资源简介 2.1 一元二次不等式解法及运用(精讲)考法一 不等式的解法【例1】(1)(2021·全国高三专题练习)已知集合,,则( )B. C. D.(2)(2021·云南昆明市·昆明一中)设集合,,则( )A. B. C. D.(3)(2021·全国高三专题练习)不等式的解集为( )A.,或 B.,或C.,或 D.,或【一隅三反】1.(2021·上海高三二模)已知实数,则“”是“”的( )A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件2.(2021·全国高三专题练习)已知集合,,则( )A. B.C. D.3.(2020·全国高三专题练习)不等式成立的一个充分不必要条件是( )A. B.C. D.4.(2021·全国高三专题练习)不等式(1+x)(1-x2)>0的解集是( )A.{x|0≤x<1} B.{x|x<0且x≠-1}C.{x|-15.(2021·全国高三专题练习)不等式的解集为( )A.或 B.或C.或 D.或考法二 一元二次方程的根与不等式解的关系【例2】(1)(2021·全国高三专题练习)已知关于x的不等式的解集是,则关于x的不等式的解集是( )A. B.C. D.(2)(2021·全国高三专题练习)关于的不等式的解集为或,则关于的不等式的解集为( )A. B. C. D.【一隅三反】1.(2021·全国高三专题练习)不等式的解集为,则不等式的解集为( )A.或 B.C. D.或2.(多选)(2021·全国高三专题练习)已知关于的不等式解集为或,则( )A. B.不等式的解集为C. D.不等式的解集为或3.(2021·福州调研)已知不等式ax2-bx-1>0的解集是{x|-考法三 一元二次方程的个数、大小问题【例3】(1)(2020·全国高三专题练习)若和分别是一元二次方程的两根,则的是_____________.(2)(2021·全国高三专题练习)若关于的不等式有实数解,则的取值范围是 。(3)(2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三)关于的方程的两根都大于2,则的取值范围是(4)(2020·全国高三)方程的一根在区间内,另一根在区间内,则的取值范围是(5)(2021·全国高三专题练习)若关于的不等式的解集中恰有个正整数,则实数的取值范围为【一隅三反】1.(2021年广东汕头)已知方程有两个负实根,则实数的取值范围是 。2.(2021年广东云浮)若是一元二次方程的两个根,则的值为 。3.(2020·奉新县第一中学高三)若一元二次方程的两个实根都大于,则的取值范围____4.(2020·甘肃省会宁县第四中学高三月考)关于x方程在内恰有一解,则a的取值范围5.(2021年湖南)若方程只有正根,则m的取值范围是 。6.(2021·北京高三专题练习)若关于的不等式在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是考法四 一元二次不等式(恒)成立【例4】(1)(2021·全国高三专题练习)已知关于的不等式恒成立,则的取值范围为(2)(2021·四川高三一模)已知命题,若为真命题,则的取值范围为___________(结果用区间表示).(3)(2021·全国高三专题练习)已知关于的不等式在区间上有解,则实数的取值范围为【一隅三反】1.(2021·全国高三专题练习)不等式的解集为,则实数的取值范围为________.2.(2020·济南德润高级中学高三期中)若存在实数,使得关于的不等式成立,则实数的取值范围是______.3.(2021·全国高三专题练习)“,”为假命题,则实数a的最小值为________.4.(2020·全国高三专题练习)关于的不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是_______.5.(2021·辽宁高三二模)若“,使得成立”是假命题,则实数的取值范围为___________.考法五 含参一元二次不等式的解法【例5】(1)(2021·全国高三专题练习)解关于的不等式:().(2)(2021·全国高三专题练习)已知关于的不等式:,当时解不等式.【一隅三反】1.(2021·上海)解关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0(其中a为常数且).2.(2021·全国)解关于x的不等式.3.(2021·江苏高三专题练习)解关于的不等式考法六 不等式的性质【例6】(1)(多选)(2021·辽宁高三其他模拟)设实数满足,则下列不等式一定成立的是( )A. B. C. D.(2)(2021·千阳县中学高三)已知,,则的取值范围是( )A. B. C. D.【一隅三反】1.(2021·广东珠海市·高三二模)已知,满足,,,则( )A. B. C. D.2.(2021·北京八十中高三其他模拟)已知非零实数,满足,则下列不等式中一定成立的是( )A. B. C. D.3.(多选)(2021·江苏苏州市·常熟中学高三三模)若实数x,y满足,则( )A. B.C. D.2.1 一元二次不等式解法及运用(精练)【题组一 不等式的解法】1.(2021·陕西西安市·高三二模)已知“x>2”是“<1”的( )条件.A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要2.(2021·陕西省汉中中学高三)已知集合,,则( )A. B.C. D.3.(2021·全国高三)已知命题:,命题:,若是的充分不必要条件,则实数的取值集合是A. B. C. D.4.(2021·全国高三专题练习)不等式的解集为____________5.(2021·全国高三专题练习)不等式的解集为______________.6.(2021·全国高三专题练习)不等式的解集为________7.(2020·黑龙江牡丹江市·牡丹江一中)解下列不等式.(1);(2).【题组二 一元二次方程的根与不等式解的关系】1.(2021年福建)已知不等式ax2-bx-1≥0的解集是,则不等式x2-bx-a<0的解集为________.2.(2021湖北黄冈)关于x的不等式ax+b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x-2)<0的解集是3.(2021·全国高三专题练习)关于的不等式的解集为或,则关于的不等式的解集为4.(2021·山西阳泉市·高三期末)在等差数列中,,满足不等式的解集为,则数列的前11项和等于5.(2020·四川乐山市·高三月考)已知关于的不等式的解集是或,则的值是【题组三 一元二次方程的个数、大小问题】1.(多选)(2021·全国高三专题练习)下列选项中,关于x的不等式有实数解的充分不必要条件的有( )A. B. C. D.2.(2020·安徽高三月考)已知关于x的不等式在上有解,则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.3.(2021·全国高三专题练习)已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集为B,不等式x2+ax+b<0的解集是A∩B,那么a+b等于( )A.-3 B.1C.-1 D.34.(2021·全国高三专题练习)关于的一元二次方程:有两个实数根、,则=( )A. B. C.4 D.-45.(2021·全国高三专题练习)已知函数在,上为增函数,在上为减函数,则实数的取值范围为( )A. B. C. D.【题组四 一元二次不等式(恒)成立】1.(2021·峨山彝族自治县第一中学高三三模(文))对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围为( )A.{a|a<2} B.{a|a≤2}C.{a|-22.(2021·北京高三期末)对,若不等式恒成立,则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.3.(2020·山东高三月考)“,”为真命题的一个充分不必要条件是( )A. B. C. D.4.(2021·浙江高三专题练习)已知时,不等式恒成立,则的取值范围为A.(-∞,2)∪(3,+∞) B.(-∞,1)∪(2,+∞)C.(-∞,1)∪(3,+∞) D.(1,3)5.(2021·奉新县第一中学高三三模)对任意,函数的值恒大于零,则的取值范围是( )A. B.或 C. D.或6.(2020·全国高三专题练习(理))设函数,对任意的都有,则实数的取值范围是( )A. B.C. D.7.(多选)(2021·全国高三专题练习)若不等式对任意的恒成立,则实数可能是A.1 B.2 C.3 D.48.(多选)(2021·全国高三专题练习)若,使得成立是假命题,则实数可能取值是( )A. B. C.3 D.【题组五 含参一元二次不等式的解法】1.(多选)(2021·浙江湖州市·湖州中学)对于给定实数,关于的一元二次不等式的解集可能是( )A. B. C. D.2.(2020·全国高三专题练习)设,则关于的不等式的解集为( )A.或 B.{x|x>a}C.或 D.3.(2020·全国高三专题练习)关于x的不等式的解集为( )A. B.C. D.4.(2021年各地模拟节选)解下列关于x的不等式:(1)(2) ,若,解上述关于的不等式.(3)求不等式的解集.(4).(5)(6).(7)ax2-2(a+1)x+4>0.【题组六 不等式的性质】1.(2021·上海高三二模)设、均为非零实数且,则下列结论中正确的是( )A. B. C. D.2.(2021·四川高三三模)已知,则下列不等式一定成立的是( )A. B.C. D.3.(多选)(2021·肇庆市百花中学高三其他模拟)若,则( )A. B.的最小值为10C. D.的最小值为94.(多选)(2021·广东高三其他模拟)已知,且,则( )A. B.C. D.5.(多选)(2021·湖南岳阳市·高三二模)下列结论正确的是( )A.若a,b为正实数,,则B.若a,b,m为正实数,,则C.若a,,则“”是“”的充分不必要条件D.当时,的最小值是6.(多选)(2021·河北张家口市·高三二模)已知,则下列选项一定正确的是( )A. B.C. D.2.1 一元二次不等式解法及运用(精练)【题组一 不等式的解法】1.(2021·陕西西安市·高三二模)已知“x>2”是“<1”的( )条件.A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】,所以是的充分不必要条件.故选:A2.(2021·陕西省汉中中学高三)已知集合,,则( )A. B.C. D.【答案】A【解析】,,因此,.故选:A.3.(2021·全国高三)已知命题:,命题:,若是的充分不必要条件,则实数的取值集合是A. B. C. D.【答案】C【解析】由得,而是的充分不必要条件,即,所以. 选.4.(2021·全国高三专题练习)不等式的解集为____________【答案】【解析】由可得或,解得或,即不等式的解集为.故答案为:.5.(2021·全国高三专题练习)不等式的解集为______________.【答案】【解析】不等式等价于,解得.故答案为:.6.(2021·全国高三专题练习)不等式的解集为________【答案】【解析】如下图所示:根据图象可知:当或或时,,所以不等式的解集为:,故答案为:.7.(2020·黑龙江牡丹江市·牡丹江一中)解下列不等式.(1);(2).【答案】(1);(2).【解析】(1)方程的根为:,利用数轴穿根法可得:所以不等式的解集为;(2)且,解得.【题组二 一元二次方程的根与不等式解的关系】1.(2021年福建)已知不等式ax2-bx-1≥0的解集是,则不等式x2-bx-a<0的解集为________.【答案】(2,3)【解析】由题意知-,-是方程ax2-bx-1=0的两根,所以由根与系数的关系得解得不等式x2-bx-a<0即为x2-5x+6<0,解集为(2,3).2.(2021湖北黄冈)关于x的不等式ax+b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x-2)<0的解集是【答案】(1,2)【解析】∵关于x的不等式ax+b>0的解集是(1,+∞),∴a>0,且-=1,∴关于x的不等式(ax+b)(x-2)<0可化为(x-2)<0,即(x-1)(x-2)<0,所以不等式的解集为{x|13.(2021·全国高三专题练习)关于的不等式的解集为或,则关于的不等式的解集为【答案】【解析】由题意知:,则有,∴,解之得,4.(2021·山西阳泉市·高三期末)在等差数列中,,满足不等式的解集为,则数列的前11项和等于【答案】-132【解析】因为不等式的解集为,故为的两个根,所以,所以等差数列的前11项和为,5.(2020·四川乐山市·高三月考)已知关于的不等式的解集是或,则的值是【答案】0【解析】由题知,且-1,2是方程的两根,则,,解得,,则.【题组三 一元二次方程的个数、大小问题】1.(多选)(2021·全国高三专题练习)下列选项中,关于x的不等式有实数解的充分不必要条件的有( )A. B. C. D.【答案】AC【解析】时必有解,当时,或,故AC符合题意.故选:AC2.(2020·安徽高三月考)已知关于x的不等式在上有解,则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】时,不等式可化为;令,则,当且仅当时,等号成立,综上所述,实数a的取值范围是.故选:A.3.(2021·全国高三专题练习)已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集为B,不等式x2+ax+b<0的解集是A∩B,那么a+b等于( )A.-3 B.1C.-1 D.3【答案】A【解析】由题意:A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2}.A∩B={x|-1<x<2},由根与系数的关系可知:a=-1,b=-2,∴a+b=-3.故选:A.4.(2021·全国高三专题练习)关于的一元二次方程:有两个实数根、,则=( )A. B. C.4 D.-4【答案】D【解析】由有两个实数根,可得,所以.故选:D.5.(2021·全国高三专题练习)已知函数在,上为增函数,在上为减函数,则实数的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】已知函数,则,因为在,上为增函数,在上为减函数,所以,即,解得 ,所以实数的取值范围为故选:B【题组四 一元二次不等式(恒)成立】1.(2021·峨山彝族自治县第一中学高三三模(文))对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围为( )A.{a|a<2} B.{a|a≤2}C.{a|-2【答案】D【解析】当a-2=0,即a=2时,-4<0,恒成立,符合题意;当a-2≠0时,由题意知,,解得-22.(2021·北京高三期末)对,若不等式恒成立,则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】对,若不等式恒成立,则,因为,所以.故选:C.3.(2020·山东高三月考)“,”为真命题的一个充分不必要条件是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】若命题“,”为真命题,则,则是的充分不必要条件,故选:D.4.(2021·浙江高三专题练习)已知时,不等式恒成立,则的取值范围为A.(-∞,2)∪(3,+∞) B.(-∞,1)∪(2,+∞)C.(-∞,1)∪(3,+∞) D.(1,3)【答案】C【解析】由题意,因为时,不等式恒成立,可转化为关于的函数,则对应任意恒成立,则满足,解得:或,即的取值范围为.故选:C5.(2021·奉新县第一中学高三三模)对任意,函数的值恒大于零,则的取值范围是( )A. B.或 C. D.或【答案】B【解析】对任意,函数的值恒大于零设,即在上恒成立.在上是关于的一次函数或常数函数,其图象为一条线段.则只需线段的两个端点在轴上方,即 ,解得或故选:B6.(2020·全国高三专题练习(理))设函数,对任意的都有,则实数的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】∵对任意的,都有恒成立,∴对任意的恒成立,∵,∴,∴实数的取值范围是.故选:D.7.(多选)(2021·全国高三专题练习)若不等式对任意的恒成立,则实数可能是A.1 B.2 C.3 D.4【答案】ABC【解析】设,,则不等式对任意恒成立,即转化为不等式在上恒成立,即转化为在上恒成立,由对勾函数知在上单减,,故选:ABC8.(多选)(2021·全国高三专题练习)若,使得成立是假命题,则实数可能取值是( )A. B. C.3 D.【答案】AB【解析】由条件可知,是真命题,即,即,设等号成立的条件是,所以的最小值是,即,满足条件的有AB.故选:AB【题组五 含参一元二次不等式的解法】1.(多选)(2021·浙江湖州市·湖州中学)对于给定实数,关于的一元二次不等式的解集可能是( )A. B. C. D.【答案】AB【解析】由,分类讨论如下:当时,;当时,;当时,或;当时,;当时,或.故选:AB.2.(2020·全国高三专题练习)设,则关于的不等式的解集为( )A.或 B.{x|x>a}C.或 D.【答案】A【解析】因为,所以等价于,又因为当时,,所以不等式的解集为:或.故选:A.3.(2020·全国高三专题练习)关于x的不等式的解集为( )A. B.C. D.【答案】C【解析】方程的两根分别为 ,又,所以,故此不等式的解集为.故选:C4.(2021年各地模拟节选)解下列关于x的不等式:(1)(2) ,若,解上述关于的不等式.(3)求不等式的解集.(4).(5)(6).(7)ax2-2(a+1)x+4>0.【答案】见解析【解析】(1)当时,不等式为,解集为;时,不等式分解因式可得当时,故,此时解集为;当时,,故此时解集为;当时,可化为,又解集为;当时,可化为,又解集为.综上有,时,解集为;时,解集为;时,解集为;时,解集为;时,解集为(2)把化简得,,①当时,不等式的解为②当,即 ,得,此时,不等式的解为或③当,即,得 或,当时,不等式的解为或,当时,不等式的解为 ,④当,得,此时,,解得且,综上所述,当时,不等式的解为,当时,不等式的解为当时,不等式的解为或,当时,不等式的解为且,当时,不等式的解为或.(3),,①时,,可得;②时,可得若,解可得,或;若,则可得,当即时,解集为,;当即时,解集为,;当即时,解集为.(4)不等式可化为.①当时,,解集为,或;②当时,,解集为;③当时,,解集为,或.综上所述,当时,原不等式的解集为,或;当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为,或.(5) 当时,不等式即,解得.当时,对于方程,令,解得或;令,解得或;令,解得或,方程的两根为.综上可得,当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集;当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为.(6)原不等式可变形为.①当时,则有,即,解得;②当时,,解原不等式得或;③当时,.(i)当时,即当时,原不等式即为,该不等式无解;(ii)当时,即当时,解原不等式得;(iii)当时,即当时,解原不等式可得.综上所述:①当时,原不等式的解集为;②当时,原不等式的解集为;③当时,原不等式的解集为;④当时,原不等式的解集为;⑤当时,原不等式的解集为.(7)(1)当a=0时,原不等式可化为-2x+4>0,解得x<2,所以原不等式的解集为{x|x<2}.(2)当a>0时,原不等式可化为(ax-2)(x-2)>0,对应方程的两个根为x1=,x2=2.①当02,所以原不等式的解集为或;②当a=1时,=2,所以原不等式的解集为{x|x≠2};③当a>1时,<2,所以原不等式的解集为或.(3)当a<0时,原不等式可化为(-ax+2)(x-2)<0,对应方程的两个根为x1=,x2=2,则<2,所以原不等式的解集为.综上,a<0时,原不等式的解集为;a=0时,原不等式的解集为{x|x<2};0当a>1时,原不等式的解集为或.【题组六 不等式的性质】1.(2021·上海高三二模)设、均为非零实数且,则下列结论中正确的是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】A.因为,的正负无法确定,故错误;B.因为,的正负无法确定,故错误;C.因为,的正负无法确定,故错误;D.因为, ,所以,所以,故正确,故选:D.2.(2021·四川高三三模)已知,则下列不等式一定成立的是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A,由知,不一定成立,故A错误;对于B,由,知,故B错误;对于C,取,,则,C也不一定成立,故C错误;由,知,D项正确.故选:D.3.(多选)(2021·肇庆市百花中学高三其他模拟)若,则( )A. B.的最小值为10C. D.的最小值为9【答案】AB【解析】因为,所以,,故A正确,C错误;因为,当且仅当,时,等号成立,所以的最小值为10,因此B正确;因为,当且仅当时,等号成立,但,取不到2,所以的最小值不是9,因此D不正确,故选:AB4.(多选)(2021·广东高三其他模拟)已知,且,则( )A. B.C. D.【答案】BCD【解析】对于A,令,则,故A不正确;对于B,,当且仅当,即时,等号成立;故B正确;对于C,,当且仅当时,等号成立,故C正确;对于D,由,所以,,则,故D正确.故选:BCD.5.(多选)(2021·湖南岳阳市·高三二模)下列结论正确的是( )A.若a,b为正实数,,则B.若a,b,m为正实数,,则C.若a,,则“”是“”的充分不必要条件D.当时,的最小值是【答案】AC【解析】对于A,因为a,b为正实数,所以,故A对;对于B,因为a,b,m为正实数,则,所以,所以B错;对于C,因为,则,则反之未必,如时,满足,但不成立,所以“”是“”的充分不必要条件,所以C对;对于D,因为,所以,于是,即的最大值是,所以D错.故选:AC.6.(多选)(2021·河北张家口市·高三二模)已知,则下列选项一定正确的是( )A. B.C. D.【答案】ACD【解析】由,得,,,所以,,又,所以,故A正确;因为,所以,故B错误;因为,又,所以,故C正确;因为,又,所以,D正确,故选:ACD.2.1 一元二次不等式解法及运用(精讲)考法一 不等式的解法【例1】(1)(2021·全国高三专题练习)已知集合,,则( )B. C. D.(2)(2021·云南昆明市·昆明一中)设集合,,则( )A. B. C. D.(3)(2021·全国高三专题练习)不等式的解集为( )A.,或 B.,或C.,或 D.,或【答案】(1)B(2)A(3)A【解析】(1)由已知,,所以.故选:B.(2),,因此,.故选:A.(3)原不等式可转化为,结合数轴标根法可得,或.即不等式的解集为,或.故选:A.【一隅三反】1.(2021·上海高三二模)已知实数,则“”是“”的( )A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件【答案】B【解析】等价于,即,化简得,解得则“”是“”的必要非充分条件故选:B2.(2021·全国高三专题练习)已知集合,,则( )A. B.C. D.【答案】C【解析】,所以,故选:C.3.(2020·全国高三专题练习)不等式成立的一个充分不必要条件是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】的解集为或,所给选项中只有为或的真子集.故选:C.4.(2021·全国高三专题练习)不等式(1+x)(1-x2)>0的解集是( )A.{x|0≤x<1} B.{x|x<0且x≠-1}C.{x|-1【答案】D【解析】由已知得,等价于且即不等式的解集为{x|x<1且x≠-1}故选:D5.(2021·全国高三专题练习)不等式的解集为( )A.或 B.或C.或 D.或【答案】C【解析】原不等式可化为,即,则,如图,利用穿针引线法得:或,所以原不等式的解集为:或.故选:C.考法二 一元二次方程的根与不等式解的关系【例2】(1)(2021·全国高三专题练习)已知关于x的不等式的解集是,则关于x的不等式的解集是( )A. B.C. D.(2)(2021·全国高三专题练习)关于的不等式的解集为或,则关于的不等式的解集为( )A. B. C. D.【答案】(1)A(2)B【解析】(1)由关于x的不等式的解集是,得且,则关于x的不等式可化为,即,解得:或,所求不等式的解集为:.故选:A.(2)由题意,则有,∴,解之得,故选:B【一隅三反】1.(2021·全国高三专题练习)不等式的解集为,则不等式的解集为( )A.或 B.C. D.或【答案】A【解析】由题意可知、是关于的二次方程的两根,由韦达定理可得,解得,不等式即为,解得或.因此,不等式的解集为或.故选:A.2.(多选)(2021·全国高三专题练习)已知关于的不等式解集为或,则( )A. B.不等式的解集为C. D.不等式的解集为或【答案】ABD【解析】因为关于的不等式解集为或,所以和是方程的两个实根,且,故正确;所以,,所以,所以不等式可化为,因为,所以,故正确;因为,又,所以,故不正确;不等式可化为,又,所以,即,即,解得或,故正确.故选:A B D3.(2021·福州调研)已知不等式ax2-bx-1>0的解集是{x|-【答案】 {x|x≥3或x≤2}【解析】由题意,知-,-是方程ax2-bx-1=0的两个根,且a<0,所以解得故不等式x2-bx-a≥0为x2-5x+6≥0,解得x≥3或x≤2.考法三 一元二次方程的个数、大小问题【例3】(1)(2020·全国高三专题练习)若和分别是一元二次方程的两根,则的是_____________.(2)(2021·全国高三专题练习)若关于的不等式有实数解,则的取值范围是 。(3)(2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三)关于的方程的两根都大于2,则的取值范围是(4)(2020·全国高三)方程的一根在区间内,另一根在区间内,则的取值范围是(5)(2021·全国高三专题练习)若关于的不等式的解集中恰有个正整数,则实数的取值范围为【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【解析】(1)由韦达定理:, ,.故答案为:.(2)当时,符合题意,当时,,解得,所以(3)∵关于的方程的两根都大于2,令,可得,即,求得,(4)令,由二次函数根的分布性质,若一根在区间内,另一根在区间(3,4)内,只需,即,解不等式组可得,即的取值范围为,(3)因为不等式的解集中恰有个正整数,即不等式的解集中恰有个正整数,所以,所以不等式的解集为所以这三个正整数为,所以,即【一隅三反】1.(2021年广东汕头)已知方程有两个负实根,则实数的取值范围是 。【答案】【解析】要原方程有两个负实根,必须:.或∴实数的取值范围是.2.(2021年广东云浮)若是一元二次方程的两个根,则的值为 。【答案】【解析】,故方程必有两根,又根据二次方程根与系数的关系,可得,所以.3.(2020·奉新县第一中学高三)若一元二次方程的两个实根都大于,则的取值范围____【答案】或.【解析】由题意得应满足解得:或.故答案为:或.4.(2020·甘肃省会宁县第四中学高三月考)关于x方程在内恰有一解,则a的取值范围【答案】【解析】当时,,不合题意;∴,令,有,,要使在内恰有一个零点,∴即可,则,5.(2021年湖南)若方程只有正根,则m的取值范围是 。【答案】【解析】方程只有正根,则当,即时,当时,方程为时,,符合题意;当时,方程为时,不符合题意.故成立;当,解得或,则,解得.综上得.6.(2021·北京高三专题练习)若关于的不等式在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是【答案】【解析】不等式等价于存在,使成立,即设 当时, 所以 .考法四 一元二次不等式(恒)成立【例4】(1)(2021·全国高三专题练习)已知关于的不等式恒成立,则的取值范围为(2)(2021·四川高三一模)已知命题,若为真命题,则的取值范围为___________(结果用区间表示).(3)(2021·全国高三专题练习)已知关于的不等式在区间上有解,则实数的取值范围为【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)因为关于的不等式恒成立,分以下两种情况讨论:(1)当时,可得,合乎题意;(2)当时,则有,解得.综上所述,实数的取值范围是.故选:B.(2),,则,令,则在上单调递增,,,即的取值范围为.故答案为:.(3)由题意得:关于的不等式在区间上有解,等价于不等式在区间上有解,设,则函数在上单调递增,所以,所以实数的取值范围为【一隅三反】1.(2021·全国高三专题练习)不等式的解集为,则实数的取值范围为________.【答案】【解析】当时,不等式显然恒成立,即,满足条件.当时,为二次函数,要恒大于零只有开口向上,.所以, 即综上所述:2.(2020·济南德润高级中学高三期中)若存在实数,使得关于的不等式成立,则实数的取值范围是______.【答案】【解析】时,若,则不等式为,不等式成立,满足题意,时,在在使得不等式成立,则,∴.综上,.故答案为:.3.(2021·全国高三专题练习)“,”为假命题,则实数a的最小值为________.【答案】1【解析】,”为假命题,即在[-1,3]上,恒成立,分离参数得,令,当时取得最大值1,的最小值为1,故答案为:1.4.(2020·全国高三专题练习)关于的不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】∵在上为减函数,且不等式对任意恒成立,则只需,即.故答案为:.5.(2021·辽宁高三二模)若“,使得成立”是假命题,则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】若“,使得成立”是假命题,则“,使得成立”是真命题,分离,进而.考法五 含参一元二次不等式的解法【例5】(1)(2021·全国高三专题练习)解关于的不等式:().(2)(2021·全国高三专题练习)已知关于的不等式:,当时解不等式.【答案】见解析【解析】(1)原不等式化为,①或时,不等式为,所以不等式的解集为;②当或时,,不等式的解集为;③当或时,,不等式的解集为.综上所述:当①或时,不等式的解集为;②当或时,不等式的解集为;③当或时,不等式的解集为.(2)原不等式可变形为:,当时,,所以即解集为;当时,,所以即解集为;当时,,令,所以,若时,,所以解集为,若时,,所以解集为,若时,,所以解集为,综上可知:时解集为;时解集为;时解集为;时解集为.【一隅三反】1.(2021·上海)解关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0(其中a为常数且).【答案】答案见解析【解析】由x2-(a+1)x+a<0可得(x-a)(x-1)<0.当a<1时,解得a当a=1时,解集为;当a>1时,解得1综上所述,当a<1时,原不等式的解集为(a,1);当a=1时,原不等式的解集为;当a>1时,原不等式的解集为(1,a).2.(2021·全国)解关于x的不等式.【答案】答案见解析.【解析】,不等式的解为;当时,不等式对应方程的根为或2,①当时,不等式即 的解集为;②当时,不等式的解集为 ;③当时,不等式的解集为 ;④当时,不等式的解集为 .综上所述,当时,不等式解集为;当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为.3.(2021·江苏高三专题练习)解关于的不等式【答案】见解析【解析】原不等式等价于(1)当时,解集为(2)当时,原不等式可化为,因为,所以解集为(3)当时,,解集为(4)当时,原不等式等价于,即,解集为(5)当时,,解集为综上所述,当时,解集为;当时,解集为;当时,解集为;当时,解集为考法六 不等式的性质【例6】(1)(多选)(2021·辽宁高三其他模拟)设实数满足,则下列不等式一定成立的是( )A. B. C. D.(2)(2021·千阳县中学高三)已知,,则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】(1)BCD(2)C【解析】对于A选项:取a=-3,b=-1,满足条件,而a2>b2,A不正确;对于B选项:因,则,又函数在单调递增,即,B正确;对于C选项:因,则,,即,C正确;对于D选项:因,则,,D正确.故选:BCD(2).设,所以,解得:,,因为,,所以,因为单调递增,所以.故选:C【一隅三反】1.(2021·广东珠海市·高三二模)已知,满足,,,则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】因,,则a>0,b<0,,A不正确;,则,B不正确;又,即,则,,C正确;由得,D不正确.故选:C2.(2021·北京八十中高三其他模拟)已知非零实数,满足,则下列不等式中一定成立的是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】对A,当时,不等式无意义,故A错误;对B,当时,,故B错误;对C,当时,,故C错误;对D,当时,成立,故D正确;故选:D.3.(多选)(2021·江苏苏州市·常熟中学高三三模)若实数x,y满足,则( )A. B.C. D.【答案】ACD【解析】对于A:因为,所以,故A正确;对于B:因为,所以不能判断的大小关系,所以不能比较的大小关系,故B不正确;对于C:假设成立,则,化简得在恒成立,故C正确;对于D:令函数,则,又,所以,所以函数 在上单调递增,又,所以,所以,即,故D正确,故选:ACD. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 2.1 一元二次不等式解法及运用(精练)(原卷版).docx 2.1 一元二次不等式解法及运用(精练)(解析版).docx 2.1 一元二次不等式解法及运用(精讲)(原卷版).docx 2.1 一元二次不等式解法及运用(精讲)(解析版).docx