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7.1 空间几何中的平行（精讲）
考点一 线面平行
【例1-1】（2021·黑龙江佳木斯市）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中D是AC的中点，求证：B1C∥平面A1BD
【答案】证明见解析
【解析】证明：（1）设AB1与A1B相交于点P，连接PD，则P为AB1中点，∵D为AC中点，∴PD∥B1C，
又∵PD 平面A1BD，B1C 平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD
【例1-2】（2021·合肥市第六中学）如图，在四棱锥中，底面为矩形，为中点，连接交于点为的重心，证明：平面
【答案】证明见解析
【解析】延长交于，连接，因为为的重心，则为的中点，且，
因为，所以，所以，因此，
又因为平面，平面，所以平面；
【例1-3】（2021·全国高三其他模拟）在四棱锥中，底面为梯形，，，若为的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：∵在梯形中，，，为的中点，
所以且，∴四边形为平行四边形，所以，
∵平面，平面，所以平面．
【例1-4】（2021·广东）如图所示，四面体PABC中，E，F分别为AB，AC的中点，过EF作四面体的截面EFGH交PC于点G，交PB于点H，证明：GH/平面ABC
【答案】见解析
【解析】∵E，F分别为AB，AC的中点,∴EF∥BC,
又∵EF 平面PBC,BC 平面PBC,∴EF∥平面PBC,
∵EF 平面EFGH,平面EFGH∩平面PBC=GH,∴EF∥GH,
又∵GH 平面ABC,EF 平面ABC,∴GH∥平面ABC;
【一隅三反】
1．（2021·黑龙江哈尔滨市）如图所示，在三棱柱中，为的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，连接交于，连接，
∵四边形是平行四边形．∴点为的中点．
∵为的中点，∴为的中位线，∴．
∵平面，平面，∴平面．
2．（2021·北京高三如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面底面，为的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：连接，与交于，在中，
分别为的中点，
,
平面平面，
平面；
3．（2021·黑龙江佳木斯市）如图，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，是的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】设与相交于点，则为中点，连接，
∵为中点，∴，
又∵平面，∴平面；
4．（2020·安徽高三）如图所示，在三棱柱中，M为棱的中点，求证∶平面
【答案】证明见解析
【解析】证明∶连接A1B交AB1于点D，连接DM，则D为A1B的中点，
因为M为棱A1C1的中点，所以DMBC1.
因为平面AB1M，平面AB1M，
所以BC1平面AB1M.
5．（2021·商丘市第一高级中学）如图，在直棱柱中，底面是边长为2的正方形，为的中点，当为的中点时，证明：平面
【答案】证明见解析.
【解析】证明：如图，连接，,
∵，，∴,
∵∴,
∵平面，平面∴平面,
6．（2021·福建省永春）如图，在三棱柱中，侧面是菱形，是棱的中点，，在线段上，且，证明：平面
【答案】证明见解析
【解析】连接交于点，连接，
因为四边形为菱形，则且，
为的中点，则且，故，
所以，，，
平面，平面，因此，平面；
7．（2021·山东高三）如图，在正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影为底面正方形的中心）P﹣ABCD中，AB＝2，PA＝2，AC与BD交于点O，平面BMQN为直线PD的垂面，且与PA，PC，PD分别交于M，N，Q三点，点E在线段PD上，且满足PE＝3ED，证明：OE∥平面BMQN
【答案】证明见解析
【解析】证明：连结BQ，由题意可知，PD⊥平面BMQN，因为BQ平面BMQN，所以BQ⊥PD，
因为在中，BD＝PB＝PD＝2，所以Q为PD的中点，因为PE＝3ED，所以DE＝PD，
则QE＝PD﹣DE﹣PQ＝PD﹣PD﹣PD，即QE＝ED，
因为BO＝OD，所以OE∥BQ，又OE平面BMQN，BQ平面BMQN，所以OE∥平面BMQN；
8（2021·安徽合肥市）如图，多面体中，底面为等腰梯形，，，，，且，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】中，，.
设，连结，
，，.
，又，所以四边形为平行四边形，
，又平面，平面，
平面.
9．（2021·全国高三月考）如图，在四棱锥中，四边形是梯形，.，证明:平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：四边形是梯形且，
又,
又,是等腰直角三角形．
，,
如图，连接交于点连接.
,
在中，由余弦定理得
解得故
又点在棱上，且在中，
又平面平面故平面;
10．（2021·普宁市普师高级中学）如图，四棱锥中，，，为的中点，证明：平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：取的中点，连接、，
、分别为、的中点，则且，
由已知条件可得且，且，
故四边形为平行四边形，所以，，
平面，平面，因此，平面；
11．（2021·辽宁高三）如图所示，平面五边形可分割成一个边长为2的等边三角形ABC和一个直角梯形ACDE，其中AECD，AE＝CD＝AC，∠EAC＝90°，现将直角梯形ACDE沿边AC折起，使得AE⊥AB，连接BE、BD，设线段BC的中点为F，求证：AF平面BDE
【答案】证明见解析
【解析】证明：（1）取BD的中点G，连接EG、FG，由F为BC的中点，
则FGDC且FG＝CD，
因为AECD且CD＝2AE，所以AEFG且AE＝FG，
所以四边形AFGE为平行四边形，则AFEG，
又因为平面BDE，平面BDE，
所以AF平面BDE；
12．（2021·天津市武清区杨村第一中学）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，且，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，设的中点为，连接，则，又，所以，四边形为平行四边形，则，且，又，且，所以，且.所以四边形为平行四边形，从而，又平面，平面，故平面；
考点二 面面平行
【例2-1】（2021·全国高三月考）如图所示，在多面体中，，，均垂直于平面，，分别为，的中点，证明：平面
【答案】证明见解析
【解析】取的中点，连接，，
由题知，，平面，平面，所以平面，
因为，平面，平面，所以平面，
又，所以平面平面，
因为平面，所以平面.
【例2-2】．（2021·广东）如图所示，在三棱台中，，，，，分别为，的中点，证明：平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：取的中点，连接，，由三棱台的性质知四边形是梯形，
因为是的中点，是的中点.所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为是的中点，是的中点所以为，
因为平面，平面，所以平面，
又，所以平面平面，
因为平面，所以平面.
【一隅三反】
1．（2021·玉林市第十一中学高三）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，ADBC，P，Q是AB，CD的中，点M，N分别是SB，CB的中点，求证∶平面AMN平面SCD
【答案】证明见解析
【解析】因为、分别是，的中点，所以，面，面，所以面，又且，所以为平行四边形，所以，面，面，所以面，又，面，所以面面；
2．（2021·山西太原市）如图，在三棱锥中，是正三角形，是的重心，分别是的中点，点在上，且，求证：平面平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：连结，由题意可得与共线，且，
∵是的中点，，∴是的中点，
∴，∴，平面；平面；∴平面，
∵是的中点，∴，平面，平面；∴平面，
∵，平面，平面，∴平面平面；
3．（2021·浙江高三）如图所示，四棱锥中，底面是矩形，点分别为的中点，证明：直线平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：过点作交于点.连接.
因为为中点，所以为中点， 所以，所以，所以平面
同理可得，平面所以平面平面，所以平面.
4．（2021·陕西宝鸡市）如图，在四棱锥中，，，，，、、分别为线段、、的中点，证明：直线平面.
【答案】证明见解析
【解析】如图，连接、，与相交于点，连接，
因为，，为线段的中点，，
所以四边形为矩形，为的中点，
因为为的中点，所以为的中位线，，
因为平面，平面，所以平面，
因为、分别为线段、的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为平面，平面，，
所以平面平面，
因为平面，所以平面.
考点三 线线平行
【例3-1】（2021·全国高三）如图，在四面体中，，分别为，的中点，过的平面与，分别交于点，.求证：
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】因为，分别为，的中点，所以，
因为平面，平面
所以平面
又平面平面，平面
所以，所以.
【例3-2】（2020·重庆市凤鸣山中学高三月考（文））如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，，为等边三角形，G是线段SB上的一点，且SD//平面GAC.求证：G为SB的中点
【答案】见解析
【解析】证明：如图，连接交于点，则为的中点，连接，
∵平面，平面平面，平面，
∴，而为的中点，∴为的中点.
【一隅三反】
1．（2020·安徽）如图，四棱锥的底面是边长为8的正方形，点G.E.F.H分别是棱PB．AB．DC．PC上共面的四点，平面GEFH.证明：
【答案】证明见解析
【解析】∵平面GEFH，
又∵平面PBC且平面平面，∴.
又∵平面GEFH，
又∵平面ABCD且平面平面，∴，∴.
2．（2020·浙江高三）如图，平面，平面，，求证：
【答案】证明见解析
【解析】依题意，平面，平面，∴平面，
又平面，，∴平面平面，
∴平面平面，平面平面，∴；
3．（2021·江苏高三）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，点在棱上，平面，求证：为的中点
【答案】证明见解析
【解析】平面，平面平面，平面，所以.
因为四边形是正方形，，所以是的中点.
在中，是的中点，，所以为的中点.
考点四 平行中的动点
【例4】（2021·黑龙江哈尔滨市）直三棱柱所有棱长都为2，在边上是否存在一点，使平面，若存在给出证明，若不存在，说明理由
【答案】存在，证明见解析
【解析】存在，是的中点，
直三棱柱中，连接交于点，如图：
则为中点，连接，而为的中点，则，又平面，平面，所以平面；
【一隅三反】
1．（2021·河南高三）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，AA1⊥AC，D，D1分别为AC，A1C1的中点且AD=AA1，在棱AA1上找一点M，使得平面，并说明理由
【答案】M与A重合时，面，理由见解析
【解析】当M与A重合时，D1M∥面DBC1，理由如下：∵D1C1∥AD，且D1C1=AD，
∴四边形D1C1DA为平行四边形，∴D1A∥C1D，因为C1D 面BDC1，∴D1M∥面DBC1.
2．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州）如图，在三棱锥中，底面，是正三角形，是棱的中点，如，在平面内寻找一点使得平面，并说明理由
【答案】答案见解析.
【解析】延长至点，使得，延长至点，使得，连接，在直线上任取一点，则点满足平面.
理由如下：
是线段的中点，是线段的中点，是的中位线，，平面.
同理平面，
又，平面平面，
平面，平面.
(注：若此题点直接取或，理由充分，给分)
3．（2021·全国高三其他模拟）已知四棱柱的底面是边长为2的菱形，且，平面，，于点，试问在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由；
【答案】存在，为线段的中点；理由见解析
【解析】当为线段的中点时，平面.
下面给出证明：
取的中点，连接，，则，且，
所以四边形为平行四边形，所以.
因为，，所以为的中点，
又为的中点，，，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，且，又，，
所以，且，所以四边形为平行四边形，
所以，所以，
又平面，平面，所以平面，
4．（2021·广东佛山市）在正三棱柱中，已知，M，N分别为，的中点，P为线段上一点．平面与平面的交线为l，是否存在点P使得平面？若存在，请指出点P的位置并证明；若不存在，请说明理由
【答案】存在，当时，平面
【解析】当时，平面
证明如下：连接交于点G，连接，
因为，所以
又∵平面，平面
∴平面7.1 空间几何中的平行（精练）
【题组一 线面平行】
1．（2021·北京清华附中）如图，在四棱锥中求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】因为，平面，平面，所以平面；
2．（2021·浙江高三期末）如图，四棱锥中，四边形ABED是正方形，若G，F分别是线段EC，BD的中点.
（1）求证：平面ABC.
（2）在线段CD上是否存在一点P，使得平面平面ABC？并说明理由.
【答案】（1）证明见详解；（2）P为线段CD中点，理由见详解．
【解析】证明：由四边形ABED为正方形可知，
连接AE必与BD相交于中点F，又G是线段EC的中点，故，
面ABC，面ABC，
面ABC；
当P为线段CD中点时，有平面平面ABC，
证明：由点分别为中点可得：
面ABC，面ABC，面ABC，
由可知，面ACD，且，故平面平面ABC．
3．（2021·江苏扬州市）如图，在直三棱柱中，底面是等边三角形，是的中点，证明：平面
【答案】证明见解析
【解析】直三棱柱中，设与交于点，连接，
四边形是矩形，则为的中点，
因是的中点，所以，又平面，平面，所以平面.
4．（2021·江苏南通市）《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经十书”中最重要的一部，它对几何学的研究比西方要早1000多年.在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图，在堑堵中，，，M，N分别是，BC的中点，点P在线段上，若P为的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：取的中点H，连接PH，HC.
在堑堵中，四边形为平行四边形，
所以且.
在中，P，H分别为，的中点，
所以且.
因为N为BC的中点，所以，
从而且，
所以四边形PHCN为平行四边形，于是.
因为平面，平面，所以平面.
5．（2021·云南曲靖一中）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，分别是，，的中点，证明：平面
【答案】证明见解析
【解析】连接，
分别为中点，；
由直四棱柱特点知：，，又为中点，，
四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面；
6．（2021·江苏南通市）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，是的中点，是的中点，，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图①，取的中点，连接，，
因为是的中点，所以且.
因为四边形是菱形，是的中点，所以且，
从而且，
所以四边形是平行四边形，从而.
又平面，平面，所以平面.
7．（2021·陕西西安市·）如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，，，且，，）求证：平面BDE
【答案】证明见解析
【解析】证明：过G作于N，交BE于M，连接DM，如图所示：
因为，且，
所以N为CE中点，
所以，，，
所以，，
所以四边形ADMG为平行四边形，
所以，又平面BDE，平面BDE，所以平面BDE.
8．（2021·湖北武汉市）在四棱锥P—ABCD中，ABCD，过CD的平面分别交线段PA，PB于M，N，E在线段DP上(M，N，E不同于端点)求证：CD平面MNE
【答案】证明见解析
【解析】（1）证明：∵，平面，平面∴平面
又∵平面，平面平面∴
又∵平面，平面∴平面
9．（2021·全国高三其他模拟（文））如图，四棱锥中，点M、N分别为直线上的点，且满足，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】连接BD，∵，∴MN∥BD，
∵MN平面ABCD，BD平面ABCD，∴MN∥平面ABCD．
10．（2021·江西高三）已知多面体如图所示，其中四边形为矩形，，平面，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】，则，，
，平面，
平面，，
平面，平面，所以，平面，
四边形为矩形，则，
平面，平面，平面，
，所以，平面平面，
平面，故平面；
11．（2021·江苏徐州市）如图，已知正方体的棱长为2，是的中点.设平面与平面的交线为l，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】在正方体中，平面平面，
又因为平面平面＝l，平面平面，所以，
又因为平面，平面，所以平面．
12．（2021·陕西渭南市）如图，在多面体中，矩形所在平面与正方形所在平面垂直，，点为的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】连接交于点.连接.
因为四边形是正方形，所以为的中点，由于为的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
易知，平面，平面，所以平面，
因为，平面，平面，
所以平面平面.又因为平面，所以平面；
13．（2021·四川遂宁市）如图，在直四棱柱中，底面四边形为梯形，点为上一点，且，，，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】因为四棱柱为直四棱柱，所以，
又已知，所以点为的中点，
又，且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，
又在平面中，，在平面中，，由面面平行的判定定理得平面平面，又平面，所以平面；
14．（2021·重庆南开中学高三其他模拟）如图，是圆柱底面圆的直径，点 是的两个三等分点， 为圆柱的母线，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：连结，∵点 是的两个三等分点，∴，∴平面；
又 均为圆柱的母线，∴，∴平面，
又，∴平面平面，
又平面，∴平面.
【题组二 面面平行】
1．（2021·全国高三）如图所示，四棱柱的侧棱与底面垂直，交于点，且分别为的中点，，求证：平面平面
【答案】证明见解析
【解析】如图，连接，设，则为的中点，而为AC的中点，连接，则为的中位线，所以，又平面，平面，所以平面，又因为侧棱与底面垂直，所以，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面.
2．（2021·山西太原市）如图，在三棱锥中，是正三角形，是的重心，，，分别是，，的中点，点在上，且，求证：平面平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：连结，因为是正三角形，是的重心，为的中点，
所以与共线，且，
因为为的中点，，所以是的中点，
所以，所以，
又平面，平面，所以平面，
因为是的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为，平面，
所以平面平面；
3．（2021·河北衡水中学）如图，在多面体中，是正方形，，M为棱的中点，求证：平面平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，连接，交于点N，
∴N为的中点，
连接，由M为棱的中点，则．
∵面，面，∴平面．
∵，∴四边形为平行四边形，
∴．又平面，平面，
∴平面，又，
∴平面平面．
4．（2021·河南高三三模）如图，在几何体中，四边形是矩形，，，，分别是线段，，的中点，求证：平面平面
【答案】证明见解析
【解析】如图，因为中点为，连接，
又是的中点，可知，
又平面，平面，
所以平面．
在矩形中，由，分别是，的中点得．
又平面，平面，所以平面．
又因为，平面，平面，
所以平面平面
5．（2021·安徽省舒城中学）如图，四边形ABCD是边长为的菱形，BB1＝DD1＝2，E，F分别是AD1，AB1的中点，证明：平面BDEF∥平面CB1D1
【答案】证明见解析
【解析】证明：连接，交于点，连接，则为的中点，
∵是的中点，
平面,平面,所以平面
又是的中点
平面,平面,所以平面
又平面,, 所以平面平面．
6．（2021·全国高三二模）如图，已知矩形所在的平面垂直于直角梯形所在的平面，且，，，，，，分别是，的中点，求证：平面平面
【答案】证明见解析
【解析】∵，分别是，的中点，
∴，且平面，则平面，
，且，
∴四边形是矩形，则，且平面，则平面
又，故平面平面
7．（2021·安徽省舒城中学）如图，四边形是边长为的菱形，平面，平面，且，分别是的中点，证明：平面平面
【答案】证明见解析
【解析】分别是的中点，，
又平面，平面，平面；
连接，交于点，连接，
四边形为菱形，为中点，又为中点，，
平面，平面，平面；
又，平面，平面平面；
8．（2021·全国高三）在四棱锥，平面平面，四边形ABCD为直角梯形，，，，，E为BC的中点，点F在PC上，且，证明：平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：取CD的中点G，连接BG，取CG的中点H，连结EH，FH，
在梯形ABCD中，且，
所以且，所以，
因为E为BC的中点，所以，则，
因为平面，平面,
所以平面，
又，因为，所以，所以，
因为平面，平面,
所以平面，
又，平面，
所以平面平面，
因为平面，
所以平面；
9．（2021·山东烟台市）如图，四棱台中，底面为直角梯形，，，底面，，为棱的中点，证明：平面
【答案】证明见解析
【解析】在上取点，使，连接交于点，连接，
设，交于点，由，则，，
∴，即，又面，面，
∴面，同理可得/面，又，
∴面面，又面，
∴平面；
10．（2021·山西阳泉市）如图，在长方体中，，，.点为对角线的中点，证明：直线平行于平面
【答案】证明见解析
【解析】如图所示，在正方体中，连接，，
因为，且平面，平面，所以平面，
同理可得平面，
因为，且平面，所以平面平面，
又因为平面，所以平面.
11．（2021·安徽高三其他模拟（理））如图，是边长为2的等边三角形，，，,，求证：平面ABC
【答案】证明见解析
【解析】因为，所以四边形ACDE是菱形，
所以，且平面ABC，所以平面ABC．
又因为，平面ABC，所以平面ABC，
因为，且平面，所以平面平面ABC，
又因为平面，所以平面ABC．
12．（2021·安徽高三期末）如图，在直四棱柱（侧棱垂直底面的棱柱称为直棱柱）中，底面是边长为2的菱形，且，，点E，F分别为，的中点，点G在上，证明：平面AC
【答案】证明见解析
【解析】如图所示：
连接BD交AC于点O，则O为BD的中点，
连接BF，OE，，则．
∵平面ACE，平面ACE，∴平面ACE．
∵，，∴四边形为平行四边形，∴．
又∵平面ACE，平面ACE，∴平面ACE．
∵，∴平面平面ACE，
∵平面，∴平面ACE．
【题组三 线线平行】
1．（2021·江苏泰州市）在正四棱锥中，分别是的中点，过直线的平面分别与侧棱交于点，求证：
【答案】证明见解析．
【解析】证明：在中，因为E，F分别是的中点，所以且，
又因为平面，平面，所以平面
因为平面平面，所以，所以．
2．（2021·山东济南市）如图，正八面体ABCDEF是由上下两个棱长均相等的正四棱锥拼接而成，各棱长均为，若平面ABC∩平面CDF＝l，证明：AB∥l
【答案】证明见解析．
【解析】证明：由图可知，四边形ABFD为菱形，则AB∥DF，
AB平面CDF，DF平面CDF，则AB∥平面CDF，
又平面ABC∩平面CDF＝l，AB平面ABC，
由线面平行的性质，可得AB∥l；
3．（2021·首都师范大学附属中学高三其他模拟）如图，四边形和三角形所在平面互相垂直，，，，，，，平面与平面交于，求证：
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为，平面，平面，所以平面，
因为平面平面，平面，所以.
4．（2021·全国高三其他模拟（文））在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形E，F分别为BC，AD的中点，过EF的平面与平面PCD交于M，N两点，求证：
【答案】证明见解析
【解析】∵底面ABCD为平行四边形，E，F分别为BC，AD的中点，
∴EFCD，∴EFAB.
平面PCD，平面PCD，所以平面PCD，
过EF的平面与平面PCD交于M，N两点，∴MNEF，∴ABMN.
5．（2021·安徽安庆市）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，且，点M在棱上，若直线平面，求的值
【答案】（1）1∶2；
【解析】连接与交于点N，连接，
，，，，
又平面，平面，且平面平面
．
6．（2021·四川攀枝花市·高三三模（文））如图，三棱锥中，△为正三角形，点在棱上，、分别是棱、的中点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：
【答案】证明见解析
【解析】∵、分别是棱、的中点，∴，
∵平面，平面，∴平面，
∵平面，平面平面，∴，则；
7．（2021·全国高三）如图，三棱柱在圆柱中，等腰直角三角形，分别为上、下底面的内接三角形，点，分别在棱和上，，，平面，求的值
【答案】
【解析】过点作交于点，连接，
，，与确定一个平面．
平面，平面平面，，
四边形为平行四边形，．
又，，，．
8．（2021·辽宁朝阳市·高三一模）如图，在三棱锥中，底面，，、分别是、的中点，与交于点，是上的一个点，记，若平面，求实数的值
【答案】；
【解析】连接，并延长交于点，
因为、分别是、的中点，所以点为重心，且为的中点，所以，
因为平面，平面平面，平面，所以，所以，又因为，所以；
【题组四 平行中的动点】
1．（2021·四川成都市）如图，在三棱柱中，平面，，，，是棱的中点，在棱上，且，在棱上是否存在点，满足平面，若存在，求出的值
【答案】存在，
【解析】因为面，故三棱柱为直三棱柱.
故面，而面，故，
因为，故且，
因为是棱的中点，故，因为，
∴直线平面，而平面， ∴，
又，，∴平面，
而平面，∴，
在矩形中，，，
故，故，故即，故.
过作，交于，取的中点为，连接，
则，而，故，
所以，即，所以.
在矩形中，因为，故，
而，所以，所以，
而平面，平面，所以平面.
在上取点，使，连，
因为，故，故.
在矩形中，因为为所在棱的中点，故
而故，故四边形为平行四边形，
故，故，
而平面，平面，所以平面.
因为，故平面以平面，
因为平面，故平面.
2．（2021·安徽高三二模（理））如图，已知平面，平面，，设是直线上的点，当点在何位置时，直线平面？请说明理由
【答案】点是的中点，理由见解析
【解析】当点是的中点时，平面.
理由如下：如下图，取的中点，连接、、，则且，
因为平面，平面，所以.
又，所以且，
所以四边形是平行四边形，所以.
因为平面，平面，所以平面；
3．（2021·湖南长沙市·雅礼中学高三月考）在三棱锥中，平面，，，，为的中点，为的中点，在线段上是否存在一点，使平面？若存在，指出点的位置并给出证明，若不存在，说明理由
【答案】存在；点为上的靠近的四等分点；证明见解析
【解析】存在点为上的靠近的四等分点即，平面，
证明如下：取的中点，连接，，
则，
因为平面，平面，所以平面，
因为，，
所以，又平面，平面，
所以平面，
又，平面，
所以平面平面，
又平面，所以平面．
4．（2021·云南昆明市）在如图所示的五面体ABCDEF中，△ADF是正三角形，四边形ABCD为菱形，，EF平面ABCD，AB=2EF=2，点M为BC中点，在直线CD上是否存在一点G，使得平面EMG平面BDF，请说明理由
【答案】CD的中点G，理由见解析
【解析】连接AC交BD于点O，连接OM，OF，取CD的中点G，连接GM，GE
因为EF平面ABCD，EF平面ABEF，平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以EFAB
因为OMABEF，，所以四边形OMEF是平行四边形，所以OFEM
因为EM平面BDF，OF平面BDF，所以EM平面BDF
因为点G与点M分别为CD与BC的中点，所以GMBD
因为GM平面BDF，BD平面BDF，所以GM平面BDF
而GM∩EM=M，平面EMG平面BDF
5．（2021·湖南高三其他模拟）在长方体中，已知，为的中点，）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，若不存在，请说明理由
【答案】存在，证明见解析
【解析】存在，当点为线段的中点时，平面平面.
证明：在长方体中，，.
又因为平面，平面，
所以平面.
又为的中点，为的中点，
所以，且.
故四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
又因为，平面，平面，
所以平面平面.7.1 空间几何中的平行（精练）
【题组一 线面平行】
1．（2021·北京清华附中）如图，在四棱锥中求证：平面
2．（2021·浙江高三期末）如图，四棱锥中，四边形ABED是正方形，若G，F分别是线段EC，BD的中点.
（1）求证：平面ABC.
（2）在线段CD上是否存在一点P，使得平面平面ABC？并说明理由.
3．（2021·江苏扬州市）如图，在直三棱柱中，底面是等边三角形，是的中点，证明：平面
4．（2021·江苏南通市）《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经十书”中最重要的一部，它对几何学的研究比西方要早1000多年.在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图，在堑堵中，，，M，N分别是，BC的中点，点P在线段上，若P为的中点，求证：平面
5．（2021·云南曲靖一中）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，分别是，，的中点，证明：平面
6．（2021·江苏南通市）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，是的中点，是的中点，，求证：平面
7．（2021·陕西西安市·）如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，，，且，，）求证：平面BDE
8．（2021·湖北武汉市）在四棱锥P—ABCD中，ABCD，过CD的平面分别交线段PA，PB于M，N，E在线段DP上(M，N，E不同于端点)求证：CD平面MNE
9．（2021·全国高三其他模拟（文））如图，四棱锥中，点M、N分别为直线上的点，且满足，求证：平面
10．（2021·江西高三）已知多面体如图所示，其中四边形为矩形，，平面，求证：平面
11．（2021·江苏徐州市）如图，已知正方体的棱长为2，是的中点.设平面与平面的交线为l，求证：平面
12．（2021·陕西渭南市）如图，在多面体中，矩形所在平面与正方形所在平面垂直，，点为的中点，求证：平面
13．（2021·四川遂宁市）如图，在直四棱柱中，底面四边形为梯形，点为上一点，且，，，求证：平面
14．（2021·重庆南开中学高三其他模拟）如图，是圆柱底面圆的直径，点 是的两个三等分点， 为圆柱的母线，求证：平面
【题组二 面面平行】
1．（2021·全国高三）如图所示，四棱柱的侧棱与底面垂直，交于点，且分别为的中点，，求证：平面平面
2．（2021·山西太原市）如图，在三棱锥中，是正三角形，是的重心，，，分别是，，的中点，点在上，且，求证：平面平面
3．（2021·河北衡水中学）如图，在多面体中，是正方形，，M为棱的中点，求证：平面平面
4．（2021·河南高三三模）如图，在几何体中，四边形是矩形，，，，分别是线段，，的中点，求证：平面平面
5．（2021·安徽省舒城中学）如图，四边形ABCD是边长为的菱形，BB1＝DD1＝2，E，F分别是AD1，AB1的中点，证明：平面BDEF∥平面CB1D1
6．（2021·全国高三二模）如图，已知矩形所在的平面垂直于直角梯形所在的平面，且，，，，，，分别是，的中点，求证：平面平面
7．（2021·安徽省舒城中学）如图，四边形是边长为的菱形，平面，平面，且，分别是的中点，证明：平面平面
8．（2021·全国高三）在四棱锥，平面平面，四边形ABCD为直角梯形，，，，，E为BC的中点，点F在PC上，且，证明：平面
9．（2021·山东烟台市）如图，四棱台中，底面为直角梯形，，，底面，，为棱的中点，证明：平面
10．（2021·山西阳泉市）如图，在长方体中，，，.点为对角线的中点，证明：直线平行于平面
12．（2021·安徽高三期末）如图，在直四棱柱（侧棱垂直底面的棱柱称为直棱柱）中，底面是边长为2的菱形，且，，点E，F分别为，的中点，点G在上，证明：平面AC
【题组三 线线平行】
1．（2021·江苏泰州市）在正四棱锥中，分别是的中点，过直线的平面分别与侧棱交于点，求证：
2．（2021·山东济南市）如图，正八面体ABCDEF是由上下两个棱长均相等的正四棱锥拼接而成，各棱长均为，若平面ABC∩平面CDF＝l，证明：AB∥l
3．（2021·首都师范大学附属中学高三其他模拟）如图，四边形和三角形所在平面互相垂直，，，，，，，平面与平面交于，求证：
4．（2021·全国高三其他模拟（文））在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形E，F分别为BC，AD的中点，过EF的平面与平面PCD交于M，N两点，求证：
5．（2021·安徽安庆市）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，且，点M在棱上，若直线平面，求的值
6．（2021·四川攀枝花市·高三三模（文））如图，三棱锥中，△为正三角形，点在棱上，、分别是棱、的中点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：
7．（2021·全国高三）如图，三棱柱在圆柱中，等腰直角三角形，分别为上、下底面的内接三角形，点，分别在棱和上，，，平面，求的值
8．（2021·辽宁朝阳市·高三一模）如图，在三棱锥中，底面，，、分别是、的中点，与交于点，是上的一个点，记，若平面，求实数的值
【题组四 平行中的动点】
1．（2021·四川成都市）如图，在三棱柱中，平面，，，，是棱的中点，在棱上，且，在棱上是否存在点，满足平面，若存在，求出的值
2．（2021·安徽高三二模（理））如图，已知平面，平面，，设是直线上的点，当点在何位置时，直线平面？请说明理由
3．（2021·湖南长沙市·雅礼中学高三月考）在三棱锥中，平面，，，，为的中点，为的中点，在线段上是否存在一点，使平面？若存在，指出点的位置并给出证明，若不存在，说明理由
4．（2021·云南昆明市）在如图所示的五面体ABCDEF中，△ADF是正三角形，四边形ABCD为菱形，，EF平面ABCD，AB=2EF=2，点M为BC中点，在直线CD上是否存在一点G，使得平面EMG平面BDF，请说明理由
5．（2021·湖南高三其他模拟）在长方体中，已知，为的中点，）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，若不存在，请说明理由7.1 空间几何中的平行（精讲）
考点一 线面平行
【例1-1】（2021·黑龙江佳木斯市）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中D是AC的中点，求证：B1C∥平面A1BD
【例1-2】（2021·合肥市第六中学）如图，在四棱锥中，底面为矩形，为中点，连接交于点为的重心，证明：平面
【例1-3】（2021·全国高三其他模拟）在四棱锥中，底面为梯形，，，若为的中点，求证：平面
【例1-4】（2021·广东）如图所示，四面体PABC中，E，F分别为AB，AC的中点，过EF作四面体的截面EFGH交PC于点G，交PB于点H，证明：GH/平面ABC
【一隅三反】
1．（2021·黑龙江哈尔滨市）如图所示，在三棱柱中，为的中点，求证：平面
2．（2021·北京高三如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面底面，为的中点，求证：平面
3．（2021·黑龙江佳木斯市）如图，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，是的中点，求证：平面
4．（2020·安徽高三）如图所示，在三棱柱中，M为棱的中点，求证∶平面
5．（2021·商丘市第一高级中学）如图，在直棱柱中，底面是边长为2的正方形，为的中点，当为的中点时，证明：平面
6．（2021·福建省永春）如图，在三棱柱中，侧面是菱形，是棱的中点，，在线段上，且，证明：平面
7．（2021·山东高三）如图，在正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影为底面正方形的中心）P﹣ABCD中，AB＝2，PA＝2，AC与BD交于点O，平面BMQN为直线PD的垂面，且与PA，PC，PD分别交于M，N，Q三点，点E在线段PD上，且满足PE＝3ED，证明：OE∥平面BMQN
8（2021·安徽合肥市）如图，多面体中，底面为等腰梯形，，，，，且，求证：平面
9．（2021·全国高三月考）如图，在四棱锥中，四边形是梯形，.，证明:平面
10．（2021·普宁市普师高级中学）如图，四棱锥中，，，为的中点，证明：平面
11．（2021·辽宁高三）如图所示，平面五边形可分割成一个边长为2的等边三角形ABC和一个直角梯形ACDE，其中AECD，AE＝CD＝AC，∠EAC＝90°，现将直角梯形ACDE沿边AC折起，使得AE⊥AB，连接BE、BD，设线段BC的中点为F，求证：AF平面BDE
12．（2021·天津市武清区杨村第一中学）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，且，求证：平面
考点二 面面平行
【例2-1】（2021·全国高三月考）如图所示，在多面体中，，，均垂直于平面，，分别为，的中点，证明：平面
【例2-2】．（2021·广东）如图所示，在三棱台中，，，，，分别为，的中点，证明：平面
【一隅三反】
1．（2021·玉林市第十一中学高三）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，ADBC，P，Q是AB，CD的中，点M，N分别是SB，CB的中点，求证∶平面AMN平面SCD
2．（2021·山西太原市）如图，在三棱锥中，是正三角形，是的重心，分别是的中点，点在上，且，求证：平面平面
3．（2021·浙江高三）如图所示，四棱锥中，底面是矩形，点分别为的中点，证明：直线平面
4．（2021·陕西宝鸡市）如图，在四棱锥中，，，，，、、分别为线段、、的中点，证明：直线平面.
考点三 线线平行
【例3-1】（2021·全国高三）如图，在四面体中，，分别为，的中点，过的平面与，分别交于点，.求证：
【例3-2】（2020·重庆市凤鸣山中学高三月考（文））如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，，为等边三角形，G是线段SB上的一点，且SD//平面GAC.求证：G为SB的中点
【一隅三反】
1．（2020·安徽）如图，四棱锥的底面是边长为8的正方形，点G.E.F.H分别是棱PB．AB．DC．PC上共面的四点，平面GEFH.证明：
2．（2020·浙江高三）如图，平面，平面，，求证：
3．（2021·江苏高三）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，点在棱上，平面，求证：为的中点
考点四 平行中的动点
【例4】（2021·黑龙江哈尔滨市）直三棱柱所有棱长都为2，在边上是否存在一点，使平面，若存在给出证明，若不存在，说明理由
【一隅三反】
1．（2021·河南高三）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，AA1⊥AC，D，D1分别为AC，A1C1的中点且AD=AA1，在棱AA1上找一点M，使得平面，并说明理由
2．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州）如图，在三棱锥中，底面，是正三角形，是棱的中点，如，在平面内寻找一点使得平面，并说明理由
3．（2021·全国高三其他模拟）已知四棱柱的底面是边长为2的菱形，且，平面，，于点，试问在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由；
4．（2021·广东佛山市）在正三棱柱中，已知，M，N分别为，的中点，P为线段上一点．平面与平面的交线为l，是否存在点P使得平面？若存在，请指出点P的位置并证明；若不存在，请说明理由

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