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新教材必修一第三章函数的概念与性质章末复习
【基础知识梳理】
考点一:函数的概念与表示
a.定义域、对应关系和值域是函数的三个不可分割的要素，其中定义域和对应关系是最本质的要素，这两个确定了，值域也就确定了．
b.通过对函数的概念与表示的考查，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．
【经典例题】
1.函数的定义域为(　　)
A． B． C． D．
2.已知a，b为常数，且a≠0，f(x)＝ax2＋bx，f(2)＝0，方程f(x)＝x有两个相等的实数根．
①求函数f(x)的解析式；
②当x∈[1，2]时，求f(x)的值域．
【举一反三练习】
3.函数的定义域是________．
4.函数f(x)在R上为奇函数，当x＞0时，f(x)＝＋1，则f(x)的解析式为________．
考点二:分段函数
a.分段函数在定义域的不同部分上有不同的表达式，主要考查与分段函数有关的求值、求参数、单调性、奇偶性等问题．
b.通过对分段函数的考查，提升学生的数学运算素养．
【经典例题】
5.已知函数f(x)＝
(1)求f(x)的定义域、值域；
(2)求f(f(1))；
(3)解不等式.
【举一反三练习】
6.设f(x)＝若，则(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
考点三：函数的图象及应用
a.函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出．
函数图象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点，在历届高考试题中，常出现有关函数图象和利用图象解题的试题．
b.通过对函数图象的考查，提升学生的直观想象、逻辑推理素养．
7.(多选)已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5，下列关于函数f(x)的单调性说法正确的是(　　)
A．函数f(x)在R上不具有单调性
B．当a＝1时，f(x)在(－∞，0)上递减
C．若f(x)的单调递减区间是(－∞，－4]，则a的值为－1
D．若f(x)在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是
8.设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时, f(x)=x(x－1).若对任意x∈(－∞,m],都有f(x)≥,则m的取值范围是(　　)A. B. C. D.
9.设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)
10.设函数f(x)的定义域为R, f(x+1)为奇函数, f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时, f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则(　　)A. B. C. D.
考点四：函数的性质及应用
a.函数的单调性与奇偶性是函数最重要的性质，从命题形式看，求单调区间、单调性与奇偶性的判定，利用单调性求最值或参数的取值范围是命题的重点与热点．
b.通过对函数性质的考查，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．
11.已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a，b∈[－1，1]，a＋b≠0时，
有成立．
(1)判断f(x)在[－1，1]上的单调性，并证明．
(2)解不等式：.
(3)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围．
12.已知函数f(x)＝ax2＋2(1－a)x＋b(a，b∈R)．
(1)若a＜0，且函数f(x)在区间(－∞，3]上单调递增，求实数a的取值范围．
(2)令f(x)＝xg(x)(x≠0)，且f(x)为偶函数，试判断g(x)的单调性，并加以证明．
函数的概念与性质章节复习参考答案
【基础知识梳理】
考点一:函数的概念与表示
a.定义域、对应关系和值域是函数的三个不可分割的要素，其中定义域和对应关系是最本质的要素，这两个确定了，值域也就确定了．
b.通过对函数的概念与表示的考查，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．
【经典例题】
1.函数的定义域为(　　)
A． B． C． D．
解析：由题意知解得x<1且x≠，所以f(x)的定义域是.故选D.
2.已知a，b为常数，且a≠0，f(x)＝ax2＋bx，f(2)＝0，方程f(x)＝x有两个相等的实数根．
①求函数f(x)的解析式；
②当x∈[1，2]时，求f(x)的值域．
解：①由f(2)＝4a＋2b＝0，得2a＋b＝0，()
f(x)＝x，即ax2＋bx＝x，即ax2＋(b－1)x＝0(a≠0)有两个相等的实数根．
∴b－1＝0，∴b＝1.将其代入()得a＝－，∴f(x)＝－x2＋x.
②由①知f(x)＝－(x－1)2＋，
显然f(x)在[1，2]上是减函数．∴当x＝1时，f(x)max＝，当x＝2时，f(x)min＝0，
故当x∈[1，2]时，函数的值域是.答案：D　
【举一反三练习】
3.函数的定义域是________．
解析：要使函数有意义，需7＋6x－x2≥0，即x2－6x－7≤0，解得－1≤x≤7，
故所求函数的定义是[－1，7].
4.函数f(x)在R上为奇函数，当x＞0时，f(x)＝＋1，则f(x)的解析式为________．
解：当x<0时，－x>0，f(－x)＝＋1，
∵f(x)在R上为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－－1，
又∵f(0)＝0，∴f(x)的解析式为f(x)＝.
答案：(1)[－1，7]　(2)f(x)＝
考点二:分段函数
a.分段函数在定义域的不同部分上有不同的表达式，主要考查与分段函数有关的求值、求参数、单调性、奇偶性等问题．
b.通过对分段函数的考查，提升学生的数学运算素养．
【经典例题】
5.已知函数f(x)＝
(1)求f(x)的定义域、值域；
(2)求f(f(1))；
(3)解不等式.
解析：（1）f(x)的定义域为.值域为.(2).(3)f(x＋1)>的解集为.
【举一反三练习】
6.设f(x)＝若，则(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
解析：方法一：当01，f(a)＝，
f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a.
∵f(a)＝f(a＋1)，∴＝2a，解得a＝.
∴f(4)＝2×(4－1)＝6；
当a>1时，f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a.
由f(a)＝f(a＋1)，得2(a－1)＝2a，无解．
当a＝1时，a＋1＝2，f(1)＝0，f(2)＝2，不符合题意．
综上，6.
方法二：由当x≥1时，f(x)＝2(x－1)是增函数，可知若a≥1，则f(a)≠f(a＋1)，
∴0由f(a)＝f(a＋1)，得＝2(a＋1－1)，解得a＝，
则f(4)＝2×(4－1)＝6.
答案：C
考点三：函数的图象及应用
a.函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出．
函数图象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点，在历届高考试题中，常出现有关函数图象和利用图象解题的试题．
b.通过对函数图象的考查，提升学生的直观想象、逻辑推理素养．
7.(多选)已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5，下列关于函数f(x)的单调性说法正确的是(　　)
A．函数f(x)在R上不具有单调性
B．当a＝1时，f(x)在(－∞，0)上递减
C．若f(x)的单调递减区间是(－∞，－4]，则a的值为－1
D．若f(x)在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是
【答案】：选BD　
当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在R上是减函数，A错误；当a＝1时，f(x)＝2x2－8x＋5，其单调递减区间是(－∞，2]，因此f(x)在(－∞，0)上递减，B正确；由f(x)的单调递减区间是(－∞，－4]得a的值不存在，C错误；
在D中，当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上是减函数；当a≠0时，由
得08.设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时, f(x)=x(x－1).若对任意x∈(－∞,m],都有f(x)≥,则m的取值范围是(　　)A. B. C. D.
【答案】B　由题可知,当x∈(0,1]时, f(x)=x(x－1)=x2－x,则当x=时, f(x)min=－,且当x=时, f(x)=－.当x∈(1,2]时,x－1∈(0,1],则f(x)=2f(x－1).当x∈(－1,0]时,x+1∈(0,1],则 f(x)=f(x+1).
∴若x∈(1,2],则当x=时, f(x)min=－,且x=时, f(x)=－.
同理,若x∈(2,3],则当x=时, f(x)min=－1,且x=时, f(x)=－.
∵f(x)≥－对任意x∈(－∞,m]恒成立,∴当x∈(－∞,m]时,
f(x)min≥－,由图可知m≤.故选B.
9.设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)
解析：A项，由图象开口向下知a<0，由对称轴位置知－<0，所以b<0.又因为abc>0，所以c>0.而由题图知f(0)＝c<0，A错；B项，由题图知a<0，－>0，故b>0.又因为abc>0，所以c<0，而由题图知f(0)＝c>0，B错；选项C，D中，开口向上，故a>0，f(0)＝c<0.由abc>0知b<0，从而函数的对称轴x＝－>0，故C错，D正确．故选D.
10.设函数f(x)的定义域为R, f(x+1)为奇函数, f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时, f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则(　　)A. B. C. D.
【答案】D　由题知即
从而f(x+4)=－f(x+2),即f(x+2)=－f(x),
所以6=f(0)+f(3)=－f(2)+[－f(1)]=－(4a+b)－(a+b)=－5a－2b,即5a+2b=－6.①
又由题知f(x+1)为奇函数,x∈R,所以f(1)=0,即a+b=0.②
由①②得从而f(x)=－2x2+2,x∈[1,2].
所以.故选D.
考点四：函数的性质及应用
a.函数的单调性与奇偶性是函数最重要的性质，从命题形式看，求单调区间、单调性与奇偶性的判定，利用单调性求最值或参数的取值范围是命题的重点与热点．
b.通过对函数性质的考查，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．
11.已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a，b∈[－1，1]，a＋b≠0时，
有成立．
(1)判断f(x)在[－1，1]上的单调性，并证明．
(2)解不等式：.
(3)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围．
解析：(1)f(x)在[－1，1]上单调递增．证明如下：
任取x1，x2∈[－1，1]，且x1∵f(x)为奇函数，
∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)=．
由已知得，
又x1－x2<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在[－1，1]上单调递增．
(2)∵f(x)在[－1，1]上单调递增，
∴解得.
故原不等式的解集为.
(3)∵f(1)＝1，f(x)在[－1，1]上单调递增，
∴在[－1，1]上，f(x)≤1.
问题转化为m2－2am＋1≥1，
即m2－2am≥0对a∈[－1，1]恒成立．
设g(a)＝－2m·a＋m2≥0.
①若m＝0，则g(a)＝0≥0，自然对a∈[－1，1]恒成立．
②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1，1]恒成立，必须g(－1)≥0，且g(1)≥0，
即解得m≤－2或m≥2.
故m的取值范围是{m|m＝0或m≤－2或m≥2}．
12.已知函数f(x)＝ax2＋2(1－a)x＋b(a，b∈R)．
(1)若a＜0，且函数f(x)在区间(－∞，3]上单调递增，求实数a的取值范围．
(2)令f(x)＝xg(x)(x≠0)，且f(x)为偶函数，试判断g(x)的单调性，并加以证明．
解析：(1)∵a<0，且函数f(x)在(－∞，3]上单调递增，
∴解得－≤a<0，
∴实数a的取值范围是－≤a<0.
(2)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
即ax2＋2(1－a)x＋b＝ax2－2(1－a)x＋b对任意x≠0都成立，
∴a＝1，则g(x)＝x＋(x≠0)．
设x1，x2为区间A上的任意两个数，且x1则g(x1)－g(x2)＝＝(x1－x2)，
①当b＝0时，g(x)的单调递增区间为(－∞,0)和(0,＋∞)．
②当b<0时，A＝(－∞,0)或(0,＋∞)，g(x1)－g(x2)<0，
∴g(x)在区间(－∞,0)和(0,＋∞)上单调递增．
③当b>0时，A＝(－∞,－)或(,＋∞)，g(x1)－g(x2)<0，
g(x)在区间(－∞,－)和(,＋∞)上单调递增；
同理g(x)在区间(－,0)和(0,)上单调递减．
综上可知，当b＝0时，g(x)的单调递增区间为(－∞,0)和(0,＋∞)；
当b<0时，g(x)的单调递增区间为(－∞,0)和(0,＋∞)；
当b>0时，g(x)的单调递增区间为(－∞,－)和(,＋∞)，
单调递减区间为(－,0)和(0,)．

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