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7.5 空间向量求空间角(精讲)
考点一 线线角
【例1】(2021·陕西西安市·西安中学高三其他模拟(理))已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,的中点为,底面,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【一隅三反】
1.(2021·陕西宝鸡市·高三三模(理))已知圆锥的顶点为,高和底面的半径之比为,设是底面的一条直径,为底面圆周上一点,且,则异面直线与所成的角为( )
A. B. C. D.
2.(2021·全国高三月考(理))底面为正三角形的直棱柱中,,,,分别为,的中点,则异面直线与所成的角的余弦值为( )
A. B. C. D.
3.(2021·漠河市高级中学高三月考(理))如图所示,正方体中,点分别在上,,,则与所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
考点二 线面角
【例2-1】(2021·福建三明市·三明一中高三其他模拟)如图,在四棱锥中,平面平面,平面平面,四边形为直角梯形,其中,,,E是的中点.
(1)求证:
(2)若,求直线与平面所成的角的正弦值.
【例2-2】(2021·山东高三其他模拟)如图,C是以AB为直径的圆O上异于A,B的点,平面平面,中,,,E,F分别是,的中点.
(1)求证:平面;
(2)记平面与平面的交线为直线l,点Q为直线l上动点,求直线与平面所成的角的取值范围.
【一隅三反】
1.(2021·全国高三其他模拟)如图,在四棱锥中,底面ABCD为正方形,,为线段PD的中点.
(1)求证:
(2)求直线PB与平面CFB所成角的正弦值.
2.(2021·全国高三二模)如图,在三棱柱中,,,四边形是菱形,,,点是中点,点是上靠近点的三等分点.
(1)证明:;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
3.(2021·沈阳市·辽宁实验中学高三二模)已知四棱锥的底面是菱形,对角线、交于点,,,底面,设点满足.
(1)若三棱锥体积是,求的值;
(2)若直线与平面所成角的正弦值是,求的值.
考点三 二面角
【例3-1】(2021·北京育英中学高三月考)如图,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.
(1)证明:MN∥平面C1DE;
(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.
【例3-2】.(2021·北京高考真题)已知正方体,点为中点,直线交平面于点.
(1)证明:点为的中点;
(2)若点为棱上一点,且二面角的余弦值为,求的值.
【一隅三反】
1.(2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟(理))如图,四边形ABEF为正方形,,AD⊥DC,AD=2DC=2BC,
(1)求证:点D不在平面CEF内;
(2)若平面ABCD⊥平面ABEF,求二面角A﹣CF﹣D的余弦值.
2.(2021·全国高三其他模拟(理))如图,在四棱锥中,底面为菱形,平面平面,,为棱的中点.
(1)证明:;
(2)若,,求二面角的余弦值.
3.(2021·全国高三其他模拟(理))如图,在三棱台中,侧棱平面点在棱上,且
(1)证明:平面;
(2)当二面角的余弦值为,求的值.
4.(2021·全国高考真题(理))已知直三棱柱中,侧面为正方形,,E,F分别为和的中点,D为棱上的点.
(1)证明:;
(2)当为何值时,面与面所成的二面角的正弦值最小 7.5 空间向量求空间角(精练)
【题组一 线线角】
1.(2021·河北饶阳中学高三其他模拟)如图,正方体的棱长为6,点F是棱的中点,AC与BD的交点为O,点M在棱BC上,且,动点T(不同于点M)在四边形ABCD内部及其边界上运动,且,则直线与TM所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】法一:易知.
因为平面ABCD,所以,所以平面AFO,
又平面AFO,所以,
在棱DC上取一点N,且,连接NM,则,所以,所以动点T的轨迹为线段MN(不包括M).
取棱的中点H,连接DH,易知,则即异面直线与TM所成的角.连接BH,因为,,,
所以
法二:以A为坐标原点,直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
易知,,,,设,则,,.
由题意知,得,
所以,则,
又T不与点M重合,所以,所以,
所以直线与TM所成角的余弦值为,故选:B.
2.(2021·内蒙古乌兰察布市·高三一模(理))四棱锥P﹣ABCD中,PD=DA=AB=CD,AB∥CD,∠ADC=90°,PD⊥平面ABCD,M为PC中点,平面ADM交PB于Q,则CQ与PA所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】以为轴建立空间直角坐标系,如图,设,
则,,,,为中点,则,
,设,,
,,
因为平面,即与共面,
所以存在实数,使得,
所以,解得,,
,又,
.
所以CQ与PA所成角的余弦值为.
故选:D.
3.(2021·浙江嘉兴市·高三其他模拟)三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,,点Q为平面ABC内的动点,且满足,记直线PQ与直线AB的所成角为,则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】因为两两垂直,且,所以由全等三角形可知,
所以三棱锥为正三棱锥,记在底面内的投影为,
所以,
因为,所以,所以,
因为,所以,所以的轨迹是以为圆心半径为的圆,
取中点,连接,可知经过点,建立如下图所示的空间直角坐标系:
设,,
所以,
所以,
所以,
所以,且,
所以,所以,
故答案为:.
4.(2021·湖南永州市·高三其他模拟)已知正四面体内接于半径为的球中,在平面内有一动点,且满足,则的最小值是___________;直线与直线所成角的取值范围为___________.
【答案】
【解析】设A在面内的投影为E,故E为三角形BCD的中心,
设正四面体的棱长为,球的半径为.
则,,
依题可得,球心在上,,代入数据可得,
则,,
又,,
故的轨迹为平面BCD内以E为圆心,为半径的圆,
,
三点共线时,且P在BE之间时,的最小值是.
以E为圆心,BE所在直线为x轴建立如图所示直角坐标系,
,,,,
设,,
故,,
设直线与直线所成角为,
∵,
∴,
又,故,
故答案为:,.
5.(2021·江苏南通市·高三其他模拟)如图,在直角梯形中,,.已知.将沿直线翻折成,连接.当三棱锥的体积取得最大值时,异面直线与所成角的余弦值为___________;若此时三棱锥外接球的体积为,则a的值为___________.
【答案】; .
【解析】在直角梯形中,∵,,,
∴,,可得,即,
当平面平面时,三棱锥的体积取得最大值,
取中点E,中点F,连接,,则,
∵平面平面,且平面平面,∴平面,
∵,,∴,
以E为坐标原点,分别以 所在直线为x y z轴建立空间直角坐标系,
则,,,
∴,,
设异面直线与所成角为,
则 ,
即异面直线与所成角的余弦值为;
显然,又,
所以点是三棱锥外接球的球心,且球半径.
由,解得.
故答案为:① ;② .
6.(2021·海原县第一中学高三二模(理))如图,在四棱锥中,四边形为直角梯形,并且,,底面,已知,四边形的面积为.
(1)证明:直线平面;
(2)点为棱的中点,当直线与平面所成的角为时,求直线与所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】(1)因为四边形的面积为,所以,解得,
如图,过点作于点,则,,
因为,所以,
因为底面,底面,所以,
因为,所以直线平面.
(2)因为底面,所以为在平面内的投影,
故即为直线与平面所成的角,,
因为,所以,
因为,所以,
如图,作空间直角坐标系,
则,,,,
,,
则,
故直线与所成角的余弦值为.
【题组二 线面角】
1.(2021·全国高三其他模拟(理))如图,在圆柱中,是圆柱的一条母线,是圆O的内接四边形,是圆O的直径,.
(1)若,求证:平面;
(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】(1)因为,所以,
因为是圆O的内接四边形,所以,
所以,,
所以是等腰梯形,所以,
又因为,所以,
因为是圆O的直径,连接,所以,
所以,,均为正三角形,
所以,
所以,
又因为平面,平面,
所以平面.
(2)以O为坐标原点,分别以,,所在直线为x,y,z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
因为,所以,,,
则点,,,,
所以,,,
设平面的法向量为,
则,即,
令,可得,
设直线与平面所成角为θ,
,所以直线与平面所成角的正弦值为.
2.(2021·浙江高考真题)如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,,M,N分别为的中点,.
(1)证明:;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】(1)在中,,,,由余弦定理可得,
所以,.由题意且,平面,而平面,所以,又,所以.
(2)由,,而与相交,所以平面,因为,所以,取中点,连接,则两两垂直,以点为坐标原点,如图所示,建立空间直角坐标系,
则,
又为中点,所以.
由(1)得平面,所以平面的一个法向量
从而直线与平面所成角的正弦值为.
3.(2021·湖南高三其他模拟)如图,在三棱锥中,与是全等的等边三角形,且平面平面.
(1)证明:;
(2)求与平面所成角的正弦值
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】解:(1)取的中点,连接、,因为与是全等的等边三角形,所以,,因为,面,所以面,因为面,所以
(2)因为平面平面,平面平面,,所以平面,如图以为坐标原点,建立空间直角坐标系,令,则,,,,所以,,,设面的法向量为,则,所以,令,则,,所以,设与平面所成的角为,则
4.(2021·上海复旦附中高三其他模拟)如图,在三棱锥中,是正三角形,是等腰直角三角形,,.
(1)求证:;
(2)若点为的中点,求与平面所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】(1)证明:取的中点,连接、.
由题设可知,是等腰直角三角形,且,则,所以,
因为是正三角形,所以,
又,则平面,
平面,因此,;
(2)在中,,又,而,
所以,故,
由题设及(1)知,平面,
以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则、、、.
为的中点,得,故,,,
设是平面的法向量,则,即,
取,则,
因为,
所以与平面所成角的大小为.
5.(2021·辽宁高三其他模拟)如图所示,平面五边形可分割成一个边长为2的等边三角形ABC和一个直角梯形ACDE,其中AECD,AE=CD=AC,∠EAC=90°,现将直角梯形ACDE沿边AC折起,使得AE⊥AB,连接BE、BD,设线段BC的中点为F.
(1)求证:AF平面BDE;
(2)求直线EF与平面BDE所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】证明:(1)取BD的中点G,连接EG、FG,由F为BC的中点,
则FGDC且FG=CD,
因为AECD且CD=2AE,所以AEFG且AE=FG,
所以四边形AFGE为平行四边形,则AFEG,
又因为平面BDE,平面BDE,
所以AF平面BDE;
(2)∵AE⊥AB,AE⊥AC,,平面ABC,∴AE⊥平面ABC.
如图,以A为坐标原点,AF为x轴,在平面ABC内,过点A作BC的平行线为y轴,AE为z轴建立空间直角坐标系,
则,,
设平面BDE的法向量为,
则,即,
令y=1,则,所以,
设直线EF与平面BDE所成角为,
所以.
6.(2021·四川成都市·树德中学高三其他模拟(理))如图所示,在三棱柱中,,点在平面的射影为线段的中点,侧面是菱形,过点,,的平面与棱交于点.
(1)证明四边形为矩形;
(2)若与平面所成角的正切值为,求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】(1)证明:取中点为,连接,,在三棱柱中,侧面为平行四边形,所以,
又因为平面,平面,所以平面.
因为平面,且平面平面,所以.
因为在三棱柱中,平面平面,平面平面,
平面平面,所以,所以四边形为平行四边形.
在中,因为,是的中点,所以.
由题可知平面,所以,,
因为,所以平面,
所以,故四边形为矩形;
(2)由(1)知,,两两垂直,以,,所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设,又题可知,在中,,所以,
所以,,,,则,.
因为,所以.
设平面的法向量为,
则即,所以令,所以.
设与平面所成角为,
则,故与平面所成角的正弦值为.
6.(2021·湖南高三其他模拟)在长方体中,已知,为的中点.
(1)在线段上是否存在点,使得平面平面?若存在,请加以证明,若不存在,请说明理由;
(2)设,,点在上且满足,求与平面所成角的余弦值.
【答案】(1)存在,证明见解析;(2).
【解析】(1)存在,当点为线段的中点时,平面平面.
证明:在长方体中,,.
又因为平面,平面,
所以平面.
又为的中点,为的中点,
所以,且.
故四边形为平行四边形,所以,
又因为平面,平面,所以平面.
又因为,平面,平面,
所以平面平面.
(2)在长方体中,以为坐标原点,,,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示.
因为,,所以,,,,,
所以,,.
设平面的法向量为,
则,即.
令,则,,所以,
因为,设,则,
所以,则.
设与平面所成角为,
则,
即.
故与平面所成角的余弦值为.
【题组三 二面角】
1.(2021·全国高三其他模拟(理))如图,在直三棱柱中,为的中点.
(1)证明:平面.
(2)若,求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2);
【解析】(1)∵为的中点,
∴,
∵直三棱柱中,面面,面,面面,
∴面,又面,即,
由题设易知:,故,又,
∴,则,又,
∴平面.
(2)过D作,由(1)可构建以为原点,、、为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系,如下图示:
∴由题意:,,,,
∴,,,
显然,是面的一个法向量,
若是面的一个法向量,则,令,则,
∴,由图知:钝二面角的余弦值为.
2.(2021·浙江高三其他模拟)如图所示的几何体,其中底面ABCD为直角梯形,∠ADC=90°,AD=CD=1,BC=2,SA⊥底面ABCD,连接SC,SB,SD.
(1)求二面角B-SA-D的角度
(2)若SA=a,求面SAB与面SDC所成角的余弦值与a的关系,并求出余弦值的取值范围
【答案】(1)135°;(2);(0,).
【解析】(1)∵SA⊥底面ABCD,AB,AD面ABCD
∴AB⊥SA,AD⊥SA
连接BD,∴∠BAD为B-SA-D的平面角
过A作AH⊥BC,∴AH=CD=1,BH=1,∴AB=
又因为BD=,AD=1
∴cos∠BAD=,
∴∠BAD=135°
∴二面角B-SA-D的角度为135°
(2)以A点为原点,建立如图所示的坐标系
故A:(0,0,0);D:(1,0,0);S:(0,0,a);B:(-1,1,0);C:(1,1,0)
则可取二面角ABS的法向量为(1,1,0)
向量=(0,1,0);=(-1,0,a),设面SCD的法向量为(x,y,z)
得y=0,-x+az=0,令x=1,,∴=(1,0,)
∴
∴面SAB与面SDC所成角的平面角的余弦值为
记f(a)=<,故余弦值的范围是(0,)
3.(2021·全国高三其他模拟(理))如图,在侧棱垂直于底面的三棱柱中,,是线段的中点,是线段靠近点的四等分点,点在线段上.
(1)求证:;
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析; (2).
【解析】(1)由题意,在直三棱柱中,,
不妨设,则,
由余弦定理可得,因为,可得,
又由是线段的中点,所以,且,
因为平面,平面,所以,
又因为,且平面,所以平面,
因为平面,所以,
在直角中,,
因为是线段靠近点的四等分点,可得,
所以,可得,
又由且平面,所以平面,
因为平面,所以.
(2)以为原点,以分别为轴,过点作平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系,
可得,
则,
设平面的法向量为,则,
取,可得,所以,
由(1)可得平面的一个法向量为,
所以,
因为,可得.
4.(2021·全国高三其他模拟)在四棱锥中,平面,底面为梯形,,,,,.
(1)若为的中点,求证:平面;
(2)若为棱上异于的点,且,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】(1)证明:∵在梯形中,,,为的中点,
所以且,
∴四边形为平行四边形,所以,
∵平面,平面,所以平面.
(2)解:以为原点,,所在的直线为,轴,建立如图所示空间直角坐标系.
因为,,,
所以,,,,,
则,,,.
设,,则,
.
因为,所以,
即,
化简得,解得(舍)或.
所以,,即.
设为平面的一个法向量,
则,所以,
解得令,得;
设为平面的一个法向量,
则,所以
解得令,得.
设平面与平面所成锐二面角为,
则,
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
5.(2021·安徽六安市·六安一中高三其他模拟(理))如图,四棱锥中,平面平面,,,,
(1)求证:平面;
(2)若直线与底面所成的角的余弦值为,求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见详解;(2)
【解析】平面平面,平面平面,,,
平面,又平面,,
又,,,
,,
,,,
又,平面;
(2)由(1)知平面,直线与底面所成的角为,
由,,,
,平面平面,平面,,
故以为原点,方向为轴,方向为轴,方向为轴建立空间直角坐标系,如图:
,,,,,为平面的一个法向量,设平面的法向量为,则,即,令得,则,
则,所以二面角的余弦值为
6(2021·陕西高三其他模拟(理))如图,在正三棱柱中,分别是的中点.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】(1)如图建立空间直角坐标系,则,,,,,,所以,,,设面的法向量为,则,即,令则,,所以,因为,面,所以平面;
(2)因为,,设面的法向量为,则,即,令,则,,所以;
设面的法向量为,则,即,令,则,,所以;
设二面角为,则
故二面角的余弦值为7.5 空间向量求空间角(精练)
【题组一 线线角】
1.(2021·河北饶阳中学高三其他模拟)如图,正方体的棱长为6,点F是棱的中点,AC与BD的交点为O,点M在棱BC上,且,动点T(不同于点M)在四边形ABCD内部及其边界上运动,且,则直线与TM所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
2.(2021·内蒙古乌兰察布市·高三一模(理))四棱锥P﹣ABCD中,PD=DA=AB=CD,AB∥CD,∠ADC=90°,PD⊥平面ABCD,M为PC中点,平面ADM交PB于Q,则CQ与PA所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
3.(2021·浙江嘉兴市·高三其他模拟)三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,,点Q为平面ABC内的动点,且满足,记直线PQ与直线AB的所成角为,则的取值范围为___________.
4.(2021·湖南永州市·高三其他模拟)已知正四面体内接于半径为的球中,在平面内有一动点,且满足,则的最小值是___________;直线与直线所成角的取值范围为___________.
5.(2021·江苏南通市·高三其他模拟)如图,在直角梯形中,,.已知.将沿直线翻折成,连接.当三棱锥的体积取得最大值时,异面直线与所成角的余弦值为___________;若此时三棱锥外接球的体积为,则a的值为___________.
6.(2021·海原县第一中学高三二模(理))如图,在四棱锥中,四边形为直角梯形,并且,,底面,已知,四边形的面积为.
(1)证明:直线平面;
(2)点为棱的中点,当直线与平面所成的角为时,求直线与所成角的余弦值.
【题组二 线面角】
1.(2021·全国高三其他模拟(理))如图,在圆柱中,是圆柱的一条母线,是圆O的内接四边形,是圆O的直径,.
(1)若,求证:平面;
(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.
2.(2021·浙江高考真题)如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,,M,N分别为的中点,.
(1)证明:;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
3.(2021·湖南高三其他模拟)如图,在三棱锥中,与是全等的等边三角形,且平面平面.
(1)证明:;
(2)求与平面所成角的正弦值
4.(2021·上海复旦附中高三其他模拟)如图,在三棱锥中,是正三角形,是等腰直角三角形,,.
(1)求证:;
(2)若点为的中点,求与平面所成角的大小.
5.(2021·辽宁高三其他模拟)如图所示,平面五边形可分割成一个边长为2的等边三角形ABC和一个直角梯形ACDE,其中AECD,AE=CD=AC,∠EAC=90°,现将直角梯形ACDE沿边AC折起,使得AE⊥AB,连接BE、BD,设线段BC的中点为F.
(1)求证:AF平面BDE;
(2)求直线EF与平面BDE所成角的正弦值.
6.(2021·四川成都市·树德中学高三其他模拟(理))如图所示,在三棱柱中,,点在平面的射影为线段的中点,侧面是菱形,过点,,的平面与棱交于点.
(1)证明四边形为矩形;
(2)若与平面所成角的正切值为,求与平面所成角的正弦值.
6.(2021·湖南高三其他模拟)在长方体中,已知,为的中点.
(1)在线段上是否存在点,使得平面平面?若存在,请加以证明,若不存在,请说明理由;
(2)设,,点在上且满足,求与平面所成角的余弦值.
【题组三 二面角】
1.(2021·全国高三其他模拟(理))如图,在直三棱柱中,为的中点.
(1)证明:平面.
(2)若,求二面角的余弦值.
2.(2021·浙江高三其他模拟)如图所示的几何体,其中底面ABCD为直角梯形,∠ADC=90°,AD=CD=1,BC=2,SA⊥底面ABCD,连接SC,SB,SD.
(1)求二面角B-SA-D的角度
(2)若SA=a,求面SAB与面SDC所成角的余弦值与a的关系,并求出余弦值的取值范围
3.(2021·全国高三其他模拟(理))如图,在侧棱垂直于底面的三棱柱中,,是线段的中点,是线段靠近点的四等分点,点在线段上.
(1)求证:;
(2)求二面角的正弦值.
4.(2021·全国高三其他模拟)在四棱锥中,平面,底面为梯形,,,,,.
(1)若为的中点,求证:平面;
(2)若为棱上异于的点,且,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
.
5.(2021·安徽六安市·六安一中高三其他模拟(理))如图,四棱锥中,平面平面,,,,
(1)求证:平面;
(2)若直线与底面所成的角的余弦值为,求二面角的余弦值.
6(2021·陕西高三其他模拟(理))如图,在正三棱柱中,分别是的中点.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的余弦值.7.5 空间向量求空间角(精讲)
考点一 线线角
【例1】(2021·陕西西安市·西安中学高三其他模拟(理))已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,的中点为,底面,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设三棱柱的棱长为,
,为的中点,则,
平面,以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,如下图所示:
则点、、,
所以,,.
因此,异面直线与所成角的余弦值为.故选:D.
【一隅三反】
1.(2021·陕西宝鸡市·高三三模(理))已知圆锥的顶点为,高和底面的半径之比为,设是底面的一条直径,为底面圆周上一点,且,则异面直线与所成的角为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设圆锥底面圆的圆心为,设圆锥的底面圆的半径为,以圆锥底面圆的圆心为原点,、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系,如下图所示:
则、、、,
,,
所以,,
,所以,,
因此,异面直线与所成的角为.故选:A.
2.(2021·全国高三月考(理))底面为正三角形的直棱柱中,,,,分别为,的中点,则异面直线与所成的角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图,,
,
∴,故选:C
3.(2021·漠河市高级中学高三月考(理))如图所示,正方体中,点分别在上,,,则与所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
以D为原点,建立如图所示空间直角坐标系,设正方体边长为3,则
,设EF与所成的角为,
则故选:C
考点二 线面角
【例2-1】(2021·福建三明市·三明一中高三其他模拟)如图,在四棱锥中,平面平面,平面平面,四边形为直角梯形,其中,,,E是的中点.
(1)求证:
(2)若,求直线与平面所成的角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】(1)连接,
由己知,E为中点,
又,故四边形为正方形,
所以知
∵面面
又面面,,平面
∴平面,故.
同理可证
又,故平面
连接,可知
又,
∴可知平面
又平面
∴
由已知,故四边形为平行四边形
故
∴可知
(2)以A为坐标原点,分别以的正方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,
由,知,不妨设
则可知,,
∴),
设平面的法向量为
则
令,则
∴
又故
设与平面所成的角为θ,则
.
【例2-2】(2021·山东高三其他模拟)如图,C是以AB为直径的圆O上异于A,B的点,平面平面,中,,,E,F分别是,的中点.
(1)求证:平面;
(2)记平面与平面的交线为直线l,点Q为直线l上动点,求直线与平面所成的角的取值范围.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】(1)证明: 因为C是以AB为直径的圆O上异于A,B的点,,
又平面平面,且平面平面,平面,
平面.
(2)由E,F分别是,的中点,,
又平面,平面,平面,
又平面,平面平面,.
以C为坐标原点,,所在直线分别为x轴,y轴,过C且垂直于平面的直线为z轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,,
,,
,∴可设,平面的一个法向量为,
则,取,得,
又,则.
∴直线与平面所成角的取值范围为.
【一隅三反】
1.(2021·全国高三其他模拟)如图,在四棱锥中,底面ABCD为正方形,,为线段PD的中点.
(1)求证:
(2)求直线PB与平面CFB所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】(1)在中,因为,
所以,所以,
因为,
所以平面,因为平面PAD,所以.
(2)由(1)知,
以所在直线分别为轴,轴建立空间直角坐标系,
如图所示:
在中,因为,所以,
所以;因为平面,平面,所以.
因为,所以平面
可得
因为,所以,
所以,,.
设平面的一个法向量为,则,
所以,令,则4,所以
设直线与平面所成的角为,
则
2.(2021·全国高三二模)如图,在三棱柱中,,,四边形是菱形,,,点是中点,点是上靠近点的三等分点.
(1)证明:;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】证明:(1)取中点,连结,
在中,,,
∴,
在菱形中,由可知为等边三角形,
∴,
又∵,,,
∴,,
∴.
(2)∵,,
由(1)可知,∴,,两两垂直,
如图,以为原点,,,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标,
不妨设,则,,,,,.
由,得,
则的中点,
从而,.
设平面的法向量为,则,
即,不妨取,得,即.
则,
所以直线与平面所成角的正弦值为
3.(2021·沈阳市·辽宁实验中学高三二模)已知四棱锥的底面是菱形,对角线、交于点,,,底面,设点满足.
(1)若三棱锥体积是,求的值;
(2)若直线与平面所成角的正弦值是,求的值.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)因为四边形是菱形,所以,
因为底面,所以、,
所以、、两两垂直,
建立如图所示的空间直角坐标系,
设,,,
因为,所以,
于是,所以,
过作于,过作于,
所以
,
解得.
(2)由(1)知,,,
设平面的一个法向量为,
,
令,,
设直线与平面所成的角为,
所以,
解得或(舍去).
考点三 二面角
【例3-1】(2021·北京育英中学高三月考)如图,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.
(1)证明:MN∥平面C1DE;
(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】(1)连接,
,分别为,中点 为的中位线
且
又为中点,且 且
四边形为平行四边形
,又平面,平面
平面
(2)设,
由直四棱柱性质可知:平面
四边形为菱形
则以为原点,可建立如下图所示的空间直角坐标系:
则:,,,D(0,-1,0)
取中点,连接,则
四边形为菱形且 为等边三角形
又平面,平面
平面,即平面
为平面的一个法向量,且
设平面的法向量,又,
,令,则,
二面角的正弦值为:
【例3-2】.(2021·北京高考真题)已知正方体,点为中点,直线交平面于点.
(1)证明:点为的中点;
(2)若点为棱上一点,且二面角的余弦值为,求的值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】(1)如图所示,取的中点,连结,
由于为正方体,为中点,故,
从而四点共面,即平面CDE即平面,
据此可得:直线交平面于点,
当直线与平面相交时只有唯一的交点,故点与点重合,
即点为中点.
(2)以点为坐标原点,方向分别为轴,轴,轴正方形,建立空间直角坐标系,
不妨设正方体的棱长为2,设,
则:,
从而:,
设平面的法向量为:,则:
,
令可得:,
设平面的法向量为:,则:
,
令可得:,
从而:,
则:,
整理可得:,故(舍去).
【一隅三反】
1.(2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟(理))如图,四边形ABEF为正方形,,AD⊥DC,AD=2DC=2BC,
(1)求证:点D不在平面CEF内;
(2)若平面ABCD⊥平面ABEF,求二面角A﹣CF﹣D的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】(1)证明:(反证法)假设点D在平面内.
返四点确定的平面为.因为四边形为正方形,
所以因为平面与平面不重合,
所以EF平面,又AB平面,
所以EF//平面;因为平面平面,所以,
所以,这与不平行矛盾,
所以假设不成立,即点D不在平面内.
(2)没,连接,在直角梯形中,过点作于点
因为,所以为的中点,所以,又,所以.因为四边形为正方形,
所以,又平面平面,平面平面
所以平面,所以.
以点B为坐标原点,射线BA,BD,BE分别为x,y,z轴的非负半轴建立空间直角坐标系,
取,则
设平面的法向量为,则由.可得
令,得,,即平面的一个法向量,
设平面的法向量,则由.可得
取,得,即平面的一个法向量为.
所以.
二面角的余弦值
2.(2021·全国高三其他模拟(理))如图,在四棱锥中,底面为菱形,平面平面,,为棱的中点.
(1)证明:;
(2)若,,求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】(1)连接AC,BD交于O,取AD的中点F,连接EF,
∵PA=PD,∴PF⊥AD,
又∵面PAD⊥面ABCD,AD面ABCD,
∴PF⊥面ABCD,∴PF⊥AC,
又∵EF为△ABD中BD边的中位线
∴平行且等于
又菱形的对角线相互垂直平分,则BD⊥AC,
∵PF,EF面EFP,PFEF=F,
∴AC⊥面EFP,又PE面EFP,
∴
(2)连接BF,∵,则△ABD为正三角形,
∵F为AD的中点,则BF⊥AD
又∵面PAD⊥面ABCD,AD平面PAD,
∴BF⊥平面PAD,
又DF平面PAD,∴BF⊥DF
以F为原点如图所示建立空间直角坐标系F-,
设AD=2,则PA=AD=BP=2
则,
∴,
∴,,
设平面EPC的法向量为,
∴,即,令,得,
同理,设平面PCB的法向量为,
∴,即,令,得,
设二面角的平面角为,由图可知为锐角,
,
故二面角的余弦值为.
3.(2021·全国高三其他模拟(理))如图,在三棱台中,侧棱平面点在棱上,且
(1)证明:平面;
(2)当二面角的余弦值为,求的值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】(1)因为,所以,
又因为平面,平面,所以,
又,所以平面,所以,
又因为,,
所以,所以,
又,所以平面;
(2)以为坐标原点,分别为轴建立空间直角坐标系,如下图所示:
因为,
所以,
因为,所以,
设平面一个法向量为,设平面一个法向量为,
且,
因为,所以,令,所以,
又因为,所以,令,所以,
所以,
又因为二面角的余弦值为,
所以,所以解得(舍去),
综上可知:.
4.(2021·全国高考真题(理))已知直三棱柱中,侧面为正方形,,E,F分别为和的中点,D为棱上的点.
(1)证明:;
(2)当为何值时,面与面所成的二面角的正弦值最小
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】因为三棱柱是直三棱柱,所以底面,所以
因为,,所以,
又,所以平面.
所以两两垂直.
以为坐标原点,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系,如图.
所以,
.
由题设().
(1)因为,
所以,所以.
(2)设平面的法向量为,
因为,
所以,即.
令,则
因为平面的法向量为,
设平面与平面的二面角的平面角为,
则.
当时,取最小值为,
此时取最大值为.所以,此时.
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