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专题六 空间几何体
04 直线、平面垂直的判定及性质
考纲对本模块内容的具体要求如下：
以立体几何的定义、公理和定理为出 ( http: / / www.21cnjy.com )发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理，能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.
数学抽象：1.能从实际问题中了解直线与平面所成的角以及直线与平面、平面与平面间的距离.
2.能从教材实例照片那个抽象出二面角的相关概念，平面与平面垂直的定义.
逻辑推理：1.能利用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直，会求简单的直线与平面所成的角.
2.能利用平面与平面垂直的判定定理证明平面与平面垂直.
一、直线与平面垂直
(1)定义：如果直线l与平面α内的_________直线都垂直，则直线l与平面α垂直．
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一条直线与一个平面内的_________都垂直，则该直线与此平面垂直 l⊥α
性质定理 垂直于同一个平面的两条直线_________ a∥b
二、直线和平面所成的角
(1)平面的一条斜线和它在_________所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．
(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为_________.
(3)范围：.
三、二面角的有关概念
(1)二面角：从一条直线出发的_________所组成的图形叫做二面角．
(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作_________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．21世纪教育网版权所有
(3)范围：[0，π]．
四、平面与平面垂直
(1)定义：如果两个平面所成的二面角是_________，就说这两个平面互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 α⊥β
性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 l⊥α
[常用结论]
1．直线与平面垂直的五个结论
(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.
(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．
(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
2．三种垂直关系的转化
线线垂直线面垂直面面垂直
考点一 直线与平面垂直的判定与性质　
（1）（2021·北京市第五十七中学高二月考）已知，，为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，有以下结论：21·cn·jy·com
①若，，则 ②若，，则
③若，，则 ④若，，则
⑤若，，，则 ⑥若，，则
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2）（2021·全国高一单元测试）设m，n为两个不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法中不正确的是（　　）www.21-cn-jy.com
A．若m∥n，n⊥β，m α，则α⊥β
B．当m与α平行时，若m与n不平行，则n与α不平行
C．若α⊥β，点P∈α，点P∈a，a⊥β，则a α
D．若m β，α∥β，则m∥α
【规律方法】
证明直线和平面垂直的常用方法
（1）利用判定定理.
（2）利用判定定理的推论(a∥b，a⊥α b⊥α).
（3）利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β a⊥β).
（4）利用面面垂直的性质,当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.
（5）重视平面几何知识，特别是勾股定理的应用.
【跟踪练习】（2022高三专题练习） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明：www-2-1-cnjy-com
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
考点二 直线与平面所成的夹角　
（2021·全国高三专题练习（理））如图，在三棱锥中，平面，是等腰三角形，，在平面内作交于点，点是的中点，则和平面所成的角的正弦值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【规律方法】
求斜线与平面所成的角的步骤
（1）作图法：作出斜线在平面内的射影，作射影 ( http: / / www.21cnjy.com )要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知两有关，才便于计算.
（2）证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角.
（3）计算：通常在垂线段、斜线和射影所成的直角三角形中计算.
【跟踪练习】（2021·全国高三月考（文））如图所示，菱形所在的平面垂直于直角三角形所在的平面，且.
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
考点三 平面与平面垂直的判定与性质
(2020·衡水中学模拟) ( http: / / www.21cnjy.com )如图，四棱锥P ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠PAB＝120°，DC＝PC＝2.PA＝AB＝BC＝1.21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)证明：平面PAB⊥平面PBC；
(2)求四棱锥P ABCD的体积．
【规律方法】
1.判定面面垂直的方法
(1)面面垂直的定义；
(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a α α⊥β).
2.在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.【来源：21cnj*y.co*m】
【跟踪练习】(2020·全国Ⅰ卷)如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC＝90°.
(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；
(2)设DO＝，圆锥的侧面积为π，求三棱锥P－ABC的体积.
考点四 平行与平面所成的夹角(二面角）　
（1）（2021·沈阳市第一二〇中学高二月考）在四面体ABCD中，，，，，，则二面角的平面角的大小为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
（2）（2021·浙江高三月考）所有棱长都为的正四面体的一个面与某四棱锥的一个面重合后，得到一个三棱柱，则该四棱锥侧面与底面所成二面角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【规律方法】
做二面角的平面的常用方法
（1）定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，
（2）垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角.21·世纪*教育网
【跟踪练习】（2022·全国高三专题练习）如图，在三棱柱中，平面平面
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（1）证明：平面平面；
（2）若与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.
考点五 平行与垂直的综合问题　
折叠中的平行与垂直的综合问题
如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.【版权所有：21教育】
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(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；
(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥Q ABP的体积．
探索性问题中的平行与垂直
如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．
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(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
(3)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．
【规律方法】
证明折叠问题中的平行与垂直，关 ( http: / / www.21cnjy.com )键是分清折叠前后图形的位置和数量关系的变与不变.一般地，折叠前位于“折痕”同侧的点、线间的位置和数量关系折叠后不变，而折叠前位于“折痕”两侧的点、线间的位置关系折叠后会发生变化.对于不变的关系可在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决.21教育名师原创作品
探索中的平行与垂直的三种途径
途径一：先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明．
途径二：先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．
途径三：将几何问题转化为代数问题　
【跟踪练习】(2021·重庆诊断)如图，在四 ( http: / / www.21cnjy.com )棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，△PAD是正三角形，E为线段AD的中点.21教育网
(1)求证：平面PBC⊥平面PBE；
(2)是否存在满足＝λ(λ>0)的点F，使得VB－PAE＝VD－PFB？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
（2）如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.
(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；
(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥Q－ABP的体积.
1.（2021·湖北武昌·武汉中学高二月考）中和殿是故宫外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒（cuán）尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近30°，若取，则下列结论正确的是（ ）
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A．正四棱锥的底面边长为48m B．正四棱锥的高为4m
C．正四棱锥的体积为 D．正四棱锥的侧面积为
2．（2021·浙江路桥中学高二开学考试）已知正方形与正方形所成二面角的平面角的大小为，是正方形所在平面内的一条动直线，则直线与所成角的正切值的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
3. （2021·浙江高考真题）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ）
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A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线相交，直线平面
D．直线与直线异面，直线平面
4．（2021·皇姑·辽宁实验中学高二月考）已知，，为空间中的三条射线，其中，，，则直线与平面的线面角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·全国高二课时练习）如图，是的斜边，平面，连接，，作于D，连接，则图中共有直角三角形（ ）
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A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
6．（2021·全国高三月考（文））已知是三条不同的直线，是三个不同平面，则下列说法正确是（ ）
A．，则 B．，则
C．，则 D．，则
7．（2021·枣庄市第三中学高二月考）在长方体AC'中，．若E、F分别为线段、的中点，则EF与平面所成角的正弦值为（ ）
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A． B． C． D．
8．（2021·北京市第五十七中学高二月考）直角梯形中，，，，为中点.以为折痕把折起，使点到达点的位置，且则下列命题错误的是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．平面平面
B．
C．二面角的大小为
D．与平面所成角的正切值为
9. (多选)(2021·武汉调 ( http: / / www.21cnjy.com )研)如图，AC＝2R为圆O的直径，∠PCA＝45°，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A、C重合的点，AS⊥PC于S，AN⊥PB于N，则下列结论正确的是(　　)【出处：21教育名师】
A.平面ANS⊥平面PBC
B.平面ANS⊥平面PAB
C.平面PAB⊥平面PBC
D.平面ABC⊥平面PAC
10. (多选)(2021·济南模拟)如图，点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列结论正确的是(　　)
A.三棱锥A－D1PC的体积不变
B.A1P∥平面ACD1
C.DP⊥BC1
D.平面PDB1⊥平面ACD1
11. (2020·河南郑州第二次质量预测)如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝，△PAD是等边三角形，F为AD的中点，PD⊥BF.
(1)求证：AD⊥PB；
(2)若E在线段BC上，且EC＝ ( http: / / www.21cnjy.com )BC，能否在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD？若存在，求出三棱锥D－CEG的体积；若不存在，请说明理由．2-1-c-n-j-y
12.（2021·浙江金华第一中学高三月考）如图，已知四棱柱，四边形ABCD是菱形，平面ABCD，，．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
13．（2021·大冶市第一中学高一月考）在三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC.
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（1）求证：平面PAC⊥平面PBC;
（2）若AC=BC=PA，M是PB的中点.
①求AM与平面PBC所成角的正切值；
②求二面角的大小.
14．（2021·河南高三月考（文））如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的菱形，AC=，△ADE为等腰直角三角形，∠AED=90°，平面ADE⊥平面ABCD，且EFAB，EF=1.21cnjy.com
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（1）证明：AC⊥平面BDF；
（2）若G为棱BF的中点，求三棱锥G—DEF的体积.
15．（2021·黑龙江佳木斯一中高三月考（理））如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，AB=BC=2，AD=4，E是AD的中点，O是AC与BE的交点.将沿BE折起到的位置，如图②.2·1·c·n·j·y
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（1）证明：平面；
（2）若平面平面，求二面角的余弦值.
16．（2021·北京市第一 ( http: / / www.21cnjy.com )六六中学高三月考）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）证明：PF⊥FD；
（2）若与平面所成的角为，求平面PFD与平面CFD所成锐角的余弦值；
（3）若PA＝1，求点E到平面PFD的距离．
17．（2021·江北·重庆十八中高二月考）在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为矩形，△SAD为等腰直角三角形，SA＝SD＝，AB＝2，F是BC的中点，SF与底面ABCD的角等于30°，面SAD与面SBC的交线为m．21*cnjy*com
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（1）求证：BC∥m；
（2）求出点E的位置，使得平面SEF⊥平面ABCD，并求二面角S－AD－C的值；
（3）在直线m上是否存在点Q，使二面角F－CD－Q为60°，若不存在，请说明理由，若存在，求线段QD的长．
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2
例3
例4
例5
真题演练
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专题六 空间几何体
04 直线、平面垂直的判定及性质
考纲对本模块内容的具体要求如下：
以立体几何的定义、公理和定理为 ( http: / / www.21cnjy.com )出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理，能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.
数学抽象：1.能从实际问题中了解直线与平面所成的角以及直线与平面、平面与平面间的距离.
2.能从教材实例照片那个抽象出二面角的相关概念，平面与平面垂直的定义.
逻辑推理：1.能利用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直，会求简单的直线与平面所成的角.
2.能利用平面与平面垂直的判定定理证明平面与平面垂直.
一、直线与平面垂直
(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 l⊥α
性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 a∥b
二、直线和平面所成的角
(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．
(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°.
(3)范围：.
三、二面角的有关概念
(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．2·1·c·n·j·y
(3)范围：[0，π]．
四、平面与平面垂直
(1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 α⊥β
性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 l⊥α
[常用结论]
1．直线与平面垂直的五个结论
(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.
(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．
(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
2．三种垂直关系的转化
线线垂直线面垂直面面垂直
考点一 直线与平面垂直的判定与性质　
（1）（2021·北京市第五十七中学高二月考）已知，，为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，有以下结论：【来源：21cnj*y.co*m】
①若，，则 ②若，，则
③若，，则 ④若，，则
⑤若，，，则 ⑥若，，则
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
根据空间中直线与平面，平面与平面之间的平行与垂直关系借助举特例判断或推理判断正误即可.
【详解】
对于①，长方体中，一侧棱所在直线为，同一底面的一组邻边所在直线分别为，，显然有，，而与相交，①不正确；21*cnjy*com
对于②，直三棱柱的相邻两个侧面分别为，，底面为，显然，，而与相交，②不正确；
对于③，因，过m作平面，在内作直线，显然，则，即满足条件的直线n可以在内，③不正确；
对于④，因，在内任作一直线n，则有，即满足条件的直线n可以在内，④不正确；
对于⑤，在直线n上取一点，过该点作直线，因，则，直线确定平面，而，则平面与平面必相交，
令与的交线为a，即有，因此，，而，于是得，又，所以，⑤正确；
对于⑥，因，过l作平面，则，而，于是得，所以，⑥正确，
所以正确结论的个数是2.
故选：B
（2）（2021·全国高一单元测试）设m，n为两个不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法中不正确的是（　　）【来源：21·世纪·教育·网】
A．若m∥n，n⊥β，m α，则α⊥β
B．当m与α平行时，若m与n不平行，则n与α不平行
C．若α⊥β，点P∈α，点P∈a，a⊥β，则a α
D．若m β，α∥β，则m∥α
【答案】B
【分析】
由线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理可判断A；
由面面平行的性质定理可判断B；
由面面垂直的性质定理可判断C；
由面面平行的性质定理可判断D．
【详解】
对于A，由m∥n，n⊥β，可得m⊥β，又m α，则α⊥β，故A正确；
对于B，过m、n作平面β，使得α∥β，则β内的任一条直线都与α平行，故B错误；
对于C，若α⊥β，点P∈α，点P∈a，a⊥β，由面面垂直的性质定理可得a α，故C正确；
对于D，若m β，α∥β，由面面平行的性质定理可得m∥α，故D正确．
故选：B
【规律方法】
证明直线和平面垂直的常用方法
（1）利用判定定理.
（2）利用判定定理的推论(a∥b，a⊥α b⊥α).
（3）利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β a⊥β).
（4）利用面面垂直的性质,当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.
（5）重视平面几何知识，特别是勾股定理的应用.
【跟踪练习】（2022高三专题练习）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
证明　(1)在四棱锥P－ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD 平面ABCD，
∴PA⊥CD，
又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC.
又AE 平面PAC，∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，
∴AE⊥平面PCD.又PD 平面PCD，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，AB 平面ABCD，∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，
∴AB⊥平面PAD，又PD 平面PAD，
∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.
考点二 直线与平面所成的夹角　
（2021·全国高三专题练习（理））如图，在三棱锥中，平面，是等腰三角形，，在平面内作交于点，点是的中点，则和平面所成的角的正弦值为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用线面垂直的判定定理证明平面，再由，进而证明
平面，进而可证明为和平面所成的角，在中求解即可.
【详解】
因为平面，则，
又因为，且，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为，且,
所以平面，
所以，
因为是等腰三角形，点是的中点，
所以，
由，所以平面，
所以为和平面所成的角，
所以，，，
，，
解得，所以，
所以.
故选：C
【规律方法】
求斜线与平面所成的角的步骤
（1）作图法：作出斜线在平面内的射影， ( http: / / www.21cnjy.com )作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知两有关，才便于计算.
（2）证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角.
（3）计算：通常在垂线段、斜线和射影所成的直角三角形中计算.
【跟踪练习】（2021·全国高三月考（文））如图所示，菱形所在的平面垂直于直角三角形所在的平面，且.
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（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）可证平面，从而得到.
（2）利用等积法可求到平面的距离，从而可求线面角的正弦值.
【详解】
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（1）连接，四边形为菱形，
平面平面，平面平面，
平面，，平面.
平面，
，平面
平面.
（2）设，
由（1）可知，面，点到平面的距离即为.
设点到平面的距离为，则.
平面，且平面，，同理.
因为四边形ABCD为菱形，，则，
又，为边长为的等边三角形，
，，为等腰三角形，
，，
，，，
设与平面所成角为，则.
考点三 平面与平面垂直的判定与性质
(2020·衡水中学模 ( http: / / www.21cnjy.com )拟)如图，四棱锥P ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠PAB＝120°，DC＝PC＝2.PA＝AB＝BC＝1.21世纪教育网版权所有
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(1)证明：平面PAB⊥平面PBC；
(2)求四棱锥P ABCD的体积．
【解析】(1)证明：在△PAB中，由PA＝AB＝1，∠PAB＝120°，得PB＝，
因为PC＝2，BC＝1，PB＝，
所以PB2＋BC2＝PC2，即BC⊥PB；
因为∠ABC＝90°，所以BC⊥AB，
又PB∩AB＝B，所以BC⊥平面PAB，
又BC 平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC.
(2)在平面PAB内，过点P作PE⊥AB，交BA的延长线于点E，如图所示．
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由(1)知BC⊥平面PAB，
因为BC 平面ABCD，
所以平面PAB⊥平面ABCD.
又平面PAB∩平面ABCD＝AB, PE⊥AB，
所以PE⊥平面ABCD，
因为在Rt△PEA中，PA＝1，∠PAE＝60°，所以PE＝.
因为底面ABCD是直角梯形，所以四棱锥P ABCD的体积为VP ABCD＝××(1＋2)×1×＝.
【规律方法】
1.判定面面垂直的方法
(1)面面垂直的定义；
(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a α α⊥β).
2.在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.21教育名师原创作品
【跟踪练习】(2020·全国Ⅰ卷)如图，D为 ( http: / / www.21cnjy.com )圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC＝90°.
(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；
(2)设DO＝，圆锥的侧面积为π，求三棱锥P－ABC的体积.
(1)证明　由题设可知，PA＝PB＝PC.
由△ABC是正三角形，
可得△PAC≌△PAB，△PAC≌△PBC.
又∠APC＝90°，故∠APB＝90°，∠BPC＝90°.
从而PB⊥PA，PB⊥PC，又PA，PC 平面PAC，PA∩PC＝P，
故PB⊥平面PAC，又PB 平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PAC.
(2)解　设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
由题设可得rl＝，l2－r2＝2，解得r＝1，l＝.
从而AB＝.
由(1)可得PA2＋PB2＝AB2，故PA＝PB＝PC＝.
所以三棱锥P－ABC的体积为
··PA·PB·PC＝××＝.
考点四 平行与平面所成的夹角(二面角）　
（1）（2021·沈阳市第一二〇中学高二月考）在四面体ABCD中，，，，，，则二面角的平面角的大小为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
过点作，使 ，连接 ，由长度、平行关系可以证明 ， ，则为二面角 的平面角，即得解
【详解】
在中， ，则 ；
在中， ， ，则 ；
又 ，在中， ，则；
过点作，使 ，连接 ，
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则四边形为矩形， ，
因为 ，
则平面 ， ，
则平面 ，平面，则
，
在中， ，
则 ， ，
由于 ， ，则为二面角 的平面角，
且 .
故选：B
（2）（2021·浙江高三月考）所有棱长都为的正四面体的一个面与某四棱锥的一个面重合后，得到一个三棱柱，则该四棱锥侧面与底面所成二面角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题意可得该四棱锥为所有棱长均为a的正四棱锥，然后作出侧面与底面所成二面角的平面角，即可求解
【详解】
由题意可知：一个三棱柱可被一个平面切成一个三棱锥与一个四棱锥，
由题意可得该四棱锥为所有棱长均为a的正四棱锥，如图所示：
连接交于点，连接，则易知平面，
取的中点，连接，
则由三垂线定理可知：是侧面与底面所成的二面角的平面角，
，
所以，
所以该四棱锥侧面与底面所成二面角的余弦值是，
故选：C
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【规律方法】
做二面角的平面的常用方法
（1）定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，
（2）垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角.
【跟踪练习】（2022·全国高三专题练习）如图，在三棱柱中，平面平面
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（1）证明：平面平面；
（2）若与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）；
【分析】
（1）四边形为菱形，则，由证得，从而有平面，从而证得平面平面；
（2）设，则即为与平面所成角，从而求得，，，，；延长，作于F点，则即为二面角的平面角，，从而求得余弦值.
【详解】
（1）由题知，四边形为菱形，则，
又平面平面，且AC为交线，，
则平面，又平面，
则，又，
则平面，又平面，
则平面平面；
（2）设，由（1）知，平面，
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则即为与平面所成角，，
由，结合（1）中结论有，，
则，，三角形为正三角形，在菱形中，
，，，
由（1）知，平面，则，
延长，作于F点，则，
平面，从而
则即为二面角的平面角，
则，则
即二面角的余弦值为
考点五 平行与垂直的综合问题　
折叠中的平行与垂直的综合问题
如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.
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(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；
(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥Q ABP的体积．
【解析】(1)证明：由已知可得，∠BAC＝90°，即BA⊥AC.
又BA⊥AD，AD∩AC＝A，AD，AC 平面ACD，
所以AB⊥平面ACD.
又AB 平面ABC，
所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3.
又BP＝DQ＝DA，所以BP＝2.
如图，过点Q作QE⊥AC，垂足为E，
则QE∥DC且QE＝DC.
由已知及(1)可得，DC⊥平面ABC，
所以QE⊥平面ABC，QE＝1.
因此，三棱锥Q ABP的体积为
VQ ABP＝×S△ABP×QE＝××3×2sin 45°×1＝1.
探索性问题中的平行与垂直
如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．
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(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
(3)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．
【解】(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥BD.
因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC.
又PA∩AC＝A，
所以BD⊥平面PAC.
(2)
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证明：因为PA⊥平面ABCD，AE 平面ABCD，
所以PA⊥AE.
因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，且E为CD的中点，所以AE⊥CD，所以AB⊥AE.
又AB∩PA＝A，
所以AE⊥平面PAB.
因为AE 平面PAE，
所以平面PAB⊥平面PAE.
(3)棱PB上存在点F，使得CF∥平面PAE.
取F为PB的中点，取G为PA的中点，连接CF，FG，EG.
则FG∥AB，且FG＝AB.
因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，
所以CE∥AB，且CE＝AB.
所以FG∥CE，且FG＝CE.
所以四边形CEGF为平行四边形．
所以CF∥EG.
因为CF 平面PAE，EG 平面PAE，
所以CF∥平面PAE.
【规律方法】
证明折叠问题中的平行与垂直，关键是分清折叠 ( http: / / www.21cnjy.com )前后图形的位置和数量关系的变与不变.一般地，折叠前位于“折痕”同侧的点、线间的位置和数量关系折叠后不变，而折叠前位于“折痕”两侧的点、线间的位置关系折叠后会发生变化.对于不变的关系可在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决.
探索中的平行与垂直的三种途径
途径一：先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明．
途径二：先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．
途径三：将几何问题转化为代数问题　
【跟踪练习】(2021·重庆诊断)如图，在 ( http: / / www.21cnjy.com )四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，△PAD是正三角形，E为线段AD的中点.
(1)求证：平面PBC⊥平面PBE；
(2)是否存在满足＝λ(λ>0)的点F，使得VB－PAE＝VD－PFB？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
(1)证明　因为△PAD是正三角形，E为线段AD的中点，
所以PE⊥AD.
因为底面ABCD是菱形，所以AD＝AB，
又∠BAD＝60°，
所以△ABD是正三角形，
所以BE⊥AD.
又BE∩PE＝E，所以AD⊥平面PBE.
又AD∥BC，所以BC⊥平面PBE.
又BC 平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PBE.
(2)解　由＝λ，知(λ＋1)FC＝PC，
所以VB－PAE＝VP－ADB＝VP－BCD＝VF－BCD，
VD－PFB＝VP－BDC－VF－BDC＝λVF－BCD.
因此，＝，得λ＝2.
故存在满足＝λ(λ>0)的点F，
使得VB－PAE＝VD－PFB，此时λ＝2.
（2）如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.
(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；
(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥Q－ABP的体积.
【解析】(1)证明　由已知可得，∠BAC＝90°，即BA⊥AC.
又BA⊥AD，AC∩AD＝A，AC，AD 平面ACD，所以AB⊥平面ACD.
又AB 平面ABC，
所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)解　由已知可得，
DC＝CM＝AB＝3，
DA＝AM＝3.
又BP＝DQ＝DA，
所以BP＝2.
作QE⊥AC，垂足为E，则QE∥DC.
由已知及(1)可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE＝1.
因此，三棱锥Q－ABP的体积为
VQ－ABP＝×QE×S△ABP＝×1××3×2sin 45°＝1
1.（2021·湖北武昌·武汉中学高二月考）中和殿是故宫外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒（cuán）尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近30°，若取，则下列结论正确的是（ ）
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A．正四棱锥的底面边长为48m B．正四棱锥的高为4m
C．正四棱锥的体积为 D．正四棱锥的侧面积为
【答案】C
【分析】
在如图所示的正四棱锥中，设底面边长为，根据侧棱长和侧面与底面所成的二面角可求底边的边长，从而可求体高、侧面积以及体积，据此可判断各项的正误.
【详解】
如图，在正四棱锥中，为正方形的中心，，
则为的中点，连接，则平面，，
则为侧面与底面所成的锐二面角，
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设底面边长为．正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为，
这个角接近30°，取，∴，
则，，．
在中，，解得，故底面边长为，
正四棱锥的高为，侧面积为，
体积．
故选：C．
2．（2021·浙江路桥中学高二开学考试）已知正方形与正方形所成二面角的平面角的大小为，是正方形所在平面内的一条动直线，则直线与所成角的正切值的最小值为（ ）21·世纪*教育网
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】
根据题意作出图形，根据二面角的定义可得，分析出的位置使得线与所成角最小，再求角的正切值即可求解.【版权所有：21教育】
【详解】
如图，设正方形与正方形的边长为，
因为，，，所以面，
因为，，所以即为二面角的平面角，
所以，
过点作于点，则，
因为面，面，所以，
因为，所以面，
因为面，可得，
在中，，
当点到面距离最小时，直线与所成的角最小，
即直线与所成角最小，此时，
由勾股定理可得，
所以，
所以直线与所成角的正切值的最小值为，
故选：A.
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3. （2021·浙江高考真题）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ）
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A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线相交，直线平面
D．直线与直线异面，直线平面
【答案】A
【分析】
由正方体间的垂直、平行关系，可证平面，即可得出结论.
【详解】
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连，在正方体中，
M是的中点，所以为中点，
又N是的中点，所以，
平面平面，
所以平面.
因为不垂直，所以不垂直
则不垂直平面，所以选项B,D不正确；
在正方体中，，
平面，所以，
，所以平面，
平面，所以，
且直线是异面直线，
所以选项C错误，选项A正确.
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：熟练掌握正方体中的 ( http: / / www.21cnjy.com )垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系.
4．（2021·皇姑·辽宁实验中学高二月考）已知，，为空间中的三条射线，其中，，，则直线与平面的线面角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
过上一点作平面，则就是直线与平面所成的角，并过点作，，通过线面垂直的性质和判定定理得出，，设，在直角三角形中由勾股定理求出各边长，最后在中由即可得出结果.21cnjy.com
【详解】
解：过上一点作平面，
则就是直线与平面所成的角，
过点作，，如图：
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由于平面，平面，所以，
而，且平面，
所以平面，则，
同理得：平面，则，
设，
在中，，所以，所以，
在中，，，所以，
又因为，，，所以四边形为矩形，
则，所以，
在中，，
即直线与平面的线面角的余弦值为.
故选：D.
5．（2021·全国高二课时练习）如图，是的斜边，平面，连接，，作于D，连接，则图中共有直角三角形（ ）
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A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【答案】C
【分析】
由线面垂直的性质定理得线线垂直，通过证明平面，得，这样可得直角三角形的总个数．
【详解】
平面，则与平面内所有直线都垂直，其中有三个直角三角形，
，中有两个直角三角形，
又，平面，所以平面，平面，所以，直角三角形中有三个直角三角形，
共8个直角三角形．
故选：C．
6．（2021·全国高三月考（文））已知是三条不同的直线，是三个不同平面，则下列说法正确是（ ）21·cn·jy·com
A．，则 B．，则
C．，则 D．，则
【答案】B
【分析】
对于A，C，D，举特例说明即可判断；对于B，利用线面垂直的判定即可判断作答.
【详解】
对于A，直三棱柱的一条侧棱所在直线为c，底面三角形两边所在直线分别为a，b，显然有，而a与b相交，A不正确；21*cnjy*com
对于B，因，则过直线a作两个相交平面，，，
因，则，又，即，因此，，而c与m相交，，于是得，B正确；
对于C，因，令，在平面内作直线，则，显然与不平行，C不正确；
对于D，直三棱柱的两个侧面所在平面分别为平面，底面所在平面为平面，显然有，而与相交，D不正确.【出处：21教育名师】
故选：B
7．（2021·枣庄市第三中学高二月考）在长方体AC'中，．若E、F分别为线段、的中点，则EF与平面所成角的正弦值为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
取中点为，连接、，可得平面，从而有为EF与平面所成角，在中即可求解.
【详解】
解：在长方体AC'中，取中点为，连接、，
( http: / / www.21cnjy.com / )
由题意，可得平面，
是在平面上的投影，
为EF与平面所成角，
令，在中，，，，则，
所以EF与平面所成角的正弦值为，
故选：C．
8．（2021·北京市第五十七中学高二月考）直角梯形中，，，，为中点.以为折痕把折起，使点到达点的位置，且则下列命题错误的是（ ）
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A．平面平面
B．
C．二面角的大小为
D．与平面所成角的正切值为
【答案】C
【分析】
根据，又，得，结合条件和线面垂直判定定理得出平面，同理得出平面，进而得出A正确；结合A和三垂线定理得出成立，故B正确；由A得平面，根据二面角定义可得就是二面角的平面角计算判定C错误；由A得平面，所以就是斜线与平面所成的角，计算判定D正确
【详解】
如图，连接，则，又，，
所以中有，所以.
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对于A.由题意可得，又，，平面
所以平面，所以，
又，，平面，所以平面，
因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面，故A正确；
对于B.由A得平面，又，由三垂线定理可得（平面内一条线和射影垂直，就和斜线垂直），故B正确；
对于C.由A得平面，根据二面角定义可得就是二面角的平面角，易得，故C不正确；
对于D. 由A得平面，所以就是斜线与平面所成的角，易得，，故D正确.
故选：C
9. (多选)(2021·武汉调研) ( http: / / www.21cnjy.com )如图，AC＝2R为圆O的直径，∠PCA＝45°，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A、C重合的点，AS⊥PC于S，AN⊥PB于N，则下列结论正确的是(　　)
A.平面ANS⊥平面PBC
B.平面ANS⊥平面PAB
C.平面PAB⊥平面PBC
D.平面ABC⊥平面PAC
【答案】　ACD
【解析】　∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC，
又AC为圆O直径，所以AB⊥BC，
又PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，
又AN 平面ABP，∴BC⊥AN，
又AN⊥PB，BC∩PB＝B，∴AN⊥平面PBC，
∵AN 平面ANS，∴平面ANS⊥平面PBC，
∴A正确，C，D显然正确.
10. (多选)(2021·济南模拟)如图，点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列结论正确的是(　　)
A.三棱锥A－D1PC的体积不变
B.A1P∥平面ACD1
C.DP⊥BC1
D.平面PDB1⊥平面ACD1
【答案】ABD
【解析】对于A，由题意知AD1∥BC1，从而BC1∥平面AD1C，故BC1上任意一点到平面AD1C的距离均相等，
所以以P为顶点，平面AD1C为底面，则三棱锥A－D1PC的体积不变，故A正确；
对于B，连接A1B，A1C1，A1C1綊AC，由A知：AD1∥BC1，
所以面BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得，故B正确；
对于C，由于DC⊥平面BCC1B1，所以DC⊥BC1，
若DP⊥BC1，则BC1⊥平面DCP，
所以BC1⊥PC，则P为中点，与P为动点矛盾，故C错误；
对于D，连接DB1，由DB1⊥AC且DB1⊥AD1，
可得DB1⊥面ACD1，从而由面面垂直的判定知，故D正确.
11. (2020·河南郑州第二次质量预测)如图，四 ( http: / / www.21cnjy.com )棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝，△PAD是等边三角形，F为AD的中点，PD⊥BF.
(1)求证：AD⊥PB；
(2)若E在线段BC上，且EC＝BC，能否在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD？若存在，求出三棱锥D－CEG的体积；若不存在，请说明理由．
【解析】：(1)证明：连接PF，因为△PAD是等边三角形，F是AD的中点，所以PF⊥AD.
因为底面ABCD是菱形，∠BAD＝，所以BF⊥AD.
又PF∩BF＝F，所以AD⊥平面BFP，又PB 平面BFP，
所以AD⊥PB.
(2)能在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD.
由(1)知AD⊥BF，因为PD⊥BF，AD∩PD＝D，所以BF⊥平面PAD.
又BF 平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面PAD，
又平面ABCD∩平面PAD＝AD，且PF⊥AD，所以PF⊥平面ABCD.
连接CF交DE于点H，过H作HG∥PF交PC于点G，所以GH⊥平面ABCD.
又GH 平面DEG，所以平面DEG⊥平面ABCD.
因为AD∥BC，所以△DFH∽△ECH，所以＝＝，
所以＝＝，
所以GH＝PF＝，
所以VD－CEG＝VG－CDE＝S△CDE·GH＝×DC·CE·sin ·GH＝.
12.（2021·浙江金华第一中学高三月考）如图，已知四棱柱，四边形ABCD是菱形，平面ABCD，，．
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（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）通过证明平面，可得；
（Ⅱ）连接，，作，通过证明平面可得平面平面，是直线与平面所成的角，利用余弦定理计算即可.
【详解】
（Ⅰ）因为四棱柱，四边形ABCD是菱形，所以四边形是菱形．
所以．
又平面ABCD，所以．
又，
所以平面．
因此．
（Ⅱ）不妨设，因为，所以在菱形ABCD中，．
因为平面ABCD，所以在中，．
连接，，进而在中，．
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作，因为，，
所以在中，，，E是的中点．
进而，又，
因此平面．
进而平面平面，在平面上的射影在直线AE上，
所以是直线与平面所成的角．
因为，，，故．
所以．
因此，直线与平面所成角的正弦值是．
13．（2021·大冶市第一中学高一月考）在三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC.
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（1）求证：平面PAC⊥平面PBC;
（2）若AC=BC=PA，M是PB的中点.
①求AM与平面PBC所成角的正切值；
②求二面角的大小.
【答案】（1）证明见解析（2）①②
【分析】
（1）根据题意，得到和，证得平面PAC，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面平面PBC.
（2）①取PC的中点D，连接AD，DM，得出DM是斜线AM在平面PBC上的射影，得到是AM与平面PBC所成角，再由，即可求解, ②取中点,过作于，连接，可证明是二面角的平面角，解直角三角形求其大小即可.
【详解】
（1）由题意，因为面ABC，面ABC，，
又，即，，平面PAC，
平面PBC，∴平面平面PBC.
（2）①取PC的中点D，连接AD，DM.
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.
由（1）知，平面PAC，
又平面PAC，.而.平面PBC，
所以DM是斜线AM在平面PBC上的射影，
所以是AM与平面PBC所成角，且，
设，则由M是PB中点得，
，所以，
即AM与平面PBC所成角的正切值为.
②取中点,过作于，连接，
由可得，又面ABC，,
,
平面,
是在平面上的射影，
,
是二面角的平面角，
在Rt 中，由可得
又,
所以在直角中，
故.
14．（2021·河南高三月考（文））如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的菱形，AC=，△ADE为等腰直角三角形，∠AED=90°，平面ADE⊥平面ABCD，且EFAB，EF=1.www-2-1-cnjy-com
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（1）证明：AC⊥平面BDF；
（2）若G为棱BF的中点，求三棱锥G—DEF的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）证得和，结合线面垂直得判定定理即可得出结论；
（2）证得平面BDF，进而将三棱锥G—DEF的体积转化为三棱锥A—BDF的体积的一半，从而求出三棱锥A—BDF的体积即可得出结果.www.21-cn-jy.com
【详解】
（1）取AD的中点H，
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因为为等腰直角三角形，，
所以，
因为平面平面ABCD，且平面平面，
所以平面ABCD.
设AC，BD的交点为O，连接OF，OH，
则，且，
因为，，
所以，且，
所以四边形EFOH为平行四边形.
故，且，
所以平面ABCD，从而.
在菱形ABCD中，有，
因为，所以平面BDF.
（2）因为，，
所以，，
又为等腰直角三角形，，，
所以，所以，
又，平面BDF，平面BDF，
所以平面BDF，
又G为棱BF的中点，
所以
.
15．（2021·黑龙江佳木斯一中高三月考（理））如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，AB=BC=2，AD=4，E是AD的中点，O是AC与BE的交点.将沿BE折起到的位置，如图②.
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（1）证明：平面；
（2）若平面平面，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）在图①中，先结合长度角度关系，证明，转化到图②中有，，由线线垂直证明线面垂直可得平面，再由，即得证；
（2）建立空间直角坐标系，分别求解两个平面的法向量，利用二面角的向量公式，即得解
【详解】
（1）在图①中，因为，，是的中点，，
故四边形为正方形
所以
即在图②中，，，又，
所以平面.
又，所以四边形是平行四边形，
所以，所以平面.
（2）由已知，平面平面，又由（1）知，，，
所以为二面角的平面角，
所以.
如图，以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
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设平面的一个法向量为，
，令
故平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
，令
平面的一个法向量为.
不妨设二面角的平面角为
从而，由图得二面角为钝角
故二面角的余弦值为.
16．（2021·北京市第一六六中学高三月考 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点．
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（1）证明：PF⊥FD；
（2）若与平面所成的角为，求平面PFD与平面CFD所成锐角的余弦值；
（3）若PA＝1，求点E到平面PFD的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【分析】
（1）连接，通过计算利用勾股定理证明，证明，推出平面，然后证明；
（2）由与平面所成的角为，得到，易得为平面PFD与平面CFD所成锐角，从而得到结果；
（3）利用等体积方法，求点到平面的距离．
【详解】
（1）证明：连接AF，则AF＝，又DF＝，AD＝2，
∴DF2＋AF2＝AD2，∴DF⊥AF.
∵PA⊥平面ABCD，∴DF⊥PA，
又PA∩AF＝A，
∴DF⊥平面PAF，又PF 平面PAF，
∴DF⊥PF；
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（2）平面，是与平面所成的角，且．
∵DF⊥平面PAF，∴DF⊥PF， DF⊥AF，
∴为平面PFD与平面CFD所成锐角，
∴，
故平面PFD与平面CFD所成锐角的余弦值为；
（3）连接EP，ED，EF.
∵S△EFD＝S矩形ABCD－S△BEF－S△ADE－S△CDF＝2－＝，
∴V三棱锥P－EFD＝S△EFD·PA＝××1＝.
设点E到平面PFD的距离为h，
则由V三棱锥E－PFD＝V三棱锥P－EFD得S△PFD·h＝×·h＝，
解得h＝，
即点E到平面PFD的距离为.
17．（2021·江北·重庆十八中高二月考）在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为矩形，△SAD为等腰直角三角形，SA＝SD＝，AB＝2，F是BC的中点，SF与底面ABCD的角等于30°，面SAD与面SBC的交线为m．21教育网
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（1）求证：BC∥m；
（2）求出点E的位置，使得平面SEF⊥平面ABCD，并求二面角S－AD－C的值；
（3）在直线m上是否存在点Q，使二面角F－CD－Q为60°，若不存在，请说明理由，若存在，求线段QD的长．2-1-c-n-j-y
【答案】（1）见解析；（2）点E是AD中点，二面角S－AD－C的平面角为；（3）
【分析】
（1）利用线面平行的性质即可得证；
（2）点E是AD中点，证明面面垂直，利用几何法求二面角的平面角；
（3）根据二面角大小作图求解.
【详解】
（1）底面ABCD为矩形，，平面SAD，平面SAD，
所以平面SAD，面SBC，
面SAD与面SBC的交线为m，
所以BC∥m；
（2）点E是AD中点，连接，SA＝SD，，，
所以，，是平面SEF内两条相交直线，
所以平面SEF，
平面ABCD，所以平面SEF⊥平面ABCD，
SF与底面ABCD的角就是，
二面角S－AD－C的平面角就是，
△SAD为等腰直角三角形，SA＝SD＝，AB＝2，
所以，所以，
所以二面角S－AD－C的平面角为；
（3）过S作FE延长线的垂线，垂足为O，过O作AD的平行线，交CD延长线于T，
由（2）平面SEF⊥平面ABCD，
所以SO⊥平面ABCD，
过Q作TO延长线的垂线，垂足为H，SO∥QH，
∠QTH就是二面角F－CD－Q的平面角，∠QTH =60°，则，
即H是OT中点，
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考纲解读
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知识梳理
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