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专题六 空间几何体
02 空间中点线面的位置关系
考纲对本模块内容的具体要求如下：
空间点、直线、平面的位置关 ( http: / / www.21cnjy.com )系是高考常考知识点之一，它的出题形式多样，在选择题或者填空或者解答都有可能涉及，这部分以简单和中档题为主，主要是考察空间想象力和空间思维能力.21教育网
数学抽象：1.了解空间中两条直线的三种位置关系，理解两异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线.
2.了解直线与平面的三种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示.
直观想象：了解不重合的两个平面之间的两种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示.
逻辑推理：通过对空间中点、线、面的位置关系的学习，逐步培养学生的空间想象意识.
1.四个公理
公理1：如果一条直线上的_____在一个平面内， 那么这条直线在此平面内．
公理2：过__________的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们__________过该点的公共直线．
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相_____．
2.直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类
(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任 ( http: / / www.21cnjy.com )一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的_____叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．2·1·c·n·j·y
②范围：(0°，90°]．
3．直线与平面的位置关系有_____、_____、_____三种情况．
4．平面与平面的位置关系有_____、_____两种情况．
5．等角定理
空间中如果两个角的_____，那么这两个角相等或互补．
[常用结论]
1．公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．
2．异面直线判定的一个定理
过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图所示．
考点一 空间两条直线的位置关系　
（1）（2021·黑龙江佳木 ( http: / / www.21cnjy.com )斯市·佳木斯一中高三三模（理））已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是（ ）21世纪教育网版权所有
A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n可能相交或异面
B．若α⊥β，m α，n β，则直线m与n一定平行
C．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n一定垂直
D．若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n一定平行
（2）（2021·全国高三专 ( http: / / www.21cnjy.com )题练习）正方体ABCD -A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（ ）21·cn·jy·com
A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直
【规律方法】
1.要判断空间两条直线的位置关系(平行、相交、异面)，可利用定义及公理4，借助空间想象并充分利用图形进行判断.21·世纪*教育网
2.判断空间直线的位置关系一般有两种方法：一是构造几何体(如正方体、空间四边形等) 模型来推断；二是利用排除法.www-2-1-cnjy-com
3.在判断两条异面直线位置关系时，多用反证法.
【跟踪练习】（1）（2021·钦州市第四中学高一月考）a、b、c是三条不重合的直线，下列说法正确的是（　　）2-1-c-n-j-y
A．若，，则
B．若，，则
C．若直线a，b没有交点，则a，b异面
D．若，，则.
（2）（2021·安徽省安庆九一六学校高一月考）若空间三条直线、、满足，，则直线与（ ）www.21-cn-jy.com
A．一定平行 B．一定垂直 C．一定是异面直线 D．一定相交
考点二 平面的基本性质及应用　
（1）（2021·全国高一课时练习）已知，，是平面，，，是直线，，，，若，则（ ）21*cnjy*com
A． B． C． D．
（2）如图所示，ABCD A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　)【来源：21cnj*y.co*m】
A．A，M，O三点共线
B．A，M，O，A1不共面
C．A，M，C，O不共面
D．B，B1，O，M共面
【规律方法】
1.证明线共面或点共面的常用方法
（1）直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面.
（2）纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.
（3）辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合.
2.证明点共线问题的常用方法
（1）基本性质法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上.【出处：21教育名师】
（2）纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.
3.证明三线共点问题常用的方法：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上.
【跟踪练习】如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：
(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．
考点三 异面直线所成的角
（1）(2020河北高三期中)如图，在三棱锥D-ABC中，，一平面截三棱锥D-ABC所得截面为平行四边形EFGH．已知，，则异面直线EG和AC所成角的正弦值是（ ）21教育名师原创作品
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A． B． C． D．
（2）如图所示，正三棱柱AB ( http: / / www.21cnjy.com )C A1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是(　　)21*cnjy*com
A. B. C. D．2
(3)正四面体ABCD中，E，F分别为AB，BD的中点，则异面直线AF，CE所成角的余弦值为________．
【规律方法】
1.用平移法求异面直线所成的角的三步法
（1）一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；
（2）二证：证明作出的角是异面直线所成的角；
（3）三求：解三角形，求出所作的角.如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.
2.当题设中含有两两垂直的三边关系时，常借助坐标法求异面直线所成的角.
【跟踪练习】（2021·武汉市洪山高级中学高二月考）如图，直三棱柱所有棱长都相等，D是的中点．
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（1）求证：直线平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
1.（2021·全国高考真题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2.（2021·山东高考真题）已知，表示平面，，表示直线，以下命题中正确的选项是（ ）【版权所有：21教育】
A．假设，，那么
B．假设，，，那么
C．假设，，那么
D．假设，，，，那么
3．（2021·全国高考真题（理））在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
4.（2021·湖南高考真题）设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
5．（2020·山东高考真题）已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（ ）
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A． B． C． D．
6.（2021·贵州贵阳·高三月考（文））给出下列三个命题：
①垂直于同一直线的两个平面互相平行；
②若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
③若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么这条直线垂直于这个平面.
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0【来源：21·世纪·教育·网】
7.（2021·雁塔·陕西师大附 ( http: / / www.21cnjy.com )中高一月考）若过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A作直线l，使得直线l与三条棱AB，AD，AA1所在直线的夹角均相等，则这样的直线l的条数为（　　）
A．0 B．1 C．3 D．4
8.（2021·全国高三专题练习）已知a、b为异面直线，P为空间的一点，则过P且与a、b成60°角的直线有（ ）
A．3条 B．2条或3条 C．3条或4条 D．2条或3条或4条
9.（2021·浙江高二月考）如图（1）是一副直角三角板.现将两个三角板沿它们的公共边翻折成图（2）的四面体，设，与面所成角分别为，，在翻折的过程中，下列叙述正确的是（ ）
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A．存在某个位置使得
B．若，当二面角时，则
C．当在面的射影在三角形的内部（不含边界），则
D．异面直线与所成角小于
10.（2021·湖北省直辖县级单位·高二月考）如图，多面体中，，，且，，两两垂直，则下列结论中正确的是（ ）
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A．平面平面
B．平面
C．直线与所成角的余弦值为
D．经过点、、、四点的球的表面积为
11.（2021·全国高一课时练习）(多选题)下列命题中，错误的结论有（ ）
A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等
B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等
C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补
D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行
12．（2021·全国高一课时练习）(多选)如图，ABCD A1B1C1D1为正方体，下面结论正确的是（ ）
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A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1 D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
13.（2021·山东省平邑县第一中学高二月考）设，分别是正方体的棱上的两点，且，，其中正确的说法为（ ）
A．三棱锥的体积为定值 B．异面直线与所成的角的大小为
C．平面. D．直线与平面所成的角的大小为
14.（2021·上海市徐汇中学高二月考）若直线与平面相交于点，、，、，且，则、、三点的位置关系是______．
15．（2020·上海奉贤区致远高级中学高二月考）空间四边形中，且与所成角为，，分别是，的中点，则与所成角的大小为__________.
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16.（2021·山东济宁市·）已知正方体，，分别是棱，的中点．
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（Ⅰ）画出平面与平面的交线，并说明理由；
（Ⅱ）设为直线与平面的交点，求证：，，三点共线．
17.（2021·全国高一课时练习）如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧棱底面，且，是的中点.
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（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求直线与平面所成角的正切值.
18.（2021·山东高考真题）如下图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，，．
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（1）求与所成角的余弦值；
（2）求证：．
19．（2021·浙江高考真题）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.
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（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20．（2021·安徽亳州市·亳州二中高二月考）四棱锥P﹣ABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，E为AB中点，PE⊥平面ABCD．21cnjy.com
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（1）若为等边三角形，求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45°，求PC与AD所成角的正切值．
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2
例3
真题演练
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专题六 空间几何体
02 空间中点线面的位置关系
考纲对本模块内容的具体要求如下：
空间点、直线、平面的位 ( http: / / www.21cnjy.com )置关系是高考常考知识点之一，它的出题形式多样，在选择题或者填空或者解答都有可能涉及，这部分以简单和中档题为主，主要是考察空间想象力和空间思维能力.www.21-cn-jy.com
数学抽象：1.了解空间中两条直线的三种位置关系，理解两异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线.
2.了解直线与平面的三种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示.
直观想象：了解不重合的两个平面之间的两种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示.
逻辑推理：通过对空间中点、线、面的位置关系的学习，逐步培养学生的空间想象意识.
1.四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内．
公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
2.直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类
(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经 ( http: / / www.21cnjy.com )过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：(0°，90°]．
3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．
4．平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况．
5．等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
[常用结论]
1．公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．
2．异面直线判定的一个定理
过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图所示．
考点一 空间两条直线的位置关系　
（1）（2021·黑龙江佳木斯市·佳 ( http: / / www.21cnjy.com )木斯一中高三三模（理））已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是（ ）2·1·c·n·j·y
A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n可能相交或异面
B．若α⊥β，m α，n β，则直线m与n一定平行
C．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n一定垂直
D．若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n一定平行
【答案】A
【分析】
根据线线，线面关系对选项一一分析即可.
【详解】
解：m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，
对于A，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n相交垂直或异面垂直，故A正确；
对于B，若α⊥β，m α，n β，则直线m与n相交、平行或异面，故B错误；
对于C，若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n相交、平行或异面，故C错误；
对于D，若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n平行或异面，故D错误．
故选：A．
（2）（2021·全国高三专题练习）正方 ( http: / / www.21cnjy.com )体ABCD -A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（ ）2-1-c-n-j-y
A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直
【答案】A
【分析】
连接与交于点F，易得是平行四边形，根据平面的基本性质即可判断直线与直线的位置关系.
【详解】
如图所示，连接与交于点F，
由题意，易得四边形是平行四边形，
在平行四边形中，E，F分别是线段的中点，
∴，又且共面，则直线与直线相交.
故选：A.
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【规律方法】
1.要判断空间两条直线的位置关系(平行、相交、异面)，可利用定义及公理4，借助空间想象并充分利用图形进行判断.www-2-1-cnjy-com
2.判断空间直线的位置关系一般有两种方法：一是构造几何体(如正方体、空间四边形等) 模型来推断；二是利用排除法.
3.在判断两条异面直线位置关系时，多用反证法.
【跟踪练习】（1）（2021·钦州市第四中学高一月考）a、b、c是三条不重合的直线，下列说法正确的是（　　）
A．若，，则
B．若，，则
C．若直线a，b没有交点，则a，b异面
D．若，，则.
【答案】A
【分析】
由线线的空间位置关系逐一判断可得选项.
【详解】
对于A：若，，则，故A正确；
对于B：若，，则或，或b与c成其它的角度，故B不正确；
对于C：若直线a，b没有交点，则a，b异面或a，b平行，故C不正确；
对于D：若，，则或，或b与c成其它的角度，故D不正确；
故选：A.
（2）（2021·安徽省安庆九一六学校高一月考）若空间三条直线、、满足，，则直线与（ ）
A．一定平行 B．一定垂直 C．一定是异面直线 D．一定相交
【答案】B
【分析】
根据等角定理可得出结论.
【详解】
，则、所成的角为直角，
又因为，所以，、所成的角为直角，即.
故选：C.
考点二 平面的基本性质及应用　
（1）（2021·全国高一课时练习）已知，，是平面，，，是直线，，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据空间中点线面之间的位置关系结合平面的基本性质逐一判断四个选项的正误，即可得正确选项.
【详解】
因为，，所以，，
由，可得且，
所以且，
因为，所以，故选项A正确，选项B不正确；
因为，，所以、有公共点，故选项C不正确；
因为，，所以，因为，所以与有公共点，故选项D不正确；
故选：A.
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（2）如图所示，ABCD A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　)21·世纪*教育网
A．A，M，O三点共线
B．A，M，O，A1不共面
C．A，M，C，O不共面
D．B，B1，O，M共面
【答案】A　
【解析】连接A1C1，AC，则A1C1∥AC ( http: / / www.21cnjy.com )，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C 平面ACC1A1，因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，又A在平面ACC1A1和平面AB1D1的交线上．所以A，M，O三点共线．B，C不正确，BB1与AO异面，所以D不正确．故选A.
【规律方法】
1.证明线共面或点共面的常用方法
（1）直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面.
（2）纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.
（3）辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合.
2.证明点共线问题的常用方法
（1）基本性质法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上.
（2）纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.
3.证明三线共点问题常用的方法：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上.
【跟踪练习】如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：
(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．
[证明]　(1)如图，连接EF，CD1，A1B.
∵E，F分别是AB，AA1的中点，
∴EF∥BA1.
又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，
∴E，C，D1，F四点共面．
(2)∵EF∥CD1，EF∴CE与D1F必相交，设交点为P，
则由P∈直线CE，CE 平面ABCD，
得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．
考点三 异面直线所成的角
（1）(2020河北高三期中)如图，在三棱锥D-ABC中，，一平面截三棱锥D-ABC所得截面为平行四边形EFGH．已知，，则异面直线EG和AC所成角的正弦值是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【解析】EFGH是平行四边形，所以，因为平面，平面，
所以平面，又平面，平面平面，
所以，所以（或其补角）就是异面直线EG和AC所成的角，
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因为，所以，
因为，，所以，
故．
故选：A
（2）如图所示，正三棱柱AB ( http: / / www.21cnjy.com )C A1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是(　　)
A. B. C. D．2
【答案】B
【解析】如图，取AC中点G，连接FG，EG，则FG∥C1C，FG＝C1C，EG∥BC，EG＝BC，故∠EFG即为EF与C1C所成的角，
在Rt△EFG中，
cos∠EFG＝＝＝.
(3)(2019·安庆模拟)正四面体ABCD中，E，F分别为AB，BD的中点，则异面直线AF，CE所成角的余弦值为________．
【答案】　
【解析】取BF的中点G，连接CG，EG(图略)，易知EG∥AF，所以异面直线AF，CE所成的角即为∠GEC(或其补角)．
不妨设正四面体棱长为2， ( http: / / www.21cnjy.com )易求得CE＝，EG＝，CG＝，由余弦定理得cos∠GEC＝＝＝，所以异面直线AF，CE所成角的余弦值为.
【规律方法】
1.用平移法求异面直线所成的角的三步法
（1）一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；
（2）二证：证明作出的角是异面直线所成的角；
（3）三求：解三角形，求出所作的角.如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.
2.当题设中含有两两垂直的三边关系时，常借助坐标法求异面直线所成的角.
【跟踪练习】（2021·武汉市洪山高级中学高二月考）如图，直三棱柱所有棱长都相等，D是的中点．
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（1）求证：直线平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）连接，交于，连接，由中位线性质有，根据线面平行的判定即可证结论；
（2）由（1）知与所成角即为，再在△中应用余弦定理即可求与所成角的余弦值．
【详解】
（1）连接，交于，连接，
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∵直三棱柱所有棱长都相等，
∴是的中点，又D是的中点，
∴，而面，面，
∴平面.
（2）由（1）知：与所成角即为，若直三棱柱棱长为2，
∴，则，，，
∴在△中，由余弦定理可得.
∴异面直线与所成角的余弦值.
1.（2021·全国高考真题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】BC
【分析】
根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线构造所考虑的线线角后可判断AD的正误.
【详解】
设正方体的棱长为，
对于A，如图（1）所示，连接，则，
故（或其补角）为异面直线所成的角，
在直角三角形，，，故，
故不成立，故A错误.
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对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接，，则，，
由正方体可得平面，而平面，
故，而，故平面，
又平面，，而，
所以平面，而平面，故，故B正确.
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对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得，
故，故C正确.
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对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接，
则，
因为，故，故，
所以或其补角为异面直线所成的角，
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因为正方体的棱长为2，故，，
，，故不是直角，
故不垂直，故D错误.
故选：BC.
2.（2021·山东高考真题）已知，表示平面，，表示直线，以下命题中正确的选项是（ ）21cnjy.com
A．假设，，那么
B．假设，，，那么
C．假设，，那么
D．假设，，，，那么
【答案】C
【分析】
根据线面垂直的性质定理，可判断A；根据面面平行的性质定理，可判断B、C；根据面面平行的判定定理，可判定D
【详解】
选项A：假设，，那么或在内，故选项A错误；
选项B：假设，，，那么或与异面，故选项B错误；
选项D：假设，，，，且、相交才能判定，故选项C错误；
选项C：依照两平面平行的性质可知C正确．
故选：C
3．（2021·全国高考真题（理））在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.
【详解】
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如图，连接，因为∥，
所以或其补角为直线与所成的角，
因为平面，所以，又，，
所以平面，所以，
设正方体棱长为2，则，
，所以.
故选：D
4.（2021·湖南高考真题）设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】D
【分析】
根据线面的位置关系可判断A；举反例判断B、C；由面面垂直的判定定理可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
对于A：若，，则或，故选项A不正确；
对于B：如图平面为平面，平面为平面，直线为，直线为，满足，，，但与相交，故选项B不正确；
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对于C：如图在正方体中，平面为平面，平面为平面，直线为，直线为，满足，，，则，故选项C不正确；
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对于D：若，，可得或，若，因为，由面面垂直的判定定理可得；若，可过作平面与相交，则交线在平面内，且交线与平行，由可得交线与垂直，由面面垂直的判定定理可得，故选项D正确；
故选：D.
5．（2020·山东高考真题）已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据异面直线的定义，垂直关系的转化，判断选项.
【详解】
A.，与相交，所以与异面，故A错误；
B.与平面相交，且，所以与异面，故B错误；
C.四边形是矩形，不是菱形，所以对角线与不垂直，故C错误；
D.连结，，，，所以平面，所以，故D正确.
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故选：D
6.（2021·贵州贵阳·高三月考（文））给出下列三个命题：
①垂直于同一直线的两个平面互相平行；
②若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
③若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么这条直线垂直于这个平面.
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．021世纪教育网版权所有
【答案】B
【分析】
根据线面，面面的关系可判断得选项.
【详解】
解：垂直于同一直线的两个平面互相平行故①为真命题；
需要一个平面内有的两条相交直线与另一个平面都平行，这两个平面才相互平行，故②为假命题；
由线面垂直的定义：一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么这条直线垂直于这个平面.故③为真命题，
故真命题的个数是2个，
故选：B．
7.（2021·雁塔·陕西师大附中高一月考 ( http: / / www.21cnjy.com )）若过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A作直线l，使得直线l与三条棱AB，AD，AA1所在直线的夹角均相等，则这样的直线l的条数为（　　）
A．0 B．1 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
将小正方体扩展成4个小正方体，根据直线夹角的定义即可判断出符合条件的条数．
【详解】
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设ABCD﹣A1B1C1D1边长为1．
第一条：AC1是满足条件的直线；
第二条：延长C1D1到C2且D1C2＝1，AC2是满足条件的直线；
第三条：延长C1B1到C3且B1C3＝1，AC3是满足条件的直线；
第四条：找C1关于A1的对称点C4，AC4是满足条件的直线．
综上，满足题意的直线l的条数为4条．
故选：D
8.（2021·全国高三专题练习）已知a、b为异面直线，P为空间的一点，则过P且与a、b成60°角的直线有（ ）21*cnjy*com
A．3条 B．2条或3条 C．3条或4条 D．2条或3条或4条
【答案】D
【分析】
过空间中任一点，作直线,，作平面，设异面直线、成角为，即，作出草图，对角，分小于，等于，和三种情况进行分类，即可得到结果.【出处：21教育名师】
【详解】
过空间中任一点，作直线,，作平面，异面直线、成角为，即．如图所示：
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当、所成角小于时，在区域和内各一条，故有2条；
当时，一条为和的平分线，在区域和内各一条，故有3条；
当，因为异面直线所成的角，所以满足题意的角，在区域，，，内各有一条直线与，成角，故共有4条.
故选：D.
9.（2021·浙江高二月考）如图（1）是一副直角三角板.现将两个三角板沿它们的公共边翻折成图（2）的四面体，设，与面所成角分别为，，在翻折的过程中，下列叙述正确的是（ ）21·cn·jy·com
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A．存在某个位置使得
B．若，当二面角时，则
C．当在面的射影在三角形的内部（不含边界），则
D．异面直线与所成角小于
【答案】BC
【分析】
A由题设，确定在平面上的投影位置即可判断正误；B构建空间直角坐标系，应用空间点距离的坐标计算求；C讨论在面的射影在中点上、刚好在上的临界情况，结合，在翻折过程中的变化趋势判断；D根据A、C的分析异面直线与所成角变化的大致范围即可判断.21*cnjy*com
【详解】
A：如下平面图，若与关于对称，则翻折的过程中，在平面上的投影在线段上，显然不存在垂直于的射影，即不存在，错误；
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B：构建如下图示的空间直角坐标系，则，，故，正确；
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C：由A知：当面面时，在面的射影在中点上，此时，、，则；当在面的射影刚好在上，有，即；而在的射影从中点到刚好在上的过程中，都在减小，故在面的射影在三角形的内部（不含边界），则，正确；
D：由A知：异面直线与所成角最大为共面(翻折前)时，此时夹角为，则，即；由C知：在面的射影刚好在上时，故在翻折过程中与所成角不一定小于，错误.
故选：BC
10.（2021·湖北省直辖县级单位·高二月考）如图，多面体中，，，且，，两两垂直，则下列结论中正确的是（ ）
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A．平面平面
B．平面
C．直线与所成角的余弦值为
D．经过点、、、四点的球的表面积为
【答案】BCD
【分析】
取的中点，通过证明，可得平面，可知B正确，作出二面角的平面角，计算可知A不正确；将多面体补形成长方体，在长方体中计算可知C正确；利用长方体的对角线为球的直径，计算可知，D正确.
【详解】
因为，，所以平面，
因为，所以，又，所以为等腰直角三角形，
取的中点，连接，则，
连，因为，所以，
所以是二面角的平面角，
因为，，所以平面，平面，
所以平面与欧宁面重合，
取的中点，连，
因为，所以，所以，
所以，又平面，所以，所以，
因为平面，平面，所以平面，所以B正确；
在直角三角形中，，，所以，
同理，又，所以，即不等于直角，所以平面与平面不垂直，故A不正确；
根据题意将多面体补形为长方体，如图：
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由长方体可知，直线与所成角为，因为，，所以，故C正确；
依题意可得，，
因为经过点、、、四点的球的直径为，
所以球的半径为，球的表面积为，故D正确.
故选：BCD
11.（2021·全国高一课时练习）(多选题)下列命题中，错误的结论有（ ）
A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等
B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等
C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补
D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行
【答案】AC
【分析】
由等角定理可判断A、B的真假；举反例可判断C的真假；由平行公理可判断D的真假.
【详解】
对于选项A：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故选项A错误；
对于选项B：由等角定理可知B正确；
对于选项C：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，这两个角的关系不确定，既可能相等也可能互补，也可能既不相等，也不互补.反例如图，在立方体中，与满足，，但是，，二者不相等也不互补.故选项C错误；
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对于选项D：如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行，故选项D正确.
故选：AC.
12．（2021·全国高一课时练习）(多选)如图，ABCD A1B1C1D1为正方体，下面结论正确的是（ ）
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A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1 D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
【答案】ABC
【分析】
由的射影、、，结合线面垂直的判定即可知B、C的正误；构建空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算可得，结合C选项即可判断A的正误，再利用线线角的向量求法求AD与CB1所成角.
【详解】
以D为坐标原点，分别以所在方向为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，
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由在面、面、面的射影、、，即，，，又，则AC1⊥面CB1D1，
∴B、C正确；
设正方体棱长为1，易知＝(－1,－1,0)，＝(－1,1,1)，
∴，即BD∥面CB1D1，故A正确；
∵＝(－1,0,0)，＝(1,0,1)，
∴，
∴AD与CB1所成的角为45°，故D错，
故选：ABC．
13.（2021·山东省平邑县第一中学高二月考）设，分别是正方体的棱上的两点，且，，其中正确的说法为（ ）
A．三棱锥的体积为定值 B．异面直线与所成的角的大小为
C．平面. D．直线与平面所成的角的大小为
【答案】ABD
【分析】
A由题设易知△的面积、到面的距离都不变，即知正误；B利用正方体的性质，只需求与所成角即可；C只需判断是否与平面垂直即可；D只需求与平面的夹角即可，若为中点，易知即为所求角.
【详解】
A：如下图，到面的距离即为到面的距离，而△的面积不变，故三棱锥的体积为定值，正确；
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B：由，则异面直线与所成角即为与所成角，故角的大小为，正确；
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C：由面与面属于同一个平面，而显然不与平面垂直，故不垂直于平面，故错误；
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D：由上知，只需求与平面的夹角即可，若为中点，则，连接，则即为所求夹角，且，又为锐角，即直线与平面所成的角的大小为，故正确.
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故选：ABD
14.（2021·上海市徐汇中学高二月考）若直线与平面相交于点，、，、，且，则、、三点的位置关系是______．
【答案】共线
【分析】
根据空间中点线面的位置关系分析出在两平面的交线上，由此判断出三点位置关系.
【详解】
如下图所示，
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因为，所以四点共面，
又因为平面，所以平面，
又因为平面，所以在平面与平面的交线上，
又平面平面，所以，
所以三点共线，
故答案为：共线.
15．（2020·上海奉贤区致远高级中学高二月考）空间四边形中，且与所成角为，，分别是，的中点，则与所成角的大小为__________.
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【答案】或
【分析】
取的中点，连接与，则与（异面直线）所成的角为，从而或，由此能求出与所成的角的大小．
【详解】
取的中点，连接与，如图，
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因为，与（异面直线）所成的角为
所以（或）
因为，
所以
所以或，
由，可知异面直线与所成的角为（或其补角），
所以或，
即异面直线与所成的角或．
故答案为：或
16.（2021·山东济宁市·）已知正方体，，分别是棱，的中点．
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（Ⅰ）画出平面与平面的交线，并说明理由；
（Ⅱ）设为直线与平面的交点，求证：，，三点共线．
【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】
（Ⅰ）利用平面的基本性质即可得到；
（Ⅱ）由题可知点平面，平面，即可证明.
【详解】
（Ⅰ）如图所示，直线即为平面与平面的交线，
理由如下：
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在正方体中，
∵，分别是棱，的中点，
平面，平面，且与不平行，
∴在平面内分别延长，，
则与必相交于一点，不妨设为点，
∴，，
∵平面，平面，
∴平面，平面，
即为平面和平面的公共点，
又∵为平面和平面的公共点，连接，
∴直线即为平面与平面的交线．
（Ⅱ）证明：如图所示，在正方体中，
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∵，且，
∴四边形为平行四边形，
∵为直线与平面的交点，
∴，又∵平面，
∴平面，
又∵平面，平面平面，
∴，
∴，，三点共线．
17.（2021·全国高一课时练习）如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧棱底面，且，是的中点.
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（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求直线与平面所成角的正切值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）取的中点，由平行关系可知是异面直线与所成角；利用线面垂直的判定和性质可证得，由长度关系求得即可；
（2）由线面角定义可知所求角为，由长度关系求得即可.
【详解】
（1）在三棱柱中，取的中点，连接.
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是的中点，，是异面直线与所成角，
底面是等腰直角三角形，是的中点，，，
平面，，平面，，，
又平面，，平面，
又平面，，
在中，，
即异面直线与所成角的余弦值为；
（2）由（1）知：平面，在平面上的射影是，
是直线与平面所成角，
在中，，
即直线与平面所成角的正切值为.
18.（2021·山东高考真题）如下图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，，．
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（1）求与所成角的余弦值；
（2）求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】
(1)由题意可得 即为SA 与 BC所成的角，根据余弦定理计算即可；
(2)结合面面垂直的性质和线面垂直的性质即可证明.21教育网
【详解】
【考查内容】异面直线所成的角，直线与平面垂直的判定和性质
【解】（1）因为，因此即为与所成的角，在中，，
又在正方形中，因此，
因此与所成角的余弦值是．
（2）因为平面平面，平面平面，在正方形中，，
因此平面，又因为平面，因此．
19．（2021·浙江高考真题）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.
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（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）要证，可证，由题意可得，，易证，从而平面，即有，从而得证；
（2）取中点，根据题意可知，两两垂直，所以以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求出向量和平面的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
（1）在中，，，，由余弦定理可得，
所以，．由题意且，平面，而平面，所以，又，所以．
（2）由，，而与相交，所以平面，因为，所以，取中点，连接，则两两垂直，以点为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系, 【版权所有：21教育】
则,
又为中点，所以.
由（1）得平面，所以平面的一个法向量
从而直线与平面所成角的正弦值为．
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【点睛】
本题第一问主要考查线面垂直的相互转化，要证明，可以考虑，
题中与有垂直关系的直线较多，易证平面，从而使问题得以解决；第二问思路直接，由第一问的垂直关系可以建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式即可计算得出．
20．（2021·安徽亳州市·亳州二中高二月考）四棱锥P﹣ABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，E为AB中点，PE⊥平面ABCD．
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（1）若为等边三角形，求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45°，求PC与AD所成角的正切值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据棱锥的体积公式可求得答案．
（2）由线面角的定义得∠P ( http: / / www.21cnjy.com )FE为PF与平面ABCD所成的角，根据异面直线所成的角的定义可得∠PCB或其补角即为PC与AD所成角，由线面垂直的性质和解三角形的知识可得答案.21教育名师原创作品
【详解】
解：（1）∵为等边三角形，且E为AB中点，AB＝4，
∴PE＝2，又PE⊥平面ABCD，设四边形ABCD的面积为S，
∴四棱锥P﹣ABCD的体积V＝PE S＝×2×42＝．
（2）∵PE⊥平面ABCD，
∴∠PFE为PF与平面ABCD所成的角，即∠PFE＝45°，∴为等腰直角三角形，
∵E，F分别为AB，CD的中点，∴PE＝FE＝4，
∴PB＝＝， ∵AD∥BC，
∴∠PCB或其补角即为PC与AD所成角，
∵PE⊥平面ABCD，∴PE⊥BC，
又BC⊥AB，PE∩AB＝E，PE、AB 平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，
在中，tan∠PCB＝＝＝.
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2
例3
真题演练
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