,所以,又,得平面,得.⑵由⑴知平面,平面PAB,所以平面平面,过点作于,平面,即为与平面所成角.由于全等,,,所以为等边三角形,,故,所以点为中点,故,,所以与平面所成角和与平面所成角相等,故直线与平面所成角的正弦值为.3.(2021·全国高三其他模拟)如图所示的几何体是由三棱柱和四棱锥组合而成的,已知,线段与交于点,,分别为线段,的中点,平面平面,平面.(1)求证:四边形为平行四边形;(2)若是边长为2的等边三角形,,求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】(1)连接,因为平面,平面平面平面ABC1,所以,由为线段的中点,可知为线段的中点,又为线段的中点,所以四边形为平行四边形.(2)如图,连接,,由(1)及是边长为2的等边三角形可知,平行四边形为菱形,且,.易知四边形为菱形,又,,所以,.又,所以平面,所以.因为,所以.因为,平面平面,平面平面,所以平面,所以,又为的中点,,所以,,又,所以平面,故为直线与平面所成的角.易知,故.故直线与平面所成角的正弦值为.4.(2021·浙江高三其他模拟)已知直角梯形,,,,为的中点,将沿翻折至.(1)求证:;(2)若,求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】(1)过点P作PE⊥BD于E,连接EF,中,令PD=1,则BD=2PD=2,,,如图:直角梯形中,显然有,而,则,又,即△为正三角形,而为的中点,则,又,中,由余弦定理得,即,是直角三角形,有,而PE⊥BD,,所以面,面,故;(2)过B作BQ⊥平面PAD与平面PAD交于点Q,连接PQ,则PQ是PB在平面PAD内射影,是直线PB与平面PAD所成角,如图:因面,即平面面,平面面,过点P作PO⊥EF于O,则面,由(1),,,中,PD=DF=1,则,,,由得,即,,,所以与平面所成角的正弦值为.5.(2021·浙江温州市·高三三模)如图,四棱台的底面为正方形,面,.(1)求证:平面;(2)若平面平面,求直线m与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】(1)证明:连结交交于点O,连结,,由多面体为四棱台可知四点共面,且面面,面面,面面,∴,∵和均为正方形,,∴,所以为平行四边形,∴,面,面,∴平面.(2)∵面,平面,平面,∴,又∵,∴∴求直线m与平面所成角可转化为求与平面所成角,∵和均为正方形,,且,∴,,∴,又∵面,∴∴面,∴面面,由面面,设O在面的投影为M,则,∴为与平面所成角,由,可得,又∵,∴∴,直线m与平面所成角的正弦值为.6.(2021·浙江湖州市·高三二模)已知三棱柱,是正三角形,四边形是菱形且,是的中点,.(1)证明:;(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】(1)设中点为,连结,,如图:由得,由是正三角形得,又,故平面,因此;(2)三棱柱中,四边形是菱形,设中点为,平面交于,连结,设,平面ABC//平面A1B1C1,平面平面ABC=AD,平面平面A1B1C1=MN,则,而AC//A1C1,由等角定理得,,则有,M是A1C1中点,,即得,由(1)平面得平面平面,则为在平面内的射影,四边形AMNE为平行四边形,即AM//EN,所以为与平面所成的角,由四边形是直角梯形,得,中,,则,中,,,,所以,直线与平面所成角的正弦值为.7.(2021·山西临汾市·高三其他模拟(理))图1是由和组成的一个平面图形,其中,,,,分别为,的中点,,,将沿折起,使点到达点的位置,且平面平面,如图2.(1)求证:点在平面内;(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】(1)证明:在中,因为,是,的中点,所以,又因为,,可得,则,即,,,四点共面.即证点在平面内.(2)方法一:过作,连接.因为平面平面,且平面平面,所以面.所以为直线与平面所成角.在中,,,在中,,,,由余弦定理可得.在中,.所以.即直线与平面所成角的正弦值为.方法二:取中点为,连接,,因为,所以,.又因为平面平面,且平面平面,所以面.设点到平面的距离为,因为,所以,.在中,,所以.设直线与平面所成角为,所以.即直线与平面所成角的正弦值为.8.(2021·全国高三其他模拟(文))如图,在三棱锥中,三角形为等腰直角三角形且,侧棱,,相等且,为的中点.(1)求证:平面平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】(1)连接,因为为等边三角形,为的中点,所以,因为,所以,所以,在中,因为,所以,即,又因为,所以平面.又由平面,所以平面平面.(2)由(1)知平面,因为平面,所以,因为,且,所以平面,所以为与平面所成的角,在直角中,因为,,所以.【题组三 二面角】1.(2021·黑龙江哈尔滨市)如图,四棱锥中,平面,,,,为线段上一点,且.(1)证明:平面平面;(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】(1)∵平面,平面,∴,∵,,,如图过作交于点,所以,,所以∴,,又平面,,∴平面,∵平面,∴平面平面.(2)由(1)知平面,平面,∴,又有,故即二面角的平面角,∵平面,平面,∴,所以因为,所以在中,,所以二面角的余弦值为.2.(2021·河北高三其他模拟)在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,为等腰直角三角形,,E为的中点,且.(1)求证:平面平面;(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】((1)证明:取中点,连接、,如图,为等腰直角三角形,,且,,且,即,,四边形是正方形,,,、面,面,面,,,且、面,面,面,平面平面.(2)平面平面,,,,,取中点,则,,,即为所求二面角的平面角,,,面与面所成的锐二面角余弦值为.3.(2021·全国高考真题)如图,在三棱锥中,平面平面,,为的中点.(1)证明:;(2)若是边长为1的等边三角形,点在棱上,,且二面角的大小为,求三棱锥的体积.【答案】(1)详见解析(2)【解析】((1)因为AB=AD,O为BD中点,所以AO⊥BD因为平面ABD平面BCD,平面ABD⊥平面BCD,平面ABD,因此AO⊥平面BCD,因为平面BCD,所以AO⊥CD(2)作EF⊥BD于F, 作FM⊥BC于M,连FM因为AO⊥平面BCD,所以AO⊥BD, AO⊥CD所以EF⊥BD, EF⊥CD, ,因此EF⊥平面BCD,即EF⊥BC因为FM⊥BC,,所以BC⊥平面EFM,即BC⊥ME则为二面角E-BC-D的平面角,因为,为正三角形,所以为直角三角形因为,从而EF=FM=平面BCD,所以4.(2021·重庆高三三模)如图正三棱柱的所有棱长均为2,分别是棱的中点.(1)求证:面;(2)求三棱锥的体积;(3)求二面角的余弦值 .【答案】(1)证明见解析;(2);(3).【解析】(1)证明:因为是三棱柱,所以,又,,所以,所以,平面,面,所以面;(2)解:由(1)可得,,所以,其中为点到平面的距离,因为正三棱柱的所有棱长均为2,所以,故,所以三棱锥的体积为;(3)解:设二面角,,的平面角分别为,,,则,所以,过点作于点,连结,则,所以,,同理可得,,,所以,故二面角的余弦值为.5.(2021·广东珠海市·高三二模)如图,圆柱,矩形为过轴的圆柱的截面,点为弧的中点,点为的中点.(1)求证:平面;(2)若,三棱锥的体积为,求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】(1)矩形为过轴的圆柱的截面,设,连接,则为中点,如图:点为弧的中点,则CC1是圆柱OO1的母线,是矩形,点为的中点,则,,有四边形是平行四边形,,平面,平面,所以平面;(2)设圆锥底面半径,由点C是弧AB中点得,因,三棱锥的体积为,平面,三棱锥的体积,即,得,,取中点,连接,如图:因,平面平面,则有平面,而,则,,,,为二面角的平面角,由,得:.所以二面角的余弦值为.6.(2021·江苏苏州市·常熟中学高三三模)如图,在多面体ABCDE中,平面ACDE⊥平面ABC,四边形ACDE为直角梯形,CD∥AE,AC⊥AE,∠ABC=60°,CD=1,AE=AC=2,F为BE的中点.(1)当BC的长为多少时,DF⊥平面ABE.(2)求平面ABE与平面BCD所成的锐二面角的大小.【答案】(1)BC=2;(2)60°.【解析】(1)取AB的中点G,连接FG,CG,∵F为BE的中点∴,又∵,∴∴四边形CDFG为平行四边形,∴CG//DF∵平面ACDE⊥平面ABC,平面ACDE平面∴AE⊥平面ABC,∴AE⊥CG,要使DF⊥平面ABE,则只需CG⊥平面ABE,由线面垂直定理,只需,故BC=2.BC=2时,,又,,平面,所以平面,即DF⊥平面ABE;(2)过B作BHCD,则,连接,所以平面平面=,证明如下:设平面平面平面=,由,平面,平面,得平面,所以,即,而平面的交线只有一条,所以.由(1),同理,所以,则即所求二面角的平面角而,∴所成锐二面角为.7.(2021·江苏扬州市·高三其他模拟)如图,四棱锥中,平面,,,,,,平面.(1)证明:平面;(2)若与平面所成角为,求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】(1)证明:∵平面,平面,平面平面,∴,∵,∴,∵,∴,,∵,,∴∴,∴,又∵平面,平面,∴,∵,∴平面.(2)∵与平面所成角为,∴,∴,∵平面,过作于点,连接,因为平面,而平面,所以,因为,所以平面,而平面,所以,所以即为所求二面角的平面角,因为,,所以,∵,∴,∴.8.(2021·辽宁锦州市·高三一模)如图,在正三棱柱中,为的中点,若,.(1)证明:平面;(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】(1)证明:连接,交于,连接,因为四边形为矩形,所以为中点,又因为为的中点,所以,又因为平面,平面,所以平面.(2)解:取中点,过作于,连接,因为为正三棱柱,所以,平面平面,所以平面,于是在平面内的射影为,所以,所以为二面角的平面角,所以,,因为二面角与二面角互补,所以二面角的余弦值为.9.(2021·天津高三二模)如图所示,在中,侧棱底面,且底面是边长为2的正三角形,侧棱长为1,是的中点.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值;(Ⅲ)求二面角的大小.【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ);(Ⅲ).【解析】(Ⅰ)证明:设与交于E,连接DE,如图所示:由题意得E、D分别为、AC的中点,所以,又平面,平面,所以平面;(Ⅱ)取中点F,连接AF、EF,如图所示由题意得四边形为矩形,且AC=2,,D为AC中点,所以且,所以为等腰直角三角形,又F为中点,所以.又D为AC中点,且BA=BC,所以,又侧棱底面,平面,所以,又,所以平面,又平面,所以,又,所以平面,所以为直线与平面所成平面角,在中,,所以,所以直线与平面所成角的正弦值为.(Ⅲ)由(Ⅱ)可得平面,又平面,所以,又,所以即为二面角所成的平面角,在中,,所以,且二面角为锐二面角,所以二面角的大小为.7.4 几何法解空间角(精讲)考点一 线线角【例1】(2021·全国高三)在四面体中,,,是棱的中点,,则异面直线与所成的角为( )A. B. C. D.【一隅三反】1.(2021·山东泰安市)《九章算术》是中国古代第一部数学专著,它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.例如,堑堵指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱,阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图,在堑堵中,,若,当阳马的体积最大时,堑堵中异面直线所成角的大小是( )A. B. C. D.2.(2021·河北饶阳中学)如图,正方体的棱长为6,点F是棱的中点,AC与BD的交点为O,点M在棱BC上,且,动点T(不同于点M)在四边形ABCD内部及其边界上运动,且,则直线与TM所成角的余弦值为( )A. B. C. D.3.(2021·全国高三其他模拟(理))如图,在正方体中,为的中点,则直线与直线所成角的正切值是___________.4.(2021·全国高三其他模拟(理))如图,已知圆柱的上底面圆心为O,高和底面圆的半径相等,AB是底面圆的一条直径,点C为底面圆周上一点,且,则异面直线AC与OB所成角的余弦值为___________.考点二 线面角【例2】(2021·全国高三二模(文))已知正方体的体积为,点在面上,且,到的距离分别为2,,则直线与平面所成角的正弦值为( )A. B. C. D.【一隅三反】1.(2021·山东烟台市·高三二模)许多球状病毒的空间结构可抽象为正二十面体.正二十面体的每一个面均为等边三角形,共有12个顶点、30条棱.如图所示,由正二十面体的一个顶点和与相邻的五个顶点可构成正五棱锥,则与面所成角的余弦值约为( )(参考数据)A. B. C. D.2.(2021·济南市·山东师范大学附中高三其他模拟)(多选)如图,平面四边形ABCD中,E,F分别是AD,BD的中点,,,,将沿对角线BD折起至,使平面平面,则四面体中,下列结论正确的是( )A.平面B.异面直线CD与所成的角为90°C.异面直线EF与所成的角为60°D.直线与平面BCD所成角为30°3.(2021·正阳县高级中学高三其他模拟(理))如图,在正三棱柱中,,,是侧棱的中点,则直线与平面所成角的余弦值为___________.4.(2021·河南高三其他模拟(理))在三棱锥中,已知,,则直线与平面所成角的余弦值为___________.考点三 二面角【例3】(2021·江苏南通市·高三其他模拟)已知菱形ABCD的边长为2,.现将菱形沿对角线AC折成空间几何体ABCD'.设空间几何体ABCD'的外接球为球O,若球O的表面积为8π,则二面角B﹣AC﹣D'的余弦值为___________.【一隅三反】1.(2021·浙江高三其他模拟)如图,三棱柱的底面是边长为的正三角形,,,为的中点,,则二面角的正切值为______.2.(2021·全国高三其他模拟(理))在直四棱柱中,底面ABCD为平行四边形,,点M在棱上,点N是BC的中点,且满足.(1)证明:AM⊥平面;(2)若M是的中点,求二面角的正弦值.3.(2021·山东泰安市·高三其他模拟)如图,在三棱柱中,平面平面(1)证明:平面平面;(2)若与平面所成角的正弦值为,求二面角的余弦值. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 7.4 几何法解空间角(精练)(原卷版).docx 7.4 几何法解空间角(精练)(解析版).docx 7.4 几何法解空间角(精讲)(原卷版).docx 7.4 几何法解空间角(精讲)(解析版).docx