2.1 一元二次不等式解法及运用(精讲+精练+原卷+解析)

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2.1 一元二次不等式解法及运用(精讲+精练+原卷+解析)

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2.1 一元二次不等式解法及运用(精讲)
考法一 不等式的解法
【例1】(1)(2021·全国高三专题练习)已知集合,,则( )
B. C. D.
(2)(2021·云南昆明市·昆明一中)设集合,,则( )
A. B. C. D.
(3)(2021·全国高三专题练习)不等式的解集为( )
A.,或 B.,或
C.,或 D.,或
【一隅三反】
1.(2021·上海高三二模)已知实数,则“”是“”的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
2.(2021·全国高三专题练习)已知集合,,则( )
A. B.
C. D.
3.(2020·全国高三专题练习)不等式成立的一个充分不必要条件是( )
A. B.
C. D.
4.(2021·全国高三专题练习)不等式(1+x)(1-x2)>0的解集是( )
A.{x|0≤x<1} B.{x|x<0且x≠-1}
C.{x|-15.(2021·全国高三专题练习)不等式的解集为( )
A.或 B.或
C.或 D.或
考法二 一元二次方程的根与不等式解的关系
【例2】(1)(2021·全国高三专题练习)已知关于x的不等式的解集是,则关于x的不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
(2)(2021·全国高三专题练习)关于的不等式的解集为或,则关于的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
【一隅三反】
1.(2021·全国高三专题练习)不等式的解集为,则不等式的解集为( )
A.或 B.
C. D.或
2.(多选)(2021·全国高三专题练习)已知关于的不等式解集为或,则( )
A. B.不等式的解集为
C. D.不等式的解集为或
3.(2021·福州调研)已知不等式ax2-bx-1>0的解集是{x|-考法三 一元二次方程的个数、大小问题
【例3】(1)(2020·全国高三专题练习)若和分别是一元二次方程的两根,则的是_____________.
(2)(2021·全国高三专题练习)若关于的不等式有实数解,则的取值范围是 。
(3)(2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三)关于的方程的两根都大于2,则的取值范围是
(4)(2020·全国高三)方程的一根在区间内,另一根在区间内,则的取值范围是
(5)(2021·全国高三专题练习)若关于的不等式的解集中恰有个正整数,则实数的取值范围为
【一隅三反】
1.(2021年广东汕头)已知方程有两个负实根,则实数的取值范围是 。
2.(2021年广东云浮)若是一元二次方程的两个根,则的值为 。
3.(2020·奉新县第一中学高三)若一元二次方程的两个实根都大于,则的取值范围____
4.(2020·甘肃省会宁县第四中学高三月考)关于x方程在内恰有一解,则a的取值范围
5.(2021年湖南)若方程只有正根,则m的取值范围是 。
6.(2021·北京高三专题练习)若关于的不等式在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是
考法四 一元二次不等式(恒)成立
【例4】(1)(2021·全国高三专题练习)已知关于的不等式恒成立,则的取值范围为
(2)(2021·四川高三一模)已知命题,若为真命题,则的取值范围为___________(结果用区间表示).
(3)(2021·全国高三专题练习)已知关于的不等式在区间上有解,则实数的取值范围为
【一隅三反】
1.(2021·全国高三专题练习)不等式的解集为,则实数的取值范围为________.
2.(2020·济南德润高级中学高三期中)若存在实数,使得关于的不等式成立,则实数的取值范围是______.
3.(2021·全国高三专题练习)“,”为假命题,则实数a的最小值为________.
4.(2020·全国高三专题练习)关于的不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是_______.
5.(2021·辽宁高三二模)若“,使得成立”是假命题,则实数的取值范围为___________.
考法五 含参一元二次不等式的解法
【例5】(1)(2021·全国高三专题练习)解关于的不等式:().
(2)(2021·全国高三专题练习)已知关于的不等式:,当时解不等式.
【一隅三反】
1.(2021·上海)解关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0(其中a为常数且).
2.(2021·全国)解关于x的不等式.
3.(2021·江苏高三专题练习)解关于的不等式
考法六 不等式的性质
【例6】(1)(多选)(2021·辽宁高三其他模拟)设实数满足,则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
(2)(2021·千阳县中学高三)已知,,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【一隅三反】
1.(2021·广东珠海市·高三二模)已知,满足,,,则( )
A. B. C. D.
2.(2021·北京八十中高三其他模拟)已知非零实数,满足,则下列不等式中一定成立的是( )
A. B. C. D.
3.(多选)(2021·江苏苏州市·常熟中学高三三模)若实数x,y满足,则( )
A. B.
C. D.2.1 一元二次不等式解法及运用(精练)
【题组一 不等式的解法】
1.(2021·陕西西安市·高三二模)已知“x>2”是“<1”的( )条件.
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要
2.(2021·陕西省汉中中学高三)已知集合,,则( )
A. B.
C. D.
3.(2021·全国高三)已知命题:,命题:,若是的充分不必要条件,则实数的取值集合是
A. B. C. D.
4.(2021·全国高三专题练习)不等式的解集为____________
5.(2021·全国高三专题练习)不等式的解集为______________.
6.(2021·全国高三专题练习)不等式的解集为________
7.(2020·黑龙江牡丹江市·牡丹江一中)解下列不等式.
(1);
(2).
【题组二 一元二次方程的根与不等式解的关系】
1.(2021年福建)已知不等式ax2-bx-1≥0的解集是,则不等式x2-bx-a<0的解集为________.
2.(2021湖北黄冈)关于x的不等式ax+b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x-2)<0的解集是
3.(2021·全国高三专题练习)关于的不等式的解集为或,则关于的不等式的解集为
4.(2021·山西阳泉市·高三期末)在等差数列中,,满足不等式的解集为,则数列的前11项和等于
5.(2020·四川乐山市·高三月考)已知关于的不等式的解集是或,则的值是
【题组三 一元二次方程的个数、大小问题】
1.(多选)(2021·全国高三专题练习)下列选项中,关于x的不等式有实数解的充分不必要条件的有( )
A. B. C. D.
2.(2020·安徽高三月考)已知关于x的不等式在上有解,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.(2021·全国高三专题练习)已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集为B,不等式x2+ax+b<0的解集是A∩B,那么a+b等于( )
A.-3 B.1
C.-1 D.3
4.(2021·全国高三专题练习)关于的一元二次方程:有两个实数根、,则=( )
A. B. C.4 D.-4
5.(2021·全国高三专题练习)已知函数在,上为增函数,在上为减函数,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【题组四 一元二次不等式(恒)成立】
1.(2021·峨山彝族自治县第一中学高三三模(文))对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.{a|a<2} B.{a|a≤2}
C.{a|-22.(2021·北京高三期末)对,若不等式恒成立,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.(2020·山东高三月考)“,”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
4.(2021·浙江高三专题练习)已知时,不等式恒成立,则的取值范围为
A.(-∞,2)∪(3,+∞) B.(-∞,1)∪(2,+∞)
C.(-∞,1)∪(3,+∞) D.(1,3)
5.(2021·奉新县第一中学高三三模)对任意,函数的值恒大于零,则的取值范围是( )
A. B.或 C. D.或
6.(2020·全国高三专题练习(理))设函数,对任意的都有,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.(多选)(2021·全国高三专题练习)若不等式对任意的恒成立,则实数可能是
A.1 B.2 C.3 D.4
8.(多选)(2021·全国高三专题练习)若,使得成立是假命题,则实数可能取值是( )
A. B. C.3 D.
【题组五 含参一元二次不等式的解法】
1.(多选)(2021·浙江湖州市·湖州中学)对于给定实数,关于的一元二次不等式的解集可能是( )
A. B. C. D.
2.(2020·全国高三专题练习)设,则关于的不等式的解集为( )
A.或 B.{x|x>a}
C.或 D.
3.(2020·全国高三专题练习)关于x的不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
4.(2021年各地模拟节选)解下列关于x的不等式:
(1)
(2) ,若,解上述关于的不等式.
(3)求不等式的解集.
(4).
(5)
(6).
(7)ax2-2(a+1)x+4>0.
【题组六 不等式的性质】
1.(2021·上海高三二模)设、均为非零实数且,则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
2.(2021·四川高三三模)已知,则下列不等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
3.(多选)(2021·肇庆市百花中学高三其他模拟)若,则( )
A. B.的最小值为10
C. D.的最小值为9
4.(多选)(2021·广东高三其他模拟)已知,且,则( )
A. B.
C. D.
5.(多选)(2021·湖南岳阳市·高三二模)下列结论正确的是( )
A.若a,b为正实数,,则
B.若a,b,m为正实数,,则
C.若a,,则“”是“”的充分不必要条件
D.当时,的最小值是
6.(多选)(2021·河北张家口市·高三二模)已知,则下列选项一定正确的是( )
A. B.
C. D.2.1 一元二次不等式解法及运用(精练)
【题组一 不等式的解法】
1.(2021·陕西西安市·高三二模)已知“x>2”是“<1”的( )条件.
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要
【答案】A
【解析】,
所以是的充分不必要条件.故选:A
2.(2021·陕西省汉中中学高三)已知集合,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】,,因此,.
故选:A.
3.(2021·全国高三)已知命题:,命题:,若是的充分不必要条件,则实数的取值集合是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由得,而是的充分不必要条件,即,所以. 选.
4.(2021·全国高三专题练习)不等式的解集为____________
【答案】
【解析】由可得或,解得或,
即不等式的解集为.故答案为:.
5.(2021·全国高三专题练习)不等式的解集为______________.
【答案】
【解析】不等式等价于,
解得.
故答案为:.
6.(2021·全国高三专题练习)不等式的解集为________
【答案】
【解析】如下图所示:
根据图象可知:当或或时,,
所以不等式的解集为:,
故答案为:.
7.(2020·黑龙江牡丹江市·牡丹江一中)解下列不等式.
(1);
(2).
【答案】(1);(2).
【解析】(1)方程的根为:,利用数轴穿根法可得:
所以不等式的解集为;
(2)且,
解得.
【题组二 一元二次方程的根与不等式解的关系】
1.(2021年福建)已知不等式ax2-bx-1≥0的解集是,则不等式x2-bx-a<0的解集为________.
【答案】(2,3)
【解析】由题意知-,-是方程ax2-bx-1=0的两根,所以由根与系数的关系得
解得不等式x2-bx-a<0即为x2-5x+6<0,解集为(2,3).
2.(2021湖北黄冈)关于x的不等式ax+b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x-2)<0的解集是
【答案】(1,2)
【解析】∵关于x的不等式ax+b>0的解集是(1,+∞),∴a>0,且-=1,∴关于x的不等式(ax+b)(x-2)<0可化为(x-2)<0,即(x-1)(x-2)<0,所以不等式的解集为{x|13.(2021·全国高三专题练习)关于的不等式的解集为或,则关于的不等式的解集为
【答案】
【解析】由题意知:,则有,
∴,解之得,
4.(2021·山西阳泉市·高三期末)在等差数列中,,满足不等式的解集为,则数列的前11项和等于
【答案】-132
【解析】因为不等式的解集为,
故为的两个根,所以,
所以等差数列的前11项和为,
5.(2020·四川乐山市·高三月考)已知关于的不等式的解集是或,则的值是
【答案】0
【解析】由题知,且-1,2是方程的两根,则,,解得,,则.
【题组三 一元二次方程的个数、大小问题】
1.(多选)(2021·全国高三专题练习)下列选项中,关于x的不等式有实数解的充分不必要条件的有( )
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】时必有解,当时,或,
故AC符合题意.故选:AC
2.(2020·安徽高三月考)已知关于x的不等式在上有解,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】时,不等式可化为;令,则,当且仅当时,等号成立,综上所述,实数a的取值范围是.故选:A.
3.(2021·全国高三专题练习)已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集为B,不等式x2+ax+b<0的解集是A∩B,那么a+b等于( )
A.-3 B.1
C.-1 D.3
【答案】A
【解析】由题意:A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2}.
A∩B={x|-1<x<2},由根与系数的关系可知:
a=-1,b=-2,∴a+b=-3.故选:A.
4.(2021·全国高三专题练习)关于的一元二次方程:有两个实数根、,则=( )
A. B. C.4 D.-4
【答案】D
【解析】由有两个实数根,可得,
所以.故选:D.
5.(2021·全国高三专题练习)已知函数在,上为增函数,在上为减函数,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】已知函数,
则,
因为在,上为增函数,在上为减函数,
所以,即,
解得 ,
所以实数的取值范围为
故选:B
【题组四 一元二次不等式(恒)成立】
1.(2021·峨山彝族自治县第一中学高三三模(文))对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.{a|a<2} B.{a|a≤2}
C.{a|-2【答案】D
【解析】当a-2=0,即a=2时,-4<0,恒成立,符合题意;
当a-2≠0时,由题意知,,解得-22.(2021·北京高三期末)对,若不等式恒成立,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】对,若不等式恒成立,
则,
因为,所以.
故选:C.
3.(2020·山东高三月考)“,”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】若命题“,”为真命题,则,
则是的充分不必要条件,故选:D.
4.(2021·浙江高三专题练习)已知时,不等式恒成立,则的取值范围为
A.(-∞,2)∪(3,+∞) B.(-∞,1)∪(2,+∞)
C.(-∞,1)∪(3,+∞) D.(1,3)
【答案】C
【解析】由题意,因为时,不等式恒成立,
可转化为关于的函数,
则对应任意恒成立,
则满足,解得:或,
即的取值范围为.
故选:C
5.(2021·奉新县第一中学高三三模)对任意,函数的值恒大于零,则的取值范围是( )
A. B.或 C. D.或
【答案】B
【解析】对任意,函数的值恒大于零
设,即在上恒成立.
在上是关于的一次函数或常数函数,其图象为一条线段.
则只需线段的两个端点在轴上方,即 ,解得或
故选:B
6.(2020·全国高三专题练习(理))设函数,对任意的都有,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵对任意的,都有恒成立,
∴对任意的恒成立,
∵,∴,
∴实数的取值范围是.故选:D.
7.(多选)(2021·全国高三专题练习)若不等式对任意的恒成立,则实数可能是
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】ABC
【解析】设,,
则不等式对任意恒成立,
即转化为不等式在上恒成立,
即转化为在上恒成立,
由对勾函数知在上单减,,
故选:ABC
8.(多选)(2021·全国高三专题练习)若,使得成立是假命题,则实数可能取值是( )
A. B. C.3 D.
【答案】AB
【解析】由条件可知,是真命题,
即,即,

等号成立的条件是,所以的最小值是,
即,满足条件的有AB.故选:AB
【题组五 含参一元二次不等式的解法】
1.(多选)(2021·浙江湖州市·湖州中学)对于给定实数,关于的一元二次不等式的解集可能是( )
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】由,分类讨论如下:
当时,;
当时,;
当时,或;
当时,;
当时,或.
故选:AB.
2.(2020·全国高三专题练习)设,则关于的不等式的解集为( )
A.或 B.{x|x>a}
C.或 D.
【答案】A
【解析】因为,所以等价于,
又因为当时,,所以不等式的解集为:或.
故选:A.
3.(2020·全国高三专题练习)关于x的不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】方程的两根分别为 ,
又,所以,故此不等式的解集为.故选:C
4.(2021年各地模拟节选)解下列关于x的不等式:
(1)
(2) ,若,解上述关于的不等式.
(3)求不等式的解集.
(4).
(5)
(6).
(7)ax2-2(a+1)x+4>0.
【答案】见解析
【解析】(1)
当时,不等式为,解集为;
时,不等式分解因式可得
当时,故,此时解集为;
当时,,故此时解集为;
当时,可化为,又
解集为;
当时,可化为,又
解集为.
综上有,时,解集为;
时,解集为;
时,解集为;
时,解集为;
时,解集为
(2)把化简得,,
①当时,不等式的解为
②当,即 ,得,此时,不等式的解为或
③当,即,得 或,
当时,不等式的解为或,
当时,不等式的解为 ,
④当,得,此时,,解得且,
综上所述,当时,不等式的解为,
当时,不等式的解为
当时,不等式的解为或,
当时,不等式的解为且,
当时,不等式的解为或.
(3),

①时,,可得;
②时,可得
若,解可得,或;
若,则可得,
当即时,解集为,;
当即时,解集为,;
当即时,解集为.
(4)不等式可化为.
①当时,,解集为,或;
②当时,,解集为;
③当时,,解集为,或.
综上所述,
当时,原不等式的解集为,或;
当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为,或.
(5) 当时,不等式即,解得.
当时,对于方程,
令,解得或;
令,解得或;
令,解得或,方程的两根为.
综上可得,当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集;
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为.
(6)原不等式可变形为.
①当时,则有,即,解得;
②当时,,解原不等式得或;
③当时,.
(i)当时,即当时,原不等式即为,该不等式无解;
(ii)当时,即当时,解原不等式得;
(iii)当时,即当时,解原不等式可得.
综上所述:①当时,原不等式的解集为;
②当时,原不等式的解集为;
③当时,原不等式的解集为;
④当时,原不等式的解集为;
⑤当时,原不等式的解集为.
(7)(1)当a=0时,原不等式可化为-2x+4>0,解得x<2,所以原不等式的解集为{x|x<2}.
(2)当a>0时,原不等式可化为(ax-2)(x-2)>0,对应方程的两个根为x1=,x2=2.
①当02,所以原不等式的解集为或;
②当a=1时,=2,所以原不等式的解集为{x|x≠2};
③当a>1时,<2,所以原不等式的解集为或.
(3)当a<0时,原不等式可化为(-ax+2)(x-2)<0,对应方程的两个根为x1=,x2=2,
则<2,所以原不等式的解集为.
综上,a<0时,原不等式的解集为;
a=0时,原不等式的解集为{x|x<2};
0当a>1时,原不等式的解集为或.
【题组六 不等式的性质】
1.(2021·上海高三二模)设、均为非零实数且,则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A.因为,的正负无法确定,故错误;
B.因为,的正负无法确定,故错误;
C.因为,的正负无法确定,故错误;
D.因为, ,所以,所以,故正确,
故选:D.
2.(2021·四川高三三模)已知,则下列不等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A,由知,不一定成立,故A错误;
对于B,由,知,故B错误;
对于C,取,,
则,C也不一定成立,故C错误;
由,知,D项正确.故选:D.
3.(多选)(2021·肇庆市百花中学高三其他模拟)若,则( )
A. B.的最小值为10
C. D.的最小值为9
【答案】AB
【解析】因为,所以,,故A正确,C错误;
因为,
当且仅当,时,等号成立,所以的最小值为10,因此B正确;
因为,当且仅当时,等号成立,但,取不到2,所以的最小值不是9,因此D不正确,
故选:AB
4.(多选)(2021·广东高三其他模拟)已知,且,则( )
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】对于A,令,则,故A不正确;
对于B,,当且仅当,即时,等号成立;故B正确;
对于C,,当且仅当时,等号成立,故C正确;
对于D,由,所以,,则,故D正确.
故选:BCD.
5.(多选)(2021·湖南岳阳市·高三二模)下列结论正确的是( )
A.若a,b为正实数,,则
B.若a,b,m为正实数,,则
C.若a,,则“”是“”的充分不必要条件
D.当时,的最小值是
【答案】AC
【解析】对于A,因为a,b为正实数,
所以,故A对;
对于B,因为a,b,m为正实数,则,
所以,所以B错;
对于C,因为,则,则
反之未必,如时,满足,但不成立,
所以“”是“”的充分不必要条件,所以C对;
对于D,因为,所以,于是,
即的最大值是,所以D错.
故选:AC.
6.(多选)(2021·河北张家口市·高三二模)已知,则下列选项一定正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】由,得,,,
所以,,又,所以,故A正确;
因为,
所以,故B错误;
因为,又,所以,故C正确;
因为,又,所以,D正确,
故选:ACD.2.1 一元二次不等式解法及运用(精讲)
考法一 不等式的解法
【例1】(1)(2021·全国高三专题练习)已知集合,,则( )
B. C. D.
(2)(2021·云南昆明市·昆明一中)设集合,,则( )
A. B. C. D.
(3)(2021·全国高三专题练习)不等式的解集为( )
A.,或 B.,或
C.,或 D.,或
【答案】(1)B(2)A(3)A
【解析】(1)由已知,,
所以.故选:B.
(2),,因此,.故选:A.
(3)原不等式可转化为,
结合数轴标根法可得,或.
即不等式的解集为,或.故选:A.
【一隅三反】
1.(2021·上海高三二模)已知实数,则“”是“”的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】等价于,即,化简得,解得
则“”是“”的必要非充分条件故选:B
2.(2021·全国高三专题练习)已知集合,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
,所以,
故选:C.
3.(2020·全国高三专题练习)不等式成立的一个充分不必要条件是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】的解集为或,所给选项中只有为或的真子集.故选:C.
4.(2021·全国高三专题练习)不等式(1+x)(1-x2)>0的解集是( )
A.{x|0≤x<1} B.{x|x<0且x≠-1}
C.{x|-1【答案】D
【解析】由已知得,等价于且
即不等式的解集为{x|x<1且x≠-1}故选:D
5.(2021·全国高三专题练习)不等式的解集为( )
A.或 B.或
C.或 D.或
【答案】C
【解析】原不等式可化为,即,则,
如图,利用穿针引线法得:或,
所以原不等式的解集为:或.
故选:C.
考法二 一元二次方程的根与不等式解的关系
【例2】(1)(2021·全国高三专题练习)已知关于x的不等式的解集是,则关于x的不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
(2)(2021·全国高三专题练习)关于的不等式的解集为或,则关于的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
【答案】(1)A(2)B
【解析】(1)由关于x的不等式的解集是,得且,
则关于x的不等式可化为,即,
解得:或,所求不等式的解集为:.故选:A.
(2)由题意,则有,∴,解之得,故选:B
【一隅三反】
1.(2021·全国高三专题练习)不等式的解集为,则不等式的解集为( )
A.或 B.
C. D.或
【答案】A
【解析】由题意可知、是关于的二次方程的两根,
由韦达定理可得,解得,
不等式即为,解得或.
因此,不等式的解集为或.故选:A.
2.(多选)(2021·全国高三专题练习)已知关于的不等式解集为或,则( )
A. B.不等式的解集为
C. D.不等式的解集为或
【答案】ABD
【解析】因为关于的不等式解集为或,
所以和是方程的两个实根,且,故正确;
所以,,所以,
所以不等式可化为,因为,所以,故正确;
因为,又,所以,故不正确;
不等式可化为,又,
所以,即,即,解得或,故正确.
故选:A B D
3.(2021·福州调研)已知不等式ax2-bx-1>0的解集是{x|-【答案】 {x|x≥3或x≤2}
【解析】由题意,知-,-是方程ax2-bx-1=0的两个根,且a<0,所以解得
故不等式x2-bx-a≥0为x2-5x+6≥0,
解得x≥3或x≤2.
考法三 一元二次方程的个数、大小问题
【例3】(1)(2020·全国高三专题练习)若和分别是一元二次方程的两根,则的是_____________.
(2)(2021·全国高三专题练习)若关于的不等式有实数解,则的取值范围是 。
(3)(2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三)关于的方程的两根都大于2,则的取值范围是
(4)(2020·全国高三)方程的一根在区间内,另一根在区间内,则的取值范围是
(5)(2021·全国高三专题练习)若关于的不等式的解集中恰有个正整数,则实数的取值范围为
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)
【解析】(1)由韦达定理:, ,.故答案为:.
(2)当时,符合题意,当时,,解得,
所以
(3)∵关于的方程的两根都大于2,
令,可得,
即,求得,
(4)令,由二次函数根的分布性质,若一根在区间内,
另一根在区间(3,4)内,
只需,即,
解不等式组可得,即的取值范围为,
(3)因为不等式的解集中恰有个正整数,
即不等式的解集中恰有个正整数,所以,所以不等式的解集为
所以这三个正整数为,所以,即
【一隅三反】
1.(2021年广东汕头)已知方程有两个负实根,则实数的取值范围是 。
【答案】
【解析】要原方程有两个负实根,必须:
.

∴实数的取值范围是.
2.(2021年广东云浮)若是一元二次方程的两个根,则的值为 。
【答案】
【解析】,故方程必有两根,
又根据二次方程根与系数的关系,可得,
所以.
3.(2020·奉新县第一中学高三)若一元二次方程的两个实根都大于,则的取值范围____
【答案】或.
【解析】由题意得应满足解得:或.
故答案为:或.
4.(2020·甘肃省会宁县第四中学高三月考)关于x方程在内恰有一解,则a的取值范围
【答案】
【解析】当时,,不合题意;
∴,令,有,,要使在内恰有一个零点,
∴即可,则,
5.(2021年湖南)若方程只有正根,则m的取值范围是 。
【答案】
【解析】方程只有正根,则
当,即时,
当时,方程为时,,符合题意;
当时,方程为时,不符合题意.
故成立;
当,解得或,
则,解得.综上得.
6.(2021·北京高三专题练习)若关于的不等式在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是
【答案】
【解析】不等式等价于存在,使成立,即
设 当时, 所以 .
考法四 一元二次不等式(恒)成立
【例4】(1)(2021·全国高三专题练习)已知关于的不等式恒成立,则的取值范围为
(2)(2021·四川高三一模)已知命题,若为真命题,则的取值范围为___________(结果用区间表示).
(3)(2021·全国高三专题练习)已知关于的不等式在区间上有解,则实数的取值范围为
【答案】(1)(2)(3)
【解析】(1)因为关于的不等式恒成立,分以下两种情况讨论:
(1)当时,可得,合乎题意;
(2)当时,则有,解得.
综上所述,实数的取值范围是.故选:B.
(2),,则,
令,则在上单调递增,
,,即的取值范围为.故答案为:.
(3)由题意得:关于的不等式在区间上有解,等价于不等式在区间上有解,设,则函数在上单调递增,所以,
所以实数的取值范围为
【一隅三反】
1.(2021·全国高三专题练习)不等式的解集为,则实数的取值范围为________.
【答案】
【解析】当时,不等式显然恒成立,即,满足条件.
当时,为二次函数,要恒大于零只有开口向上,.
所以, 即综上所述:
2.(2020·济南德润高级中学高三期中)若存在实数,使得关于的不等式成立,则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】时,若,则不等式为,不等式成立,满足题意,
时,在在使得不等式成立,则,∴.
综上,.故答案为:.
3.(2021·全国高三专题练习)“,”为假命题,则实数a的最小值为________.
【答案】1
【解析】,”为假命题,即在[-1,3]上,恒成立,
分离参数得,令,当时取得最大值1,
的最小值为1,故答案为:1.
4.(2020·全国高三专题练习)关于的不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是_______.
【答案】
【解析】∵在上为减函数,且不等式对任意恒成立,则只需,即.
故答案为:.
5.(2021·辽宁高三二模)若“,使得成立”是假命题,则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】若“,使得成立”是假命题,则“,使得成立”是真命题,分离,进而.
考法五 含参一元二次不等式的解法
【例5】(1)(2021·全国高三专题练习)解关于的不等式:().
(2)(2021·全国高三专题练习)已知关于的不等式:,当时解不等式.
【答案】见解析
【解析】(1)原不等式化为,
①或时,不等式为,所以不等式的解集为;
②当或时,,不等式的解集为;
③当或时,,不等式的解集为.
综上所述:当①或时,不等式的解集为;②当或时,不等式的解集为;③当或时,不等式的解集为.
(2)原不等式可变形为:,
当时,,所以即解集为;
当时,,所以即解集为;
当时,,令,所以,
若时,,所以解集为,
若时,,所以解集为,
若时,,所以解集为,
综上可知:时解集为;时解集为;
时解集为;时解集为.
【一隅三反】
1.(2021·上海)解关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0(其中a为常数且).
【答案】答案见解析
【解析】由x2-(a+1)x+a<0可得(x-a)(x-1)<0.
当a<1时,解得a当a=1时,解集为;
当a>1时,解得1综上所述,当a<1时,原不等式的解集为(a,1);当a=1时,原不等式的解集为;当a>1时,原不等式的解集为(1,a).
2.(2021·全国)解关于x的不等式.
【答案】答案见解析.
【解析】,不等式的解为;
当时,不等式对应方程的根为或2,
①当时,不等式即 的解集为;
②当时,不等式的解集为 ;
③当时,不等式的解集为 ;
④当时,不等式的解集为 .
综上所述,当时,不等式解集为;
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为.
3.(2021·江苏高三专题练习)解关于的不等式
【答案】见解析
【解析】原不等式等价于
(1)当时,解集为
(2)当时,原不等式可化为,
因为,所以解集为
(3)当时,,解集为
(4)当时,原不等式等价于,即,
解集为
(5)当时,,解集为
综上所述,当时,解集为;当时,解集为;
当时,解集为;当时,解集为
考法六 不等式的性质
【例6】(1)(多选)(2021·辽宁高三其他模拟)设实数满足,则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
(2)(2021·千阳县中学高三)已知,,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】(1)BCD(2)C
【解析】对于A选项:取a=-3,b=-1,满足条件,而a2>b2,A不正确;
对于B选项:因,则,又函数在单调递增,即,B正确;
对于C选项:因,则,,即,C正确;
对于D选项:因,则,,D正确.
故选:BCD
(2).
设,
所以,解得:,

因为,,
所以,
因为单调递增,
所以.
故选:C
【一隅三反】
1.(2021·广东珠海市·高三二模)已知,满足,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因,,则a>0,b<0,,A不正确;,则,B不正确;又,即,则,,C正确;由得,D不正确.
故选:C
2.(2021·北京八十中高三其他模拟)已知非零实数,满足,则下列不等式中一定成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对A,当时,不等式无意义,故A错误;
对B,当时,,故B错误;
对C,当时,,故C错误;
对D,当时,成立,故D正确;
故选:D.
3.(多选)(2021·江苏苏州市·常熟中学高三三模)若实数x,y满足,则( )
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】对于A:因为,所以,故A正确;
对于B:因为,所以不能判断的大小关系,所以不能比较的大小关系,故B不正确;
对于C:假设成立,则,化简得在恒成立,故C正确;
对于D:令函数,则,又,所以,所以函数 在上单调递增,
又,所以,所以,即,故D正确,
故选:ACD.

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