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7.5 空间向量求空间角（精讲）
考点一 线线角
【例1】（2021·陕西西安市·西安中学高三其他模拟（理））已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，的中点为，底面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2021·陕西宝鸡市·高三三模（理））已知圆锥的顶点为，高和底面的半径之比为，设是底面的一条直径，为底面圆周上一点，且，则异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国高三月考（理））底面为正三角形的直棱柱中，，，，分别为，的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·漠河市高级中学高三月考（理））如图所示，正方体中，点分别在上，，，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
考点二 线面角
【例2-1】（2021·福建三明市·三明一中高三其他模拟）如图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，四边形为直角梯形，其中，，，E是的中点．
（1）求证：
（2）若，求直线与平面所成的角的正弦值．
【例2-2】（2021·山东高三其他模拟）如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面，中，，，E，F分别是，的中点.
（1）求证：平面；
（2）记平面与平面的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线与平面所成的角的取值范围.
【一隅三反】
1．（2021·全国高三其他模拟）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，为线段PD的中点．
（1）求证：
（2）求直线PB与平面CFB所成角的正弦值．
2．（2021·全国高三二模）如图，在三棱柱中，，，四边形是菱形，，，点是中点，点是上靠近点的三等分点.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
3．（2021·沈阳市·辽宁实验中学高三二模）已知四棱锥的底面是菱形，对角线、交于点，，，底面，设点满足．
（1）若三棱锥体积是，求的值；
（2）若直线与平面所成角的正弦值是，求的值．
考点三 二面角
【例3-1】（2021·北京育英中学高三月考）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．
【例3-2】．（2021·北京高考真题）已知正方体，点为中点，直线交平面于点．
（1）证明：点为的中点；
（2）若点为棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．
【一隅三反】
1．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（理））如图，四边形ABEF为正方形，，AD⊥DC，AD=2DC=2BC，
（1）求证：点D不在平面CEF内；
（2）若平面ABCD⊥平面ABEF，求二面角A﹣CF﹣D的余弦值．
2．（2021·全国高三其他模拟（理））如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，为棱的中点．
（1）证明：；
（2）若，，求二面角的余弦值．
3．（2021·全国高三其他模拟（理））如图，在三棱台中，侧棱平面点在棱上，且
（1）证明：平面；
（2）当二面角的余弦值为，求的值.
4．（2021·全国高考真题（理））已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小 7.5 空间向量求空间角（精练）
【题组一 线线角】
1．（2021·河北饶阳中学高三其他模拟）如图，正方体的棱长为6，点F是棱的中点，AC与BD的交点为O，点M在棱BC上，且，动点T（不同于点M）在四边形ABCD内部及其边界上运动，且，则直线与TM所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】法一：易知.
因为平面ABCD，所以，所以平面AFO，
又平面AFO，所以，
在棱DC上取一点N，且，连接NM，则，所以，所以动点T的轨迹为线段MN（不包括M）.
取棱的中点H，连接DH，易知，则即异面直线与TM所成的角.连接BH，因为，，，
所以
法二：以A为坐标原点，直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
易知，，，，设，则，，.
由题意知，得，
所以，则，
又T不与点M重合，所以，所以，
所以直线与TM所成角的余弦值为，故选：B.
2．（2021·内蒙古乌兰察布市·高三一模（理））四棱锥P﹣ABCD中，PD＝DA＝AB＝CD，AB∥CD，∠ADC＝90°，PD⊥平面ABCD，M为PC中点，平面ADM交PB于Q，则CQ与PA所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】以为轴建立空间直角坐标系，如图，设，
则，，，，为中点，则，
，设，，
，，
因为平面，即与共面，
所以存在实数，使得，
所以，解得，，
，又，
．
所以CQ与PA所成角的余弦值为．
故选：D．
3．（2021·浙江嘉兴市·高三其他模拟）三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，，点Q为平面ABC内的动点，且满足，记直线PQ与直线AB的所成角为，则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】因为两两垂直，且，所以由全等三角形可知，
所以三棱锥为正三棱锥，记在底面内的投影为，
所以，
因为，所以，所以，
因为，所以，所以的轨迹是以为圆心半径为的圆，
取中点，连接，可知经过点，建立如下图所示的空间直角坐标系：
设，，
所以，
所以，
所以，
所以，且，
所以，所以，
故答案为：.
4．（2021·湖南永州市·高三其他模拟）已知正四面体内接于半径为的球中，在平面内有一动点，且满足，则的最小值是___________；直线与直线所成角的取值范围为___________.
【答案】
【解析】设A在面内的投影为E，故E为三角形BCD的中心，
设正四面体的棱长为，球的半径为.
则，，
依题可得，球心在上，，代入数据可得，
则，，
又，，
故的轨迹为平面BCD内以E为圆心，为半径的圆，
，
三点共线时，且P在BE之间时，的最小值是.
以E为圆心，BE所在直线为x轴建立如图所示直角坐标系，
，，，，
设，，
故，，
设直线与直线所成角为，
∵，
∴，
又，故，
故答案为：，.
5．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）如图，在直角梯形中，，.已知.将沿直线翻折成，连接.当三棱锥的体积取得最大值时，异面直线与所成角的余弦值为___________；若此时三棱锥外接球的体积为，则a的值为___________.
【答案】； .
【解析】在直角梯形中，∵，，，
∴，，可得，即，
当平面平面时，三棱锥的体积取得最大值，
取中点E，中点F，连接，，则，
∵平面平面，且平面平面，∴平面，
∵，，∴，
以E为坐标原点，分别以 所在直线为x y z轴建立空间直角坐标系，
则，，，
∴，，
设异面直线与所成角为，
则 ，
即异面直线与所成角的余弦值为；
显然，又，
所以点是三棱锥外接球的球心，且球半径.
由，解得.
故答案为：① ；② .
6．（2021·海原县第一中学高三二模（理））如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，并且，，底面，已知，四边形的面积为.
（1）证明：直线平面；
（2）点为棱的中点，当直线与平面所成的角为时，求直线与所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）因为四边形的面积为，所以，解得，
如图，过点作于点，则，，
因为，所以，
因为底面，底面，所以，
因为，所以直线平面.
（2）因为底面，所以为在平面内的投影，
故即为直线与平面所成的角，，
因为，所以，
因为，所以，
如图，作空间直角坐标系，
则，，，，
，，
则，
故直线与所成角的余弦值为.
【题组二 线面角】
1．（2021·全国高三其他模拟（理））如图，在圆柱中，是圆柱的一条母线，是圆O的内接四边形，是圆O的直径，．
（1）若，求证：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）因为，所以，
因为是圆O的内接四边形，所以，
所以，，
所以是等腰梯形，所以，
又因为，所以，
因为是圆O的直径，连接，所以，
所以，，均为正三角形，
所以，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
（2）以O为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，，，
则点，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，可得，
设直线与平面所成角为θ，
，所以直线与平面所成角的正弦值为．
2．（2021·浙江高考真题）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）在中，，，，由余弦定理可得，
所以，．由题意且，平面，而平面，所以，又，所以．
（2）由，，而与相交，所以平面，因为，所以，取中点，连接，则两两垂直，以点为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系,
则,
又为中点，所以.
由（1）得平面，所以平面的一个法向量
从而直线与平面所成角的正弦值为．
3．（2021·湖南高三其他模拟）如图，在三棱锥中，与是全等的等边三角形，且平面平面.
（1）证明：；
（2）求与平面所成角的正弦值
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】解：（1）取的中点，连接、，因为与是全等的等边三角形，所以，，因为，面，所以面，因为面，所以
（2）因为平面平面，平面平面，，所以平面，如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，令，则，，，，所以，，，设面的法向量为，则，所以，令，则，，所以，设与平面所成的角为，则
4．（2021·上海复旦附中高三其他模拟）如图，在三棱锥中，是正三角形，是等腰直角三角形，，.
（1）求证：；
（2）若点为的中点，求与平面所成角的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：取的中点，连接、.
由题设可知，是等腰直角三角形，且，则，所以，
因为是正三角形，所以，
又，则平面，
平面，因此，；
（2）在中，，又，而，
所以，故，
由题设及（1）知，平面，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则、、、.
为的中点，得，故，，，
设是平面的法向量，则，即，
取，则，
因为，
所以与平面所成角的大小为.
5．（2021·辽宁高三其他模拟）如图所示，平面五边形可分割成一个边长为2的等边三角形ABC和一个直角梯形ACDE，其中AECD，AE＝CD＝AC，∠EAC＝90°，现将直角梯形ACDE沿边AC折起，使得AE⊥AB，连接BE、BD，设线段BC的中点为F．
（1）求证：AF平面BDE；
（2）求直线EF与平面BDE所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】证明：（1）取BD的中点G，连接EG、FG，由F为BC的中点，
则FGDC且FG＝CD，
因为AECD且CD＝2AE，所以AEFG且AE＝FG，
所以四边形AFGE为平行四边形，则AFEG，
又因为平面BDE，平面BDE，
所以AF平面BDE；
（2）∵AE⊥AB，AE⊥AC，，平面ABC，∴AE⊥平面ABC．
如图，以A为坐标原点，AF为x轴，在平面ABC内，过点A作BC的平行线为y轴，AE为z轴建立空间直角坐标系，
则，，
设平面BDE的法向量为，
则，即，
令y＝1，则，所以，
设直线EF与平面BDE所成角为，
所以.
6．（2021·四川成都市·树德中学高三其他模拟（理））如图所示，在三棱柱中，，点在平面的射影为线段的中点，侧面是菱形，过点，，的平面与棱交于点．
（1）证明四边形为矩形；
（2）若与平面所成角的正切值为，求与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：取中点为，连接，，在三棱柱中，侧面为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面．
因为平面，且平面平面，所以．
因为在三棱柱中，平面平面，平面平面，
平面平面，所以，所以四边形为平行四边形．
在中，因为，是的中点，所以．
由题可知平面，所以，，
因为，所以平面，
所以，故四边形为矩形；
（2）由（1）知，，两两垂直，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设，又题可知，在中，，所以，
所以，，，，则，．
因为，所以．
设平面的法向量为，
则即，所以令，所以．
设与平面所成角为，
则，故与平面所成角的正弦值为．
6．（2021·湖南高三其他模拟）在长方体中，已知，为的中点.
（1）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，若不存在，请说明理由；
（2）设，，点在上且满足，求与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）存在，证明见解析；（2）.
【解析】（1）存在，当点为线段的中点时，平面平面.
证明：在长方体中，，.
又因为平面，平面，
所以平面.
又为的中点，为的中点，
所以，且.
故四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
又因为，平面，平面，
所以平面平面.
（2）在长方体中，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示.
因为，，所以，，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，
则，即.
令，则，，所以，
因为，设，则，
所以，则.
设与平面所成角为，
则，
即.
故与平面所成角的余弦值为.
【题组三 二面角】
1．（2021·全国高三其他模拟（理））如图，在直三棱柱中，为的中点.
（1）证明：平面.
（2）若，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）；
【解析】（1）∵为的中点，
∴，
∵直三棱柱中，面面，面，面面，
∴面，又面，即，
由题设易知：，故，又，
∴，则，又，
∴平面.
（2）过D作，由（1）可构建以为原点，、、为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，如下图示：
∴由题意：，，，，
∴，，，
显然，是面的一个法向量，
若是面的一个法向量，则，令，则，
∴，由图知：钝二面角的余弦值为.
2．（2021·浙江高三其他模拟）如图所示的几何体，其中底面ABCD为直角梯形，∠ADC=90°，AD=CD=1，BC=2，SA⊥底面ABCD，连接SC，SB，SD．
（1）求二面角B-SA-D的角度
（2）若SA=a，求面SAB与面SDC所成角的余弦值与a的关系，并求出余弦值的取值范围
【答案】（1）135°；（2）；（0，）．
【解析】（1）∵SA⊥底面ABCD，AB，AD面ABCD
∴AB⊥SA，AD⊥SA
连接BD，∴∠BAD为B-SA-D的平面角
过A作AH⊥BC，∴AH=CD=1，BH=1，∴AB=
又因为BD=，AD=1
∴cos∠BAD=，
∴∠BAD=135°
∴二面角B-SA-D的角度为135°
（2）以A点为原点，建立如图所示的坐标系
故A：（0，0，0）；D：（1，0，0）；S：（0，0，a）；B：（-1，1，0）；C：（1，1，0）
则可取二面角ABS的法向量为（1，1，0）
向量=（0，1，0）；=（-1，0，a），设面SCD的法向量为（x，y，z）
得y=0，-x+az=0，令x=1，，∴=（1，0，）
∴
∴面SAB与面SDC所成角的平面角的余弦值为
记f（a）=＜，故余弦值的范围是（0，）
3．（2021·全国高三其他模拟（理））如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱中，，是线段的中点，是线段靠近点的四等分点，点在线段上.
（1）求证：；
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析； （2）.
【解析】（1）由题意，在直三棱柱中，，
不妨设，则，
由余弦定理可得，因为，可得，
又由是线段的中点，所以，且，
因为平面，平面，所以，
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以,
在直角中，，
因为是线段靠近点的四等分点，可得，
所以,可得，
又由且平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）以为原点，以分别为轴，过点作平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
可得，
则，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
由（1）可得平面的一个法向量为，
所以，
因为，可得.
4．（2021·全国高三其他模拟）在四棱锥中，平面，底面为梯形，，，，，．
（1）若为的中点，求证：平面；
（2）若为棱上异于的点，且，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：∵在梯形中，，，为的中点，
所以且，
∴四边形为平行四边形，所以，
∵平面，平面，所以平面．
（2）解：以为原点，，所在的直线为，轴，建立如图所示空间直角坐标系．
因为，，，
所以，，，，，
则，，，．
设，，则，
．
因为，所以，
即，
化简得，解得（舍）或．
所以，，即．
设为平面的一个法向量，
则，所以，
解得令，得；
设为平面的一个法向量，
则，所以
解得令，得．
设平面与平面所成锐二面角为，
则，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
5．（2021·安徽六安市·六安一中高三其他模拟（理））如图，四棱锥中，平面平面，，，，
（1）求证：平面；
（2）若直线与底面所成的角的余弦值为，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见详解；（2）
【解析】平面平面，平面平面，，，
平面，又平面，，
又，，，
，，
，，，
又，平面；
（2）由（1）知平面，直线与底面所成的角为，
由，，，
，平面平面，平面，，
故以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系，如图：
，，，，，为平面的一个法向量，设平面的法向量为，则，即，令得，则，
则，所以二面角的余弦值为
6（2021·陕西高三其他模拟（理））如图，在正三棱柱中，分别是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，设面的法向量为，则，即，令则，，所以，因为，面，所以平面；
（2）因为，，设面的法向量为，则，即，令，则，，所以；
设面的法向量为，则，即，令，则，，所以；
设二面角为，则
故二面角的余弦值为7.5 空间向量求空间角（精练）
【题组一 线线角】
1．（2021·河北饶阳中学高三其他模拟）如图，正方体的棱长为6，点F是棱的中点，AC与BD的交点为O，点M在棱BC上，且，动点T（不同于点M）在四边形ABCD内部及其边界上运动，且，则直线与TM所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·内蒙古乌兰察布市·高三一模（理））四棱锥P﹣ABCD中，PD＝DA＝AB＝CD，AB∥CD，∠ADC＝90°，PD⊥平面ABCD，M为PC中点，平面ADM交PB于Q，则CQ与PA所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·浙江嘉兴市·高三其他模拟）三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，，点Q为平面ABC内的动点，且满足，记直线PQ与直线AB的所成角为，则的取值范围为___________.
4．（2021·湖南永州市·高三其他模拟）已知正四面体内接于半径为的球中，在平面内有一动点，且满足，则的最小值是___________；直线与直线所成角的取值范围为___________.
5．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）如图，在直角梯形中，，.已知.将沿直线翻折成，连接.当三棱锥的体积取得最大值时，异面直线与所成角的余弦值为___________；若此时三棱锥外接球的体积为，则a的值为___________.
6．（2021·海原县第一中学高三二模（理））如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，并且，，底面，已知，四边形的面积为.
（1）证明：直线平面；
（2）点为棱的中点，当直线与平面所成的角为时，求直线与所成角的余弦值.
【题组二 线面角】
1．（2021·全国高三其他模拟（理））如图，在圆柱中，是圆柱的一条母线，是圆O的内接四边形，是圆O的直径，．
（1）若，求证：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
2．（2021·浙江高考真题）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
3．（2021·湖南高三其他模拟）如图，在三棱锥中，与是全等的等边三角形，且平面平面.
（1）证明：；
（2）求与平面所成角的正弦值
4．（2021·上海复旦附中高三其他模拟）如图，在三棱锥中，是正三角形，是等腰直角三角形，，.
（1）求证：；
（2）若点为的中点，求与平面所成角的大小.
5．（2021·辽宁高三其他模拟）如图所示，平面五边形可分割成一个边长为2的等边三角形ABC和一个直角梯形ACDE，其中AECD，AE＝CD＝AC，∠EAC＝90°，现将直角梯形ACDE沿边AC折起，使得AE⊥AB，连接BE、BD，设线段BC的中点为F．
（1）求证：AF平面BDE；
（2）求直线EF与平面BDE所成角的正弦值．
6．（2021·四川成都市·树德中学高三其他模拟（理））如图所示，在三棱柱中，，点在平面的射影为线段的中点，侧面是菱形，过点，，的平面与棱交于点．
（1）证明四边形为矩形；
（2）若与平面所成角的正切值为，求与平面所成角的正弦值．
6．（2021·湖南高三其他模拟）在长方体中，已知，为的中点.
（1）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，若不存在，请说明理由；
（2）设，，点在上且满足，求与平面所成角的余弦值.
【题组三 二面角】
1．（2021·全国高三其他模拟（理））如图，在直三棱柱中，为的中点.
（1）证明：平面.
（2）若，求二面角的余弦值.
2．（2021·浙江高三其他模拟）如图所示的几何体，其中底面ABCD为直角梯形，∠ADC=90°，AD=CD=1，BC=2，SA⊥底面ABCD，连接SC，SB，SD．
（1）求二面角B-SA-D的角度
（2）若SA=a，求面SAB与面SDC所成角的余弦值与a的关系，并求出余弦值的取值范围
3．（2021·全国高三其他模拟（理））如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱中，，是线段的中点，是线段靠近点的四等分点，点在线段上.
（1）求证：；
（2）求二面角的正弦值.
4．（2021·全国高三其他模拟）在四棱锥中，平面，底面为梯形，，，，，．
（1）若为的中点，求证：平面；
（2）若为棱上异于的点，且，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
．
5．（2021·安徽六安市·六安一中高三其他模拟（理））如图，四棱锥中，平面平面，，，，
（1）求证：平面；
（2）若直线与底面所成的角的余弦值为，求二面角的余弦值.
6（2021·陕西高三其他模拟（理））如图，在正三棱柱中，分别是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.7.5 空间向量求空间角（精讲）
考点一 线线角
【例1】（2021·陕西西安市·西安中学高三其他模拟（理））已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，的中点为，底面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设三棱柱的棱长为，
，为的中点，则，
平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则点、、，
所以，，.
因此，异面直线与所成角的余弦值为.故选：D.
【一隅三反】
1．（2021·陕西宝鸡市·高三三模（理））已知圆锥的顶点为，高和底面的半径之比为，设是底面的一条直径，为底面圆周上一点，且，则异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设圆锥底面圆的圆心为，设圆锥的底面圆的半径为，以圆锥底面圆的圆心为原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则、、、，
，，
所以，，
，所以，，
因此，异面直线与所成的角为.故选：A.
2．（2021·全国高三月考（理））底面为正三角形的直棱柱中，，，，分别为，的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，，
，
∴，故选：C
3．（2021·漠河市高级中学高三月考（理））如图所示，正方体中，点分别在上，，，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体边长为3，则
，设EF与所成的角为，
则故选：C
考点二 线面角
【例2-1】（2021·福建三明市·三明一中高三其他模拟）如图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，四边形为直角梯形，其中，，，E是的中点．
（1）求证：
（2）若，求直线与平面所成的角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）连接，
由己知，E为中点，
又，故四边形为正方形，
所以知
∵面面
又面面，，平面
∴平面，故．
同理可证
又，故平面
连接，可知
又，
∴可知平面
又平面
∴
由已知，故四边形为平行四边形
故
∴可知
（2）以A为坐标原点，分别以的正方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
由，知，不妨设
则可知，，
∴），
设平面的法向量为
则
令，则
∴
又故
设与平面所成的角为θ，则
.
【例2-2】（2021·山东高三其他模拟）如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面，中，，，E，F分别是，的中点.
（1）求证：平面；
（2）记平面与平面的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线与平面所成的角的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明： 因为C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，，
又平面平面，且平面平面，平面，
平面.
（2）由E，F分别是，的中点，，
又平面，平面，平面，
又平面，平面平面，.
以C为坐标原点，，所在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
，∴可设，平面的一个法向量为，
则，取，得，
又，则.
∴直线与平面所成角的取值范围为.
【一隅三反】
1．（2021·全国高三其他模拟）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，为线段PD的中点．
（1）求证：
（2）求直线PB与平面CFB所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）在中，因为，
所以，所以，
因为，
所以平面，因为平面PAD，所以．
（2）由（1）知，
以所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
在中，因为，所以，
所以；因为平面，平面，所以.
因为，所以平面
可得
因为，所以，
所以，，.
设平面的一个法向量为，则，
所以，令，则4，所以
设直线与平面所成的角为，
则
2．（2021·全国高三二模）如图，在三棱柱中，，，四边形是菱形，，，点是中点，点是上靠近点的三等分点.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】证明：（1）取中点，连结，
在中，，，
∴，
在菱形中，由可知为等边三角形，
∴，
又∵，，，
∴，，
∴.
（2）∵，，
由（1）可知，∴，，两两垂直，
如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标，
不妨设，则，，，，，.
由，得，
则的中点，
从而，.
设平面的法向量为，则，
即，不妨取，得，即.
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为
3．（2021·沈阳市·辽宁实验中学高三二模）已知四棱锥的底面是菱形，对角线、交于点，，，底面，设点满足．
（1）若三棱锥体积是，求的值；
（2）若直线与平面所成角的正弦值是，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为四边形是菱形，所以，
因为底面，所以、，
所以、、两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，，
因为，所以，
于是，所以，
过作于，过作于，
所以
，
解得．
（2）由（1）知，，，
设平面的一个法向量为，
，
令，，
设直线与平面所成的角为，
所以，
解得或（舍去）．
考点三 二面角
【例3-1】（2021·北京育英中学高三月考）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）连接，
，分别为，中点 为的中位线
且
又为中点，且 且
四边形为平行四边形
，又平面，平面
平面
（2）设，
由直四棱柱性质可知：平面
四边形为菱形
则以为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：
则：，，，D（0，-1,0）
取中点，连接，则
四边形为菱形且 为等边三角形
又平面，平面
平面，即平面
为平面的一个法向量，且
设平面的法向量，又，
，令，则，
二面角的正弦值为：
【例3-2】．（2021·北京高考真题）已知正方体，点为中点，直线交平面于点．
（1）证明：点为的中点；
（2）若点为棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】(1)如图所示，取的中点，连结，
由于为正方体，为中点，故，
从而四点共面，即平面CDE即平面，
据此可得：直线交平面于点，
当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点与点重合，
即点为中点.
(2)以点为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴正方形，建立空间直角坐标系，
不妨设正方体的棱长为2，设，
则：，
从而：，
设平面的法向量为：，则：
，
令可得：，
设平面的法向量为：，则：
，
令可得：，
从而：，
则：，
整理可得：，故（舍去）.
【一隅三反】
1．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（理））如图，四边形ABEF为正方形，，AD⊥DC，AD=2DC=2BC，
（1）求证：点D不在平面CEF内；
（2）若平面ABCD⊥平面ABEF，求二面角A﹣CF﹣D的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：(反证法)假设点D在平面内．
返四点确定的平面为．因为四边形为正方形，
所以因为平面与平面不重合，
所以EF平面，又AB平面，
所以EF//平面；因为平面平面，所以，
所以，这与不平行矛盾，
所以假设不成立，即点D不在平面内．
（2）没，连接，在直角梯形中，过点作于点
因为，所以为的中点，所以，又，所以．因为四边形为正方形，
所以，又平面平面，平面平面
所以平面，所以．
以点B为坐标原点，射线BA，BD，BE分别为x，y，z轴的非负半轴建立空间直角坐标系，
取，则
设平面的法向量为，则由．可得
令，得，，即平面的一个法向量，
设平面的法向量，则由．可得
取，得，即平面的一个法向量为．
所以．
二面角的余弦值
2．（2021·全国高三其他模拟（理））如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，为棱的中点．
（1）证明：；
（2）若，，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）连接AC,BD交于O，取AD的中点F，连接EF，
∵PA=PD,∴PF⊥AD，
又∵面PAD⊥面ABCD，AD面ABCD，
∴PF⊥面ABCD，∴PF⊥AC，
又∵EF为△ABD中BD边的中位线
∴平行且等于
又菱形的对角线相互垂直平分，则BD⊥AC,
∵PF,EF面EFP，PFEF=F，
∴AC⊥面EFP，又PE面EFP，
∴
（2）连接BF，∵，则△ABD为正三角形，
∵F为AD的中点，则BF⊥AD
又∵面PAD⊥面ABCD，AD平面PAD,
∴BF⊥平面PAD，
又DF平面PAD，∴BF⊥DF
以F为原点如图所示建立空间直角坐标系F-，
设AD=2，则PA=AD=BP=2
则，
∴,
∴,,
设平面EPC的法向量为，
∴,即，令，得，
同理，设平面PCB的法向量为，
∴,即，令，得，
设二面角的平面角为，由图可知为锐角，
，
故二面角的余弦值为.
3．（2021·全国高三其他模拟（理））如图，在三棱台中，侧棱平面点在棱上，且
（1）证明：平面；
（2）当二面角的余弦值为，求的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）因为，所以，
又因为平面，平面，所以，
又，所以平面，所以，
又因为，，
所以，所以，
又，所以平面；
（2）以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
因为，
所以，
因为，所以，
设平面一个法向量为，设平面一个法向量为，
且，
因为，所以，令，所以，
又因为，所以，令，所以，
所以，
又因为二面角的余弦值为，
所以，所以解得（舍去），
综上可知：.
4．（2021·全国高考真题（理））已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以
因为，，所以，
又，所以平面．
所以两两垂直．
以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．
所以，
．
由题设（）．
（1）因为，
所以，所以．
（2）设平面的法向量为，
因为，
所以，即．
令，则
因为平面的法向量为，
设平面与平面的二面角的平面角为，
则．
当时，取最小值为，
此时取最大值为．所以，此时．

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