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专题六 空间几何体
05 立体几何中的向量方法（一）证明平行、垂直
考纲对本模块内容的具体要求如下：
空间直角坐标系、空间向量及其运算在高考中主要作为解题工具，解决直线、平面的平行、垂直位置关系的判定等问题，主要以解答题的形式出现.www.21-cn-jy.com
1.理解直线的方向向量与平面法向量的意义．
2.能用向量语言表达直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系．
3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).
逻辑推理：能利用直线与平面平行、垂直的性质定理证明平行、垂直问题，会用向量方法求简单的直线与平面、平面与平面的距离.2·1·c·n·j·y
1．直线的方向向量与平面的法向量的确定
(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．
(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为【来源：21·世纪·教育·网】
2．用向量证明空间中的平行关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合) 　_____　.
(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l α 　存在两个实数x，y，使_____　.2-1-c-n-j-y
(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l α 　_____　.
(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β 　_____　.
3．用向量证明空间中的垂直关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，
则l1⊥l2 　_____　 　_____　.
(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，
则l⊥α 　_____　.
(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β 　_____ 　_____　.
考点一 利用空间向量证明平行问题　
（1）（2021·全国高二课时练习）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是（ ）21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．MN与CC1垂直 B．MN与AC垂直
C．MN与BD平行 D．MN与A1B1平行
（2）（2021·辽宁高二月考）已知点P是平行四边形所在的平面外一点，如果，，.对于结论：①；②；③是平面的法向量；④.其中正确的是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．① B．② C．③ D．④
【规律方法】
(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．
(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的 ( http: / / www.21cnjy.com )方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．
【跟踪练习】（2021·全国高二专题 ( http: / / www.21cnjy.com )练习）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，OA⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为2的正方形，且OA＝2，M，N分别为OA，BC的中点．求证：直线MN∥平面OCD；21*cnjy*com
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考点二 利用空间向量证明垂直问题　
（1）（2021·河北高二月考）在菱形中，若是平面的法向量，则以下结论一定成立的是（ ）【版权所有：21教育】
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
（2）（2021·全国高二课时练习）设直线l1，l2的方向向量分别为，若l1⊥l2，则m等于（ ）【出处：21教育名师】
A． B．2 C．6 D．10
【规律方法】
(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．
(2)证明直线与直线垂直，只需 ( http: / / www.21cnjy.com )要证明两条直线的方向向量垂直；证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．
【跟踪练习】（2021·全国高二课时练习）如图，四棱锥中，底面，，，，是的中点．
( http: / / www.21cnjy.com / )
求证：（1）；（2）平面．
1．（2021·全国高二课时练习）若直线，的方向向量分别为，，则，的位置关系是（ ）21教育名师原创作品
A．垂直 B．重合 C．平行 D．平行或重合
2．（2021·江西九江一中高二月考（理））在空间直角坐标系中，为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国高二课时练习）已知直线l的一个方向向量，平面的一个法向量，则直线l与平面的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．相交 D．平行或直线在平面内
4．（2021·四平市第一高级中学高二月考）若直线，的方向向量分别为，，则这两条直线（ ）
A．平行 B．垂直 C．异面垂直 D．垂直相交
5．（2021·浙江高二月考）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则等于（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
6．（2021·枣庄市第三中学高二月考）如图所示，若长方体AC的底面是边长为2的正方形，高为4．E是的中点，则（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．平面平面
C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球的表面积为
7．（2021·重庆市两江育才中学校高二月考）如图所示，在四棱锥中，平面，，在四边形中，，，，点在上，，与平面成的角.
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（1）平面；
（2）平面平面.
8．（2021·广东南山·蛇口育才中学高二月考）如图所示，在长方体中，，，、分别、的中点.
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（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
9．（2021·大连市第二十三中学高二月考）在多面体中，正方形和矩形互相垂直， 分别是和的中点，.21教育网
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（1）求证：平面.
（2）试问在边所在的直线上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，请说明理由.
10．（2021·全国高二课时练习）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1，AA1⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，点E在线段A1D上，且A1E=2ED.
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（1）证明:BD1⊥AC；
（2）证明:BD1∥平面ACE.
11．（2021·全国高二课时练习）已知正方体中，为棱上的动点．
（1）求证：；
（2）若平面平面，试确定点的位置．
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12．（2021·新疆乌鲁木齐·乌市八中高二月考（文））如图，四棱锥中，底面，E为棱上的点，且．
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（1）证明：平面平面；
（2）求的体积．
13．（2022·全国高三专题练习（理））如图，在正三棱锥中，是高上一点，，直线与底面所成角的正切值为.21·世纪*教育网
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（1）求证：平面；
（2）求三棱锥外接球的体积.
14.（2021·大连市第二十三中学高二月考）如图，在直三棱柱中，，，，点在棱上，，，，分别为，，的中点，与相交于点.【来源：21cnj*y.co*m】
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（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求平面与平面的距离.
15.（2021·天津市第四十二中学高二月考）如图，在三棱柱中，平面，，.
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（1）求证：平面；
（2）点M在线段上，且，试问在线段上是否存在一点N，满足平面，若存在求的值，若不存在，请说明理由？21·cn·jy·com
16．（2021·山东·高二月考）在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB//DC，AB⊥AD，CD＝AD＝AB，∠PAD＝45°，E是PA的中点，G在线段AB上，且满足CG⊥BD．
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（1）求证：DE//平面PBC；
（2）求平面GPC与平面PBC夹角的余弦值．
（3）在线段PA上是否存在点H，使得GH与平面PGC所成角的正弦值是，若存在，求出AH的长；若不存在，请说明理由．21世纪教育网版权所有
17．（2021·湖北·武汉市吴家山中学高二月考）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，是的中点，已知，．
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（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面平面．
18．（2020·山东枣庄·高二期中）如图，在平行六面体中，，，
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（1）求的长；
（2）求证：直线平面．
19．（2021·全国·高 ( http: / / www.21cnjy.com )二课时练习）如图，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明：
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（1）MN∥平面CC1D1D；
（2）平面MNP∥平面CC1D1D．
20．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知，平面，四边形是正方形，点在线段上，且．21cnjy.com
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（1）证明：；
（2）证明：平面．
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2
真题演练
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专题六 空间几何体
05 立体几何中的向量方法（一）证明平行、垂直
考纲对本模块内容的具体要求如下：
空间直角坐标系、空间向量及其运算在高考中主要作为解题工具，解决直线、平面的平行、垂直位置关系的判定等问题，主要以解答题的形式出现.21世纪教育网版权所有
1.理解直线的方向向量与平面法向量的意义．
2.能用向量语言表达直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系．
3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).
逻辑推理：能利用直线与平面平行、垂直的性质定理证明平行、垂直问题，会用向量方法求简单的直线与平面、平面与平面的距离.【出处：21教育名师】
1．直线的方向向量与平面的法向量的确定
(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．
(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为2·1·c·n·j·y
2．用向量证明空间中的平行关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合) 　v1∥v2　.
(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l α 　存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2　.
(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l α 　v⊥u　.
(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β 　u1∥u2　.
3．用向量证明空间中的垂直关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，
则l1⊥l2 　v1⊥v2　 　v1·v2＝0　.
(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，
则l⊥α 　v∥u　.
(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β 　u1⊥u2　 　u1·u2＝0　.
考点一 利用空间向量证明平行问题　
（1）（2021·全国高二课时练习 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是（ ）
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A．MN与CC1垂直 B．MN与AC垂直
C．MN与BD平行 D．MN与A1B1平行
【答案】D
【分析】
通过空间向量建系法，结合向量平行与垂直的性质一一验证即可
【详解】
设正方体的棱长为1，如图，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，C1(0，1，1)，M，N，
∴==(0，0，1)，=(-1，1，0)，=(-1，-1，0)，=(0，1，0)，∴·=0，∴MN⊥CC1，A说法正确；·=-=0，∴MN⊥AC，B说法正确；易知=2，且M，N BD，∴MN∥BD，C说法正确；设=λ，得无解，所以MN与A1B1不平行，D说法错误.
故选：D.
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（2）（2021·辽宁高二月考）已知点P是平行四边形所在的平面外一点，如果，，.对于结论：①；②；③是平面的法向量；④.其中正确的是（ ）21cnjy.com
A．① B．② C．③ D．④
【答案】BC
【分析】
分别利用向量垂直数量积为，可判断①和② ，利用，，可判断③ ，判断与的坐标是否成比例可判断④ ，进而可得正确答案.
【详解】
在①中，，所以，所以，故① 错误；
在②中，，所以，所以，故②正确；
在③中，由于，，且，故平面，可知是平面的法向量，故③正确．
在④中，，
假设存在实数使得，则，此时无解，故④错误．
所以选项BC正确，
故选：BC
【规律方法】
(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．
(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的 ( http: / / www.21cnjy.com )方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．
【跟踪练习】（2021·全国高二专题练习 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，OA⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为2的正方形，且OA＝2，M，N分别为OA，BC的中点．求证：直线MN∥平面OCD；
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【答案】证明见解析
【分析】
分别以AB、AD、AO为x、y、z轴，建立如图坐标系．求得B、C、D、O、M、N各点的坐标，从而得出、、、、的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法解方程组，得到平面OCD的法向量为（0，1，1），再计算出 0，可得⊥，结合MN是平面OCD外的直线，得到直线MN∥平面OCD；
【详解】
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分别以AB、AD、AO为x、y、z轴，建立如图坐标系
可得B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），
O（0，0，2），M（0，0，1），N（2，1，0）
∴（2，1，﹣1），（0，﹣2，2），
（2，0，0），（2，0，0），（0，1，0）
设平面OCD的法向量为（x，y，z），
由，得
取y＝1，得z＝1，x＝0，所以平面OCD的法向量为（0，1，1），
∴ 2×0+1×1+（﹣1）×1＝0，可得⊥
又∵MN 平面OCD，
∴直线MN∥平面OCD.
考点二 利用空间向量证明垂直问题　
（1）（2021·河北高二月考）在菱形中，若是平面的法向量，则以下结论一定成立的是（ ）21·世纪*教育网
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
【答案】ACD
【分析】
由平面的法向量证得线面垂直，再根据面面垂直的判断即可逐一判断各选项作答.
【详解】
因是平面的法向量，则有平面，
而平面，平面，因此，平面平面，平面平面，A，C都正确；
平面，则，又四边形为菱形，，
于是得平面，平面，从而得平面平面，D成立；
因是二面角的平面角，而与不一定垂直，则平面与平面不一定垂直，B不成立.
故选：ACD
（2）（2021·全国高二课时练习）设直线l1，l2的方向向量分别为，若l1⊥l2，则m等于（ ）www.21-cn-jy.com
A． B．2 C．6 D．10
【答案】D
【分析】
根据方向向量垂直即可求出的值.
【详解】
∵l1⊥l2，∴，即，解得m=10.
故选：D.
【规律方法】
(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．
(2)证明直线与直线垂直，只需要证明 ( http: / / www.21cnjy.com )两条直线的方向向量垂直；证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．
【跟踪练习】（2021·全国高二课时练习）如图，四棱锥中，底面，，，，是的中点．
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求证：（1）；（2）平面．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
方法一：（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，得到、，计算得到，即证明．
（2）先写出坐标，再求出平面的法向量，验证可知，即证明平面．
方法二：（1）由底面证明．再结合可证明平面．从而得到．
（2）由底面证明，再结合证明平面，从而得到；
再证明．结合可证平面，得到；最后根据线面垂直的判定即可以证明平面．
【详解】
方法一 （1）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
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则，，，，，，所以，，所以，所以．
（2）由（1），得，，．
设向量是平面的法向量，则，即，取，则，所以，所以，所以平面．
方法二 （1）∵底面，∴．又，，∴平面．∵平面，∴．
（2）∵底面，∴．又，，∴平面，∴．由题可得，由是的中点，∴．
又，，∴平面，∴．∵，，，∴平面．
1．（2021·全国高二课时练习）若直线，的方向向量分别为，，则，的位置关系是（ ）
A．垂直 B．重合 C．平行 D．平行或重合
【答案】D
【分析】
根据直线方向向量的位置关系即可判断出直线的位置关系.
【详解】
因为，，所以，即，
所以或与重合.
故选：D.
2．（2021·江西九江一中高二月考（理））在空间直角坐标系中，为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由已知条件得出，结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值.
【详解】
因为，则，解得.
故选：B.
3．（2021·全国高二课时练习）已知直线l的一个方向向量，平面的一个法向量，则直线l与平面的位置关系是（ ）21教育网
A．垂直 B．平行 C．相交 D．平行或直线在平面内
【答案】D
【分析】
首先通过数量积，判断向量与的关系，再判断线面的位置关系.
【详解】
因为，
所以直线与平面的法向量垂直，则直线与平面平行或在平面内.
故选：D
4．（2021·四平市第一高级中学高二月考）若直线，的方向向量分别为，，则这两条直线（ ）21·cn·jy·com
A．平行 B．垂直 C．异面垂直 D．垂直相交
【答案】B
【分析】
根据方向向量的位置关系判断直线的位置关系即可.
【详解】
因为，所以，所以.
故选：B.
5．（2021·浙江高二月考）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则等于（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】C
【分析】
根据求解即可.
【详解】
由题知：，解得.
故选：C
6．（2021·枣庄市第三中学高二月考）如图所示，若长方体AC的底面是边长为2的正方形，高为4．E是的中点，则（ ）
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A． B．平面平面
C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球的表面积为
【答案】CD
【分析】
在A中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法推导出与不垂直；
在B中，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出平面与平面相交；
在C中，三棱锥的体积为；
在D中，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，从而三棱锥的外接球半径，由此求出三棱锥的外接球的表面积为．
【详解】
解：长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点，
在A中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，2，，，0，，，0，，
，2，，，0，，
，与不垂直，故A错误；
在B中，，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，，2，，
，，，，0，，，0，，，2，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，2，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，1，，
不共线，平面与平面相交，故B错误；
在C中，三棱锥的体积为：
，故C正确；
在D中，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，
三棱锥的外接球半径，
三棱锥的外接球的表面积为，故D正确．
故选：CD．
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7．（2021·重庆市两江育才中学校高二月考）如图所示，在四棱锥中，平面，，在四边形中，，，，点在上，，与平面成的角.【来源：21·世纪·教育·网】
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（1）平面；
（2）平面平面.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
建立空间直角坐标系，（1）平面转化为证明与平面的法向量垂直
（2）先证明线面垂直，即证平面 ，再证面面垂直即可.
【详解】
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证明以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴、轴、轴建立如
图所示的空间直角坐标系
∵平面
∴为与平面所成的角 .
∴， ∵ ∴，
∴
( 1 ) 设 为平面 的一个法向量 ,
由即
令 ，得
又平面 ∴平面
( 2 ) 如图 , 取的中点 连接
则
∵
又
∴
又 ∴平面
又平面 ∴平面⊥平面
8．（2021·广东南山·蛇口育才中学高二月考）如图所示，在长方体中，，，、分别、的中点.2-1-c-n-j-y
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（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；21教育名师原创作品
（2）求出平面的一个法向量，利用空间向量法可证得结论成立.
【详解】
（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
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则、、、、，
，易知平面的一个法向量为，
，则，
平面，故平面；
（2）设平面的法向量为，，，
由，得，取，可得，
所以，，故平面.
9．（2021·大连市第二十三中学高二月考）在多面体中，正方形和矩形互相垂直， 分别是和的中点，.【来源：21cnj*y.co*m】
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（1）求证：平面.
（2）试问在边所在的直线上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，且.
【分析】
（1）结合面面垂直的性质定理来证得平面.
（2）建立空间直角坐标系，设出点坐标，利用向量法，结合平面来求得点的坐标，进而求得的长.
【详解】
（1）由于正方形和矩形互相垂直，且交线为，
，根据面面垂直的性质定理可知平面.
（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
，设.
，
设平面的法向量为，
则，故可设,
若平面，则，
所以存在使平面，
所以，.
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10．（2021·全国高二课 ( http: / / www.21cnjy.com )时练习）如图，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1，AA1⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，点E在线段A1D上，且A1E=2ED.
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（1）证明:BD1⊥AC；
（2）证明:BD1∥平面ACE.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）以中点为原点，中点为，方向为轴，方向为轴，方向为轴，采用建系法即可证明BD1⊥AC；【版权所有：21教育】
（2）设E(x，y，z)，由A1E=2ED，求出点坐标，再设=λ+μ，求出对应值，即可证明BD1∥平面ACE
【详解】
（1）设AC与BD交于点O，A1C1与B1D1交于点O1，连接OO1，设AB=a，AA1=b.如图，建立空间直角坐标系，
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则O(0，0，0)，A，B，C，D，
A1，D1，
∴=(-a，0，b)，=(0，a，0)，
∴·=0，∴BD1⊥AC.
（2）设E(x，y，z)，∵A1E=2ED，∴=2，即x，y+a，z-b=2，
解得x=-a，y=-a，z=，即E，
∴=.
设=λ+μ(λ，μ∈R)，则(-a，0，b)=λ(0，a，0)+μ，
即解得
即=+3.
∴共面，又BD1 平面ACE，
∴BD1∥平面ACE.
11．（2021·全国高二课时练习）已知正方体中，为棱上的动点．
（1）求证：；
（2）若平面平面，试确定点的位置．
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【答案】（1）证明见解析；（2）E为CC1的中点．
【分析】
（1）推导出，，从而平面，由此能证明；
（2）设的中点为，正方体的棱长为2，设，，连结，，以为原点，、、为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当为的中点时，能使平面平面．
【详解】
（1）正方体中，为棱上的动点．
，，
，平面，
平面，．
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（2）设的中点为，正方体的棱长为2，设，，
连结，，
以为原点，、、为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，1，，，2，，，2，，，0，，，0，，
，1，，，，，
，，，
，，，，
，
是二面角的平面角，
平面平面，，
，
解得，
当为的中点时，能使平面平面．
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12．（2021·新疆乌鲁木齐·乌市八中高二月考（文））如图，四棱锥中，底面，E为棱上的点，且．
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（1）证明：平面平面；
（2）求的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）如图建系，分别写出各点坐标，求出平面和平面的法向量，，证明
，即可求证；
（2）根据已知条件求出，即可求出直角三角形的面积，点到底面的距离为为三棱锥的高，由三棱锥体积公式即可求解.
【详解】
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（1）如图，以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，，
设平面的一个法向量为，
则令，则，，
所以，
设平面的一个法向量为，
则令，则，，
所以，
因为，所以，
所以平面平面；
（2）因为，
所以，可得，
所以，
因为底面，，，
所以点到底面的距离为，
所以三棱锥的体积为.
13．（2022·全国高三专题练习（理））如图，在正三棱锥中，是高上一点，，直线与底面所成角的正切值为.21*cnjy*com
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（1）求证：平面；
（2）求三棱锥外接球的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）根据线面角的定义找出线面角，进而得出正三棱锥中相关线段的比例，并设出长度，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量方法证明线面垂直；
（2）由条件可以判断三棱锥是正三棱锥，进而可以得出其外接球心应该在直线EO上，然后根据勾股定理算出外接球半径，最后得到答案.
【详解】
（1）证明：在正三棱锥中，延长AO交BC于点D，则D为BC中点.
因为SO⊥平面ABC，所以∠EAO即为直线EA与底面ABC所成的角，
从而.
设AO=2，则，SA=2AO=4，则,
易知，在正中，O为重心，则，.
如图1，以点O为坐标原点，分别以所在方向为y、z轴正方向建立空间直角坐标系.
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则,,,,,
所以,,,
所以，则，而，
所以AE⊥平面EBC.
（2）由题意知，三棱锥为正三棱锥，则其外接球心在其高EO所在的直线上，设，设该三棱锥外接球半径为R，如图2，
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由，结合勾股定理可得：，
所以外接球的体积.
14.（2021·大连市第二十三中学高二月考）如图，在直三棱柱中，，，，点在棱上，，，，分别为，，的中点，与相交于点.
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（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求平面与平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面.
（2）利用向量法证得平面平面.
（3）利用向量法求得平面与平面的距离.
【详解】
（1）设，建立如图所示空间直角坐标系，
，
，
，
所以，
即，所以平面.
（2），
，
即，所以平面.
所以平面平面.
（3）由（2）可知平面平面，平面，平面.
，
所以平面与平面的距离为.
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15.（2021·天津市第四十二中学高二月考）如图，在三棱柱中，平面，，.
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（1）求证：平面；
（2）点M在线段上，且，试问在线段上是否存在一点N，满足平面，若存在求的值，若不存在，请说明理由？
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，的值为.
【分析】
（1）先证明, 再证明，由线面垂直的判定定理求证即可;
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由平面，利用向量法能求出的值．
【详解】
（1）在三棱柱中，平面ABC，，.
∴，，，
∵，
∴平面，
∵平面，
∴，
∵，
∴平面.
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，
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，，，，
所以，，
设平面的法向量，则，
取，得，
点M在线段上，且，点N在线段上，设，，
设，则，，，
即，
解得，，
，
∵，
∴，解得.
∴的值为.
16．（2021·山东·高二月考）在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB//DC，AB⊥AD，CD＝AD＝AB，∠PAD＝45°，E是PA的中点，G在线段AB上，且满足CG⊥BD．
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（1）求证：DE//平面PBC；
（2）求平面GPC与平面PBC夹角的余弦值．
（3）在线段PA上是否存在点H，使得GH与平面PGC所成角的正弦值是，若存在，求出AH的长；若不存在，请说明理由．21*cnjy*com
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，求出平面PBC的法向量进而证明结论；
（2）求出平面的法向量，结合（1），通过空间向量的夹角运算求得答案；
（3）设出点G的坐标，进而结合线面角的正弦值得到答案.
【详解】
（1）由题意，设， 因为PD⊥平面ABCD，AB//DC，AB⊥AD，如图，以为原点，，，所在直线分别是，，轴建立空间直角坐标系，如图所示．
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则CD＝AD＝AB=1，而∠PAD＝45°，易知∠PDA=90°，于是，又E是PA的中点，故 ，，，，，，
所以，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，∴，
又，∴，∴，平面，
∴平面．
（2）设点坐标为，则，，
由得，∴，
设平面的法向量为，，由得，令，则，则，由图可知，平面与平面夹角的余弦值为．
（3），设，，
∴，∴，
∵与平面所成角的正弦值为，∴，整理得：，解得：，（舍）
∴存在满足条件的点，，且．
17．（2021·湖北·武汉市吴家山中学高二月考）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，是的中点，已知，．
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（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面平面．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】
（Ⅰ）以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，证明即可；
（Ⅱ）先证明平面，可得平面的一个法向量为，再计算平面的一个法向量为，证明即可求证.
【详解】
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证明：以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，．
（Ⅰ）因为是的中点，所以的坐标为，
所以，
又因为，
所以，
所以，即有；
（Ⅱ）因为底面是正方形，所以，
因为底面，平面，
所以，
因为，
所以平面，
所以平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，，，
由，取，，，
所以平面的一个法向量为，
因为，
所以，所以平面平面.
【点睛】
方法点睛：证明面面垂直的方法
（1）利用面面垂直的判定定理，先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另外一个平面内或与另外一个平面内的一条直线平行即可；www-2-1-cnjy-com
（2）利用性质：（客观题常用）；
（3）面面垂直的定义（不常用）；
（4）向量方法：证明两个平面的法向量垂直，即法向量数量积等于.
18．（2020·山东枣庄·高二期中）如图，在平行六面体中，，，
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（1）求的长；
（2）求证：直线平面．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【分析】
（1）首先设，，，得到，再平方即可得到答案。
（2）首先根据题意得到，，计算，，从而得到，，再利用线面垂直的判定即可证明。
【详解】
（1）设，，，则。
因为，，，
所以，
所以
，
所以
（2）由（1）知：，，
所以，
，
即，，又，
所以平面。
【点睛】
本题第一问考查利用空间向量求线段长度，第二问考查利用空间向量证明线面垂直，属于中档题。
19．（2021·全国·高二课时练习）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明：
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（1）MN∥平面CC1D1D；
（2）平面MNP∥平面CC1D1D．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，设出相关 ( http: / / www.21cnjy.com )点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用直线的方向向量和平面的法向量的数量积为0进行证明；（2）证明两个平面有相同的一个法向量即可..
【详解】
（1）证明：以D为坐标原点，，，的方向
分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，
D(0，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1).
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由正方体的性质，知AD⊥平面CC1D1D，
所以＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量.
由于＝(0，1，－1)，
则＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，
所以⊥.
又MN 平面CC1D1D，
所以MN∥平面CC1D1D.
（2）证明：因为＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量，
由于＝(0，2，0)，＝(0，1，－1)，
则，
即＝(2，0，0)也是平面MNP的一个法向量，
所以平面MNP∥平面CC1D1D.
20．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知，平面，四边形是正方形，点在线段上，且．
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（1）证明：；
（2）证明：平面．
【答案】（1）证明见解析 ；（2）证明见解析 ．
【分析】
（1）设与交于点，与交于点，连接，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，求出和的坐标，计算即可求证；
（2）利用求出点的坐标，再设利用坐标相等可得和的值，进而可得，，共面，因为平面，即可求证.
【详解】
（1）设与交于点，与交于点，连接，设，
如图，建立空间直角坐标系，
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则，，，，，
，
所以，，
，所以即；
（2）设，因为，所以，
即
解得：，，，
即，所以
设，则，
即，解得：，，
即所以，，共面，
又平面，所以平面.
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2
真题演练
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