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7.4 几何法解空间角（精讲）
考点一 线线角
【例1】（2021·全国高三）在四面体中，，，是棱的中点，，则异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取的中点为，连接，又是的中点，则，所以（或其补角）就是异面直线与所成的角.
在中，，，，所以为等边三角形，故，即异面直线与所成的角为.故选：A.
【一隅三反】
1．（2021·山东泰安市）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.例如，堑堵指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵中，，若，当阳马的体积最大时，堑堵中异面直线所成角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在堑堵中, 平面,平面
所以，又，且，所以平面
所以阳马的体积为
在直角三角形中，
即，当且仅当时取得等号.
所以当时，阳马的体积取得最大值
又,所以（或其补角）为异面直线所成角
,
即,所以故选：C
2．（2021·河北饶阳中学）如图，正方体的棱长为6，点F是棱的中点，AC与BD的交点为O，点M在棱BC上，且，动点T（不同于点M）在四边形ABCD内部及其边界上运动，且，则直线与TM所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】法一：易知.因为平面ABCD，所以，所以平面AFO，
又平面AFO，所以，
在棱DC上取一点N，且，连接NM，则，所以，所以动点T的轨迹为线段MN（不包括M）.
取棱的中点H，连接DH，易知，则即异面直线与TM所成的角.连接BH，因为，，，
所以
法二：以A为坐标原点，直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
易知，，，，设，则，，.
由题意知，得，
所以，则，
又T不与点M重合，所以，所以，
所以直线与TM所成角的余弦值为，故选：B.
3．（2021·全国高三其他模拟（理））如图，在正方体中，为的中点，则直线与直线所成角的正切值是___________.
【答案】
【解析】故答案为：
4．（2021·全国高三其他模拟（理））如图，已知圆柱的上底面圆心为O，高和底面圆的半径相等，AB是底面圆的一条直径，点C为底面圆周上一点，且，则异面直线AC与OB所成角的余弦值为___________.
【答案】
【解析】如图，设底面圆心为，则底面，，
过点B作，交圆于D，连接OD，AD，则即为直线AC与OB所成角，
设底面圆半径为1，由圆柱高和底面圆的半径相等，得圆柱高为1，
在中，，
，，
由圆的对称性可知，所以为等比三角形，
则，故直线AC与OB所成角的余弦值为.故答案为：.
考点二 线面角
【例2】（2021·全国高三二模（文））已知正方体的体积为，点在面上，且，到的距离分别为2，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示:
设正方体的边长为，则，故，即，
∴，连接，，
∴，则点在上且为中点，连接与交于，连接，
可知平面，则为直线与平面所成角，
在直角三角形中，∴.故选：B.
【一隅三反】
1．（2021·山东烟台市·高三二模）许多球状病毒的空间结构可抽象为正二十面体．正二十面体的每一个面均为等边三角形，共有12个顶点、30条棱．如图所示，由正二十面体的一个顶点和与相邻的五个顶点可构成正五棱锥，则与面所成角的余弦值约为（ ）（参考数据）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，在面上的射影，如下图示，
∴五个三角形都是等腰三角形且，易知，而，令，
∴，又正二十面体的每一个面均为等边三角形即，且面，∴与面所成角的余弦值为.故选：A
2．（2021·济南市·山东师范大学附中高三其他模拟）（多选）如图，平面四边形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，，，，将沿对角线BD折起至，使平面平面，则四面体中，下列结论正确的是（ ）
A．平面
B．异面直线CD与所成的角为90°
C．异面直线EF与所成的角为60°
D．直线与平面BCD所成角为30°
【答案】ABD
【解析】因E，F分别为的中点，则平面，
平面，则平面，A正确；
因平面平面，平面平面，
而，则平面，于是，
异面直线CD与所成的角为90°，B正确；
，则，而，
，从而得平面，
，，异面直线EF与所成的角为90°，C不正确；
连，由，F为的中点得，
于是有平面，则CF是在平面内射影，
是直线与平面BCD所成角，如图：
而，则，则，D正确.
故选：ABD.
3．（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（理））如图，在正三棱柱中，，，是侧棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为___________.
【答案】
【解析】因为平面平面，
所以直线与平面所成的角即是直线与平面所成的角.
因为平面，所以即是直线与平面所成的角，设其为，
则，所以.
故答案为：
4．（2021·河南高三其他模拟（理））在三棱锥中，已知，，则直线与平面所成角的余弦值为___________.
【答案】
【解析】如图，取AC的中点O，连接PO，BO，
因为，所以，
又，所以，可证，所以，
从而平面，所以PB与平面所成角为，.
故答案为：.
考点三 二面角
【例3】（2021·江苏南通市·高三其他模拟）已知菱形ABCD的边长为2，.现将菱形沿对角线AC折成空间几何体ABCD'.设空间几何体ABCD'的外接球为球O，若球O的表面积为8π，则二面角B﹣AC﹣D'的余弦值为___________.
【答案】
【解析】
设,为三角形ABC外接圆的圆心，半径为r，外接球的球心为O，半径为R,则.
因为球O的表面积为8π，所以,解得：.
因为面ABC,所以.
因为,所以在BM延长线上的投影长为.
所以为BD的中点，所以.
在菱形ABCD中，,所以面,
所以即为面角B﹣AC﹣D'的平面角.
由余弦定理得：
.
故答案为：
【一隅三反】
1．（2021·浙江高三其他模拟）如图，三棱柱的底面是边长为的正三角形，，，为的中点，，则二面角的正切值为______.
【答案】
【解析】
取的中点，连接，.
因为为的中点，是边长为的正三角形，
所以，，，，
所以为二面角的平面角.
在中，，，，
所以由余弦定理得，
所以，所以.
故答案为：
2．（2021·全国高三其他模拟（理））在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，点M在棱上，点N是BC的中点，且满足.
（1）证明：AM⊥平面；
（2）若M是的中点，求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）联结AC，由知，，即，
由在直四棱柱中，平面ABCD，则
又，则平面ACM，又平面ACM，
则，又，则，由条件知，
且，故平面；
（2）由（1）知为等腰直角三角形，取的中点为E，
联结，则，
又在直四棱柱中，平面，则，
从而有平面，
过E点作的垂线，垂直为F，联结，
此时由知，平面，
则，为二面角的平面角，
又M是的中点，取的中点为G，易知，由题知，设，
则，，
则
则在中，，即，
解得
则在中，，，
则，
故二面角的正弦值为.
3．（2021·山东泰安市·高三其他模拟）如图，在三棱柱中，平面平面
（1）证明：平面平面；
（2）若与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）；
【解析】（1）由题知，四边形为菱形，则，
又平面平面，且AC为交线，，
则平面，又平面，
则，又，
则平面，又平面，
则平面平面；
（2）设，由（1）知，平面，
则即为与平面所成角，，
由，结合（1）中结论有，，
则，，三角形为正三角形，在菱形中，
，，，
由（1）知，平面，则，
延长，作于F点，则，
平面，从而
则即为二面角的平面角，
则，则
即二面角的余弦值为7.4 几何法解空间角（精练）
【题组一 线线角】
1.（2021·全国高三其他模拟（理））如图所示，直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·河南商丘市·高三月考（文））在正方体中，点分别在棱上，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·四川自贡市·高三三模（文））已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则异面直线CD与PB所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知点，分别为圆锥的顶点和底面圆心，为圆锥底面的内接正三角形，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·辽宁高三其他模拟）如图是一个正方体的平面展开图，则在原正方体中，与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三月考（文））已知在正四面体中，点为棱的中点，则异面直线与成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·全国高考真题（理））在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·玉林市第十一中学高三其他模拟（文））如图，在正方体中，M，N分别为AD，AB的中点，则异面直线D1M与DN所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三月考（文））三棱锥所有棱长都为2，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·广西南宁三中高三其他模拟（文））在正方体中，O是底面的中心，E为的中点，那么异面直线与所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【题组二 线面角】
1．（2021·浙江温州市·温州中学高三其他模拟）已知在六面体中，平面，平面，且，底面为菱形，且．
（1）求证．平面平面．
（2）若直线与平面所成角为，求直线与平面所成角的正弦值．
2．（2021·宁波市北仑中学高三其他模拟）在三棱锥中，．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
3．（2021·全国高三其他模拟）如图所示的几何体是由三棱柱和四棱锥组合而成的，已知，线段与交于点，，分别为线段，的中点，平面平面，平面．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若是边长为2的等边三角形，，求直线与平面所成角的正弦值．
4．（2021·浙江高三其他模拟）已知直角梯形，，，，为的中点，将沿翻折至.
（1）求证：；
（2）若，求与平面所成角的正弦值.
5．（2021·浙江温州市·高三三模）如图，四棱台的底面为正方形，面，．
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，求直线m与平面所成角的正弦值．
6．（2021·浙江湖州市·高三二模）已知三棱柱，是正三角形，四边形是菱形且，是的中点，.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
7．（2021·山西临汾市·高三其他模拟（理））图1是由和组成的一个平面图形，其中，，，，分别为，的中点，，，将沿折起，使点到达点的位置，且平面平面，如图2.
（1）求证：点在平面内；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
8．（2021·全国高三其他模拟（文））如图，在三棱锥中，三角形为等腰直角三角形且，侧棱，，相等且，为的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【题组三 二面角】
1．（2021·黑龙江哈尔滨市）如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，且．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
2．（2021·河北高三其他模拟）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为等腰直角三角形，，E为的中点，且.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
3．（2021·全国高考真题）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
4．（2021·重庆高三三模）如图正三棱柱的所有棱长均为2，分别是棱的中点.
（1）求证：面；
（2）求三棱锥的体积；
（3）求二面角的余弦值 .
5．（2021·广东珠海市·高三二模）如图，圆柱，矩形为过轴的圆柱的截面，点为弧的中点，点为的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.
6．（2021·江苏苏州市·常熟中学高三三模）如图，在多面体ABCDE中，平面ACDE⊥平面ABC，四边形ACDE为直角梯形，CD∥AE，AC⊥AE，∠ABC=60°，CD=1，AE=AC=2，F为BE的中点．
（1）当BC的长为多少时，DF⊥平面ABE．
（2）求平面ABE与平面BCD所成的锐二面角的大小．
7．（2021·江苏扬州市·高三其他模拟）如图，四棱锥中，平面，，，，，，平面.
（1）证明：平面；
（2）若与平面所成角为，求二面角的余弦值.
8．（2021·辽宁锦州市·高三一模）如图，在正三棱柱中，为的中点，若，.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
9．（2021·天津高三二模）如图所示，在中，侧棱底面，且底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1，是的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角的大小.
10．（2021·湖北武汉市·高三三模）如图，在正方体中，点在线段上，，点为线段上的动点，，且平面.
（1）求的值；
（2）求二面角的余弦值.7.4 几何法解空间角（精练）
【题组一 线线角】
1.（2021·全国高三其他模拟（理））如图所示，直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取的中点为，的中点为，
，，所以或其补角即为与所成角，
设，则，，
在，，故选：A
2．（2021·河南商丘市·高三月考（文））在正方体中，点分别在棱上，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，在平面内作，交BG于N，则(或其补角)即为与所成角．因为是正方体，不妨设，
则，由勾股定理得，
又,所以，
所以在中，，
即与所成角的余弦值为，
故选：C.
3．（2021·四川自贡市·高三三模（文））已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则异面直线CD与PB所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：设AB＝1，
则PA＝2，AE＝＝，
PE＝＝，
BE＝2，
PB＝＝
∵CD与BE平行，
∴∠PBE是是直线CD与PB所成的角（或所成角的补角），
∴直线CD与PB所成的角的余弦值为：
，
故选：C．
4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知点，分别为圆锥的顶点和底面圆心，为圆锥底面的内接正三角形，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示
连接，，延长交于点，取中点，连接，.
因为为正三角形，且为的外心，所以为的中点，故∥，
则即为异面直线与所成的角.
设，则，.
由题意可知为等边三角形﹐则，
在中，.
故选：B
5．（2021·辽宁高三其他模拟）如图是一个正方体的平面展开图，则在原正方体中，与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知正方体的直观图如图：
连接，，则，
所以就是与所成的角，因为几何体是正方体，所以是正三角形，
所以与所成的角为：.
故选：C.
6．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三月考（文））已知在正四面体中，点为棱的中点，则异面直线与成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取中点，连接，
为，中点，，
即为异面直线与成角，
设正四面体棱长为2，则,
.
故选：A.
7．（2021·全国高考真题（理））在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如图，连接，因为∥，
所以或其补角为直线与所成的角，
因为平面，所以，又，，
所以平面，所以，
设正方体棱长为2，则，
，所以.
故选：D
8．（2021·玉林市第十一中学高三其他模拟（文））如图，在正方体中，M，N分别为AD，AB的中点，则异面直线D1M与DN所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取的中点Q，连接，
则，或其补角即为异面直线D1M与DN所成角，
不妨设正方体的棱长为4，
则,，，
所以，
所以异面直线D1M与DN所成角的余弦值为.
故选：A.
9．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三月考（文））三棱锥所有棱长都为2，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】连接CF，取CF的中点O，连接EO，BO，
∵E是PC的中点，
∴EO∥PF，
∴（或其补角）是异面直线BE与PF所成的角.
设三棱锥P－ABC的所有棱长为2，
则,
则，
则，
在中，由余弦定理得
，
∴异面直线BE与PF所成角的余弦值为.
10．（2021·广西南宁三中高三其他模拟（文））在正方体中，O是底面的中心，E为的中点，那么异面直线与所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
取的中点，连接，
如图所示，为的中点，，故即为异面直线与所成角，
设正方体的棱长为，则在中，，故，故选：B.
【题组二 线面角】
1．（2021·浙江温州市·温州中学高三其他模拟）已知在六面体中，平面，平面，且，底面为菱形，且．
（1）求证．平面平面．
（2）若直线与平面所成角为，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）连接，交于，底面为菱形，，
平面，平面，，
，平面，
平面，平面平面；
（2）设，则
平面，即为直线与平面所成角，
即，，
平面，平面，，
，平面，
平面，平面平面，
即为直线与平面所成角，
，为菱形，，,
则.
2．（2021·宁波市北仑中学高三其他模拟）在三棱锥中，．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】⑴如图，作，连接，
由，可知为边长为的正方形，，又，
所以平面，；
同理，,得平面，，
，所以平面，
所以，又，得平面，得．
⑵由⑴知平面，平面PAB，所以平面平面，过点作于，
平面，即为与平面所成角．
由于全等，，，所以为等边三角形，
，故，所以点为中点，故，
，所以与平面所成角和与平面所成角相等，
故直线与平面所成角的正弦值为．
3．（2021·全国高三其他模拟）如图所示的几何体是由三棱柱和四棱锥组合而成的，已知，线段与交于点，，分别为线段，的中点，平面平面，平面．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若是边长为2的等边三角形，，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）连接，因为平面，平面平面平面ABC1，
所以，
由为线段的中点，可知为线段的中点，
又为线段的中点，所以四边形为平行四边形．
（2）如图，连接，，
由（1）及是边长为2的等边三角形可知，平行四边形为菱形，且，．
易知四边形为菱形，又，，所以，．
又，所以平面，所以．
因为，所以．
因为，平面平面，平面平面，所以平面，
所以，又为的中点，，
所以，，
又，所以平面，
故为直线与平面所成的角．
易知，故．
故直线与平面所成角的正弦值为．
4．（2021·浙江高三其他模拟）已知直角梯形，，，，为的中点，将沿翻折至.
（1）求证：；
（2）若，求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）过点P作PE⊥BD于E，连接EF，中，令PD=1，则BD=2PD=2，，，如图：
直角梯形中，显然有，而，则，又，即△为正三角形，
而为的中点，则，又，中，由余弦定理得，
即，是直角三角形，有，而PE⊥BD，，
所以面，面，故；
(2)过B作BQ⊥平面PAD与平面PAD交于点Q，连接PQ，则PQ是PB在平面PAD内射影，是直线PB与平面PAD所成角，如图：
因面，即平面面，平面面，过点P作PO⊥EF于O，则面，
由(1)，，，
中，PD=DF=1，则，
，，
由得，即，，，
所以与平面所成角的正弦值为.
5．（2021·浙江温州市·高三三模）如图，四棱台的底面为正方形，面，．
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，求直线m与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：连结交交于点O，连结，，
由多面体为四棱台可知四点共面，
且面面，面面，面面，
∴，
∵和均为正方形，，
∴，所以为平行四边形，
∴，面，面，
∴平面．
（2）
∵面，平面，平面，
∴，又∵，∴
∴求直线m与平面所成角可转化为求与平面所成角，
∵和均为正方形，，且，
∴，，∴，
又∵面，∴
∴面，∴面面，
由面面，设O在面的投影为M，则，
∴为与平面所成角，
由，可得，又∵，
∴
∴，直线m与平面所成角的正弦值为.
6．（2021·浙江湖州市·高三二模）已知三棱柱，是正三角形，四边形是菱形且，是的中点，.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）设中点为，连结，，如图：
由得，由是正三角形得，
又，故平面，因此；
（2）三棱柱中，四边形是菱形，设中点为，平面交于，连结，设，
平面ABC//平面A1B1C1，平面平面ABC=AD，平面平面A1B1C1=MN，
则，而AC//A1C1，由等角定理得，，则有，
M是A1C1中点，，即得，
由(1)平面得平面平面，则为在平面内的射影，
四边形AMNE为平行四边形，即AM//EN，所以为与平面所成的角，
由四边形是直角梯形，得，
中，，则，
中，，，，
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
7．（2021·山西临汾市·高三其他模拟（理））图1是由和组成的一个平面图形，其中，，，，分别为，的中点，，，将沿折起，使点到达点的位置，且平面平面，如图2.
（1）求证：点在平面内；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：在中，因为，是，的中点，
所以，
又因为，，可得，
则，即，，，四点共面.
即证点在平面内.
（2）方法一：
过作，连接.
因为平面平面，且平面平面，
所以面.
所以为直线与平面所成角.
在中，，，
在中，，，，
由余弦定理可得.
在中，.
所以.
即直线与平面所成角的正弦值为.
方法二：
取中点为，连接，，
因为，所以，.
又因为平面平面，且平面平面，
所以面.
设点到平面的距离为，
因为，所以，
.
在中，，所以.
设直线与平面所成角为，
所以.
即直线与平面所成角的正弦值为.
8．（2021·全国高三其他模拟（文））如图，在三棱锥中，三角形为等腰直角三角形且，侧棱，，相等且，为的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）连接，因为为等边三角形，为的中点，所以，
因为，所以，所以，
在中，因为，所以，即，
又因为，所以平面．
又由平面，所以平面平面．
（2）由（1）知平面，因为平面，所以，
因为，且，所以平面，
所以为与平面所成的角，
在直角中，因为，，所以．
【题组三 二面角】
1．（2021·黑龙江哈尔滨市）如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，且．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）∵平面，平面，∴，
∵，，，如图过作交于点，
所以，，所以
∴，，
又平面，，
∴平面，∵平面，∴平面平面．
（2）由（1）知平面，平面，∴，
又有，故即二面角的平面角，
∵平面，平面，∴，所以
因为，所以
在中，，
所以二面角的余弦值为．
2．（2021·河北高三其他模拟）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为等腰直角三角形，，E为的中点，且.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（（1）证明：取中点，连接、，如图，
为等腰直角三角形，
，且，
，且，即，
，
四边形是正方形，
，
，、面，
面，
面，
，
，且、面，
面，
面，
平面平面．
（2）平面平面，，，，
，
取中点，则，，
，
即为所求二面角的平面角，
，
，
面与面所成的锐二面角余弦值为．
3．（2021·全国高考真题）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
【答案】(1)详见解析(2)
【解析】（（1）因为AB=AD,O为BD中点，所以AO⊥BD
因为平面ABD平面BCD,平面ABD⊥平面BCD，平面ABD，
因此AO⊥平面BCD，
因为平面BCD，所以AO⊥CD
(2)作EF⊥BD于F, 作FM⊥BC于M,连FM
因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD, AO⊥CD
所以EF⊥BD, EF⊥CD, ,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC
因为FM⊥BC，,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥ME
则为二面角E-BC-D的平面角,
因为,为正三角形,所以为直角三角形
因为,
从而EF=FM=
平面BCD,
所以
4．（2021·重庆高三三模）如图正三棱柱的所有棱长均为2，分别是棱的中点.
（1）求证：面；
（2）求三棱锥的体积；
（3）求二面角的余弦值 .
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【解析】（1）证明：因为是三棱柱，所以，
又，，所以，
所以，平面，面，
所以面；
（2）解：由（1）可得，，
所以，其中为点到平面的距离，
因为正三棱柱的所有棱长均为2，
所以，
故，
所以三棱锥的体积为；
（3）解：设二面角，，的平面角分别为，，，
则，
所以，
过点作于点，连结，则，
所以，，
同理可得，，，
所以，
故二面角的余弦值为．
5．（2021·广东珠海市·高三二模）如图，圆柱，矩形为过轴的圆柱的截面，点为弧的中点，点为的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）矩形为过轴的圆柱的截面，设，连接，则为中点，如图：
点为弧的中点，则CC1是圆柱OO1的母线，是矩形，点为的中点，则，，
有四边形是平行四边形，，平面，平面，
所以平面；
（2）设圆锥底面半径，由点C是弧AB中点得，因，三棱锥的体积为，平面，
三棱锥的体积，即，得，，
取中点，连接，如图：
因，平面平面，则有平面，
而，则，，
，，为二面角的平面角，
由，得：.
所以二面角的余弦值为.
6．（2021·江苏苏州市·常熟中学高三三模）如图，在多面体ABCDE中，平面ACDE⊥平面ABC，四边形ACDE为直角梯形，CD∥AE，AC⊥AE，∠ABC=60°，CD=1，AE=AC=2，F为BE的中点．
（1）当BC的长为多少时，DF⊥平面ABE．
（2）求平面ABE与平面BCD所成的锐二面角的大小．
【答案】（1）BC=2；（2）60°．
【解析】（1）取AB的中点G，连接FG，CG，∵F为BE的中点
∴，又∵，∴
∴四边形CDFG为平行四边形，∴CG//DF
∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE平面
∴AE⊥平面ABC，∴AE⊥CG，
要使DF⊥平面ABE，则只需CG⊥平面ABE，由线面垂直定理，只需，故BC=2.
BC=2时，，又，，平面，
所以平面，即DF⊥平面ABE；
（2）过B作BHCD，则，连接，所以平面平面＝，
证明如下：设平面平面平面＝，由，平面，平面，得平面，所以，即，而平面的交线只有一条，所以．
由（1），同理，所以，
则即所求二面角的平面角
而，∴所成锐二面角为.
7．（2021·江苏扬州市·高三其他模拟）如图，四棱锥中，平面，，，，，，平面.
（1）证明：平面；
（2）若与平面所成角为，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：∵平面，平面，
平面平面，
∴，∵，
∴，
∵，∴，，
∵，，∴
∴，∴，又∵平面，平面，
∴，
∵，∴平面.
（2）∵与平面所成角为，
∴，∴，
∵平面，
过作于点，连接，
因为平面，而平面，所以，
因为，所以平面，而平面，所以，
所以即为所求二面角的平面角，
因为，，所以，
∵，∴，
∴.
8．（2021·辽宁锦州市·高三一模）如图，在正三棱柱中，为的中点，若，.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：连接，交于，连接，
因为四边形为矩形，所以为中点，又因为为的中点，
所以，又因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：取中点，过作于，连接，
因为为正三棱柱，所以，平面平面，
所以平面，于是在平面内的射影为，
所以，所以为二面角的平面角，
所以，
，
因为二面角与二面角互补，
所以二面角的余弦值为.
9．（2021·天津高三二模）如图所示，在中，侧棱底面，且底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1，是的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角的大小.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【解析】（Ⅰ）证明：设与交于E，连接DE，如图所示：
由题意得E、D分别为、AC的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
（Ⅱ）取中点F，连接AF、EF，如图所示
由题意得四边形为矩形，且AC=2，，D为AC中点，
所以且，
所以为等腰直角三角形，又F为中点，
所以.
又D为AC中点，且BA=BC，
所以，
又侧棱底面，平面，
所以，又，
所以平面，又平面，
所以，又，
所以平面，
所以为直线与平面所成平面角，
在中，，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得平面，又平面，
所以，又，
所以即为二面角所成的平面角，
在中，，
所以，且二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为.7.4 几何法解空间角（精讲）
考点一 线线角
【例1】（2021·全国高三）在四面体中，，，是棱的中点，，则异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2021·山东泰安市）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.例如，堑堵指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵中，，若，当阳马的体积最大时，堑堵中异面直线所成角的大小是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·河北饶阳中学）如图，正方体的棱长为6，点F是棱的中点，AC与BD的交点为O，点M在棱BC上，且，动点T（不同于点M）在四边形ABCD内部及其边界上运动，且，则直线与TM所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国高三其他模拟（理））如图，在正方体中，为的中点，则直线与直线所成角的正切值是___________.
4．（2021·全国高三其他模拟（理））如图，已知圆柱的上底面圆心为O，高和底面圆的半径相等，AB是底面圆的一条直径，点C为底面圆周上一点，且，则异面直线AC与OB所成角的余弦值为___________.
考点二 线面角
【例2】（2021·全国高三二模（文））已知正方体的体积为，点在面上，且，到的距离分别为2，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2021·山东烟台市·高三二模）许多球状病毒的空间结构可抽象为正二十面体．正二十面体的每一个面均为等边三角形，共有12个顶点、30条棱．如图所示，由正二十面体的一个顶点和与相邻的五个顶点可构成正五棱锥，则与面所成角的余弦值约为（ ）（参考数据）
A． B． C． D．
2．（2021·济南市·山东师范大学附中高三其他模拟）（多选）如图，平面四边形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，，，，将沿对角线BD折起至，使平面平面，则四面体中，下列结论正确的是（ ）
A．平面
B．异面直线CD与所成的角为90°
C．异面直线EF与所成的角为60°
D．直线与平面BCD所成角为30°
3．（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（理））如图，在正三棱柱中，，，是侧棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为___________.
4．（2021·河南高三其他模拟（理））在三棱锥中，已知，，则直线与平面所成角的余弦值为___________.
考点三 二面角
【例3】（2021·江苏南通市·高三其他模拟）已知菱形ABCD的边长为2，.现将菱形沿对角线AC折成空间几何体ABCD'.设空间几何体ABCD'的外接球为球O，若球O的表面积为8π，则二面角B﹣AC﹣D'的余弦值为___________.
【一隅三反】
1．（2021·浙江高三其他模拟）如图，三棱柱的底面是边长为的正三角形，，，为的中点，，则二面角的正切值为______.
2．（2021·全国高三其他模拟（理））在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，点M在棱上，点N是BC的中点，且满足.
（1）证明：AM⊥平面；
（2）若M是的中点，求二面角的正弦值.
3．（2021·山东泰安市·高三其他模拟）如图，在三棱柱中，平面平面
（1）证明：平面平面；
（2）若与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.

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