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专题六 空间几何体
06 立体几何中的向量方法（二）求空间角和距离
考纲对本模块内容的具体要求如下：
空间直角坐标系、空间向量及其运算在高考中 ( http: / / www.21cnjy.com )主要作为解题工具，解决直线、平面的平行、垂直位置关系的判定等问题，解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用，主要以解答题的形式出现.
数学抽象：能从实际问题中了解直线与平面、平面与平面间的距离.
数学运算：会用向量方法计算空间角以及距离问题.
1．异面直线所成的角
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
a与b的夹角〈a，b〉 l1与l2所成的角θ
范围 0＜〈a，b〉＜π 0<θ≤
关系 cos〈a，b〉＝ cos θ＝|cos〈a，b〉|＝
2.直线与平面所成的角
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝.2-1-c-n-j-y
3．二面角
(1)如图①，AB，CD是二面角α l β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．
(2)如图②③，n1，n2分别 ( http: / / www.21cnjy.com )是二面角α l β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．
[常用结论]
点到平面的距离
如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为||＝.
考点一 求异面直线所成的角　
（2021·全国高三专题练习）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，.
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（1）求证：平面平面；
（2）若，求直线与所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）；
【分析】
（1）证明，利用面面垂直的性质可得出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得平面平面；
（2）连接，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，根据可得出，求出的值，利用空间向量法可求得直线与所成角的余弦值.
【详解】
（1）为的中点，且，则，
又因为，则，故四边形为平行四边形，
因为，故四边形为矩形，所以，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
因为平面，因此，平面平面；
（2）连接，由（1）可知，平面，，为的中点，则，
以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
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则、、、、，
设，
,
因为，则，解得，
，
，则.
因此，直线与所成角的余弦值为.
【规律方法】
用向量法求异面直线所成角的一般步骤
（1）选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；
（2）确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；
（3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
（4）两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.
【跟踪练习】（2021·全国高三专题练习）如图1，在直角梯形中，，，，，为对角线的中点.现将沿折起到的位置，使平面⊥平面，如图2.
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（1）求证：直线⊥平面；
（2）求异面直线和所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）；
【分析】
（1）利用面面垂直的性质定理进行证明；
（2）建立空间直角坐标系，以方向为轴，以垂直方向为轴，以方向为轴，利用向量法求异面直线和所成角的余弦值.
【详解】
（1）因为平面平面，且平面平面，
又由图1可知且为中点，所以，
又平面，所以平面；
（2）建立空间直角坐标系，以方向为轴，以垂直方向为轴，以方向为轴，如下图所示：
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由图1可知为等腰直角三角形，所以，
所以为等腰直角三角形，
因为，所以，所以，
所以，
所以，
所以，
所以异面直线所成角的余弦值为.
考点二 求直线与平面所成的角　
（2021·广东南山·蛇口育才中学高二月考）如图，在四棱中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，AB=2，M是PD中点.
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（1）求直线AD与平面ACM的夹角正弦值；
（2）求点P到平面ACM的距离
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果；
（2）利用空间向量的点到面的距离公式即可求出结果；
【详解】
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（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，因为，AB=2，所以，又M是PD中点，所以，则,,,
设平面的一个法向量为，则有，取，
设直线AD与平面ACM的夹角为，则；
（2），由（1）知平面的一个法向量为，
设点P到平面ACM的距离为，则，故点P到平面ACM的距离为.
【规律方法】
利用向量法求线面角的方法
（1）分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角 (或其补角)；
（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.
【跟踪练习】（2021·全国高二课时练习） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，E，F分别为CC1，AA1的中点．
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（1）求证：D1F∥平面BDE；
（2）求直线D1E与平面BDE所成角的正弦值；
（3）求直线D1F与平面BDE之间的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．
【分析】
（1）推导出D1F∥BE，由此能证明D1F∥平面BDE；
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线D1E与平面BDE所成角的正弦值；21·世纪*教育网
（3）由D1F∥平面BDE，（0，0，2），平面DBE的法向量（1，﹣1，1），利用向量法能求出直线D1F与平面BDE之间的距离．
【详解】
解：（1）∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，
AA1＝2，E，F分别为CC1，AA1的中点．
∴D1F∥BE，
∵D1F 平面BDE，BE 平面BDE，
∴D1F∥平面BDE；
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
则D1（0，0，2），F（1，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0），E（0，1，1），
（0，1，﹣1），（1，1，0），（0，1，1），
设平面DBE的法向量（x，y，z），
则，取x＝1，得（1，﹣1，1），
设直线D1E与平面BDE所成角为，
则sin．
∴直线D1E与平面BDE所成角的正弦值为．
（3）∵D1F∥平面BDE，（0，0，2），平面DBE的法向量（1，﹣1，1），
∴直线D1F与平面BDE之间的距离为：
d．
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考点三 求二面角　
（1）（2021·全国高二课时练习）已知二面角α－l－β的两个半平面α与β的法向量分别为，，若〈，〉＝，则二面角α－l－β的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】
由二面角的定义可以得出结论.
【详解】
解：由于二面角的范围是[0，π]，而二面角的两个半平面α与β的法向量都有两个方向，因此二面角α－l－β的大为或.
故选：AB.
（2）（2021·河北邢台·高二月考）如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，，，底面，则（ ）
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A．平面
B．直线与底面所成的角为
C．平面与平面夹角的余弦值为
D．点C到平面的距离为
【答案】ABC
【分析】
对于A：由线面垂直的性质得.再由勾股定理得，根据线面垂直的判定可判断；
对于B：由已知得是直线与底面所成的角，由三角形知识计算可判断；
对于C：以C为坐标原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，根据面面角的空间向量求解方法计算可判断；
对于 D：根据点到直线的距离的空间向量求解方法计算可判断.
【详解】
解：对于A：如图，因为平面.平面，所以.
在等腰梯形中，过点C作于点G.
因为，，，则，，，所以.
因此满足，所以.
又平面，，所以平面.故A正确；
对于B：，，两两垂直，因为平面，所以是直线与底面所成的角，
又，所以直线与底面所成的角为.故B正确；
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对于C：以C为坐标原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，.21世纪教育网版权所有
设平面的法向量为，由，得，
取平面的一个法向量.
又为平面的一个法向量，
设平面与平面夹角为，则，
因此平面与平面夹角的余弦值为.故C正确；
对于 D：点C到平面的距离为.故D不正确，
故选：ABC.
【规律方法】
利用向量计算二面角大小的常用方法
(1)找法向量法：分别求出二面角 ( http: / / www.21cnjy.com )的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐(钝)二面角.
(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.
【跟踪练习】（2021·上海高三模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，．
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（1）求点到平面的距离；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
【答案】（1） （2）
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，计算平面PBC的法向量，由点面距离的向量公式即得解；
（2）计算平面PCD的法向量，结合（1）中平面PBC的法向量，利用二面角的向量公式即得解
【详解】
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（1）由题意，平面，，，
以A为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系
则P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，3，0），
设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z），
=(1，0，﹣1)， =(0，2，0)， =(﹣1，1，0)，
则，取x=1，得=(1，0，1)，
∴点D到平面PBC的距离．
（2）由（1）可得平面PBC的一个法向量为=(1，0，1)，
设平面PCD的一个法向量为，
， =(﹣1，1，0)，
则，取，得，
设二面角的平面角为，由图得二面角为钝角
故
考点四 求距离　
求直线到平面的距离（2021·河北高二月考）如图，且，，平面平面，四边形为矩形，且．
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（1）若为的中点，为的中点，求证：平面；
（2）若与平面所成角的正切值为2，求直线到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
(1)由给定条件证得DA，DC，DG两两垂直，建立空间直角坐标系，借助空间向量证明MN与平面CDE平行；【版权所有：21教育】
(2)结合(1)中信息，求出DG长，证明平面，借助空间向量求出点D到平面CDE距离即可.
【详解】
（1）四边形为矩形，即，而平面平面，平面平面，则平面，又，
以为坐标原点，分别以、、的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
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则，，，，设，则，，，，，
设为平面的法向量，则，不妨令，可得，
又，则有，即，而直线平面，
所以平面；
（2）因为，平面，平面，则平面，
从而有直线到平面的距离等于点到平面的距离，
由(1)知平面，即是平面的法向量，因与平面所成角的正切值为2，
则与平面所成角的正弦为，又，，
解得，则点，，
设为平面的法向量，则，不妨令，可得，而，
则点到平面的距离，
所以直线到平面的距离为.
求点到平面的距离（2021·安徽高二月考）已知平面的一个法向量是，点是平面内的一点，则点到平面的距离是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】
根据给定条件，求出的坐标，再利用空间向量的点到平面的距离公式计算即得.
【详解】
因点是平面内的一点，而，则，又平面的一个法向量是，
所以点P到平面的距离.
故选：C
求点到直线的距离（2021·对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）高二月考）已知点，，，则点A到直线BC的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
计算可得，故，再根据向量的模长公式求出即可得解.
【详解】
由已知得，，
所以，
所以，
所以点A到直线BC的距离是.
故选：B
【规律方法】
空间中距离的三种转化方法
（1）利用线面、面面平行转化：利用线面距离、面面距离的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离；
（2）利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点（等分点），转化为另一个点到平面的距离;
（3）通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展（分割），以方便求底面积和高.
【跟踪练习】（1）（2021·全国高二课时练习）在棱长均为a的正三棱柱中，D是侧棱的中点，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
以为空间直角坐标原点建立空间直角坐标系，通过点面距离公式，计算点到平面的距离.
【详解】
以为空间直角坐标原点，以垂直于的直线为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系.
由是棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱的中点，
故，， ，，
，，
设是平面的法向量，
，，
故点到平面距离.
故选：A.
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（2）（2021·海淀·北京市八一中学高二月考）四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高h为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
先求出平面ABCD的一个法向量，则在法向量上的投影的绝对值即为这个四棱锥的高．
【详解】
解：设平面ABCD的法向量为，
则，即，∴，
取，则，
∴这个四棱锥的高，
故选：D．
（3）（2021·全国高二单元测试）已知点A（l，0，0），B（0，l，0），C（0，0，2），，那么过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
求得平面ABC的一个法向量，由求解.
【详解】
因为点A（l，0，0），B（0，l，0），C（0，0，2），
所以，
设平面ABC的一个法向量为，
则，即，
令，得，则，
所以，
故选：C
1．（2021·河北邢台·高二月考），，是从点P出发的三条线段，每两条线段的夹角均为60°，，若M满足，则点M到直线的距离为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【分析】
由平方可得，再化简求出，即可求出点M到直线的距离.
【详解】
，
则，
则
，
点M到直线的距离.
故选：D.
2．（2021·云南高二月考）如图，在四棱锥中，平面，，，则点到直线的距离为（ ）
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A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】
如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可
【详解】
因为平面，平面，平面，
所以，，
因为
所以如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，，，即.
在上的投影向量的长度为，
故点到直线的距离为.
故选：A
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3．（2022·全国高三专题练习）已知棱长为1的正方体ABCD-EFGH，若点P在正方体内部且满足，则点P到AB的距离为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
建立空间直角坐标系，表示出，，进而得到在上的投影向量的长度，即可求出答案．
【详解】
解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，1，，，0，，
所以，0，，，1，，，0，，
则，0，，1，，0，，，，
所以在上的投影向量的长度为，
所以点到的距离.
故选：A.
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4．（2021·重庆市清华中学校高二月考）如图，在正方体中，点O在线段AC上移动，点M为棱的中点，则下列结论中正确的有（ ）
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A．平面
B．的大小可以为90°
C．异面直线与的距离为定值
D．存在实数，使得成立
【答案】ABD
【分析】
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体的棱长为2，通过求解，转化判断的正误；通过证明平面，判断的正误；利用空间向量法求出异面直线的距离，从而判断的正误，通过，，三点共线，结合向量的模的关系，判断的正误．21*cnjy*com
【详解】
解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体的棱长为2，
设，，，，，0，，，2，，，2，，
所以．又平面，
所以平面的法向量为．因为，
所以，所以平面，故正确；
对于，当为的中点时，，1，，，2，，，0，，，2，，
所以，所以，，所以，，因为，平面，
所以平面，所以的大小可以为，故正确；
对于，，设，所以，即，令，则，，所以，又，所以异面直线与的距离，故不正确，
对于，，，三点共线，， ，所以
故正确．
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故选：．
5．（2021·重庆市清华中学校高二月考）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（ ）
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A．
B．平面
C．向量与的夹角是60°
D．直线与AC所成角的余弦值为
【答案】BD
【分析】
根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可．
【详解】
解：对于，
，
所以，选项错误；
对于
，所以，即，
，所以，即，因为，平面，所以平面，选项正确；
对于：向量与 的夹角是，所以向量与的夹角也是，选项错误；
对于，
所以，
，
同理，可得
，
所以，所以选项正确．
故选：BD．
6．（2021·重庆市第七中学校高二月考）如图，边长为1的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且.则下列结论中正确的有（ ）www.21-cn-jy.com
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A．当时，ME与CN相交
B．MN始终与平面BCE平行
C．异面直线AC与BF所成的角为
D．当时，MN的长最小，最小为
【答案】BD
【分析】
以B为原点，BA，BE，BC所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.
证明向量不共面可判断选项A错误；判断与平面BCE的法向量垂直可判断选项B；利用向量法可求异面直线所成的角，从而判断选项C；利用两点间的距离公式及二次函数的性质可判断选项D.21*cnjy*com
【详解】
以B为原点，BA，BE，BC所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，
因为，所以，
当时，，
，
若ME与CN相交，则四点共面，
设，则，该方程无解，所以ME与CN不相交，故选项A错误；
平面BCE的法向量为，此时，
所以MN始终与平面BCE平行，故B正确；
，设异面直线AC与BF所成的角为，
所以，所以异面直线AC与BF所成的角为60°，故C错误；
，
所以当时，MN的长最小，最小为，故D正确.
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故选：BD.
7．（2021·山西运城·高二月考）在棱长为1的正方体中，点为线段上的动点（包含线段的端点），点，分别为线段，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，点，，，四点共面
B．异面直线与的距离为
C．三棱锥的体积为定值
D．不存在点，使得
【答案】AC
【分析】
对于A，借助空间向量判断共面即可；对于B，建立空间直角坐标系，利用空间向量求距离即可判断；
对于C，证明直线A1C//平面DMN即可判断；对于D，利用空间直角坐标系中向量坐标运算即可判断作答.
【详解】
在棱长为1的正方体中，点为线段上的动点，如图，
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对于A，因，则
，共面，
且它们有公共点A，点，，，四点共面，A正确；
对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，则，A1(1，0，1)，
，设与都垂直的向量，
因此，，令，得，则异面直线与的距离，B不正确；
对于C，因点，分别为线段，的中点，则，平面DMN，平面DMN，于是得平面DMN，
因此，上任意点P到平面DMN的距离都相等，而点D，M，N都是定点，即面积是定值，则三棱锥的体积为定值，C正确；
对于D，令，，则，而，
于是得，当时，，即，因此当点P与点C重合时，，D不正确.
故选：AC
8．（2021·全国高三专题练习 ( http: / / www.21cnjy.com )）已知四边形ABCD为正方形，GD⊥平面ABCD，四边形DGEA与四边形DGFC也都为正方形，连接EF，FB，BE，H为BF的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．DE⊥BF
B．EF与CH所成角为
C．EC⊥平面DBF
D．BF与平面ACFE所成角为
【答案】ABC
【分析】
根据题意，将几何体补形为正方体，进而建立空间直角坐标系，通过空间向量的运算得到答案.
【详解】
由题意得，所得几何体可以补形成一个正方体，如图所示．
以D为坐标原点，DA，DC，DG所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
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设AD＝DC＝DG＝2，
则D(0，0，0)，C(0，2，0)，E(2，0，2)，F(0，2，2)，B(2，2，0)，H(1，2，1)．
对A，，所以，
则，正确；
对B，，设所成角为，
所以，正确；
对C，，
设是平面DBF的一个法向量，所以，
令x=1，则，所以，则EC⊥平面DBF，正确；
对D，由题意，EA⊥平面ABCD，则EA⊥DB，易得：DB⊥AC，EA与AC交于A，
则DB⊥平面ACFE，则是平面ACFE的一个法向量，
设BF与平面ACFE所成的角为，
所以，错误.
故选：ABC.
9．（2021·历下·山东师范大学附中高二月考）如图，在正方体中，，为棱上的动点，下面说法正确的是（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．与平面所成角的正弦值的范围为
B．当点与点重合时，平面
C．当点与点重合时，若平面//平面，则平面截该正方体所得截面面积最大值为
D．当点为的中点时，若平面与交于点，则
【答案】ABD
【分析】
如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量及，即可判断B；设，与平面所成角为，求出平面的法向量与夹角的余弦值的绝对值的范围，即可判断A；当平面截该正方体所得截面为正六边形，即过的中点时，截面面积最大，从而可判断C；设直线与平面的交点为O，连接OP，求出及，即可求出，即可判断D.
【详解】
解：如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，
则，
，
设为平面的法向量，
则，令，则，所以，
对于A，设，与平面所成角为，
则，
则
，
由，则，则，
则，
所以与平面所成角的正弦值的范围为，故A正确；
对于B，当点与点重合时，，即，
所以当点与点重合时，平面；
对于C，当平面截该正方体所得截面为正六边形，即过的中点时，截面面积最大，如图所示，，
则最大面积为，故C错误；
对于D，设直线与平面的交点为O，连接OP，
由平面，得，
，，
所以，
当点为的中点时，
，则，则，
则，则，
所以，所以，故D正确.
故选：ABD.
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10．（2021·福建省建瓯市芝 ( http: / / www.21cnjy.com )华中学高二月考）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝1，点Q是棱A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则下面结论中正确的是（ ）
A．PQ与EF一定不垂直
B．二面角P﹣EF﹣Q的正弦值是
C．PEF的面积是
D．点P到平面QEF的距离是定值
【答案】BCD
【分析】
取特殊位置，当与点重合时，即可判断选项A；建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量法求解二面角，即可判断选项B；利用线面垂直的性质定理，可得是的高，利用三角形的面积公式求解即可判断选项C；由线面平行的判定定理判断得到平面，即可判断选项D．
【详解】
解：对于A，当与点重合时，，故选项A错误；
对于B，由于点是棱上的动点，是棱上的一条线段，所以平面即平面，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，0，，，4，，
所以，平面即平面，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，
同理可求得平面的法向量为，设二面角为，
所以，
故，故选项B正确；
对于C，由于平面，又平面，
所以，所以，所以是的高，
所以，故选项C正确；
对于D，由于，且平面，平面，所以平面，
又点在上，所以点到平面的距离为常量，故选项D正确．
故选：BCD．
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11．（2021·全国高二单元测试）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，则（ ）21教育网
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A．
B．与平面所成角为
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．平面与平面所成二面角的平面角为锐角时的余弦值为
【答案】AD
【分析】
设，则，由余弦定理求出的长，可得，由底面可得，由线面垂直的判断定理和性质定理即可判断选项A；计算即可判断选项B；计算即可判断选项C；建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，计算再结合图形可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】
对于A，由，及余弦定理得，从而，故.由底面，可得.又，所以平面，故.故A正确.
对于B，因为底面，所以就是与平面所成的角，又，所以.故B错误.
对于C，显然是异面直线与所成的角，易得.故C错误.
对于D，以D为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.
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设，则，，，，所以，，.
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，则，，
此时.
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，则，，此时，
所以，
所以平面与平面所成二面角的平面角为锐角时的余弦值为.故D正确.
故选：AD.
12.（2021·天津高考真题）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．
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（I）求证：平面；
（II）求直线与平面所成角的正弦值．
（III）求二面角的正弦值．
【答案】（I）证明见解析；（II）；（III）.
【分析】
（I）建立空间直角坐标系，求出及平面的一个法向量，证明，即可得证；
（II）求出，由运算即可得解；
（III）求得平面的一个法向量，由结合同角三角函数的平方关系即可得解.
【详解】
（I）以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系，
则,,,,,,，
因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以，，
所以,,,
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
因为，所以，
因为平面，所以平面；
（II）由（1）得，，
设直线与平面所成角为，
则；
（III）由正方体的特征可得，平面的一个法向量为，
则，
所以二面角的正弦值为.
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13．（2021·全国高考真题）在四棱锥中，底面是正方形，若．
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（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）取的中点为，连接，可证平面，从而得到面面.
（2）在平面内，过作，交于，则，建如图所示的空间坐标系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值.
【详解】
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（1）取的中点为，连接.
因为，，则，
而，故.
在正方形中，因为，故，故，
因为，故，故为直角三角形且，
因为，故平面，
因为平面，故平面平面.
（2）在平面内，过作，交于，则，
结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系.
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则，故.
设平面的法向量，
则即，取，则，
故.
而平面的法向量为，故.
二面角的平面角为锐角，故其余弦值为.
14．（2021·北京高考真题）已知正方体，点为中点，直线交平面于点．
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（1）证明：点为的中点；
（2）若点为棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
(1)首先将平面进行扩展，然后结合所得的平面与直线的交点即可证得题中的结论；
(2)建立空间直角坐标系，利用空间直角坐标系求得相应平面的法向量，然后解方程即可求得实数的值.
【详解】
(1)如图所示，取的中点，连结，
由于为正方体，为中点，故，
从而四点共面，即平面CDE即平面，
据此可得：直线交平面于点，
当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点与点重合，
即点为中点.
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(2)以点为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴正方形，建立空间直角坐标系，
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不妨设正方体的棱长为2，设，
则：，
从而：，
设平面的法向量为：，则：
，
令可得：，
设平面的法向量为：，则：
，
令可得：，
从而：，
则：，
整理可得：，故（舍去）.
15．（2021·全国高考真题（理））已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．
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（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
通过已知条件，确定三条互相 ( http: / / www.21cnjy.com )垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直和求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案．
【详解】
因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以
因为，，所以，
又，所以平面．
所以两两垂直．
以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．
( http: / / www.21cnjy.com / )
所以，
．
由题设（）．
（1）因为，
所以，所以．
（2）设平面的法向量为，
因为，
所以，即．
令，则
因为平面的法向量为，
设平面与平面的二面角的平面角为，
则．
当时，取最小值为，
此时取最大值为．
所以，
此时．
16．（2021·全国高考真题（理））如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．21cnjy.com
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（1）求；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，由已知条件得出，求出的值，即可得出的长；
（2）求出平面、的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.
【详解】
（1）平面，四边形为矩形，不妨以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
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设，则、、、、，
则，，
，则，解得，故；
（2）设平面的法向量为，则，，
由，取，可得，
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，
，
所以，，
因此，二面角的正弦值为.
17．（2020·全国高考真题（理））如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．
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（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）要证明平面，只需证明，即可；
（2）以O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平面的法向量为，平面的法向量为，利用公式计算即可得到答案.【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
（1）由题设，知为等边三角形，设，
则，，所以，
又为等边三角形，则，所以，
，则，所以，
同理，又，所以平面；
（2）过O作∥BC交AB于点N，因为平面，以O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，21教育名师原创作品
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则，
，，，
设平面的一个法向量为，
由，得，令，得，
所以，
设平面的一个法向量为
由，得，令，得，
所以
故，
设二面角的大小为，则.
18.（2021·全国高三专题练习）如图，在三棱柱中，四边形为矩形，且，平面平面，.
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（1）证明：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）；
【分析】
（1）利用面面垂直性质可证得平面，从而得到；利用勾股定理可证得，由线面垂直的判定可证得结论；21·cn·jy·com
（2）取中点O，中点，由面面垂直性质可证得平面，则以O为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量求法可求得结果；
【详解】
（1）四边形为矩形，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，；
又，，，，
又平面，，
平面；
（2）取中点O，中点，连接，
，，
平面平面，平面平面，平面，
平面；
又，，，
则以O为坐标原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，
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则，，，，
，，
设异面直线与所成角为，
则，
异面直线与所成角的余弦值为.
19. （2021·全国高三专题练习）如图，在直三棱柱中，，，点 分别为 的中点，与底面所成的角为.
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（1）求异面直线与所成角的大小余弦值；
（2）求点与平面的距离.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由已知求得，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，求出、的坐标，由两向量所成角的余弦值求解异面直线与所成角的大小；【出处：21教育名师】
（2）求出平面的法向量及，由向量法求点与平面的距离．
【详解】
解：（1）平面，为与底面所成角，
即，．
以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，0，，，1，，
则，1，，，
设异面直线与所成角的大小为，
，
则异面直线与所成角的大小为；
（2）设平面的法向量为，
由（1）知，，，
由，取，得．
又，
点与平面的距离．
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20．（2022·全国高三专题练习）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.
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（1）求点到直线的距离；
（2）求直线到平面的距离.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，取，，根据空间向量点到直线距离公式，可得点点到直线的距离；
（2）易证平面，则点到平面的距离为直线到平面的距离，求出平面的一个法向量，再求出，根据点到面的距离公式，可得直线到平面的距离．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
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则，
所以，，， .
（1）取，，则.
所以，点到直线的距离为.
（2）因为，所以，所以平面.
所以点到平面的距离为直线到平面的距离.
设平面的法向量为，则
所以
所以
取，则.所以，是平面的一个法向量.
又因为，所以点到平面的距离为.
即直线到平面的距离为.
21.（2021·全国高二专题 ( http: / / www.21cnjy.com )练习）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．
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（1）求异面直线BD1与CC1的距离；
（2）求直线BD1与平面BDE所成角的正弦值；
（3）求点F到平面BDE的距离．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）以D为原点，建立空间直角坐标系，由 0， 0，知EF为BD1与CC1的公垂线，再计算||，即可；
（2）求得平面BDE的法向量，设直线BD1与平面BDE所成角为θ，由sinθ＝|cos，|，即可得解；
（3）点F到平面BDE的距离为，代入相关数据，进行运算即可得解．
【详解】
（1）以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B（1，1，0），D1（0，0，2），C（0，1，0），C1（0，1，2），E（0，1，1），F（，，1），
∴（﹣1，﹣1，2），（0，0，2），（，，0），
∴ 0， 0，
∴BD1⊥EF，CC1⊥EF，即EF为BD1与CC1的公垂线，
而||，
∴异面直线BD1与CC1的距离为．
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（2）由（1）知，（1，1，0），（0，1，1），（﹣1，﹣1，2），
设平面BDE的法向量为（x，y，z），则，即，
令y＝1，则x＝﹣1，z＝﹣1，∴（﹣1，1，﹣1），
设直线BD1与平面BDE所成角为θ，
则sinθ＝|cos，|＝||＝||，
故直线BD1与平面BDE所成角的正弦值为．
（3）由（1）知，（，，1），
由（2）知，平面BDE的法向量为（﹣1，1，﹣1），
∴点F到平面BDE的距离为||．
22.（2021·北京市陈经纶中学高二月考）如图，四棱柱的侧棱平面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为，的中点．，．
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（1）证明：B，E，，F四点共面；
（2）求直线AE与平面所成角的正弦值；
（3）求到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．
【分析】
（1）连接BE，BF，，，取中点，连接、，证明四边形为平行四边形，证明，可得，同理可得，，进而有四边形为平行四边形，得证；
（2）取AB的中点M，连接DM，易证，再以D为原点建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，设直线AE与平面所成角为，由，得解．
（3）根据（2）中平面的法向量，利用点到平面的距离公式，即可求得到平面的距离．
【详解】
解：（1）证明：连接BE，BF，，，
取中点，连接、，
因为分别为、中点，易得，
，，且，
四边形为平行四边形，
，又是中点，
，，则四边形为平行四边形，
，
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因为，，，
所以，所以，
所以四边形为平行四边形，
所以B，E，，F四点共面．
（2）取AB的中点M，连接DM，
且，为等边三角形，
所以，，
以D为原点，DM，，所在直线分别为x，y，z轴，
由，则，，，，
所以，，，
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设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，
设直线AE与平面所成角为，
则，
故直线AE与平面所成角的正弦值为；
（3）由，则，
到平面的距离，
所以到平面的距离．
23.（2021·北京八十中高二期中）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AC＝4，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC的中点．2·1·c·n·j·y
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(1)求证：AB⊥A1C；
(2)试求二面角D﹣CA1﹣A的余弦值；
(3)求点B1到平面A1CD的距离．
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).
【分析】
(1)利用勾股定理和直棱柱的特征证明AB⊥AC，AB⊥AA1，可得出AB⊥平面AA1C，于是AB⊥AC1；(2)建立空间直角坐标系，求出平面DCA1和AA1C的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小；(3)计算与平面A1CD的法向量的夹角，得出A1B1与平面A1CD所成角的正弦值，再计算B1到平面A1CD的距离．
【详解】
(1)证明：∵AC＝4，AB＝3，BC＝5，
∴AC2+AB2＝BC2，∴AB⊥AC，
∵AA1⊥平面ABC，AB 平面ABC，
∴AA1⊥AB，
又AC∩AA1＝A，
∴AB⊥平面AA1C，又A1C 平面AA1C，
∴AB⊥A1C．
(2)以A为原点，以AC，AB，AA1为坐标轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示：
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故A(0，0，0)，B(0，3，0)，C(4，0，0)，A1(0，0，4)，D(2，，0)，
∴(0，3，0)，(﹣4，0，4)，(﹣2，，0)，
∵AB⊥平面AA1C，∴是AA1C的一个法向量，
设平面DCA1的法向量为(x，y，z)，则，即，
令x＝1可得(1，，1)，
故，
由图可知二面角D﹣CA1﹣A为锐二面角，
∴二面角D﹣CA1﹣A的余弦值为．
(3)(0，3，0)，故，
设A1B1与平面A1CD所成角为α，则sinα＝|cos，|，
∴B1到平面A1CD的距离为|| sinα＝3．
24．（2021·对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）高二月考）如图，在正四棱柱中，已知，，E F分别为 上的点，且.
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（1） 求证：BE⊥平面ACF；
（2）求点E到平面ACF的距离；
（3）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【分析】
（1）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标运算证明，，再根据直线与平面垂直的判定定理可证结论；
（2）利用点到平面的距离的向量公式可求出结果；
（3）利用两个平面的法向量可求出结果.
【详解】
（1）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图：
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则，，，，，，
所以，，，
因为，，
所以，，
所以，，
又，所以平面ACF.
（2）因为，且是平面的一个法向量，
所以点E到平面ACF的距离.
（3）取平面的一个法向量，
因为是平面的一个法向量，
所以，
由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2
例3
例4
真题演练
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专题六 空间几何体
06 立体几何中的向量方法（二）求空间角和距离
考纲对本模块内容的具体要求如下：
空间直角坐标系、空间向量及其运算在 ( http: / / www.21cnjy.com )高考中主要作为解题工具，解决直线、平面的平行、垂直位置关系的判定等问题，解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用，主要以解答题的形式出现.
数学抽象：能从实际问题中了解直线与平面、平面与平面间的距离.
数学运算：会用向量方法计算空间角以及距离问题.
1．异面直线所成的角
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
a与b的夹角〈a，b〉 l1与l2所成的角θ
范围 0＜〈a，b〉＜π
关系 cos〈a，b〉＝
2.直线与平面所成的角
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝_____.
3．二面角
(1)如图①，AB，CD是二面角α l β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝_____．
(2)如图②③，n1，n ( http: / / www.21cnjy.com )2分别是二面角α l β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足_____，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．2·1·c·n·j·y
[常用结论]
点到平面的距离
如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为||＝.
考点一 求异面直线所成的角　
（2021·全国高三专题练习）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，.www-2-1-cnjy-com
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（1）求证：平面平面；
（2）若，求直线与所成角的余弦值.
【规律方法】
用向量法求异面直线所成角的一般步骤
（1）选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；
（2）确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；
（3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
（4）两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.
【跟踪练习】（2021·全国高三专题练习）如图1，在直角梯形中，，，，，为对角线的中点.现将沿折起到的位置，使平面⊥平面，如图2.【来源：21cnj*y.co*m】
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（1）求证：直线⊥平面；
（2）求异面直线和所成角的余弦值.
考点二 求直线与平面所成的角　
（2021·广东南山·蛇口育才中学高二月考）如图，在四棱中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，AB=2，M是PD中点.【出处：21教育名师】
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（1）求直线AD与平面ACM的夹角正弦值；
（2）求点P到平面ACM的距离
【规律方法】
利用向量法求线面角的方法
（1）分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角 (或其补角)；
（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.21教育名师原创作品
【跟踪练习】（2021·全国高二 ( http: / / www.21cnjy.com )课时练习）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，E，F分别为CC1，AA1的中点．21*cnjy*com
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（1）求证：D1F∥平面BDE；
（2）求直线D1E与平面BDE所成角的正弦值；
（3）求直线D1F与平面BDE之间的距离．
考点三 求二面角　
（1）（2021·全国高二课时练习）已知二面角α－l－β的两个半平面α与β的法向量分别为，，若〈，〉＝，则二面角α－l－β的大小为（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·河北邢台·高二月考）如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，，，底面，则（ ）
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A．平面
B．直线与底面所成的角为
C．平面与平面夹角的余弦值为
D．点C到平面的距离为
【规律方法】
利用向量计算二面角大小的常用方法
(1)找法向量法：分别求出二 ( http: / / www.21cnjy.com )面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐(钝)二面角.
(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.21教育网
【跟踪练习】（2021·上海高三模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，．
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（1）求点到平面的距离；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
考点四 求距离　
求直线到平面的距离（2021·河北高二月考）如图，且，，平面平面，四边形为矩形，且．
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（1）若为的中点，为的中点，求证：平面；
（2）若与平面所成角的正切值为2，求直线到平面的距离．
求点到平面的距离（2021·安徽高二月考）已知平面的一个法向量是，点是平面内的一点，则点到平面的距离是（ ）
A．1 B． C．2 D．
求点到直线的距离（2021·对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）高二月考）已知点，，，则点A到直线BC的距离是（ ）
A． B． C． D．
【规律方法】
空间中距离的三种转化方法
（1）利用线面、面面平行转化：利用线面距离、面面距离的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离；
（2）利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点（等分点），转化为另一个点到平面的距离;21·cn·jy·com
（3）通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展（分割），以方便求底面积和高.
【跟踪练习】（1）（2021·全国高二课时练习）在棱长均为a的正三棱柱中，D是侧棱的中点，则点到平面的距离为（ ）www.21-cn-jy.com
A． B． C． D．
（2）（2021·海淀·北京市八一中学高二月考）四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高h为（ ）．21*cnjy*com
A．1 B．2 C．3 D．4
（3）（2021·全国高二单元测试）已知点A（l，0，0），B（0，l，0），C（0，0，2），，那么过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离是（ ）【版权所有：21教育】
A． B． C． D．
1．（2021·河北邢台·高二月考），，是从点P出发的三条线段，每两条线段的夹角均为60°，，若M满足，则点M到直线的距离为（ ）
A． B．3 C． D．
2．（2021·云南高二月考）如图，在四棱锥中，平面，，，则点到直线的距离为（ ）
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A． B． C． D．2
3．（2022·全国高三专题练习）已知棱长为1的正方体ABCD-EFGH，若点P在正方体内部且满足，则点P到AB的距离为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·重庆市清华中学校高二月考）如图，在正方体中，点O在线段AC上移动，点M为棱的中点，则下列结论中正确的有（ ）
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A．平面
B．的大小可以为90°
C．异面直线与的距离为定值
D．存在实数，使得成立
5．（2021·重庆市清华中学校高二月考）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（ ）
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A．
B．平面
C．向量与的夹角是60°
D．直线与AC所成角的余弦值为
6．（2021·重庆市第七中学校高二月考）如图，边长为1的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且.则下列结论中正确的有（ ）
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A．当时，ME与CN相交
B．MN始终与平面BCE平行
C．异面直线AC与BF所成的角为
D．当时，MN的长最小，最小为
7．（2021·山西运城·高二月考）在棱长为1的正方体中，点为线段上的动点（包含线段的端点），点，分别为线段，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，点，，，四点共面
B．异面直线与的距离为
C．三棱锥的体积为定值
D．不存在点，使得
8．（2021·全国高三专题练习）已知四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形ABCD为正方形，GD⊥平面ABCD，四边形DGEA与四边形DGFC也都为正方形，连接EF，FB，BE，H为BF的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．DE⊥BF
B．EF与CH所成角为
C．EC⊥平面DBF
D．BF与平面ACFE所成角为
9．（2021·历下·山东师范大学附中高二月考）如图，在正方体中，，为棱上的动点，下面说法正确的是（ ）21·世纪*教育网
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A．与平面所成角的正弦值的范围为
B．当点与点重合时，平面
C．当点与点重合时，若平面//平面，则平面截该正方体所得截面面积最大值为
D．当点为的中点时，若平面与交于点，则
10．（2021·福建省建瓯市芝 ( http: / / www.21cnjy.com )华中学高二月考）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝1，点Q是棱A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则下面结论中正确的是（ ）
A．PQ与EF一定不垂直
B．二面角P﹣EF﹣Q的正弦值是
C．PEF的面积是
D．点P到平面QEF的距离是定值
11．（2021·全国高二单元测试）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，则（ ）
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A．
B．与平面所成角为
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．平面与平面所成二面角的平面角为锐角时的余弦值为
12.（2021·天津高考真题）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．
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（I）求证：平面；
（II）求直线与平面所成角的正弦值．
（III）求二面角的正弦值．
13．（2021·全国高考真题）在四棱锥中，底面是正方形，若．
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（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
14．（2021·北京高考真题）已知正方体，点为中点，直线交平面于点．
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（1）证明：点为的中点；
（2）若点为棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．
15．（2021·全国高考真题（理））已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．
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（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小
16．（2021·全国高考真题（理））如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．【来源：21·世纪·教育·网】
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（1）求；
（2）求二面角的正弦值．
17．（2020·全国高考真题（理））如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．
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（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
18.（2021·全国高三专题练习）如图，在三棱柱中，四边形为矩形，且，平面平面，.
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（1）证明：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
19. （2021·全国高三专题练习）如图，在直三棱柱中，，，点 分别为 的中点，与底面所成的角为.
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（1）求异面直线与所成角的大小余弦值；
（2）求点与平面的距离.
20．（2022·全国高三专题练习）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.
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（1）求点到直线的距离；
（2）求直线到平面的距离.
21.（2021·全国高二专题练习 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．21cnjy.com
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（1）求异面直线BD1与CC1的距离；
（2）求直线BD1与平面BDE所成角的正弦值；
（3）求点F到平面BDE的距离．
22.（2021·北京市陈经纶中学高二月考）如图，四棱柱的侧棱平面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为，的中点．，．
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（1）证明：B，E，，F四点共面；
（2）求直线AE与平面所成角的正弦值；
（3）求到平面的距离．
23.（2021·北京八十中高二期中）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AC＝4，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC的中点．21世纪教育网版权所有
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(1)求证：AB⊥A1C；
(2)试求二面角D﹣CA1﹣A的余弦值；
(3)求点B1到平面A1CD的距离．
24．（2021·对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）高二月考）如图，在正四棱柱中，已知，，E F分别为 上的点，且.2-1-c-n-j-y
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（1） 求证：BE⊥平面ACF；
（2）求点E到平面ACF的距离；
（3）求二面角的余弦值.
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2
例3
例4
真题演练
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