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专题10双曲线
考点一：双曲线的定义
1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．
2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}．
3．焦点：两个定点F1，F2.
4．焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|.
考点二：双曲线标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
重难点技巧：
（1）,,表示双曲线；
（2）,,表示两条射线；
（3）,表示双曲线的一支；
（4）,表示一条射线.
题型一：双曲线的定义
例题1．（2021·全国高二课时练习）动点到点及点的距离之差为，则当和时，点的轨迹分别是（ ）
A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线
1．C
【详解】
由题意，知，当时，
，此时点的轨迹是双曲线的一支；
当时，，
点的轨迹为以为端点沿轴向右的一条射线．
故选：C.
举一反三：
【变式1】（2021·全国高二课时练习）已知动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的左支 D．双曲线的右支
【详解】
表示：
动点到两定点，的距离之差等于2，
而，由双曲线的定义，知动点的轨迹是双曲线的右支．故选：D
【变式2】（2020·红桥·天津三中）设分别是双曲线的左、右焦点，若点在双曲线上，且，则 （ ）
A．5 B．3 C．7 D．3或7
【详解】根据双曲线的定义，，
因为，所以或
故选：D
题型二：利用双曲线的定义求轨迹方程
例题2（2021·新疆乌鲁木齐市第70中（理））已知动圆M过定点，且和定圆相切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】设定圆的圆心为，半径为，
当两圆内切时，定圆在动圆M的内部，有；
当两圆外切时有，
故，
由双曲线的定义知，
点的轨迹是以为焦点的双曲线，
且，
所以，
故圆心的轨迹方程为.故选：A.
举一反三：
【变式1】（2021·湖南怀化·）已知动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】设动圆的半径为，又圆与圆的半径均为，
则由已知得，
所以.
又点，
则，所以，
根据双曲线的定义可知，点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支.
因为，
所以，
于是点的轨迹方程为.故选：B.
【变式2】（2020·南昌市铁路第一中学）已知点，，，动圆与直线切于点，分别过点且与圆相切的两条直线相交于点，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】如图所示，设两切线分别与圆切于点，，
则，，，
所以
，
所以点的轨迹是以，为焦点，以为实轴的双曲线的右支（不含右顶点），
则，，所以，
因此点的轨迹方程为.故选：A．
题型三：双曲线中的焦点三角形问题
例题3（2021·全国）已知双曲线：的左，右焦点分别为，，为双曲线上一点，，为坐标原点.若，则（ ）
A．10 B．1或9 C．1 D．9
【详解】由双曲线：得：，
由双曲线的定义知，，又，
∴或（舍去）.
又为双曲线上一点，，
∴为线段的中点，则.故选：D.
举一反三：
【变式1】（2021·全国高二课时练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，是双曲线上一点，且.若的面积为，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
解析设，.由，的面积为，
可得，∴①
由离心率为，可得，代入①式，可得.
故选：D.
【变式2】（2021·全国高二课时练习）已知双曲线的右焦点为，是双曲线的左支上一点，，则的周长的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】设双曲线的左焦点为，则．由题可知，，
∴，，，
∴，的周长为．
∵当，，三点共线时，最小，最小值为，
∴的周长的最小值为．
故选：A
题型四：双曲线的标准方程的求法
例题4（2021·全国高二课时练习）中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是（ ）
B． C． D．
【详解】
设双曲线方程为：，半焦距为.
在直线中，令，得，
∴等轴双曲线的一个焦点坐标为，∴，∴，
故选：A．
举一反三：
【变式1】（2021·江西会昌县第五中学高二开学考试（文））已知双曲线的顶点到渐近线的距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（ ）
B． C． D．
【详解】双曲线的顶点为，
渐近线方程为，，
由题意可得，即为，①
双曲线的焦点设为，，
由题意可得，②
由①②可得，，
则双曲线的方程为．
故选：B．
【变式2】（2021·内蒙古乌兰浩特一中高二期末（文））已知双曲线的焦点到顶点的距离为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
由题意得，解得，
所以双曲线的方程为．故选：B．
考点三：双曲线的性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
考点四：等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为.
考点无:直线与双曲线的位置关系
设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，②
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．
(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
Δ>0 直线与双曲线有两个公共点；
Δ＝0 直线与双曲线有一个公共点；
Δ<0 直线与双曲线有0个公共点．
题型五：双曲线的简单几何性质（焦点、焦距）
例题5（2021·全国高二课时练习）曲线与曲线的
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
【详解】曲线表示椭圆，焦距为，当时，曲线表示双曲线，焦距为，故两条曲线的焦距相等,故本题选C.
举一反三：
【变式1】（2021·重庆北碚·西南大学附中高二期末）下列关于双曲线：的判断，正确的是
A．渐近线方程为 B．焦点坐标为
C．实轴长为12 D．顶点坐标为
【详解】关于双曲线：，，，，
则渐近线方程为；焦点为；实轴，顶点坐标为．故选B．
【变式2】（2021·安徽省舒城中学高二期末（文））已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为、，在的左支上，轴，、关于原点对称，四边形的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】设，由于双曲线的离心率为，，则，
所以，双曲线的方程为，即，
将即代入双曲线的方程可得，，
由于、关于原点对称，、关于原点对称，则四边形是平行四边形，
四边形的面积，解得，.
故选：A.
题型六：双曲线的简单几何性质（顶点、实轴、虚轴）
例题6（2021·全国高二专题练习）若实数满足，则曲线与曲线的（ ）
A．离心率相等 B．虚半轴长相等 C．实半轴长相等 D．焦距相等
【详解】，则，，
双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为，
双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，
焦距为，离心率为，
因此，两双曲线的焦距相等，故选D.
举一反三：
【变式1】（2021·泉州鲤城北大培文学校高二期中）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为
B． C． D．
【详解】设C：－＝1．
∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立－＝1和x＝－4得A(－4，)，B(－4，－)，
∴|AB|＝2＝4，
∴a＝2，∴2a＝4．∴C的实轴长为4．
【变式2】2021·全国高二课时练习）已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为
A． B．
C． D．
【详解】
由题意可得：，
则实轴长为：，虚轴长为，
由题意有：，解得：，
代入可得双曲线方程为.本题选择D选项.
题型三七：等轴双曲线
例题7（2021·全国高二课时练习）等轴双曲线的一个焦点是，则其标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【详解】∵等轴双曲线的一个焦点为，∴，且a=b，
又，∴，即，
∴双曲线的标准方程为．故选：D
举一反三：
【变式1】（2021·嫩江市高级中学高二期末（理））若双曲线的右支上一点到直线的距离为，则的值为（ ）
B． C．或 D．2或
【详解】点在双曲线上，则有，即．
，∴，
又点在右支上，则有，
∴，
∴，，故选：B．
【变式2】（2021·全国）如图，设F1，F2分别为等轴双曲线x2－y2＝a2的左，右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于M，N两点，则cos∠MAN等于(　　)
A． B．－
C． D．－
【解析】等轴双曲线的两条渐近线方程为，所以，则，，
则；故选D.
题型八：双曲线的渐近线问题
例题8（2021·江西科技学院附属中学高二月考（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点M，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
如图，作于点于点B，因为与圆相切，
所以，
在中，，所以．
又点M在双曲线上，由双曲线的定义可得：
所以，
整理得：，所以，
所以双曲线的渐近线方程为．故选C．
举一反三：
【变式1】（2021·内蒙古乌兰浩特一中高二期末（文））已知双曲线的焦点到顶点的距离为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
由题意得，解得，
所以双曲线的方程为．故选：B．
【变式2】（2021·广东南海·石门高级中学）已知双曲线的左焦点，过点在且与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，为坐标原点，的面积为，则到双曲线渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为双曲线的左焦点，所以c=1，即.
设，代入，解得：，即，所以,
所以的面积为.
又有，解得：，.
所以渐近线方程：，
所以到双曲线渐近线的距离为.故选：D
题型九：双曲线的的离心率问题
例题9（2021·全国高二单元测试）直线l过双曲线的右焦点，斜率为2，若l与双曲线的两个交点分别在双曲线的左 右两支上，则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
双曲线中一条渐近线的斜率为，
若过焦点且斜率为2的直线，与双曲线的左右两支有交点，则，
即，即.故选：D
举一反三：
【变式1】（2021·全国）已知双曲线，过的左焦点且垂直于轴的直线交于，两点，若以为直径的圆经过的右焦点，则的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
解：设双曲线的左焦点为，右焦点为，
以为直径的圆恰好过双曲线的右焦点，，
，，
，
，
，，故选：A．
【变式2】（2021·全国高二课时练习）设，分别是双曲线的左、右焦点，过点，且与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
B． C． D．
【详解】设，，则，
又，则，即．
所以=
又的面积为，所以，即，
故双曲线的离心率为．故选:D．
题型十：双曲线的弦长、焦点弦问题
例题10（2021·汕头市达濠华侨中学）已知点是双曲线：（，）的左焦点，点是右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，若是锐角三角形，则双曲线的离心率的的取值范围是（ ）.
B． C． D．
解：双曲线关于轴对称，且直线垂直轴，
，
是锐角三角形，
是锐角，即有，
为左焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，
，
，
，即，
由，可得，
解得，
又因，所以
则双曲线的离心率的范围是．故选：A．
举一反三：
【变式1】（2021·富宁县第一中学高二月考（文））已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作与轴垂直的直线与双曲线的一个交点为，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．17．C
【详解】
，，
，
，
双曲线的渐近线方程为，故选：C.
【变式2】（2021·云南省玉溪第一中学（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与C相交于A，B两点，若四边形是矩形，则双曲线C的离心率（ ）
A． B． C． D．
解析显然直线与交于原点O，由双曲线对称性知，四边形是矩形，当且仅当|AB|=|F1F2|，
设点，而
由得，解得，
则，而|F1F2|=2c，，
所以化简得，即，，
解得，双曲线C的离心率e有.
故选：D
题型十一：双曲线中的定值、定点问题
例题11（2021·全国高二期中）已知双曲线过点，且离心率．
（1）求该双曲线的标准方程；
（2）如果，为双曲线上的动点，直线与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值．
【详解】（1）由题意，，，，
双曲线的方程为；
（2）设，，，，
设的方程为，代入双曲线方程，可得，
，
，，
，，
同理，．
．
故得证.
举一反三：
【变式1】（2021·福建省泉州第一中学）已知直线过双曲线：的右焦点，且直线交双曲线于A，B两点.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l交y轴于点 ，且，，当m变化时，探究的值是否为定值？若是，求出的值；否则，说明理由；
解：（1）由题知双曲线的交点在轴上，，
因为直线过双曲线：的右焦点，
所以，即，
所以，即.
所以双曲线C的方程.
（2）由题知，设，
，，
因为，，
所以，，
所以，，
所以直线与双曲线：联立方程得：，
所以，且，即，
所以，
所以
，
所以当变化时，探究的值是定值，为.
【变式2】（2021·全国）已知双曲线C的渐近线方程为，右焦点到渐近线的距离为.
（1）求双曲线C的方程；
（2）过F作斜率为k的直线交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于D，求证：为定值.
解析（1）设双曲线方程为
由题知
双曲线方程为：
（2）设直线l的方程为代入
整理得，设
所以：
由弦长公式得：
设AB的中点
则， 代入l得：
AB的垂直平分线方程为
令y=0得，即，所以：为定值.
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