资源简介

2.1 一元二次不等式解法及运用（精讲）
考法一 不等式的解法
【例1】（1）（2021·全国高三专题练习）已知集合，，则（ ）
B． C． D．
（2）（2021·云南昆明市·昆明一中）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
（3）（2021·全国高三专题练习）不等式的解集为（ ）
A．，或 B．，或
C．，或 D．，或
【一隅三反】
1．（2021·上海高三二模）已知实数，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
2．（2021·全国高三专题练习）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020·全国高三专题练习）不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·全国高三专题练习）不等式(1＋x)(1－x2)>0的解集是（ ）
A．{x|0≤x<1} B．{x|x<0且x≠－1}
C．{x|－15．（2021·全国高三专题练习）不等式的解集为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
考法二 一元二次方程的根与不等式解的关系
【例2】（1）（2021·全国高三专题练习）已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
（2）（2021·全国高三专题练习）关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2021·全国高三专题练习）不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．或 B．
C． D．或
2．（多选）（2021·全国高三专题练习）已知关于的不等式解集为或，则（ ）
A． B．不等式的解集为
C． D．不等式的解集为或
3.(2021·福州调研)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是{x|－考法三 一元二次方程的个数、大小问题
【例3】（1）（2020·全国高三专题练习）若和分别是一元二次方程的两根，则的是_____________.
（2）（2021·全国高三专题练习）若关于的不等式有实数解，则的取值范围是 。
（3）（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三）关于的方程的两根都大于2，则的取值范围是
（4）（2020·全国高三）方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是
（5）（2021·全国高三专题练习）若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为
【一隅三反】
1.（2021年广东汕头）已知方程有两个负实根，则实数的取值范围是 。
2.（2021年广东云浮）若是一元二次方程的两个根，则的值为 。
3．（2020·奉新县第一中学高三）若一元二次方程的两个实根都大于，则的取值范围____
4．（2020·甘肃省会宁县第四中学高三月考）关于x方程在内恰有一解，则a的取值范围
5．（2021年湖南）若方程只有正根，则m的取值范围是 。
6．（2021·北京高三专题练习）若关于的不等式在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是
考法四 一元二次不等式（恒）成立
【例4】（1）（2021·全国高三专题练习）已知关于的不等式恒成立，则的取值范围为
（2）（2021·四川高三一模）已知命题，若为真命题，则的取值范围为___________(结果用区间表示).
（3）（2021·全国高三专题练习）已知关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为
【一隅三反】
1．（2021·全国高三专题练习）不等式的解集为，则实数的取值范围为________.
2．（2020·济南德润高级中学高三期中）若存在实数，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是______.
3．（2021·全国高三专题练习）“，”为假命题，则实数a的最小值为________.
4．（2020·全国高三专题练习）关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_______.
5．（2021·辽宁高三二模）若“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围为___________.
考法五 含参一元二次不等式的解法
【例5】（1）（2021·全国高三专题练习）解关于的不等式：()．
（2）（2021·全国高三专题练习）已知关于的不等式：，当时解不等式.
【一隅三反】
1．（2021·上海）解关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0(其中a为常数且).
2．（2021·全国）解关于x的不等式.
3．（2021·江苏高三专题练习）解关于的不等式
考法六 不等式的性质
【例6】（1）（多选）（2021·辽宁高三其他模拟）设实数满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·千阳县中学高三）已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2021·广东珠海市·高三二模）已知，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·北京八十中高三其他模拟）已知非零实数，满足，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（多选）（2021·江苏苏州市·常熟中学高三三模）若实数x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．2.1 一元二次不等式解法及运用（精练）
【题组一 不等式的解法】
1．（2021·陕西西安市·高三二模）已知“x>2”是“<1”的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
2．（2021·陕西省汉中中学高三）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·全国高三）已知命题：，命题：，若是的充分不必要条件，则实数的取值集合是
A． B． C． D．
4．（2021·全国高三专题练习）不等式的解集为____________
5．（2021·全国高三专题练习）不等式的解集为______________.
6．（2021·全国高三专题练习）不等式的解集为________
7．（2020·黑龙江牡丹江市·牡丹江一中）解下列不等式.
（1）；
（2）.
【题组二 一元二次方程的根与不等式解的关系】
1.（2021年福建）已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a＜0的解集为________．
2．(2021湖北黄冈)关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是
3．（2021·全国高三专题练习）关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为
4．（2021·山西阳泉市·高三期末）在等差数列中，，满足不等式的解集为，则数列的前11项和等于
5．（2020·四川乐山市·高三月考）已知关于的不等式的解集是或，则的值是
【题组三 一元二次方程的个数、大小问题】
1．（多选）（2021·全国高三专题练习）下列选项中，关于x的不等式有实数解的充分不必要条件的有（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·安徽高三月考）已知关于x的不等式在上有解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国高三专题练习）已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集是A∩B，那么a＋b等于（ ）
A．－3 B．1
C．－1 D．3
4．（2021·全国高三专题练习）关于的一元二次方程：有两个实数根、，则=（ ）
A． B． C．4 D．-4
5．（2021·全国高三专题练习）已知函数在，上为增函数，在上为减函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题组四 一元二次不等式（恒）成立】
1．（2021·峨山彝族自治县第一中学高三三模（文））对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．{a|a<2} B．{a|a≤2}
C．{a|－22．（2021·北京高三期末）对，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·山东高三月考）“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·浙江高三专题练习）已知时，不等式恒成立，则的取值范围为
A．(-∞，2)∪(3，+∞) B．(-∞，1)∪(2，+∞)
C．(-∞，1)∪(3，+∞) D．(1，3)
5．（2021·奉新县第一中学高三三模）对任意，函数的值恒大于零，则的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．或
6．（2020·全国高三专题练习（理））设函数，对任意的都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（多选）（2021·全国高三专题练习）若不等式对任意的恒成立，则实数可能是
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（多选）（2021·全国高三专题练习）若，使得成立是假命题，则实数可能取值是（ ）
A． B． C．3 D．
【题组五 含参一元二次不等式的解法】
1．（多选）（2021·浙江湖州市·湖州中学）对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·全国高三专题练习）设，则关于的不等式的解集为（ ）
A．或 B．{x|x>a}
C．或 D．
3．（2020·全国高三专题练习）关于x的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4.（2021年各地模拟节选）解下列关于x的不等式：
（1）
（2） ，若，解上述关于的不等式．
（3）求不等式的解集.
（4）.
（5）
（6）.
(7)ax2－2(a＋1)x＋4>0.
【题组六 不等式的性质】
1．（2021·上海高三二模）设、均为非零实数且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·四川高三三模）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（多选）（2021·肇庆市百花中学高三其他模拟）若，则（ ）
A． B．的最小值为10
C． D．的最小值为9
4.（多选）（2021·广东高三其他模拟）已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（多选）（2021·湖南岳阳市·高三二模）下列结论正确的是（ ）
A．若a，b为正实数，，则
B．若a，b，m为正实数，，则
C．若a，，则“”是“”的充分不必要条件
D．当时，的最小值是
6．（多选）（2021·河北张家口市·高三二模）已知，则下列选项一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．2.1 一元二次不等式解法及运用（精练）
【题组一 不等式的解法】
1．（2021·陕西西安市·高三二模）已知“x>2”是“<1”的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】，
所以是的充分不必要条件.故选:A
2．（2021·陕西省汉中中学高三）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，，因此，.
故选：A.
3．（2021·全国高三）已知命题：，命题：，若是的充分不必要条件，则实数的取值集合是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得，而是的充分不必要条件，即，所以. 选.
4．（2021·全国高三专题练习）不等式的解集为____________
【答案】
【解析】由可得或，解得或，
即不等式的解集为.故答案为：.
5．（2021·全国高三专题练习）不等式的解集为______________.
【答案】
【解析】不等式等价于，
解得.
故答案为：.
6．（2021·全国高三专题练习）不等式的解集为________
【答案】
【解析】如下图所示：
根据图象可知：当或或时，，
所以不等式的解集为：，
故答案为：.
7．（2020·黑龙江牡丹江市·牡丹江一中）解下列不等式.
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）方程的根为：，利用数轴穿根法可得：
所以不等式的解集为；
（2）且，
解得.
【题组二 一元二次方程的根与不等式解的关系】
1.（2021年福建）已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a＜0的解集为________．
【答案】(2,3)
【解析】由题意知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两根，所以由根与系数的关系得
解得不等式x2－bx－a＜0即为x2－5x＋6＜0，解集为(2,3)．
2．(2021湖北黄冈)关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是
【答案】(1,2)
【解析】∵关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，∴a>0，且－＝1，∴关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0可化为(x－2)<0，即(x－1)(x－2)<0，所以不等式的解集为{x|13．（2021·全国高三专题练习）关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为
【答案】
【解析】由题意知：，则有，
∴，解之得，
4．（2021·山西阳泉市·高三期末）在等差数列中，，满足不等式的解集为，则数列的前11项和等于
【答案】-132
【解析】因为不等式的解集为，
故为的两个根，所以，
所以等差数列的前11项和为，
5．（2020·四川乐山市·高三月考）已知关于的不等式的解集是或，则的值是
【答案】0
【解析】由题知，且-1，2是方程的两根，则，，解得，，则.
【题组三 一元二次方程的个数、大小问题】
1．（多选）（2021·全国高三专题练习）下列选项中，关于x的不等式有实数解的充分不必要条件的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】时必有解，当时，或，
故AC符合题意.故选：AC
2．（2020·安徽高三月考）已知关于x的不等式在上有解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】时，不等式可化为；令，则，当且仅当时，等号成立，综上所述，实数a的取值范围是．故选：A．
3．（2021·全国高三专题练习）已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集是A∩B，那么a＋b等于（ ）
A．－3 B．1
C．－1 D．3
【答案】A
【解析】由题意：A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}．
A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由根与系数的关系可知：
a＝－1，b＝－2，∴a＋b＝－3.故选：A.
4．（2021·全国高三专题练习）关于的一元二次方程：有两个实数根、，则=（ ）
A． B． C．4 D．-4
【答案】D
【解析】由有两个实数根，可得，
所以．故选：D．
5．（2021·全国高三专题练习）已知函数在，上为增函数，在上为减函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】已知函数，
则，
因为在，上为增函数，在上为减函数，
所以，即，
解得 ，
所以实数的取值范围为
故选：B
【题组四 一元二次不等式（恒）成立】
1．（2021·峨山彝族自治县第一中学高三三模（文））对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．{a|a<2} B．{a|a≤2}
C．{a|－2【答案】D
【解析】当a－2＝0，即a＝2时，－4<0，恒成立，符合题意；
当a－2≠0时，由题意知，，解得－22．（2021·北京高三期末）对，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对，若不等式恒成立，
则，
因为，所以.
故选：C.
3．（2020·山东高三月考）“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若命题“，”为真命题，则，
则是的充分不必要条件，故选：D．
4．（2021·浙江高三专题练习）已知时，不等式恒成立，则的取值范围为
A．(-∞，2)∪(3，+∞) B．(-∞，1)∪(2，+∞)
C．(-∞，1)∪(3，+∞) D．(1，3)
【答案】C
【解析】由题意，因为时，不等式恒成立，
可转化为关于的函数，
则对应任意恒成立，
则满足，解得：或，
即的取值范围为.
故选：C
5．（2021·奉新县第一中学高三三模）对任意，函数的值恒大于零，则的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【解析】对任意，函数的值恒大于零
设，即在上恒成立.
在上是关于的一次函数或常数函数，其图象为一条线段.
则只需线段的两个端点在轴上方，即 ，解得或
故选：B
6．（2020·全国高三专题练习（理））设函数，对任意的都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵对任意的，都有恒成立，
∴对任意的恒成立，
∵，∴，
∴实数的取值范围是.故选：D.
7．（多选）（2021·全国高三专题练习）若不等式对任意的恒成立，则实数可能是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】ABC
【解析】设，，
则不等式对任意恒成立，
即转化为不等式在上恒成立，
即转化为在上恒成立，
由对勾函数知在上单减，，
故选：ABC
8．（多选）（2021·全国高三专题练习）若，使得成立是假命题，则实数可能取值是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】AB
【解析】由条件可知，是真命题，
即，即，
设
等号成立的条件是，所以的最小值是，
即，满足条件的有AB.故选：AB
【题组五 含参一元二次不等式的解法】
1．（多选）（2021·浙江湖州市·湖州中学）对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】由，分类讨论如下：
当时，；
当时，；
当时，或；
当时，；
当时，或.
故选：AB.
2．（2020·全国高三专题练习）设，则关于的不等式的解集为（ ）
A．或 B．{x|x>a}
C．或 D．
【答案】A
【解析】因为，所以等价于，
又因为当时，，所以不等式的解集为：或．
故选：A．
3．（2020·全国高三专题练习）关于x的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】方程的两根分别为 ，
又，所以，故此不等式的解集为.故选：C
4.（2021年各地模拟节选）解下列关于x的不等式：
（1）
（2） ，若，解上述关于的不等式．
（3）求不等式的解集.
（4）.
（5）
（6）.
(7)ax2－2(a＋1)x＋4>0.
【答案】见解析
【解析】（1）
当时，不等式为，解集为；
时，不等式分解因式可得
当时，故，此时解集为；
当时，，故此时解集为；
当时，可化为，又
解集为；
当时，可化为，又
解集为.
综上有，时，解集为；
时，解集为；
时，解集为；
时，解集为；
时，解集为
（2）把化简得，，
①当时，不等式的解为
②当，即 ，得，此时，不等式的解为或
③当，即，得 或，
当时，不等式的解为或，
当时，不等式的解为 ，
④当，得，此时，，解得且，
综上所述，当时，不等式的解为，
当时，不等式的解为
当时，不等式的解为或，
当时，不等式的解为且，
当时，不等式的解为或.
（3），
，
①时，，可得；
②时，可得
若，解可得，或；
若，则可得，
当即时，解集为，；
当即时，解集为，；
当即时，解集为．
（4）不等式可化为.
①当时,,解集为，或；
②当时,,解集为；
③当时,,解集为，或.
综上所述,
当时,原不等式的解集为，或；
当时,原不等式的解集为；
当时,原不等式的解集为，或.
（5） 当时，不等式即，解得.
当时，对于方程，
令，解得或；
令，解得或；
令，解得或，方程的两根为.
综上可得，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
（6）原不等式可变形为.
①当时，则有，即，解得；
②当时，，解原不等式得或；
③当时，.
（i）当时，即当时，原不等式即为，该不等式无解；
（ii）当时，即当时，解原不等式得；
(iii)当时，即当时，解原不等式可得.
综上所述：①当时，原不等式的解集为；
②当时，原不等式的解集为;
③当时，原不等式的解集为；
④当时，原不等式的解集为；
⑤当时，原不等式的解集为.
(7)(1)当a＝0时，原不等式可化为－2x＋4>0，解得x<2，所以原不等式的解集为{x|x<2}．
(2)当a>0时，原不等式可化为(ax－2)(x－2)>0，对应方程的两个根为x1＝，x2＝2.
①当02，所以原不等式的解集为或；
②当a＝1时，＝2，所以原不等式的解集为{x|x≠2}；
③当a>1时，<2，所以原不等式的解集为或.
(3)当a<0时，原不等式可化为(－ax＋2)(x－2)<0，对应方程的两个根为x1＝，x2＝2，
则<2，所以原不等式的解集为.
综上，a<0时，原不等式的解集为；
a＝0时，原不等式的解集为{x|x<2}；
0当a>1时，原不等式的解集为或.
【题组六 不等式的性质】
1．（2021·上海高三二模）设、均为非零实数且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A．因为，的正负无法确定，故错误；
B．因为，的正负无法确定，故错误；
C．因为，的正负无法确定，故错误；
D．因为， ，所以，所以，故正确，
故选：D.
2．（2021·四川高三三模）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A，由知，不一定成立，故A错误；
对于B，由，知，故B错误；
对于C，取，，
则，C也不一定成立，故C错误；
由，知，D项正确.故选：D.
3．（多选）（2021·肇庆市百花中学高三其他模拟）若，则（ ）
A． B．的最小值为10
C． D．的最小值为9
【答案】AB
【解析】因为，所以，，故A正确，C错误；
因为，
当且仅当，时，等号成立，所以的最小值为10，因此B正确；
因为，当且仅当时，等号成立，但，取不到2，所以的最小值不是9，因此D不正确，
故选：AB
4.（多选）（2021·广东高三其他模拟）已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】对于A，令，则，故A不正确；
对于B，，当且仅当，即时，等号成立；故B正确；
对于C，，当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D，由，所以，，则，故D正确.
故选：BCD.
5．（多选）（2021·湖南岳阳市·高三二模）下列结论正确的是（ ）
A．若a，b为正实数，，则
B．若a，b，m为正实数，，则
C．若a，，则“”是“”的充分不必要条件
D．当时，的最小值是
【答案】AC
【解析】对于A，因为a，b为正实数，
所以，故A对；
对于B，因为a，b，m为正实数，则，
所以，所以B错；
对于C，因为，则，则
反之未必，如时，满足，但不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，所以C对；
对于D，因为，所以，于是，
即的最大值是，所以D错．
故选：AC．
6．（多选）（2021·河北张家口市·高三二模）已知，则下列选项一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】由，得，，，
所以，，又，所以，故A正确；
因为，
所以，故B错误；
因为，又，所以，故C正确；
因为，又，所以，D正确，
故选：ACD.2.1 一元二次不等式解法及运用（精讲）
考法一 不等式的解法
【例1】（1）（2021·全国高三专题练习）已知集合，，则（ ）
B． C． D．
（2）（2021·云南昆明市·昆明一中）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
（3）（2021·全国高三专题练习）不等式的解集为（ ）
A．，或 B．，或
C．，或 D．，或
【答案】（1）B（2）A（3）A
【解析】（1）由已知，，
所以．故选：B．
（2），，因此，.故选：A.
（3）原不等式可转化为，
结合数轴标根法可得，或．
即不等式的解集为，或．故选：A．
【一隅三反】
1．（2021·上海高三二模）已知实数，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】等价于，即，化简得，解得
则“”是“”的必要非充分条件故选：B
2．（2021·全国高三专题练习）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
，所以，
故选：C．
3．（2020·全国高三专题练习）不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】的解集为或，所给选项中只有为或的真子集.故选:C.
4．（2021·全国高三专题练习）不等式(1＋x)(1－x2)>0的解集是（ ）
A．{x|0≤x<1} B．{x|x<0且x≠－1}
C．{x|－1【答案】D
【解析】由已知得,等价于且
即不等式的解集为{x|x<1且x≠－1}故选：D
5．（2021·全国高三专题练习）不等式的解集为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【解析】原不等式可化为，即，则，
如图，利用穿针引线法得：或，
所以原不等式的解集为：或.
故选：C.
考法二 一元二次方程的根与不等式解的关系
【例2】（1）（2021·全国高三专题练习）已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
（2）（2021·全国高三专题练习）关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）A（2）B
【解析】（1）由关于x的不等式的解集是，得且，
则关于x的不等式可化为，即，
解得：或，所求不等式的解集为：.故选：A.
（2）由题意，则有，∴，解之得，故选：B
【一隅三反】
1．（2021·全国高三专题练习）不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．或 B．
C． D．或
【答案】A
【解析】由题意可知、是关于的二次方程的两根，
由韦达定理可得，解得，
不等式即为，解得或.
因此，不等式的解集为或.故选：A.
2．（多选）（2021·全国高三专题练习）已知关于的不等式解集为或，则（ ）
A． B．不等式的解集为
C． D．不等式的解集为或
【答案】ABD
【解析】因为关于的不等式解集为或，
所以和是方程的两个实根，且，故正确；
所以，，所以，
所以不等式可化为，因为，所以，故正确；
因为，又，所以，故不正确；
不等式可化为，又，
所以，即，即，解得或,故正确.
故选：A B D
3.(2021·福州调研)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是{x|－【答案】　{x|x≥3或x≤2}
【解析】由题意，知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且a<0，所以解得
故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，
解得x≥3或x≤2.
考法三 一元二次方程的个数、大小问题
【例3】（1）（2020·全国高三专题练习）若和分别是一元二次方程的两根，则的是_____________.
（2）（2021·全国高三专题练习）若关于的不等式有实数解，则的取值范围是 。
（3）（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三）关于的方程的两根都大于2，则的取值范围是
（4）（2020·全国高三）方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是
（5）（2021·全国高三专题练习）若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为
【答案】（1）（2）（3）（4）（5）
【解析】（1）由韦达定理：， ，.故答案为：.
（2）当时，符合题意，当时，，解得，
所以
（3）∵关于的方程的两根都大于2，
令，可得，
即，求得，
（4）令，由二次函数根的分布性质，若一根在区间内，
另一根在区间（3，4）内，
只需，即，
解不等式组可得，即的取值范围为，
（3）因为不等式的解集中恰有个正整数，
即不等式的解集中恰有个正整数，所以，所以不等式的解集为
所以这三个正整数为，所以，即
【一隅三反】
1.（2021年广东汕头）已知方程有两个负实根，则实数的取值范围是 。
【答案】
【解析】要原方程有两个负实根，必须：
.
或
∴实数的取值范围是.
2.（2021年广东云浮）若是一元二次方程的两个根，则的值为 。
【答案】
【解析】，故方程必有两根，
又根据二次方程根与系数的关系，可得，
所以.
3．（2020·奉新县第一中学高三）若一元二次方程的两个实根都大于，则的取值范围____
【答案】或.
【解析】由题意得应满足解得：或.
故答案为：或.
4．（2020·甘肃省会宁县第四中学高三月考）关于x方程在内恰有一解，则a的取值范围
【答案】
【解析】当时，，不合题意；
∴，令，有，，要使在内恰有一个零点，
∴即可，则，
5．（2021年湖南）若方程只有正根，则m的取值范围是 。
【答案】
【解析】方程只有正根，则
当，即时，
当时，方程为时，，符合题意；
当时，方程为时，不符合题意.
故成立；
当，解得或，
则，解得.综上得.
6．（2021·北京高三专题练习）若关于的不等式在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是
【答案】
【解析】不等式等价于存在，使成立，即
设 当时， 所以 .
考法四 一元二次不等式（恒）成立
【例4】（1）（2021·全国高三专题练习）已知关于的不等式恒成立，则的取值范围为
（2）（2021·四川高三一模）已知命题，若为真命题，则的取值范围为___________(结果用区间表示).
（3）（2021·全国高三专题练习）已知关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为
【答案】（1）（2）（3）
【解析】（1）因为关于的不等式恒成立，分以下两种情况讨论：
（1）当时，可得，合乎题意；
（2）当时，则有，解得.
综上所述，实数的取值范围是.故选：B.
（2），，则，
令，则在上单调递增，
，，即的取值范围为.故答案为：.
（3）由题意得：关于的不等式在区间上有解，等价于不等式在区间上有解，设，则函数在上单调递增，所以，
所以实数的取值范围为
【一隅三反】
1．（2021·全国高三专题练习）不等式的解集为，则实数的取值范围为________.
【答案】
【解析】当时，不等式显然恒成立，即，满足条件．
当时，为二次函数，要恒大于零只有开口向上，．
所以， 即综上所述：
2．（2020·济南德润高级中学高三期中）若存在实数，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】时，若，则不等式为，不等式成立，满足题意，
时，在在使得不等式成立，则，∴．
综上，．故答案为：．
3．（2021·全国高三专题练习）“，”为假命题，则实数a的最小值为________.
【答案】1
【解析】，”为假命题，即在[-1，3]上，恒成立，
分离参数得,令,当时取得最大值1，
的最小值为1，故答案为:1.
4．（2020·全国高三专题练习）关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_______.
【答案】
【解析】∵在上为减函数，且不等式对任意恒成立，则只需，即.
故答案为：.
5．（2021·辽宁高三二模）若“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】若“，使得成立”是假命题，则“，使得成立”是真命题，分离，进而.
考法五 含参一元二次不等式的解法
【例5】（1）（2021·全国高三专题练习）解关于的不等式：()．
（2）（2021·全国高三专题练习）已知关于的不等式：，当时解不等式.
【答案】见解析
【解析】（1）原不等式化为，
①或时，不等式为，所以不等式的解集为；
②当或时，，不等式的解集为；
③当或时，，不等式的解集为．
综上所述：当①或时，不等式的解集为；②当或时，不等式的解集为；③当或时，不等式的解集为．
（2）原不等式可变形为：，
当时，，所以即解集为；
当时，，所以即解集为；
当时，，令，所以，
若时，，所以解集为，
若时，，所以解集为，
若时，，所以解集为，
综上可知：时解集为；时解集为；
时解集为；时解集为.
【一隅三反】
1．（2021·上海）解关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0(其中a为常数且).
【答案】答案见解析
【解析】由x2-(a+1)x+a<0可得(x-a)(x-1)<0.
当a<1时，解得a当a=1时，解集为；
当a>1时，解得1综上所述，当a<1时，原不等式的解集为(a，1)；当a=1时，原不等式的解集为；当a>1时，原不等式的解集为(1，a).
2．（2021·全国）解关于x的不等式.
【答案】答案见解析.
【解析】，不等式的解为；
当时，不等式对应方程的根为或2，
①当时，不等式即 的解集为；
②当时，不等式的解集为 ；
③当时，不等式的解集为 ；
④当时，不等式的解集为 .
综上所述，当时，不等式解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
3．（2021·江苏高三专题练习）解关于的不等式
【答案】见解析
【解析】原不等式等价于
(1)当时，解集为
(2)当时，原不等式可化为，
因为，所以解集为
(3)当时，，解集为
(4)当时，原不等式等价于，即，
解集为
(5)当时，，解集为
综上所述，当时，解集为；当时，解集为；
当时，解集为；当时，解集为
考法六 不等式的性质
【例6】（1）（多选）（2021·辽宁高三其他模拟）设实数满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·千阳县中学高三）已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）BCD（2）C
【解析】对于A选项：取a=-3，b=-1，满足条件，而a2>b2，A不正确；
对于B选项：因，则，又函数在单调递增，即，B正确；
对于C选项：因，则，，即，C正确；
对于D选项：因，则，，D正确.
故选：BCD
（2）.
设，
所以，解得：，
，
因为，，
所以，
因为单调递增，
所以.
故选：C
【一隅三反】
1．（2021·广东珠海市·高三二模）已知，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因，，则a>0，b<0，，A不正确；，则，B不正确；又，即，则，，C正确；由得，D不正确.
故选：C
2．（2021·北京八十中高三其他模拟）已知非零实数，满足，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对A，当时，不等式无意义，故A错误；
对B，当时，，故B错误；
对C，当时，，故C错误；
对D，当时，成立，故D正确；
故选：D.
3．（多选）（2021·江苏苏州市·常熟中学高三三模）若实数x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A：因为，所以，故A正确；
对于B：因为，所以不能判断的大小关系，所以不能比较的大小关系，故B不正确；
对于C：假设成立，则，化简得在恒成立，故C正确；
对于D：令函数，则，又，所以，所以函数 在上单调递增，
又，所以，所以，即，故D正确，
故选：ACD.

展开更多......

收起↑