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2021-2022学年鲁教版九年级数学上册《3.3二次函数y=ax2的图象与性质》
同步达标测评（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．已知二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+5，则该二次函数图象的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（2，﹣1） D．（1，2）
2．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（　　）
A．B．C．D．
3．已知函数y＝|x2﹣4|的图象如图所示，若方程组至少有两组实数解，则b的取值范围为（　　）
A．b＞2 B．b＞0 C．b＜4 D．b＞﹣2
4．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　）
A．B．C．D．
5．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图，其中b，c的值可能是（　　）
A．b＝﹣3，c＝3 B．b＝3，c＝﹣3 C．b＝3，c＝3 D．b＝﹣3，c＝﹣3
6．已知等腰直角△ABC的斜边AB＝4，正方形DEFG的边长为，把△ABC和正方形DEFG如图放置，点B与点E重合，边AB与EF在同一条直线上，将△ABC沿AB方向以每秒个单位的速度匀速平行移动，当点A与点E重合时停止移动．在移动过程中，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积S与移动时间t（s）的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
7．如果a＜0，b＞0，c＞0，那么二次函数y＝ax2+bx+c的图象大致是（　　）
A．B． C．D．
8．某同学在用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 …
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（　　）
A．﹣11 B．﹣5 C．2 D．﹣2
二．填空题（共6小题，满分30分）
9．抛物线y＝﹣2x2沿着x轴正方向看，在y轴的左侧部分是　 　．（填“上升”或“下降”）
10．已知两个二次函数的图象如图所示，那么a1　 　a2（填“＞”、“＝”或“＜”）．
11．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y＝2x2与y＝﹣2x2的图象，则阴影部分的面积是　 　．
12．已知，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，当x＝2时，y的值为　 　．
13．抛物线y＝x2+8x﹣4与直线x＝﹣4的交点坐标是　 　．
14．若函数y＝，则当函数值y＝10时，自变量x＝　 　．
三．解答题（共6小题，满分50分）
15．用描点法画出二次函数y＝2x2﹣8x+5的图象．
16．如图，函数y＝﹣x+2的图象交y轴于M，交轴于N，点P是直线MN上任意一点，PQ⊥x轴，设Q是垂足，设点Q的坐标为（t，0），△POQ的面积为S（当点P与M、N重合时，其面积记为0）．
（1）试求S与t之间的函数关系式；
（2）在如图所示的直角坐标系内画出这个函数的图象，并利用图象求使得s＝a（a＞0）的点P的个数．
17．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，2）（其中m为常数），点B与点A关于y轴对称．在实数范围内定义函数y＝（其中m为常数）的图象为G．
（1）当点（﹣1，2）在G上时，则m的值是 　 　；
（2）求点B在G上时，求m的值；
（3）当y最小值的取值范围是﹣2≤y≤﹣1时，请直接写出m的取值范围．
18．抛物线y＝2x2+4mx+m﹣5的对称轴为直线x＝2，求m的值及抛物线的顶点坐标．
19．已知：二次函数为y＝x2﹣x+m，
（1）写出它的图象的开口方向，对称轴及顶点坐标；
（2）m为何值时，顶点在x轴上方；
（3）若抛物线与y轴交于A，过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B，当S△AOB＝4时，求此二次函数的解析式．
20．小明根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．当自变量x的值为3时，函数y的值为3；当自变量x的值为6时，函数y的值为5；探究过程如下，请补充完整：
（1）请直接写出：a＝　 　；
（2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（3）写出该函数的一条性质：　 　；
（4）直线y＝k与该函数图象有且只有两个交点，则k的取值范围为　 　．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：∵二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+5，
∴x＝﹣＝﹣＝2，y＝＝＝1，
二次函数图象的顶点坐标为（2，1），
故选：B．
2．解：由y＝x2+k可知抛物线的开口向上，故B不合题意；
∵二次函数y＝x2+k与y轴交于负半轴，则k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数y＝﹣kx+1的图象经过经过第一、二、三象限，A选项符合题意，C、D不符合题意；
故选：A．
3．解：如图，
当b═﹣2时，一次函数y═x﹣2的图像与y═|x2﹣4|的图像只有一个交点；
当b＞﹣2时，函数y═x+b的图像与函数y═|x2﹣4|的图像至少有两个交点；
当b＜﹣2时，函数y═x+b的图像与函数y═|x2﹣4|的图像没有交点；
∴方程组至少有两组实数解，即函数y═x+b的图像与函数y═|x2﹣4|的图像至少有两个交点，则b＞﹣2，
故选：D．
4．解：观察函数图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴x＝﹣＜0，与y轴的交点在y轴负半轴．
故选：D．
5．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＞0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
故选：C．
6．解：①当0＜t≤1时，S＝＝t2，函数为开口方向向上的抛物线；
②当1＜t≤2时，如图2，
设BC交FG于H，则FH＝BF＝，
则GH＝﹣BF＝，
S＝S正方形DEFG﹣S△HMG＝﹣＝﹣，函数为开口方向向下的抛物线；
③当2＜t≤3时，S＝2；
④当3＜t≤4时，同理可得S＝＝﹣t2+6t﹣7，函数为开口方向向下的抛物线；
故只有选项C符合题意．
故选：C．
7．解：∵a＜0，b＞0，c＞0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，与y轴交于正半轴，顶点在y轴右侧，
故选：D．
8．解：由表格可得，
该二次函数的对称轴是直线x＝0，经过点（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2），
∴，
解得，，
∴y＝﹣3x2+1，
当x＝﹣2时，y＝﹣11，
当x＝2时，y＝﹣11，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分30分）
9．解：∵抛物线y＝﹣2x2的开口向下，对称轴为y轴，
∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，
∴抛物线y＝﹣2x2在y轴左侧的部分是上升的，
故答案为：上升．
10．解：如图所示y＝a1x2的开口大于y＝a2x2的开口，开口向下，则a2＜a1＜0，
故答案为：＞．
11．解：∵函数y＝2x2与y＝﹣2x2的图象关于x轴对称，
∴图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，
而边长为4的正方形面积为16，
所以图中的阴影部分的面积是8．
故答案为8．
12．解：∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴当x＝2和x＝0时，y值相等．
∵当x＝0时，y＝2，
∴当x＝2时，y＝2．
故答案为：2．
13．解：∵当x＝﹣4时，y＝（﹣4）2+8×（﹣4）﹣4＝﹣20，
∴抛物线y＝x2+8x﹣4与直线x＝﹣4的交点坐标是（﹣4，﹣20）．
14．解：①当x≤2时，x2+2＝10，
解得：x＝﹣2；
②当x＞2时，2x＝10，
解得：x＝5．
故答案为：﹣2或5．
三．解答题（共6小题，满分50分）
15．解：y＝2x2﹣8x+5＝2（x﹣2）2﹣3，抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣3），
列表：
x 0 1 2 3 4
y 5 ﹣1 ﹣3 ﹣1 5
图象为：
16．解：（1）①当t＜0时，OQ＝﹣t，PQ＝﹣t+2，
∴S＝ （﹣t）（﹣t+2）＝t2﹣t；
②当0＜t＜4时，OQ＝t，PQ＝﹣t+2，
∴S＝ t（﹣t+2）＝﹣t2+t；
③当t＞4时，OQ＝t，PQ＝﹣（﹣t+2）＝t﹣2，
∴S＝ t（t﹣2）＝t2﹣t；
④当t＝0或4时，S＝0；
于是，S＝；
（2）S＝
下图中的实线部分就是所画的函数图象．
观察图象可知：
当0＜a＜1时，符合条件的点P有四个；
当a＝1时，符合条件的点P有三个；
当a＞1时，符合条件的点P只有两个．
17．解：（1）把点（﹣1，2）代入y＝x2+x+m，则1﹣1+m＝2，
∴m＝2；
（2）∵点A的坐标为（m，2）（其中m为常数），点B与点A关于y轴对称，
∴点B的坐标为（﹣m，2），
当﹣m≥1时，即m≤﹣1时，
把点（﹣m，2）代入y＝x2+x﹣m，则m2﹣m﹣m＝2，解得m＝1±（舍去），
当﹣m＜1时，即m＞﹣1时，
把点（﹣m，2）代入y＝x2+x+m，则m2﹣m+m＝2，解得m＝±（负值舍去），
综上，m＝；
（3）当图形G上最低点落在函数y＝x2+x﹣m（x≥1）的图象上时，则最低点坐标为（1，2﹣m），
∴﹣2≤2﹣m≤﹣1，
解得：3≤m≤4；
当图形G上最低点落在函数y＝x2+x﹣m（x＜2）的图象上时，
同理：﹣≤m≤﹣；
y＝x2+x+m的顶点C（﹣，m﹣），
当x＝1时，y＝x2+x﹣m的点D（1，2﹣m），
m﹣＝2﹣m，
解得m＝，
当m＞时，D为最低点；
当m＜时，C为最低点．
综上所述，m的取值范围为：3≤m≤4或﹣≤m≤﹣．
18．解：∵y＝2x2+4mx+m﹣5的对称轴为直线x＝2，
∴＝2，
解得，m＝﹣2，
∴y＝2x2﹣8x﹣7＝2（x﹣2）2﹣15，
∴此抛物线的顶点坐标为（2，﹣15），
即m的值是﹣2，抛物线的顶点坐标是（2，﹣15）．
19．解：（1）∵a＝1＞0，
∴抛物线开口方向向上；
对称轴为直线x＝﹣＝；
＝，
顶点坐标为（，）；
（2）顶点在x轴上方时，＞0，
解得m＞；
（3）令x＝0，则y＝m，
所以，点A（0，m），
∵AB∥x轴，
∴点A、B关于对称轴直线x＝对称，
∴AB＝×2＝1，
∴S△AOB＝|m|×1＝4，
解得m＝±8，
所以，二次函数解析式为y＝x2﹣x+8或y＝x2﹣x﹣8．
20．解：（1）∵自变量x的值为3时，函数y的值为3；当自变量x的值为6时，函数y的值为5，
∴，
解得a＝2，
故答案为2；
（2）如图所示：
（3）当x≤﹣1时，y随x的增大而减小，
故答案为当x≤﹣1时，y随x的增大而减小；
（4）由图象可知，当k＞5或k＝1时，直线y＝k与该函数图象有且只有两个交点，
故答案为k＞5或k＝1．

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