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专题六 空间几何体
01 空间几何体的结构、表面积及体积
考纲对本模块内容的具体要求如下：
空间几何体的体积是每年高考的热点之一，主要涉及空间几何体的表面积与体积的计算．命题形式以选择题或填空题为主，考查空间几何体的表面积与体积的计算，涉及空间几何体的结构特征内容，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用转化与化归思想．21·世纪*教育网
1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
2.了解球、棱柱、棱锥、台体的表面积和体积的计算公式．
直观想象：1.通过对事物模型的观察，归纳认识简单几何体的结构特征.
2.通过对简单结合体的研究，掌握简单几何体的表面积与体积求法.
3.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图.
数学运算：1.会求简单几何体的表面积与体积.
2.能用表面积、体积公式解决简单的实际问题.
逻辑推理：1.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.
2.通过表面积和体积公式的探究过程，体会数学的转化和类比的思想.
一、简单多面体的结构特征
(1)棱柱的侧棱都_______，上下底面是_______的多边形；
(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个_______的三角形；
(3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形．
二、旋转体的形成
几何体 旋转图形 旋转轴
圆柱 矩形 _______所在的直线
圆锥 直角三角形 _______所在的直线
圆台 直角梯形 _______所在的直线
球 半圆 _______所在的直线
三、直观图
直观图 斜二测画法：(1)原图 ( http: / / www.21cnjy.com )形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面_______．(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍_______，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度_______，平行于y轴的线段在直观图中长度为_______.
四、圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图　
侧面积公式　 S圆柱侧＝_______ S圆锥侧＝_______ S圆台侧＝_______
五、柱体、锥体、台体和球的表面积和体积
名称几何体 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝_______
锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝_______
台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝_______
球 S＝_______ V＝_______
[常用结论]
1．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：
S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图．
2．多面体的内切球与外接球常用的结论
(1)设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r＝，外接球半径R＝a.
(2)设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R＝.
(3)设正四面体的棱长为a，则它的高为a，内切球半径r＝a，外接球半径R＝a.
考点一 空间几何体的结构特征　
(1)（2021·湖北高三期中）下列命题正确的是（ ）
A．长方体是直四棱柱，直四棱柱是长方体
B．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
(2)（2021·雁塔·陕西师大附中高一月考）下列判断正确的是（　　）
A．正三棱锥一定是正四面体
B．底面是正方形的四棱锥是正四棱锥
C．底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱
D．底面是正方形的棱台是正四棱台
（3）（2022·全国高三专题练习）已知等腰梯形ABCD，现绕着它的较长底CD所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（ ）21教育网
A．一个圆台、两个圆锥 B．一个圆柱、两个圆锥
C．两个圆台、一个圆柱 D．两个圆柱、一个圆台
【规律方法】
解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧
(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是 ( http: / / www.21cnjy.com )紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可．
(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．
(3)棱(圆)台是由棱(圆)锥截得的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．
【跟踪练习】(2020·辽宁省鞍山一中高三上学期期末)给出下列命题：
(1)棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；
(2)若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；
(3)在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
(4)存在每个面都是直角三角形的四面体；
(5)棱台的侧棱延长后交于一点．
其中正确命题的个数为(　　)
A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5
考点二 空间几何体的直观图
（2021·河北保定市·高三期中）如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为（ ）21cnjy.com
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A．2 B．4 C． D．8
【规律方法】
对于几何体的直观图，除掌握斜二测画法外，记住原图形面积S与直观图面积S′之间的关系S′＝S，能更快捷地进行相关问题的计算．21世纪教育网版权所有
【跟踪练习】（1）（2021·山东济宁市·）如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，那么（ ）
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A．的长度大于的长度 B．的长度等于的长度
C．的面积为1 D．的面积为
（2）（2021·上海市南洋模范中学高二月考）已知的面积为，用斜二测法画出其水平放置的直观图如图所示，若，则的长为___________.
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考点三 空间几何体的表面积与体积
考法1 表面积　
(2020·河南周口模拟)如图，在 ( http: / / www.21cnjy.com )三棱柱ABC A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为(　　)
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A．4＋4 B．4＋4
C．12 D．8＋4
【规律方法】
几类空间几何体表面积的求法
(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．
(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．
(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补．
(4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系．21·cn·jy·com
【跟踪练习】（2022·全国 ( http: / / www.21cnjy.com )高三专题练习）如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，三棱锥D1 AB1C的表面积与正方体的表面积的比为（ ）www.21-cn-jy.com
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A．1∶1 B．1∶ C．1∶ D．1∶2
考法2 体积
（公式法求体积）（2021·天津高三期末）长方体的体积是120，若E为的中点，则三棱锥的体积为（ ）2-1-c-n-j-y
A．10 B．20 C．30 D．40
(2020·山东省实验中学模拟)我国古代《九 ( http: / / www.21cnjy.com )章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈．问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛(如图所示)，下底宽2丈，长3丈，上底宽3丈，长4丈，高3丈．问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为(　　)21*cnjy*com
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A．13.25立方丈 B．26.5立方丈
C．53立方丈 D．106立方丈
（割补法求体积）（2021·山西高三三模（文））已知三棱台中，三棱锥的体积为4，三棱锥的体积为8，则该三棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
（等体积法求体积）（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三月考）若将一个圆锥的侧面沿一条母线展开，其展开图是半径为5，面积为的扇形，则与该圆锥等体积的球的半径为（ ）www-2-1-cnjy-com
A． B． C． D．
【规律方法】
求空间几何体的体积的常用方法
①公式法：对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解；
②割补法：把不规则的图形分割成规则的图形， ( http: / / www.21cnjy.com )然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积；
③等体积法：一个几何体无论怎样转 ( http: / / www.21cnjy.com )化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积．【版权所有：21教育】
【跟踪练习】（2021·贵州师大附中高一月考）在长方体中，AB=6，BC=8，.
（1）求三棱锥的体积；
（2）在三棱柱内放一个体积为V的球，求V的最大值.
考点四 与球有关的切、接问题
考法1 外接球
(1)（2021·广东高州·高一期末）已知正四面体的表面积为，且、、，四点都在球的球面上，则球的体积为（ ）21教育名师原创作品
A． B． C． D．
(2)（2020·江苏高三期末）在直三棱柱中，，，，，则其外接球的体积是（ ）
A． B． C． D．
考法2 内切球
（2020·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）高三模拟）已知圆锥的轴截面为正三角形，有一个球内切于该圆锥，圆锥的体积为，球的体积为，则（ ）
A． B． C． D．
【规律方法】
与球有关的切、接问题的求解方法
（1）与球有关的组合体问题 ( http: / / www.21cnjy.com )，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.
（2）若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体.
①利用
②确定球心位置，把半径放在直角三角形中求解.
（3）一条侧棱垂直底面的三棱锥问题：可补形成直三棱柱.
【跟踪练习】（1）（2021·湖北省直辖县级单位·高二月考）空间四面体中，，，，则该四面体的外接球的表面积为_________
（2）（2022·全国高三专题练习）如图，直三棱柱中，，，为定值），四棱锥体积最大值为，则三棱柱的外接球的表面积是（ ）【出处：21教育名师】
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A． B． C． D．
（3）（2022·全国高三专题练习）已知在正四面体ABCD中，E是AD的中点，P是棱AC上的一动点，BP＋PE的最小值为，则该四面体内切球的体积为（ ）
A．π B．π
C．4π D．π
1.（2021·全国高考真题）正四棱台的上 下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
2.（2021·全国高考真题（理））已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
3.（2021·全国高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26% B．34% C．42% D．50%
4.（2021·全国高考真题）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·北京高考真题）定义：24小时内降水在平地上积水厚度（）来判断降雨程度．其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（ ）
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
6.（2021·江苏高考真题）若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·天津高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A． B． C． D．
8．(2020年高考全国Ⅰ卷)埃及胡夫 ( http: / / www.21cnjy.com )金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为
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A． B． C． D．
9．(2020年高考全国II卷理数)已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16，则O到平面ABC的距离为
A． B． C．1 D．
10．(2020年高考全国Ⅲ卷理数)如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是
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A．6+4 B．4+4
C．6+2 D．4+2
11．(2020年高考全国Ⅰ卷)已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接
圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为
A． B． C． D．
12．(2020年高考天津)若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
A． B． C． D．
13.（2021·全国高三专题练习）以下命题中真命题的序号是（ ）
①若棱柱被一平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱；
②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；
③当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆.
A．①③ B．②③ C．①② D．①②③
14．（2021·山东潍坊市·高三月考）已知某圆锥轴截面的顶角为，过圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为，则该圆锥的底面半径为（ ）
A． B． C． D．
15.（2021·江苏南京市·高二月考）已知正三棱柱的所有棱长都为2，一个半径为3的球与正三棱柱的底面三角形的三边均相切，且球心在该正三棱柱外，则点到底面的距离为（ ）
A．5 B． C． D．
16．（2021·雁塔·陕西师大附中高一月考）若一个平面图形的斜二测直观图是一个边长为2的正方形（如图），则原图的周长为（　　）
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A． B．16 C． D．
17.（2021·全国高一课时练习）如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，则四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积为（ ）
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A．(60+4)π B．(60+8)π
C．(56+8)π D．(56+4)π
18.（2021·山东高考真题）直棱柱的底面是边长为的菱形，侧棱长为，那么直棱柱的侧面积是______．2·1·c·n·j·y
19．（2021·全国高考真题（文））已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________.
20.（2021·贵州贵阳·高三月考（文））学生到工厂参加劳动实践，用薄铁皮制作一个圆柱体，圆柱体的全面积为，则该圆柱体的外接球的表面积的最小值是__________________.
21.（2022·江苏高三专题练习）打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）.过去常在模具制造 工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节 牙齿或一些飞机零部件等）.已知利用打印技术制作如图所示的模型.该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为，母线与底面所成角的正切值为.打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为___________（取，精确到0.1）
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22.（2021·山东枣庄·高一期中）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图一个透明的球形装饰品内放置了两个具有公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知大圆锥轴截面是等边三角形，设球的半径为R，圆锥底面半径为r.
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（1）试确定R与r的关系；
（2）若小圆锥 大圆锥的侧面积为 ，球的表面积为，求；
（3）求出两个圆锥的总体积（即体积之和）与球的体积之比.
23．（2021·吉林延边朝鲜族自治州·延边二中高一期中）如图，圆锥的底面直径和高均是4，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，
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（1）求剩余几何体的体积
（2）求剩余几何体的表面积
24．（2021·全国高一课时练习）如图，直三棱柱的高为，底面三角形的边长分别为．以上、下底的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分形成的几何体的表面积和体积．【来源：21·世纪·教育·网】
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25．（2021·全国）如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个高为的圆柱．
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（1）求出此圆锥的侧面积；
（2）用表示此圆柱的侧面积表达式；
（3）当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积．
26．（2021·池州市江南中学高三月考）如图所示，在边长为的正方形中，以为圆心画一个扇形，以为圆心画一个圆，，，为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆为圆锥的底面，围成一个圆锥，求该圆锥的表面积与体积.21*cnjy*com
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27．（2021·邯山区新思 ( http: / / www.21cnjy.com )路学本文化辅导学校高一月考）蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活.蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示.一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示.已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米.【来源：21cnj*y.co*m】
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图1 图2
（1）求该蒙古包的侧面积；
（2）求该蒙古包的体积.
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2
例3.1
例3.2
例4.1
例4.2
真题演练
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专题六 空间几何体
01 空间几何体的结构、表面积及体积
考纲对本模块内容的具体要求如下：
空间几何体的体积是每年高考的热点之一，主要涉及空间几何体的表面积与体积的计算．命题形式以选择题或填空题为主，考查空间几何体的表面积与体积的计算，涉及空间几何体的结构特征内容，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用转化与化归思想．21教育网
1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
2.了解球、棱柱、棱锥、台体的表面积和体积的计算公式．
直观想象：1.通过对事物模型的观察，归纳认识简单几何体的结构特征.
2.通过对简单结合体的研究，掌握简单几何体的表面积与体积求法.
3.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图.
数学运算：1.会求简单几何体的表面积与体积.
2.能用表面积、体积公式解决简单的实际问题.
逻辑推理：1.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.
2.通过表面积和体积公式的探究过程，体会数学的转化和类比的思想.
一、简单多面体的结构特征
(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形；
(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形；
(3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形．
二、旋转体的形成
几何体 旋转图形 旋转轴
圆柱 矩形 任一边所在的直线
圆锥 直角三角形 任一直角边所在的直线
圆台 直角梯形 垂直于底边的腰所在的直线
球 半圆 直径所在的直线
三、直观图
直观图 斜二测画法：(1)原图形中x ( http: / / www.21cnjy.com )轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半.
四、圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图　
侧面积公式　 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l
五、柱体、锥体、台体和球的表面积和体积
名称几何体 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh
台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
[常用结论]
1．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：
S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图．
2．多面体的内切球与外接球常用的结论
(1)设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r＝，外接球半径R＝a.
(2)设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R＝.
(3)设正四面体的棱长为a，则它的高为a，内切球半径r＝a，外接球半径R＝a.
考点一 空间几何体的结构特征　
(1)（2021·湖北高三期中）下列命题正确的是（ ）
A．长方体是直四棱柱，直四棱柱是长方体
B．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
【答案】CD
【解析】对于A：直四棱柱底面可以为任意四边形，所以直四棱柱不一定是长方体，故A错误；
对于B： ( http: / / www.21cnjy.com / )如图所示，上下底面平行，各个面都是平行四边形，此几何体不是棱柱，故B错误；
对于C：棱锥侧面全为三角形，有一个面是平行四边形，则此面为底面，所以该棱锥为四棱锥，故C正确；
对于D：正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故D正确；
故选：CD
(2)（2021·雁塔·陕西师大附中高一月考）下列判断正确的是（　　）
A．正三棱锥一定是正四面体
B．底面是正方形的四棱锥是正四棱锥
C．底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱
D．底面是正方形的棱台是正四棱台
【答案】C
【分析】
由正四面体、正四棱锥、正四棱柱、正四棱台的定义辨析，即可判断
【详解】
正三棱锥不一定是正四面体，侧棱长与底面边长可能不相等，故A错误；
底面是正方形的四棱锥不一定是正四棱锥，顶点在底面的射影不一定是底面的中心，故B错误；
由正四棱住的概念可知，底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱，故C正确；
底面是正方形的棱台不一定是正四棱台，原因是棱台的侧棱延长后的交点在两底面的射影不一定为正方形的中心，故D错误．21·cn·jy·com
故选：C
（3）（2022·全国高三专题练习）已知等腰梯形ABCD，现绕着它的较长底CD所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．一个圆台、两个圆锥 B．一个圆柱、两个圆锥
C．两个圆台、一个圆柱 D．两个圆柱、一个圆台
【答案】B
【分析】
画出简图，将等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，进而进行旋转，然后根据多面体的定义得到答案.
【详解】
将等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
矩形绕其一边旋转一周得到圆柱，直角三角形绕其一条直角边旋转一周得到圆锥；
因此，将该等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，可得几何体为：一个圆柱、两个圆锥.
故选：B.
【规律方法】
解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧
(1)关于空间几何体的结构特征 ( http: / / www.21cnjy.com )辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可．
(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．
(3)棱(圆)台是由棱(圆)锥截得的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．
【跟踪练习】(2020·辽宁省鞍山一中高三上学期期末)给出下列命题：
(1)棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；
(2)若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；
(3)在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
(4)存在每个面都是直角三角形的四面体；
(5)棱台的侧棱延长后交于一点．
其中正确命题的个数为(　　)
A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5
【答案】C　
【解析】(1)不正确，根据棱柱的定义，棱柱的 ( http: / / www.21cnjy.com )各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；(2)正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；(3)正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；(4)正确，如图，正方体ABCD A1B1C1D1中的三棱锥C1 ABC，四个面都是直角三角形；(5)正确，由棱台的概念可知．21*cnjy*com
考点二 空间几何体的直观图
（2021·河北保定市·高三期中）如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为（ ）21教育名师原创作品
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A．2 B．4 C． D．8
【答案】D
【解析】
( http: / / www.21cnjy.com / )
如图，过作轴，交轴于，
在中，因为与轴垂直，且，，
所以，
由斜二测画法知：，
所以的边上的高为.故选：D.
【规律方法】
对于几何体的直观图，除掌握斜二测画法外，记住原图形面积S与直观图面积S′之间的关系S′＝S，能更快捷地进行相关问题的计算．www-2-1-cnjy-com
【跟踪练习】（1）（2021·山东济宁市·）如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，那么（ ）
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A．的长度大于的长度 B．的长度等于的长度
C．的面积为1 D．的面积为
【答案】D
【分析】
把斜二测画出的三角形的直观图还原原图形，即可判断.
【详解】
把斜二测画出的三角形的直观图还原原图形如图，
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据此分析选项：
对于A，，则有，A错误；
对于B，，，B错误；
对于C，的面积，C错误；
对于D，的面积，D正确.
故选：D．
（2）（2021·上海市南洋模范中学高二月考）已知的面积为，用斜二测法画出其水平放置的直观图如图所示，若，则的长为___________.
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【答案】1
【分析】
首先根据题意得到，利用正弦定理面积公式得到，再利用余弦定理求解即可.
【详解】
因为的面积为，所以.
因为，解得
所以，即.
故答案为：1
考点三 空间几何体的表面积与体积
考法1 表面积　
(2020·河南周口模拟)如图，在三棱柱 ( http: / / www.21cnjy.com )ABC A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为(　　)
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．4＋4 B．4＋4
C．12 D．8＋4
【答案】A
【解析】
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连接A1B.因为AA1⊥ ( http: / / www.21cnjy.com )底面ABC，则AA1⊥BC，又AB⊥BC，AA1∩AB＝A，所以BC⊥平面AA1B1B，所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为∠CA1B＝30°.又AA1＝AC＝2，所以A1C＝2，BC＝.又AB⊥BC，则AB＝，则该三棱柱的侧面积为2×2＋2×2＝4＋4，故选A.
【规律方法】
几类空间几何体表面积的求法
(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．
(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．
(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补．
(4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系．
【跟踪练习】（2022·全国高三专题练习 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，三棱锥D1 AB1C的表面积与正方体的表面积的比为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1∶1 B．1∶ C．1∶ D．1∶2
【答案】C
【分析】
首先设正方体的边长为，再计算正方体的表面积和三棱锥D1 AB1C的表面积，即可得到答案.
【详解】
设正方体的边长为，则表面积，
因为三棱锥的各面均是正三角形，其边长为正方体侧面对角线．
则面对角线长为，三棱锥D1 AB1C的表面积，
所以.
故选：C
考法2 体积
（公式法求体积）（2021·天津高三期末）长方体的体积是120，若E为的中点，则三棱锥的体积为（ ）2·1·c·n·j·y
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】A
【解析】
，
故选：A.
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(2020·山东省实验中学模拟 ( http: / / www.21cnjy.com ))我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈．问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛(如图所示)，下底宽2丈，长3丈，上底宽3丈，长4丈，高3丈．问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为(　　)【来源：21cnj*y.co*m】
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A．13.25立方丈 B．26.5立方丈
C．53立方丈 D．106立方丈
【答案】B
【解析】由题意知，刍童的体积为[(4×2＋3)×3＋(3×2＋4)×2]×3÷6＝26.5(立方丈)，故选B.
（割补法求体积）（2021·山西高三三模（文））已知三棱台中，三棱锥的体积为4，三棱锥的体积为8，则该三棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，棱台高为，由已知，得，
，得，
三棱台的体积为，故选：B.
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（等体积法求体积）（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三月考）若将一个圆锥的侧面沿一条母线展开，其展开图是半径为5，面积为的扇形，则与该圆锥等体积的球的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】侧面展开图的半径设为，也是圆锥的母线，设圆锥底面半径为，
则，则扇形面积，则，即，
根据勾股定理可知，圆锥的高，
则圆锥的体积，
那么球的体积，解得： 故选：B
【规律方法】
求空间几何体的体积的常用方法
①公式法：对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解；
②割补法：把不规则的图形分割成规 ( http: / / www.21cnjy.com )则的图形，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积；
③等体积法：一个几何体无 ( http: / / www.21cnjy.com )论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积．21世纪教育网版权所有
【跟踪练习】（2021·贵州师大附中高一月考）在长方体中，AB=6，BC=8，.
（1）求三棱锥的体积；
（2）在三棱柱内放一个体积为V的球，求V的最大值.
【答案】（1）48；（2）.
【分析】
（1）由长方体的几何特征结合锥体的体积公式即可得解；
（2）分别考虑球与侧面和底面相切的情况，再结合球的体积公式即可得解.
【详解】
（1）由长方体的几何特征知，到平面的距离为,
又,所以；
（2）设球的半径为R，若该球与三棱柱的三个侧面均相切，
则R为的内切圆的半径，则,
又，此时；
若该球与三棱柱的上下底面均相切，此时,;
所以在三棱柱内放一个体积为V的球，该球半径最大为2，
.
( http: / / www.21cnjy.com / )
考点四 与球有关的切、接问题
考法1 外接球
(1)（2021·广东高州·高一期末）已知正四面体的表面积为，且、、，四点都在球的球面上，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由正四面体的性质特征，可知它的各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为，则根据正四面体的表面积即可得出，从而得出对应的正方体的棱长为1，而正方体的外接球即为该正四面体的外接球，由正方体的外接球性质可得出外接球的半径为，最后根据球的体积公式即可得出结果.
【详解】
解：正四面体各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为，
所以该正四面体的表面积为，
所以，又正方体的面对角线可构成正四面体，
若正四面体棱长为，可得正方体的棱长为1，
所以正方体的外接球即为该正四面体的外接球，
所以外接球的直径为，半径为，所以球的体积为．
故选：C.
(2)（2020·江苏高三期末）在直三棱柱中，，，，，则其外接球的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
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在中，，，，
由余弦定理可得：，
所以，
所以，可得为直角三角形，
所以的中点即为外接圆的圆心，
设的中点为，则的中点即为直三棱柱外接球的球心，
设外接球的半径为，，，
所以，
所以外接球的体积是，
故选：B.
考法2 内切球
（2020·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）高三模拟）已知圆锥的轴截面为正三角形，有一个球内切于该圆锥，圆锥的体积为，球的体积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设圆锥的底面半径为，该内切球的半径为
圆锥的轴截面为正三角形
由等面积法可知，
，
故选：A
【规律方法】
与球有关的切、接问题的求解方法
（1）与球有关的组合体问题，一种是内 ( http: / / www.21cnjy.com )切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.
（2）若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体.
①利用
②确定球心位置，把半径放在直角三角形中求解.
（3）一条侧棱垂直底面的三棱锥问题：可补形成直三棱柱.
【跟踪练习】（1）（2021·湖北省直辖县级单位·高二月考）空间四面体中，，，，则该四面体的外接球的表面积为_________
【答案】
【分析】
对角线长分别为，，的长方体，则该长方体的外接球即为四面体的外接球，即得解
【详解】
( http: / / www.21cnjy.com / )
如图所示，构造对角线长分别为，，的长方体，则该长方体的外接球即为四面体的外接球
不妨设从A点出发的三条棱长分别为，外接球半径为，如图所示
则
解得，即外接球的表面积为
故答案为：
（2）（2022·全国高三专题练习）如图，直三棱柱中，，，为定值），四棱锥体积最大值为，则三棱柱的外接球的表面积是（ ）【版权所有：21教育】
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根据四棱锥体积公式结合基本不等式求解出的值，然后结合垂直关系表示出三棱柱外接球的半径，由此可求外接球的半径，则外接球的表面积可求.
【详解】
设，，由，，得，
四棱锥体积，
当且仅当时取等号，此时，得．
又因为，
则三棱柱的外接球的半径，
三棱柱的外接球的表面积是．
故选：C．
（3）（2022·全国高三专题练习）已知在正四面体ABCD中，E是AD的中点，P是棱AC上的一动点，BP＋PE的最小值为，则该四面体内切球的体积为（ ）
A．π B．π
C．4π D．π
【答案】D
【分析】
首先设正四面体的棱长为，将侧面和沿边展开成平面图形，根据题意得到的最小值为，从而得到，根据等体积转化得到内切球半径，再计算其体积即可.21·世纪*教育网
【详解】
设正四面体的棱长为，将侧面和沿边展开成平面图形，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
则的最小值为，
解得.
如图所示：为正四面体的高，
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，正四面体高.
所以正四面体的体积.
设正四面体内切球的球心为，半径为，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
则到正四面体四个面的距离相等，都等于，
所以正四面体的体积，解得.
所以内切球的体积.
故选：D
1.（2021·全国高考真题）正四棱台的上 下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.
【详解】
作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
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因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该棱台的高，
下底面面积，上底面面积，
所以该棱台的体积.
故选：D.
2.（2021·全国高考真题（理））已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题可得为等腰直角三角形，得出外接圆的半径，则可求得到平面的距离，进而求得体积.
【解析】，为等腰直角三角形，，
则外接圆的半径为，又球的半径为1，
设到平面的距离为，则，
所以.
故选：A.
3.（2021·全国高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26% B．34% C．42% D．50%
【答案】C
【分析】
由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.
【详解】
由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：
.
故选：C.
4.（2021·全国高考真题）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设圆锥的母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得的值，即为所求.
【解析】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得.
故选：B.
5．（2021·北京高考真题）定义：24小时内降水在平地上积水厚度（）来判断降雨程度．其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（ ）
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
【答案】B
【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.
【解析】由题意，一个半径为的圆面内的降雨充满一个底面半径为，高为的圆锥，
所以积水厚度，属于中雨.
故选：B.
6.（2021·江苏高考真题）若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意作图，由轴截面得出母线与底面圆半径的等量关系，再套公式求解.
【详解】
根据题意作图，
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设圆锥的底面圆半径为，高为 ，母线长为 .
若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，
则有，.
该圆锥的底面积与侧面积比值为.
故选：C.
7．（2021·天津高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.
【详解】
如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，
设圆锥和圆锥的高之比为，即，
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设球的半径为，则，可得，所以，，
所以，，，
，则，所以，，
又因为，所以，，
所以，，，
因此，这两个圆锥的体积之和为.
故选：B.
8．(2020年高考全国Ⅰ卷)埃及胡夫金字塔 ( http: / / www.21cnjy.com )是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为
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A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，设，则，
由题意得，即，化简得，
解得（负值舍去）.
故选C．
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9．(2020年高考全国II卷理数)已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16，则O到平面ABC的距离为
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】设球的半径为，则，解得：.
设外接圆半径为，边长为，
是面积为的等边三角形，
，解得：，，
球心到平面的距离.
故选：C．
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10．(2020年高考全国Ⅲ卷理数)如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是
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A．6+4 B．4+4
C．6+2 D．4+2
【答案】C
【解析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形
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根据立体图形可得：
根据勾股定理可得：是边长为的等边三角形
根据三角形面积公式可得：
该几何体的表面积是：.
故选：C．
11．(2020年高考全国Ⅰ卷)已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接
圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设圆半径为，球的半径为，依题意，得，为等边三角形，由正弦定理可得，
，根据球的截面性质平面，
，
球的表面积.
故选：A.
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12．(2020年高考天津)若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，
即，所以，这个球的表面积为.
故选：C．
13.（2021·全国高三专题练习）以下命题中真命题的序号是（ ）
①若棱柱被一平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱；
②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；
③当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆.
A．①③ B．②③ C．①② D．①②③
【答案】A
【分析】
根据棱柱的概念和性质即可得到答案.
【详解】
易知①正确；
②有两个面平行，其余各面都是平行四边形并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故不正确；21cnjy.com
③当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆，正确.
综上可得，只有①③正确.
故选：A.
14．（2021·山东潍坊市·高三月考）已知某圆锥轴截面的顶角为，过圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为，则该圆锥的底面半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题可求圆锥的母线长为2，结合条件即求.
【详解】
如图，由题可知，，
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又过圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为，
∴，即，
在中，.
故选：A.
15.（2021·江苏南京市·高二月考）已知正三棱柱的所有棱长都为2，一个半径为3的球与正三棱柱的底面三角形的三边均相切，且球心在该正三棱柱外，则点到底面的距离为（ ）【出处：21教育名师】
A．5 B． C． D．
【答案】D
【分析】
设球与正三棱柱的底面三角形的三边均相切于D、E、F，底面的外接圆的圆心为G，底面的外接圆的圆心为H，由正三角形的性质和勾股定理可求得答案.
【详解】
解：作出图形如下图所示：设球与正三棱柱的底面三角形的三边均相切于D、E、F，底面的外接圆的圆心为G，底面的外接圆的圆心为H，
则，又正三棱柱的所有棱长都为2，所以，
所以，所以，
故选：D.
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16．（2021·雁塔·陕西师大附中高一月考）若一个平面图形的斜二测直观图是一个边长为2的正方形（如图），则原图的周长为（　　）
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A． B．16 C． D．
【答案】B
【分析】
由题意可得原图形是一个平行四边形，然后根据斜二测画法中直观图与原图的关系可求出平行四边形的边长，从而可求出其周长
【详解】
由题意，平面图形的斜二测直观图是一个边长为2的正方形，
所以原图形是一个平行四边形，
斜二测画法中平行于轴的边长在原图中长度为2，
斜二测画法中与轴垂直的边长在原图中的长度为，
则原图形的周长为2+2+6+6＝16．
故选：B．
17.（2021·全国高一课时练习）如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，则四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积为（ ）
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A．(60+4)π B．(60+8)π
C．(56+8)π D．(56+4)π
【答案】A
【分析】
首先根据题意得到四边形绕所在直线旋转一周所成的几何体为一个圆台挖去一个圆锥，再计算其表面积即可.
【详解】
四边形绕所在直线旋转一周所成的几何体为一个圆台挖去一个圆锥，
如图所示：
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因为，所以圆台下底面面积，
又因为，，所以，，
所以圆台的侧面积.
圆锥的侧面积.
所以几何体的表面积为.
故选：A
18.（2021·山东高考真题）直棱柱的底面是边长为的菱形，侧棱长为，那么直棱柱的侧面积是______．
【答案】
【分析】
直棱柱的四个侧面都是长为，宽为的矩形，依此计算侧面积即可.
【详解】
直棱柱的四个侧面都是长为，宽为的矩形，该直棱柱的侧面积为四个矩形面积之和，
所以直棱柱的侧面积是.
故答案为：.
19．（2021·全国高考真题（文））已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________.
【答案】
【分析】
利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.
【详解】
∵
∴
∴
∴.
故答案为：.
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20.（2021·贵州贵阳·高三月考（文））学生到工厂参加劳动实践，用薄铁皮制作一个圆柱体，圆柱体的全面积为，则该圆柱体的外接球的表面积的最小值是__________________.
【答案】
【分析】
设圆柱底面圆半径为r，结合已知表示出圆柱的高h，再利用球及其内接圆柱的特征求出球的表面积与r的函数关系结合基本不等式即可得解.
【详解】
设圆柱底面圆半径为r，高为h，则有，整理得，
由球及其内接圆柱的结构特征知，球心是圆柱两底面圆圆心的中点，设球半径为R，
于是得，当且仅当，即时取“=”，
因此，球的表面积为，
所以该圆柱体的外接球的表面积的最小值是.
故答案为：
21.（2022·江苏高三专题练习）打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）.过去常在模具制造 工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节 牙齿或一些飞机零部件等）.已知利用打印技术制作如图所示的模型.该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为，母线与底面所成角的正切值为.打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为___________（取，精确到0.1）
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【答案】
【分析】
先作出几何体的轴截面，由圆锥底面直径为和母线与底面所成角的正切值为，得到圆锥的高，再设正方体的棱长为，由相似比得到a，然后由圆锥的体积减去正方体的体积求解.
【详解】
如图所示：
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是几何体的轴截面，因为圆锥底面直径为，
所以半径为.
因为母线与底面所成角的正切值为，
所以圆锥的高为.
设正方体的棱长为，，
则，解得.
所以该模型的体积为.
所以制作该模型所需原料的质量为.
故答案为：.
22.（2021·山东枣庄·高一期中 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图一个透明的球形装饰品内放置了两个具有公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知大圆锥轴截面是等边三角形，设球的半径为R，圆锥底面半径为r.
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（1）试确定R与r的关系；
（2）若小圆锥 大圆锥的侧面积为 ，球的表面积为，求；
（3）求出两个圆锥的总体积（即体积之和）与球的体积之比.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）根据题意分析出△ABC为直角三角形，及，进而得到答案；
（2）由题意，求出大小圆锥的母线长，进而算出它们的侧面积，再求出球的表面积，最后得到答案；
（3）根据（1），求出圆锥体积之和与球的体积，进而得到答案.
【详解】
（1）由几何体的特征，得到△ABC为直角三角形，由于大圆锥的轴截面为等边三角形，
故，所以：，，所以，
（2）球心到圆锥底面的距离，所以小圆锥的高为，
故小圆锥的母线长为R，大圆锥的母线长为，所以，，，故.
（3）由（1）得：两个圆锥的体积和为，球的体积为.
故两个圆锥的体积和为；体积之比为：.
23．（2021·吉林延边朝鲜族自治州·延边二中高一期中）如图，圆锥的底面直径和高均是4，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，
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（1）求剩余几何体的体积
（2）求剩余几何体的表面积
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）用锥体体积减去柱体体积.
（2）先求母线长，再求圆锥的表面积与挖去的小圆柱的侧面积之和即为剩余几何体的表面积.
【详解】
解：（1）由题意知，因为为的中点，所以挖去圆柱的半径为1，高为2，剩下几何体的体积为圆锥的体积减去挖去小圆柱的体积，
所以.
（2）因为圆锥的底面直径和高均是4，所以半径为2，母线，
所以圆锥的表面积为，
挖去的圆柱的侧面积为：，
所以剩余几何体的表面积为.
24．（2021·全国高一课时练习）如图，直三棱柱的高为，底面三角形的边长分别为．以上、下底的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分形成的几何体的表面积和体积．www.21-cn-jy.com
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【答案】表面积是，体积是．
【分析】
先求出圆柱的底面半径，再利用公式可求剩余几何体的体积和表面积.
【详解】
因为，所以底面是直角三角形．
所以上、下底面内切圆半径．
所以，
．
故剩余部分形成几何体的表面积是，体积是．
25．（2021·全国）如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个高为的圆柱．
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（1）求出此圆锥的侧面积；
（2）用表示此圆柱的侧面积表达式；
（3）当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）求出圆锥的母线长为，再代入圆锥的侧面积公式计算，即可得到答案；
（2）设圆柱的半径为，可得，再代入，即可得到答案；
（3）当时，取得最大值为，进而计算圆柱的体积为．
【详解】
（1）圆锥的底面半径与高均为2，则圆锥的母线长为，所以圆锥的侧面积为．
（2）设圆柱的半径为，
则，解得，且；
所以圆柱的侧面积为．
（3），；
当时，取得最大值为，
此时，圆柱的体积为．
26．（2021·池州市江南中学高三月考）如图所示，在边长为的正方形中，以为圆心画一个扇形，以为圆心画一个圆，，，为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆为圆锥的底面，围成一个圆锥，求该圆锥的表面积与体积.2-1-c-n-j-y
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【答案】表面积，体积为.
【分析】
设圆的半径为，扇形的半径为，根据正方体的对角线、圆的周长和扇形的弧长相等列方程组，解方程组，进而求得圆锥的表面积和体积.21*cnjy*com
【详解】
设圆的半径为，扇形的半径为，
由题意，得，
解得.
所以围成的圆锥的母线长为，底面半径为，高为
∴圆锥的表面积；
∴圆锥的体积为.
27．（2021·邯山区新思路学本文化辅 ( http: / / www.21cnjy.com )导学校高一月考）蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活.蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示.一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示.已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米.
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图1 图2
（1）求该蒙古包的侧面积；
（2）求该蒙古包的体积.
【答案】（1）平方米；（2）立方米.
【分析】
（1）结合圆锥的侧面积和圆柱的侧面积公式即可直接求解；
（2）结合圆锥的体积和圆柱的体积公式即可直接求解.
【详解】
由题意可知米，米，米，米.
（1）圆锥部分的侧面积平方米.
圆柱部分的侧面积平方米.
故该蒙古包的侧面积平方米.
（2）圆锥部分的体积立方米，
圆柱部分的体积立方米.
故该蒙古包的体积立方米.
故答案为：（1）平方米；（2）立方米.
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2
例3.1
例3.2
例4.1
例4.2
真题演练
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