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第一章 数与式（浙江省专用）
第2节 代数式及整式的运算
【考试要求】
1.理解用字母表示数的意义，会用代数式表示简单问题的数量关系，了解单项式、多项式及整式的相关概念.
2.理解整式的加减运算、乘除运算、去括号法则、乘法公式等常用的整式运算法则，能熟练运用于整式的运算.
3.了解因式分解的概念，学会用提公因式法和公式法对多项式进行因式分解.
4.理解配方法、换元法、待定系数法等重要的数学方法，能灵活用这些方法处理整式.
【考情预测】
以考查整式的加减、乘法、幂的运算、因式分解为主。也是考查重点，年年考查，是广大考生的得分点，分值为12分左右，预计2022年各地中考还将继续考查幂的运算性质、因式分解、整式的化简、代入求值，为避免丢分，学生应扎实掌握.
【考点梳理】
1.整式的概念及整式的加减
（2）单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也叫单项式．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
（2）多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数就是这个多项式的次数，不含字母的项叫做常数项．
（3）整式：单项式和多项式统称为整式．
（4）同类项以及合并同类项法则：多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．
2.整式的乘除
（1）幂的运算性质：
(1)同底数幂相乘：am·an＝am＋n(m，n都是整数，a≠0)．
(2)幂的乘方：(am)n＝amn(m，n都是整数，a≠0)．
(3)积的乘方：(ab)n＝an·bn(n是整数，a≠0，b≠0)．
(4)同底数幂相除：am÷an＝am－n(m，n都是整数，a≠0)．
（2）整式乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．
单项式乘多项式：m(a＋b)＝ma＋mb． 多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd．
（3）乘法公式：①平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2． ②完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2．
（4）整式除法：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
3.因式分解
（1）因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解．因式分解与整式的乘法是互逆变形．
（2）因式分解的基本方法：
①提取公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．
②公式法：运用平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2．
（3）因式分解的一般步骤：
①如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式．
②如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式法来分解；如果项数较多，要分组分解．
③分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式需写成幂的形式．
④意题中因式分解要求的范围，如在有理数范围内分解因式，x4－9＝(x2＋3)(x2－3)；在实数范围内分解因式，x4－9＝(x2＋3)(x＋)(x－)，题目不作说明的，一般是指在有理数范围内分解因式．
【重难点突破】
考向1. 代数式及相关问题
【典例精析】
【例】（2021·浙江金华市·中考真题）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（ ）
A．先打九五折，再打九五折 B．先提价，再打六折
C．先提价，再降价 D．先提价，再降价
【答案】B
【分析】设原件为x元，根据调价方案逐一计算后，比较大小判断即可．
【详解】设原件为x元，∵先打九五折，再打九五折，∴调价后的价格为0.95x×0.95=0.9025x元，
∵先提价，再打六折，∴调价后的价格为1.5x×0.6=0.90x元，
∵先提价，再降价，∴调价后的价格为1.3x×0.7=0.91x元，
∵先提价，再降价，∴调价后的价格为1.25x×0.75=0.9375x元，
∵0.90x＜0.9025x＜0.91x＜0.9375x 故选B
【点睛】本题考查了代数式，打折，有理数大小比较，准确列出符合题意的代数式，并能进行有理数大小的比较是解题的关键．
【变式训练】
变式1-1．（2021·浙江温州市·中考真题）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米元；超过部分每立方米元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】D
【分析】分两部分求水费，一部分是前面17立方米的水费，另一部分是剩下的3立方米的水费，最后相加即可．
【详解】解：∵20立方米中，前17立方米单价为a元，后面3立方米单价为（a+1.2）元，
∴应缴水费为17a+3（a+1.2）=20a+3.6（元），故选：D．
【点睛】本题考查的是阶梯水费的问题，解决本题的关键是理解其收费方式，能求出不同段的水费，本题较基础，重点考查了学生对该种计费方式的理解与计算方法等．
变式1-2．（2021·浙江台州市·中考真题）将x克含糖10的糖水与y克含糖30的糖水混合，混合后的糖水含糖（ ）
A．20 B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出两份糖水中糖的重量，再除以混合之后的糖水总重，即可求解．
【详解】解：混合之后糖的含量：，故选：D．
【点睛】本题考查列代数式，理解题意是解题的关键．
变式1-3．（2021·湖北宜昌市·中考真题）从前，古希腊一位庄园主把一块边长为米（）的正方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ）
A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定
【答案】C
【分析】分别求出2次的面积，比较大小即可．
【详解】原来的土地面积为平方米，第二年的面积为
所以面积变小了，故选C．
【点睛】本题考查了列代数式，整式的运算，平方差公式，代数式大小的比较，正确理解题意列出代数式并计算是解题的关键．
【考点巩固训练】
1．（2021·四川乐山市·中考真题）某种商品千克的售价为元，那么这种商品8千克的售价为（ ）
A．（元） B．（元） C．（元） D．（元）
【答案】A
【分析】先求出1千克售价，再计算8千克售价即可；
【详解】∵千克的售价为元，∴1千克商品售价为，
∴8千克商品的售价为（元）；故答案选A．
【点睛】本题主要考查了列代数式，准确分析列式是解题的关键．
2．（2021·重庆中考真题）某销售商五月份销售A、B、C三种饮料的数量之比为3：2：4，A、B、C三种饮料的单价之比为1：2：1．六月份该销售商加大了宣传力度，并根据季节对三种饮料的价格作了适当的调整，预计六月份三种饮料的销售总额将比五月份有所增加，A饮料增加的销售占六月份销售总额的，B、C饮料增加的销售额之比为2：1．六月份A饮料单价上调20%且A饮料的销售额与B饮料的销售额之比为2：3，则A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为_______．
【答案】
【分析】设销售A饮料的数量为3x，销售B种饮料的数量2x, 销售C种饮料的数量4x，A种饮料的单价y． B、C两种饮料的单价分别为2y、y．六月份A饮料单价上调20%，总销售额为m，可求A饮料销售额为3xy+，B饮料的销售额为，C饮料销售额：，可求，六月份A种预计的销售额，六月份预计的销售数量，A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比计算即可
【详解】解：某销售商五月份销售A、B、C三种饮料的数量之比为3：2：4，
设销售A饮料的数量为3x，销售B种饮料的数量2x, 销售C种饮料的数量4x，
A、B、C三种饮料的单价之比为1：2：1．,
设A种饮料的单价y． B、C两种饮料的单价分别为2y、y．
六月份A饮料单价上调20%后单价为（1+20%）y,总销售额为m，
A饮料增加的销售占六月份销售总额的，A饮料销售额为3xy+，
A饮料的销售额与B饮料的销售额之比为2：3，，B饮料的销售额为
B饮料的销售额增加部分为
∴C饮料增加的销售额为
∴C饮料销售额：
∴ ∴
六月份A种预计的销售额，六月份预计的销售数量
∴A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比故答案为
【点睛】本题考查销售问题应用题，用字母表示数，列代数式，整式的加减法，单项式除以单项式，掌握销售额=销售单价×销售数量是解题关键
3．（2020·湖南长沙市·中考真题）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A，B，C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成下列三个步骤：第一步，A同学拿出三张扑克牌给B同学；第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学；
第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学，
请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为___________________．
【答案】
【分析】把每个同学的扑克牌的数量用相应的字母表示出来，列式表示变化情况即可找出最后答案．
【详解】设每个同学的扑克牌的数量都是；
第一步，A同学的扑克牌的数量是，B同学的扑克牌的数量是；
第二步，B同学的扑克牌的数量是，C同学的扑克牌的数量是；
第三步，A同学的扑克牌的数量是2()，B同学的扑克牌的数量是()；
∴B同学手中剩余的扑克牌的数量是：()．故答案为：．
【点睛】本题考查了列代数式以及整式的加减，解决此题的关键根据题目中所给的数量关系，建立数学模型．根据运算提示，找出相应的等量关系．
4．（2020·吉林长春·中考真题）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买张成人票和张儿童票，则共需花费___________元．
【答案】
【分析】根据单价×数量=总价，用代数式表示结果即可．
【解析】解：根据单价×数量=总价得，共需花费元，故答案为：．
【点睛】本题考查代数式表示数量关系，理解和掌握单价×数量=总价是解题的关键，注意当代数式是多项式且后面带单位时，代数式要加括号．
5．（2021 杭州）某水果店销售50千克香蕉，第一天售价为9元/千克，第二天降价为6元/千克，第三天再降为3元/千克．三天全部售完，共计所得270元．若该店第二天销售香蕉t千克，则第三天销售香蕉　　千克．（用含t的代数式表示．）
【思路点拨】设第三天销售香蕉x千克，则第一天销售香蕉（50﹣t﹣x）千克，根据三天的销售额为270元列出方程，求出x即可．
【答案】解：设第三天销售香蕉x千克，则第一天销售香蕉（50﹣t﹣x）千克，
根据题意，得：9（50﹣t﹣x）+6t+3x＝270，则x＝＝30﹣，故答案为：30﹣．
【点睛】本题主要考查列代数式的能力，解题的关键是理解题意，抓住相等关系列出方程，从而表示出第三天销售香蕉的千克数．
考向2. 整式及其相关概念
【典例精析】
【例】（2020·四川绵阳·中考真题）若多项式是关于x，y的三次多项式，则_____．
【答案】0或8
【分析】直接利用多项式的次数确定方法得出答案．
【解析】解：多项式是关于，的三次多项式，
，，，，
或，或，或8．故答案为：0或8．
【点睛】本题主要考查了多项式，正确掌握多项式的次数确定方法是解题关键．
【变式训练】
变式2-1. （2021·浙江·中考模拟）单项式的次数是_____．
【答案】5.
【分析】根据单项式次数的意义即可得到答案.
【解析】单项式的次数是.故答案为5．
【点睛】本题考查单项式次数的意义，解题的关键是熟练掌握单项式次数的意义.
变式2-2. （2020·湖北荆州·）若单项式与是同类项，则的值是_________．
【答案】2
【分析】先根据同类项的定义求出m与n的值，再代入计算算术平方根即可得．
【解析】由同类项的定义得：解得则故答案为：2．
【点睛】本题考查了同类项的定义、算术平方根，熟记同类项的定义是解题关键．
变式2-3. （2021·杭州·中考模拟）下列各式中，与是同类项的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，进行判断即可．
【解析】解：A.与不是同类项，故本选项错误；B.3x3y2与不是同类项，故本选项错误；C.与是同类项，故本选项正确；D.与不是同类项，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是理解同类项的定义．
【考点巩固训练】
1．（2020·江苏苏州·中考真题）若单项式与单项式是同类项，则___________．
【答案】4
【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式是同类项.可列式子m-1=2,n+1=2,分别求出m,n的值，再代入求解即可.
【解析】解：∵单项式与单项式是同类项，∴m-1=2,n+1=2,
解得：m=3,n=1.∴m+n=3+1=4.故答案为：4.
【点睛】本题考查了同类项的概念，正确理解同类项的定义是解题的关键.
2．（2020·广东中考真题）若与是同类项，则___________．
【答案】3
【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，根据同类项的定义中相同字母的指数也相同，可求得m和n的值，根据合并同类项法则合并同类项即可．
【解析】解：由同类项的定义可知，m=2，n=1，∴m+n=3故答案为3．
【点睛】本题考查了同类项，解决本题的关键是判断两个项是不是同类项，只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同．
3.（2020·四川绵阳市·中考真题）若多项式是关于x，y的三次多项式，则_____．
【答案】0或8
【分析】直接利用多项式的次数确定方法得出答案．
【详解】解：多项式是关于，的三次多项式，
，，，，
或，或，或8．故答案为：0或8．
【点睛】本题主要考查了多项式，正确掌握多项式的次数确定方法是解题关键．
4．（2020·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）若单项式am﹣2bn＋7与单项式﹣3a4b4的和仍是一个单项式，则m﹣n＝_______．
【答案】9
【分析】直接利用合并同类项法则得出m，n的值，进而得出答案．
【详解】由题意知：单项式am﹣2bn＋7与单项式﹣3a4b4是同类项，∴m 2＝4，n＋7＝4，
解得：m＝6，n＝ 3，故m n＝6 （ 3）＝9．故填：9．
【点睛】此题主要考查了合并同类项，正确得出m，n的值是解题关键．
5．（2021·上海中考真题）下列单项式中，的同类项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】比较对应字母的指数,分别相等就是同类项
【详解】∵a的指数是3，b的指数是2，与中a的指数是2，b的指数是3不一致，
∴不是的同类项，不符合题意；
∵a的指数是2，b的指数是3，与中a的指数是2，b的指数是3一致，
∴是的同类项，符合题意；
∵a的指数是2，b的指数是1，与中a的指数是2，b的指数是3不一致，
∴不是的同类项，不符合题意；
∵a的指数是1，b的指数是3，与中a的指数是2，b的指数是3不一致，
∴不是的同类项，不符合题意；故选B
【点睛】本题考查了同类项，正确理解同类项的定义是解题的关键．
考向3. 幂的相关运算
【典例精析】
【例】（2021·浙江衢州市·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据幂的乘方，合并同类项，同底数的乘法，同底数幂的除法计算即可．
【详解】解：A、，故此选项错误；B、，故此选项错误；
C、，故此选项正确；D、，故此选项错误；故选：C．
【点睛】本题考查了幂的乘方、合并同类项、同底数的乘法、同底数幂的除法的计算法则，熟练掌握以上运算法则是解决本题的关键．
【变式训练】
变式3-1. （2021 台州）下列运算中，正确的是（　　）
A．a2+a＝a3 B．（﹣ab）2＝﹣ab2 C．a5÷a2＝a3 D．a5 a2＝a10
【分析】根据整式的加减运算法则以及乘法运算法则即可求出答案．
【详解】解：A、a2与a不是同类项，不能合并，故A不符合题意，
B、原式＝a2b2，故B不符合题意．C、原式＝a3，故C符合题意．
D、原式＝a7，故D不符合题意．故选：C．
变式3-2. （2021 丽水）计算（﹣a）2 a4的结果是（　　）
A．a6 B．﹣a6 C．a8 D．﹣a8
【分析】先化简为同底数幂的乘法，然后根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】解：原式＝a2 a4＝a6，故选：A．
变式3-3. （2021 宁波）计算a3 （﹣a）的结果是（　　）
A．a2 B．﹣a2 C．a4 D．﹣a4
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则求出答案．
【详解】解：a3 （﹣a）＝﹣a3 a＝﹣a4．故选：D．
【考点巩固训练】
1．（2021·陕西中考真题）计算：（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据积的乘方，幂的乘方以及负整数指数幂运算法则计算即可．
【详解】解：，故选：A．
【点睛】本题考查积的乘方，幂的乘方以及负整数指数幂等知识点，熟记相关定义与运算法则是解答本题的关键．
2．（2020 宁波）下列计算正确的是（　　）
A．a3 a2＝a6 B．（a3）2＝a5 C．a6÷a3＝a3 D．a2+a3＝a5
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简得出答案．
【详解】解：A、a3 a2＝a5，故此选项错误；B、（a3）2＝a6，故此选项错误；
C、a6÷a3＝a3，正确；D、a2+a3，不是同类项，不能合并，故此选项错误；故选：C．
3．（2020 衢州）计算（a2）3，正确结果是（　　）
A．a5 B．a6 C．a8 D．a9
【分析】根据幂的乘方法则进行计算即可．
【详解】解：由幂的乘方法则可知，（a2）3＝a2×3＝a6．故选：B．
5．（2020·河南中考真题）电子文件的大小常用等作为单位，其中，某视频文件的大小约为等于( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意及幂的运算法则即可求解．
【解析】依题意得=；故选A．
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知同底数幂的运算法则．
5．（2021·四川泸州市·中考真题）已知，，则的值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法，可求再整体代入即可．
【详解】解: ∵，，∴，
∴，∴．故选：C．
【点睛】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法逆运算，代数式求值，掌握幂的乘方，同底数幂的乘法法则，与代数式值求法是解题关键．
考向4. 整式混合运算（加减乘除）
【典例精析】
【例】（2021 金华）已知x，求（3x﹣1）2+（1+3x）（1﹣3x）的值．
【分析】根据完全平方公式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：（3x﹣1）2+（1+3x）（1﹣3x）＝9x2﹣6x+1+1﹣9x2＝﹣6x+2，
当x时，原式＝﹣62＝﹣1+2＝1．
【变式训练】
变式4-1. （2021 杭州）计算：2a+3a＝　 　．
【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变求解．
【详解】解：2a+3a＝5a，故答案为5a．
变式4-2. （2021 湖州）计算：x（x+2）+（1+x）（1﹣x）．
【分析】根据单项式乘多项式和平方差公式化简即可．
【详解】解：原式＝x2+2x+1﹣x2＝2x+1．
变式4-3. （2021 温州）（1）计算：4×（﹣3）+|﹣8|．（2）化简：（a﹣5）2a（2a+8）．
【分析】（1）运用实数的计算法则可以得到结果；
（2）结合完全平方公式，运用整式的运算法则可以得到结果．
【详解】解：(1)原式＝﹣12+8﹣3+1＝﹣6；
(2)原式＝a2﹣10a+25+a2+4a＝2a2﹣6a+25．
【考点巩固训练】
1．（2021 台州九年级期中）计算2a﹣3a，结果正确的是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣a D．a
【分析】根据合并同类项法则合并即可．
【详解】解：2a﹣3a＝﹣a，故选：C．
2．（2021·浙江台州市·中考模拟）计算，结果正确的是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣a D．a
【答案】C
【分析】根据合并同类项法则即可求解.
【详解】，故选：C．
【点睛】此题主要考查合并同类项，解题的关键是熟知合并同类项的方法.
3．（2020 温州）（1）计算：|﹣2|+（）0﹣（﹣1）．（2）化简：（x﹣1）2﹣x（x+7）．
【分析】（1）直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式运算法则计算得出答案．
【详解】解：（1）原式＝2﹣2+1+1＝2；
（2）（x﹣1）2﹣x（x+7）＝x2﹣2x+1﹣x2﹣7x＝﹣9x+1．
4．（2020 绍兴）（1）计算：4cos45°+（﹣1）2020．（2）化简：（x+y）2﹣x（x+2y）．
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式运算法则计算得出答案．
【详解】解：（1）原式＝241＝221＝1；
（2）（x+y）2﹣x（x+2y）＝x2+2xy+y2﹣x2﹣2xy＝y2．
5．（2019 宁波）先化简，再求值：（x﹣2）（x+2）﹣x（x﹣1），其中x＝3．
【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式的法则把原式化简，代入计算即可．
【详解】解：（x﹣2）（x+2）﹣x（x﹣1）＝x2﹣4﹣x2+x＝x﹣4，当x＝3时，原式＝x﹣4＝﹣1．
考向5. 代数式求值
【典例精析】
【例】（2021·江苏苏州市·中考真题）若，则的值为______．
【答案】3
【分析】根据，将式子进行变形，然后代入求出值即可．
【详解】∵ ，∴=3m(m+2n)+6n=3m+6n=3(m+2n)=3．故答案为：3．
【点睛】本题考查了代数式的求值，解题的关键是利用已知代数式求值．
【变式训练】
变式5-1. （2021 黄岩区期末）已知x2+3x+5的值是7，则式子﹣3x2﹣9x+2的值是（　　）
A．0 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣6
【思路点拨】首先根据x2+3x+5的值是7，求出x2+3x的值是多少；然后代入式子﹣3x2﹣9x+2，求出算式的值是多少即可．
【答案】解：∵x2+3x+5＝7，∴x2+3x＝7﹣5＝2，
∴﹣3x2﹣9x+2＝﹣3（x2+3x）+2＝﹣3×2+2＝﹣6+2＝﹣4故选：C．
【点睛】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．
变式5-2.（2021·黑龙江中考模拟）已知：ab=1，b=2a-1，求代数式的值．
【答案】-1.
【分析】根据ab=1，b=2a-1，可以求得b-2a的值，从而可以求得所求式子的值．
【解析】∵ab=1，b=2a-1，∴b-2a=-1，∴
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
变式5-3.（2020·浙江嘉兴市·中考真题）比较x2+1与2x的大小．
（1）尝试（用“＜”，“＝”或“＞”填空）：①当x＝1时，x2+1　 　2x；
②当x＝0时，x2+1　 　2x；③当x＝﹣2时，x2+1　 　2x．
（2）归纳：若x取任意实数，x2+1与2x有怎样的大小关系？试说明理由．
【答案】（1）①=；②>；③>；（2）x2+1≥2x，理由见解析
【分析】（1）根据代数式求值，可得代数式的值，根据有理数的大小比较，可得答案；
（2）根据完全平方公式，可得答案．
【详解】解：（1）①当x＝1时，x2+1＝2x；②当x＝0时，x2+1＞2x；
③当x＝﹣2时，x2+1＞2x．故答案为：＝；＞；＞．
（2）x2+1≥2x．证明：∵x2+1﹣2x＝（x﹣1）2≥0，∴x2+1≥2x．
【点睛】本题考查了求代数式的值，有理数的大小比较，两个整式大小比较及证明，公式法因式分解、不完全归纳法，解题关键是理解根据“A-B”的符号比较“A、B”的大小．
【考点巩固训练】
1．（2021·湖南常德市·中考模拟）若，则的值为_____．
【答案】4
【分析】把所求多项式进行变形，代入已知条件，即可得出答案．
【详解】∵，
∴；故答案为4．
【点睛】本题考查了因式分解的应用；把所求多项式进行灵活变形是解题的关键．
2．（2021·四川广安市·中考真题）若、满足，则代数式的值为______．
【答案】-6
【分析】根据方程组中x+2y和x-2y的值，将代数式利用平方差公式分解，再代入计算即可．
【详解】解：∵x-2y=-2，x+2y=3，∴x2-4y2=（x+2y）（x-2y）=3×（-2）=-6，故答案为：-6．
【点睛】本题主要考查方程组的解及代数式的求值，观察待求代数式的特点与方程组中两方程的联系是解题关键．
3．（2020·江苏泰州·中考真题）点在函数的图像上，则代数式的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把代入函数解析式得，化简得，化简所求代数式即可得到结果；
【解析】把代入函数解析式得：，化简得到：，
∴．故选：C．
【点睛】本题主要考查了通过函数解析式与已知点的坐标得到式子的值，求未知式子的值，准确化简式子是解题的关键．
4．（2020·湖南岳阳·中考真题）已知，则代数式的值为___________．
【答案】4
【分析】先根据整式的乘法去括号化简代数式，再将已知式子的值代入求值即可．
【解析】 将代入得：原式 故答案为：4．
【点睛】本题考查了代数式的化简求值，利用整式的乘法对代数式进行化简是解题关键．
5．（2020·山东临沂·中考真题）若，则________．
【答案】-1
【分析】将原式变形为，再将代入求值即可.
【解析】解：=
将代入，原式===1-2=-1故答案为：-1.
【点睛】本题考查了代数式求值，其中解题的关键是利用平方差公式将原式变形为.
考向6. 乘法公式及其运用
【典例精析】
【例】（2021·四川新都·中考模拟）已知（2019﹣a）2+（a﹣2017）2＝7，则代数式（2019﹣a）（a﹣2017）的值是_____．
【答案】
【分析】根据完全平方公式的变式：ab= 利用整体代入的思想求解即可.
【解析】解：∵（2019﹣a）2+（a﹣2017）2＝7，
∴（2019﹣a）（a﹣2017）＝{[（2019﹣a）+（a﹣2017）]2﹣[（2019﹣a）2+（a﹣2017）2]}＝，
故答案为：.
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握公式的变式是解题关键.
【变式训练】
变式6-1. （2021·福建石狮·中考模拟）若，，则的值是
A．1020 B．1998 C．2019 D．2040
【答案】A
【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
【解析】∵，
∴ ，，
两式相加得：，∴．故选A．
【点睛】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式．
变式6-2. （2020·湖南郴州市·中考真题）如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积得到空白部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．
【详解】第一个图形空白部分的面积是x2-1，第二个图形的面积是（x+1）（x-1）．
则x2-1=（x+1）（x-1）．故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示空白部分的面积是解决问题的关键．
变式6-3. （2020 杭州）设M＝x+y，N＝x﹣y，P＝xy．若M＝1，N＝2，则P＝　　．
【分析】根据完全平方公式得到（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4，两式相减即可求解．
【详解】解：法一：（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4，
两式相减得4xy＝﹣3，解得xy，则P．
【考点巩固训练】
1.（2020·宁夏中考真题）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为____．
【答案】27
【分析】根据题意得出a2+b2=15，（b-a）2=3，图2中大正方形的面积为：（a+b）2，然后利用完全平方公式的变形求出（a+b）2即可．
【解析】解：由题意可得在图1中：a2+b2=15，（b-a）2=3，图2中大正方形的面积为：（a+b）2，
∵（b-a）2=3a2-2ab+b2=3，∴15-2ab=32ab=12，
∴（a+b）2=a2+2ab+b2=15+12=27，故答案为：27．
【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方式的形式是解题关键．
2．（2020·山东枣庄中考真题）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得，正方形的边长为，故正方形的面积为。
又∵原矩形的面积为，∴中间空的部分的面积=。故选C。
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握公式的变式是解题关键.
3．（2021·浙江台州市·中考真题）已知（a＋b）2＝49，a2＋b2＝25，则ab＝（ ）
A．24 B．48 C．12 D．2
【答案】C
【分析】利用完全平方公式计算即可．
【详解】解：∵，，∴，故选：C．
【点睛】本题考查整体法求代数式的值，掌握完全平方公式是解题的关键．
4．（2020 杭州）（1+y）（1﹣y）＝（　　）
A．1+y2 B．﹣1﹣y2 C．1﹣y2 D．﹣1+y2
【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．
【详解】解：（1+y）（1﹣y）＝1﹣y2．故选：C．
5．（2020 衢州）定义a※b＝a（b+1），例如2※3＝2×（3+1）＝2×4＝8．则（x﹣1）※x的结果为　 ．
【分析】根据规定的运算，直接代值后再根据平方差公式计算即可．
【详解】解：根据题意得：（x﹣1）※x＝（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1．故答案为：x2﹣1．
考向7. 因式分解
【典例精析】
【例】（2021·浙江杭州市·中考真题）因式分解：（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：，故选：A．
【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
【变式训练】
变式7-1. （2021 台州）因式分解：xy﹣y2＝　 　．
【分析】原式提取公因式y，即可得到结果．
【详解】解：原式＝y（x﹣y）．故答案为：y（x﹣y）．
变式7-2. （2021 绍兴）分解因式：x2+2x+1＝　 ．
【分析】本题中没有公因式，总共三项，其中有两项能化为两个数的平方和，第三项正好为这两个数的积的2倍，直接运用完全平方公式进行因式分解．
【详解】解：x2+2x+1＝（x+1）2．故答案为：（x+1）2．
变式7-3. （2020 金华）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（　　）
A．a2+b2 B．2a﹣b2 C．a2﹣b2 D．﹣a2﹣b2
【分析】根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反进行分析即可．
【详解】解：A、a2+b2不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
B、2a﹣b2不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
C、a2﹣b2能运用平方差公式分解，故此选项正确；
D、﹣a2﹣b2不能运用平方差公式分解，故此选项错误；故选：C．
【考点巩固训练】
1．（2021 温州）分解因式：2m2﹣18＝　 　．
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：原式＝2（m2﹣9）＝2（m+3）（m﹣3）．故答案为：2（m+3）（m﹣3）．
2．（2021 丽水）分解因式：x2﹣4＝　 　．
【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．故答案为：（x+2）（x﹣2）．
3．（2021 宁波）分解因式：x2﹣3x＝　 　．
【分析】原式提取x即可得到结果．
【详解】解：原式＝x（x﹣3），故答案为：x（x﹣3）
4．（2020 宁波）分解因式：2a2﹣18＝　 　．
【分析】首先提取公因式2，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【详解】解：2a2﹣18＝2（a2﹣9）＝2（a+3）（a﹣3）．故答案为：2（a+3）（a﹣3）．
5．（2021·浙江衢州市·中考模拟）已知实数，满足，则代数式的值为_____.
【答案】3.
【分析】先利用平方差公式因式分解，再将m+n、m-n的值代入、计算即可得出答案.
【详解】∵，，∴.故答案为3.
【点睛】本题考查平方差公式，解题关键是根据平方差公式解答.
考向8. 探究规律问题
【典例精析】
【例】（2021·湖南怀化市·中考真题）观察等式：，，，……，已知按一定规律排列的一组数：，，，……，，若，用含的代数式表示这组数的和是___________．
【答案】
【分析】根据规律将，，，……，用含的代数式表示，再计算的和，即可计算的和．
【详解】由题意规律可得：．
∵ ∴，
∵，
∴．
．
．……
∴．故．
令 ②-①，得
∴=故答案为：．
【点睛】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键．
【变式训练】
变式8-1. （2021·浙江嘉兴市·中考真题）观察下列等式：，，，…按此规律，则第个等式为__________________．
【答案】．
【分析】第一个底数是从1开始连续的自然数的平方，减去从0开始连续的自然数的平方，与从1开始连续的奇数相同，由此规律得出答案即可．
【详解】解：∵，，，…∴第个等式为：
故答案是：．
【点睛】本题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的关键．
变式8-2. （2020·山东日照市·中考真题）用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第10个图案中共有圆点的个数是（　　）
A．59 B．65 C．70 D．71
【答案】C
【分析】由题意观察图形可知，第1个图形共有圆点5+2个；第2个图形共有圆点5+2+3个；第3个图形共有圆点5+2+3+4个；第4个图形共有圆点5+2+3+4+5个；…；则第n个图形共有圆点5+2+3+4+…+n+（n+1）个；由此代入n=10求得答案即可．
【详解】解：根据图中圆点排列，当n＝1时，圆点个数5+2；当n＝2时，圆点个数5+2+3；
当n＝3时，圆点个数5+2+3+4；当n＝4时，圆点个数5+2+3+4+5，…
∴当n＝10时，圆点个数5+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11＝4+（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11）
＝．故选：C．
【点睛】本题考查图形的变化规律，注意找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论，利用规律解决问题．
变式8-3. （2021·江苏扬州市·中考真题）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．
【答案】1275
【分析】首先得到前n个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n个图形中的黑色圆点的个数为，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可．
【详解】解：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1，
第②个图形中的黑色圆点的个数为：=3，第③个图形中的黑色圆点的个数为：=6，
第④个图形中的黑色圆点的个数为：=10，...第n个图形中的黑色圆点的个数为，
则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，...，
其中每3个数中，都有2个能被3整除，33÷2=16...1，16×3+2=50，
则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即=1275，故答案为：1275．
【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．
【考点巩固训练】
1．（2020·湖南中考真题）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（　　）
A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F
【答案】D
【分析】设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），然后根据题目中所给的第k次依次移动k个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．
【详解】设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，
因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），应停在第k（k+1）﹣7p格，
这时P是整数，且使0≤k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，
k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，
若7＜k≤2020，设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得，k（k+1）﹣7p＝7m+t（t+1），
由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，
故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．故选：D．
【点睛】本题考查的是探索图形、数字变化规律，从图形中提取信息，转化为数字信息，探索数字变化规律是解答的关键.
2．（2020·湖北咸宁市·中考真题）按一定规律排列的一列数：3，，，，，，，，…，若a，b，c表示这列数中的连续三个数，猜想a，b，c满足的关系式是__________．
【答案】bc=a
【分析】根据题目中的数字，可以发现相邻的数字之间的关系，从而可以得到a，b，c之间满足的关系式．
【详解】解：∵一列数：3，，，，，，，，…，
可发现：第n个数等于前面两个数的商，
∵a，b，c表示这列数中的连续三个数，∴bc=a，故答案为：bc=a．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出a，b，c之间的关系式．
3．（2020·山东泰安市·中考真题）右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，……，第个数记为，则_________．
【答案】20110
【分析】根据所给数据可得到关系式，代入即可求值．
【详解】由已知数据1，3，6，10，15，……，可得，
∴，，
∴．故答案为20110．
【点睛】本题主要考查了数字规律题的知识点，找出关系式是解题的关键．
4．（2020·四川遂宁市·中考真题）如图所示，将形状大小完全相同的“ ”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“ ”的个数为a1，第2幅图中“ ”的个数为a2，第3幅图中“ ”的个数为a3，…，以此类推，若+++…+＝．（n为正整数），则n的值为_____．
【答案】4039
【分析】先根据已知图形得出an＝n（n+1），代入到方程中，再将左边利用裂项化简，解分式方程可得答案．
【详解】解：由图形知a1＝1×2，a2＝2×3，a3＝3×4，∴an＝n（n+1），
∵+++…+＝，∴+++…+=，
∴2×（1﹣+﹣+﹣+……+﹣）=，
∴2×（1﹣）＝，1﹣＝，解得n＝4039，
经检验：n＝4039是分式方程的解．故答案为：4039．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据已知图形得出an＝n（n+1）及是解题的关键.
5．（2020·云南中考真题）按一定规律排列的单项式：，，，，，，…，第个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先分析前面所给出的单项式，从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，发现规律进行概括即可得到答案．
【解析】解： ，，，，，，…，
可记为：
第项为： 故选A．
【点睛】本题考查了单项式的知识，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键．
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第一章 数与式（浙江省专用）
第2节 代数式及整式的运算
【考场演练】
一、选择题
1．（2021·湖北十堰市·中考真题）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据同底数幂相乘、积的乘方、乘法公式逐一判断即可．
【详解】解：A．，该项计算错误；B．，该项计算正确；
C．，该项计算错误；D．，该项计算错误；故选：B．
【点睛】本题考查整式乘法，掌握同底数幂相乘、积的乘方、乘法公式是解题的关键．
2．（2020·河北中考真题）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义进行判断即可；
【解析】①左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解；②左边整式乘积，右边多项式，属于整式乘法；故答案选C．
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义理解，准确理解因式分解的定义是解题的关键．
3．（2020·柳州市柳林中学中考真题）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（　　）
A．a2﹣b2 B．﹣a2﹣b2 C．a2+b2 D．a2+2ab+b2
【答案】A
【分析】根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、a2﹣b2符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；
B、﹣a2﹣b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
C、a2+b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
D、a2+2ab+b2是三项，不能用平方差公式进行因式分解．故选：A．
【点睛】本题考查了用平方差公式进行因式分解．熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．平方差公式：．
4．（2021·山东临沂市·中考真题）实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．下图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32mg镭缩减为1mg所用的时间大约是（ ）
A．4860年 B．6480年 C．8100年 D．9720年
【答案】C
【分析】根据物质所剩的质量与时间的规律，可得答案．
【详解】解：由图可知：1620年时，镭质量缩减为原来的，
再经过1620年，即当3240年时，镭质量缩减为原来的，
再经过1620×2=3240年，即当4860年时，镭质量缩减为原来的，...，
∴再经过1620×4=6480年，即当8100年时，镭质量缩减为原来的，此时mg，
故选C．
【点睛】本题考查了函数图象，规律型问题，利用函数图象的意义是解题关键．
5．（2021·甘肃武威市·中考真题）对于任意的有理数，如果满足，那么我们称这一对数为“相随数对”，记为．若是“相随数对”，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】先根据新定义，可得9m+4n=0，将整式去括号合并同类项化简得，然后整体代入计算即可．
【详解】解：∵是“相随数对”，∴，整理得9m+4n=0，
．故选择A．
【点睛】本题考查新定义相随数对，找出数对之间关系，整式加减计算求值，掌握新定义相随数对，找出数对之间关系，整式加减计算求值是解题关键．
6．（2020·四川眉山市·中考真题）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据，变形可得：，因此可求出，，把和代入即可求解．
【详解】∵∴
即，∴求得：，
∴把和代入得：故选：A
【点睛】本题主要考查了完全平方公式因式分解，熟记完全平方公式，通过移项对已知条件进行配方是解题的关键．
7．（2020·湖南娄底市·中考真题）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（ ）
A．135 B．153 C．170 D．189
【答案】C
【分析】由观察发现每个正方形内有：可求解，从而得到，再利用之间的关系求解即可．
【详解】解：由观察分析：每个正方形内有：
由观察发现：
又每个正方形内有：
故选C．
【点睛】本题考查的是数字类的规律题，掌握由观察，发现，总结，再利用规律是解题的关键．
8．（2021·广西柳州市·中考模拟）定义：形如的数称为复数（其中和为实数，为虚数单位，规定），称为复数的实部，称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．例如，因此，的实部是﹣8，虚部是6．已知复数的虚部是12，则实部是（　　）
A．﹣6 B．6 C．5 D．﹣5
【答案】C
【分析】先利用完全平方公式得出（3-mi）2=9-6mi+m2i2，再根据新定义得出复数（3-mi）2的实部是9-m2，虚部是-6m，由（3-mi）2的虚部是12得出m=-2，代入9-m2计算即可．
【详解】解：∵
∴复数的实部是，虚部是，∴，∴，
∴．故选C．
【点睛】本题考查了新定义，完全平方公式，理解新定义是解题的关键．
9.（2020·山东潍坊市·中考真题）若，则的值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】把所求代数式变形为，然后把条件整体代入求值即可．
【详解】∵，∴==4×1-3=1．故选：D．
【点睛】此题主要考查了代数式求值以及“整体代入”思想，解题的关键是把代数式变形为．
10．（2020·山东济宁·中考真题）小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案(如图所示),每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字,寓意“不忘初心”.其中第(1)个图案中有1个正方体,第(2)个图案中有3个正方体,第(3)个图案中有6个正方体，……按照此规律，从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据图形规律可得第n个图形共有1+2+3+4+...+n=个正方体，最下面有n个带“心”字正方体，从而得出第100个图形的情况，再利用概率公式计算即可．
【解析】解：由图可知：第1个图形共有1个正方体，最下面有1个带“心”字正方体；
第2个图形共有1+2=3个正方体，最下面有2个带“心”字正方体；
第3个图形共有1+2+3=6个正方体，最下面有3个带“心”字正方体；
第4个图形共有1+2+3+4=10个正方体，最下面有4个带“心”字正方体；...
第n个图形共有1+2+3+4+...+n=个正方体，最下面有n个带“心”字正方体；
则：第100个图形共有1+2+3+4+...+100==5050个正方体，最下面有100个带“心”字正方体；∴从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率，故选：D．
【点睛】本题考查了图形变化规律，概率的求法，解题的关键是总结规律，得到第100个图形中总正方体的个数以及带“心”字正方体个数．
二、填空题
11．（2021·内蒙古包头·初三二模）若m﹣＝3，则m2+＝_____．
【答案】11
【分析】根据完全平方公式，把已知式子变形，然后整体代入求值计算即可得出答案．
【解析】解：∵＝m2﹣2+＝9，∴m2+＝11，故答案为11．
【点睛】此题主要考查完全平方公式的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的变形.
12．（2021·四川达州市·中考真题）已知，满足等式，则___________．
【答案】-3
【分析】先将原式变形，求出a、b，再根据同底数幂的乘法、积的乘方的逆运算即可求解．
【详解】解：由，变形得，
∴，∴，
∴．故答案为：-3
【点睛】本题考查了完全平方公式，平方、算术平方根的非负性，同底数幂的乘法、积的乘方的逆用等知识，根据题意求出a、b的值，熟知同底数幂的乘法、积的乘方是解题关键．
13．（2021·陕西中考真题）分解因式：______．
【答案】
【分析】题目中每项都含有x，提取公因式x；先提取公因式，再用完全平方公式即可得出答案．
【详解】故答案为．
【点睛】本题考查了整式的因式分解，提公因式法和公式法，熟练掌握提公因式法分解因式、完全平方公式法分解因式是解题关键．
14．（2020·湖北荆州市·中考真题）若单项式与是同类项，则的值是_________．
【答案】2
【分析】先根据同类项的定义求出m与n的值，再代入计算算术平方根即可得．
【详解】由同类项的定义得：解得
则故答案为：2．
【点睛】本题考查了同类项的定义、算术平方根，熟记同类项的定义是解题关键．
15．（2020·云南昆明·中考真题）观察下列一组数：﹣，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是_____．
【答案】
【分析】观察已知一组数，发现规律进而可得这一组数的第n个数．
【解析】解：观察下列一组数：﹣＝﹣，＝，﹣＝﹣＝，
﹣＝﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是：（﹣1）n ，
故答案为：．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．
16．（2019·浙江绍兴市·中考真题）我国的《洛书》中记载着世界最古老的一个幻方：将1～9这九个数字填入的方格中，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等，如图的幻方中，字母所表示的数是______.
【答案】4
【分析】根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”解答即可．
【详解】根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”，可知三行、三列、两对角线上的三个数之和都等于15，∴第一列第三个数为：15-2-5=8，∴m=15-8-3=4．故答案为4
【点睛】本题考查数的特点，抓住每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，数的对称性是解题的关键．
三、解答题
17．（2020 嘉兴）（1）计算：（2020）0|﹣3|；
（2）化简：（a+2）（a﹣2）﹣a（a+1）．
【分析】（1）直接利用零指数幂的性质和二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用平方差公式以及单项式乘以多项式计算得出答案．
【详解】解：（1）（2020）0|﹣3|＝1﹣2+3＝2；
（2）（a+2）（a﹣2）﹣a（a+1）＝a2﹣4﹣a2﹣a＝﹣4﹣a．
18．（2021 宁波）（1）计算：（1+a）（1﹣a）+（a+3）2．（2）解不等式组：．
【分析】(1)直接利用乘法公式化简，再合并同类项得出答案；
（2）分别解不等式，进而得出不等式组的解集．
【详解】解：（1）原式＝1﹣a2+a2+6a+9＝6a+10；
(2),解①得：x＜4,解②得：x≥3,∴原不等式组的解集是：3≤x＜4．
19．（2020·湖北荆门·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】；．
【分析】利用完全平方公式将原式化简，然后再代入计算即可．
【解析】原式
当时，原式 。
【点睛】本题考查的是整式的混合运算，完全平方公式的应用和二次根式的运算，掌握相关的性质和运算法则是解题的关键．
20．（2020·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，9
【分析】根据整式的混合运算顺序进行化简，再代入值求解即可．
【解析】解：原式，当时，原式．
【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，解决本题的关键是先进行整式的化简，再代入值求解．
21．（2020·黑龙江大庆·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，5．
【分析】先根据整式的乘法、完全平方公式去括号，再计算整式的加减法，然后将x的值代入求值即可．
【解析】原式
将代入得：原式．
【点睛】本题考查了整式的乘法与加减法、完全平方公式、实数的混合运算，熟记各运算法则是解题关键．
22．（2021浙江义乌·中考模拟）如图1，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形．
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1和S2；（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．
【答案】解：（1）.
（2）.
【解析】解：（1）∵大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ∴．
S2=（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b）；
（2）根据题意得： （a+b）（a-b）= ．
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第一章 数与式（浙江省专用）
第2节 代数式及整式的运算
【考场演练】
一、选择题
1．（2021·湖北十堰市·中考真题）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2020·河北中考真题）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
3．（2020·柳州市柳林中学中考真题）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（　　）
A．a2﹣b2 B．﹣a2﹣b2 C．a2+b2 D．a2+2ab+b2
4．（2021·山东临沂市·中考真题）实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．下图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32mg镭缩减为1mg所用的时间大约是（ ）
A．4860年 B．6480年 C．8100年 D．9720年
5．（2021·甘肃武威市·中考真题）对于任意的有理数，如果满足，那么我们称这一对数为“相随数对”，记为．若是“相随数对”，则（ ）
A． B． C．2 D．3
6．（2020·四川眉山市·中考真题）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·湖南娄底市·中考真题）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（ ）
A．135 B．153 C．170 D．189
8．（2021·广西柳州市·中考模拟）定义：形如的数称为复数（其中和为实数，为虚数单位，规定），称为复数的实部，称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．例如，因此，的实部是﹣8，虚部是6．已知复数的虚部是12，则实部是（　　）
A．﹣6 B．6 C．5 D．﹣5
9.（2020·山东潍坊市·中考真题）若，则的值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．（2020·山东济宁·中考真题）小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案(如图所示),每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字,寓意“不忘初心”.其中第(1)个图案中有1个正方体,第(2)个图案中有3个正方体,第(3)个图案中有6个正方体，……按照此规律，从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021·内蒙古包头·初三二模）若m﹣＝3，则m2+＝_____．
12．（2021·四川达州市·中考真题）已知，满足等式，则___________．
13．（2021·陕西中考真题）分解因式：______．
14．（2020·湖北荆州市·中考真题）若单项式与是同类项，则的值是_________．
15．（2020·云南昆明·中考真题）观察下列一组数：﹣，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是_____．
16．（2019·浙江绍兴市·中考真题）我国的《洛书》中记载着世界最古老的一个幻方：将1～9这九个数字填入的方格中，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等，如图的幻方中，字母所表示的数是______.
三、解答题
17．（2020 嘉兴）（1）计算：（2020）0|﹣3|；（2）化简：（a+2）（a﹣2）﹣a（a+1）．
18．（2021 宁波）（1）计算：（1+a）（1﹣a）+（a+3）2．（2）解不等式组：．
19．（2020·湖北荆门·中考真题）先化简，再求值：，其中．
20．（2020·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：，其中．
21．（2020·黑龙江大庆·中考真题）先化简，再求值：，其中．
22．（2021浙江义乌·中考模拟）如图1，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形．
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1和S2；（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．
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第一章 数与式（浙江省专用）
第2节 代数式及整式的运算
【考试要求】
1.理解用字母表示数的意义，会用代数式表示简单问题的数量关系，了解单项式、多项式及整式的相关概念.
2.理解整式的加减运算、乘除运算、去括号法则、乘法公式等常用的整式运算法则，能熟练运用于整式的运算.
3.了解因式分解的概念，学会用提公因式法和公式法对多项式进行因式分解.
4.理解配方法、换元法、待定系数法等重要的数学方法，能灵活用这些方法处理整式.
【考情预测】
以考查整式的加减、乘法、幂的运算、因式分解为主。也是考查重点，年年考查，是广大考生的得分点，分值为12分左右，预计2022年各地中考还将继续考查幂的运算性质、因式分解、整式的化简、代入求值，为避免丢分，学生应扎实掌握.
【考点梳理】
1.整式的概念及整式的加减
（2）单项式：由 或 相乘组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也叫单项式．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的 ，单项式中的数字因数叫做这个单项式的 ．
（2）多项式：由几个 组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数就是这个多项式的 ，不含字母的项叫做 ．
（3）整式： ．
（4）同类项以及合并同类项法则：多项式中，所含 相同，并且 也相同的项，叫做同类项．合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．
2.整式的乘除
（1）幂的运算性质：
(1)同底数幂相乘：am·an＝ (m，n都是整数，a≠0)．
(2)幂的乘方：(am)n＝ (m，n都是整数，a≠0)．
(3)积的乘方：(ab)n＝ (n是整数，a≠0，b≠0)．
(4)同底数幂相除：am÷an＝ (m，n都是整数，a≠0)．
（2）整式乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．
单项式乘多项式：m(a＋b)＝ ． 多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝ ．
（3）乘法公式：①平方差公式：(a＋b)(a－b)＝ ． ②完全平方公式：(a±b)2＝ ．
（4）整式除法：单项式相除，把系数、同底数幂分别 ，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式，先把这个多项式的 除以这个单项式，再把所得的商相加．
3.因式分解
（1）因式分解的概念：把一个多项式化成几个 的形式，叫做因式分解．因式分解与 是互逆变形．
（2）因式分解的基本方法：
①提取公因式法：ma＋mb＋mc＝ ．
②公式法：运用平方差公式：a2－b2＝ ．运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝ ．
（3）因式分解的一般步骤：
①如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式．
②如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式法来分解；如果项数较多，要分组分解．
③分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式需写成幂的形式．
④意题中因式分解要求的范围，如在有理数范围内分解因式，x4－9＝(x2＋3)(x2－3)；在实数范围内分解因式，x4－9＝(x2＋3)(x＋)(x－)，题目不作说明的，一般是指在有理数范围内分解因式．
【重难点突破】
考向1. 代数式及相关问题
【典例精析】
【例】（2021·浙江金华市·中考真题）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（ ）
A．先打九五折，再打九五折 B．先提价，再打六折
C．先提价，再降价 D．先提价，再降价
【变式训练】
变式1-1．（2021·浙江温州市·中考真题）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米元；超过部分每立方米元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
变式1-2．（2021·浙江台州市·中考真题）将x克含糖10的糖水与y克含糖30的糖水混合，混合后的糖水含糖（ ）
A．20 B． C． D．
变式1-3．（2021·湖北宜昌市·中考真题）从前，古希腊一位庄园主把一块边长为米（）的正方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ）
A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定
【考点巩固训练】
1．（2021·四川乐山市·中考真题）某种商品千克的售价为元，那么这种商品8千克的售价为（ ）
A．（元） B．（元） C．（元） D．（元）
2．（2021·重庆中考真题）某销售商五月份销售A、B、C三种饮料的数量之比为3：2：4，A、B、C三种饮料的单价之比为1：2：1．六月份该销售商加大了宣传力度，并根据季节对三种饮料的价格作了适当的调整，预计六月份三种饮料的销售总额将比五月份有所增加，A饮料增加的销售占六月份销售总额的，B、C饮料增加的销售额之比为2：1．六月份A饮料单价上调20%且A饮料的销售额与B饮料的销售额之比为2：3，则A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为_______．
3．（2020·湖南长沙市·中考真题）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A，B，C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成下列三个步骤：第一步，A同学拿出三张扑克牌给B同学；第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学；
第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学，
请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为___________________．
4．（2020·吉林长春·中考真题）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买张成人票和张儿童票，则共需花费___________元．
5．（2021 杭州）某水果店销售50千克香蕉，第一天售价为9元/千克，第二天降价为6元/千克，第三天再降为3元/千克．三天全部售完，共计所得270元．若该店第二天销售香蕉t千克，则第三天销售香蕉　　千克．（用含t的代数式表示．）
考向2. 整式及其相关概念
【典例精析】
【例】（2020·四川绵阳·中考真题）若多项式是关于x，y的三次多项式，则_____．
【变式训练】
变式2-1. （2021·浙江·中考模拟）单项式的次数是_____．
变式2-2. （2020·湖北荆州·）若单项式与是同类项，则的值是_________．
变式2-3. （2021·杭州·中考模拟）下列各式中，与是同类项的是（　　）
A． B． C． D．
【考点巩固训练】
1．（2020·江苏苏州·中考真题）若单项式与单项式是同类项，则___________．
2．（2020·广东中考真题）若与是同类项，则___________．
3.（2020·四川绵阳市·中考真题）若多项式是关于x，y的三次多项式，则_____．
4．（2020·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）若单项式am﹣2bn＋7与单项式﹣3a4b4的和仍是一个单项式，则m﹣n＝_______．
5．（2021·上海中考真题）下列单项式中，的同类项是（ ）
A． B． C． D．
考向3. 幂的相关运算
【典例精析】
【例】（2021·浙江衢州市·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
变式3-1. （2021 台州）下列运算中，正确的是（　　）
A．a2+a＝a3 B．（﹣ab）2＝﹣ab2 C．a5÷a2＝a3 D．a5 a2＝a10
变式3-2. （2021 丽水）计算（﹣a）2 a4的结果是（　　）
A．a6 B．﹣a6 C．a8 D．﹣a8
变式3-3. （2021 宁波）计算a3 （﹣a）的结果是（　　）
A．a2 B．﹣a2 C．a4 D．﹣a4
【考点巩固训练】
1．（2021·陕西中考真题）计算：（ ）
A． B． C． D．
2．（2020 宁波）下列计算正确的是（　　）
A．a3 a2＝a6 B．（a3）2＝a5 C．a6÷a3＝a3 D．a2+a3＝a5
3．（2020 衢州）计算（a2）3，正确结果是（　　）
A．a5 B．a6 C．a8 D．a9
4．（2020·河南中考真题）电子文件的大小常用等作为单位，其中，某视频文件的大小约为等于( )
A． B． C． D．
5．（2021·四川泸州市·中考真题）已知，，则的值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
考向4. 整式混合运算（加减乘除）
【典例精析】
【例】（2021 金华）已知x，求（3x﹣1）2+（1+3x）（1﹣3x）的值．
【变式训练】
变式4-1. （2021 杭州）计算：2a+3a＝　 　．
变式4-2. （2021 湖州）计算：x（x+2）+（1+x）（1﹣x）．
变式4-3. （2021 温州）（1）计算：4×（﹣3）+|﹣8|．（2）化简：（a﹣5）2a（2a+8）．
【考点巩固训练】
1．（2021 台州九年级期中）计算2a﹣3a，结果正确的是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣a D．a
2．（2021·浙江台州市·中考模拟）计算，结果正确的是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣a D．a
3．（2020 温州）（1）计算：|﹣2|+（）0﹣（﹣1）．（2）化简：（x﹣1）2﹣x（x+7）．
4．（2020 绍兴）（1）计算：4cos45°+（﹣1）2020．（2）化简：（x+y）2﹣x（x+2y）．
5．（2019 宁波）先化简，再求值：（x﹣2）（x+2）﹣x（x﹣1），其中x＝3．
考向5. 代数式求值
【典例精析】
【例】（2021·江苏苏州市·中考真题）若，则的值为______．
【变式训练】
变式5-1. （2021 黄岩区期末）已知x2+3x+5的值是7，则式子﹣3x2﹣9x+2的值是（　　）
A．0 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣6
变式5-2.（2021·黑龙江中考模拟）已知：ab=1，b=2a-1，求代数式的值．
变式5-3.（2020·浙江嘉兴市·中考真题）比较x2+1与2x的大小．
（1）尝试（用“＜”，“＝”或“＞”填空）：①当x＝1时，x2+1　 　2x；
②当x＝0时，x2+1　 　2x；③当x＝﹣2时，x2+1　 　2x．
（2）归纳：若x取任意实数，x2+1与2x有怎样的大小关系？试说明理由．
【考点巩固训练】
1．（2021·湖南常德市·中考模拟）若，则的值为_____．
2．（2021·四川广安市·中考真题）若、满足，则代数式的值为______．
3．（2020·江苏泰州·中考真题）点在函数的图像上，则代数式的值等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·湖南岳阳·中考真题）已知，则代数式的值为___________．
5．（2020·山东临沂·中考真题）若，则________．
考向6. 乘法公式及其运用
【典例精析】
【例】（2021·四川新都·中考模拟）已知（2019﹣a）2+（a﹣2017）2＝7，则代数式（2019﹣a）（a﹣2017）的值是_____．
【变式训练】
变式6-1. （2021·福建石狮·中考模拟）若，，则的值是
A．1020 B．1998 C．2019 D．2040
变式6-2. （2020·湖南郴州市·中考真题）如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A．B．C． D．
变式6-3. （2020 杭州）设M＝x+y，N＝x﹣y，P＝xy．若M＝1，N＝2，则P＝　　．
【考点巩固训练】
1.（2020·宁夏中考真题）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为____．
2．（2020·山东枣庄中考真题）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是
A. B. C. D.
3．（2021·浙江台州市·中考真题）已知（a＋b）2＝49，a2＋b2＝25，则ab＝（ ）
A．24 B．48 C．12 D．2
4．（2020 杭州）（1+y）（1﹣y）＝（　　）
A．1+y2 B．﹣1﹣y2 C．1﹣y2 D．﹣1+y2
5．（2020 衢州）定义a※b＝a（b+1），例如2※3＝2×（3+1）＝2×4＝8．则（x﹣1）※x的结果为　 ．
考向7. 因式分解
【典例精析】
【例】（2021·浙江杭州市·中考真题）因式分解：（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
变式7-1. （2021 台州）因式分解：xy﹣y2＝　 　．
变式7-2. （2021 绍兴）分解因式：x2+2x+1＝　 ．
变式7-3. （2020 金华）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（　　）
A．a2+b2 B．2a﹣b2 C．a2﹣b2 D．﹣a2﹣b2
【考点巩固训练】
1．（2021 温州）分解因式：2m2﹣18＝　 　．
2．（2021 丽水）分解因式：x2﹣4＝　 　．
3．（2021 宁波）分解因式：x2﹣3x＝　 　．
4．（2020 宁波）分解因式：2a2﹣18＝　 　．
5．（2021·浙江衢州市·中考模拟）已知实数，满足，则代数式的值为_____.
考向8. 探究规律问题
【典例精析】
【例】（2021·湖南怀化市·中考真题）观察等式：，，，……，已知按一定规律排列的一组数：，，，……，，若，用含的代数式表示这组数的和是___________．
【变式训练】
变式8-1. （2021·浙江嘉兴市·中考真题）观察下列等式：，，，…按此规律，则第个等式为__________________．
变式8-2. （2020·山东日照市·中考真题）用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第10个图案中共有圆点的个数是（　　）
A．59 B．65 C．70 D．71
变式8-3. （2021·江苏扬州市·中考真题）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．
【考点巩固训练】
1．（2020·湖南中考真题）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（　　）
A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F
2．（2020·湖北咸宁市·中考真题）按一定规律排列的一列数：3，，，，，，，，…，若a，b，c表示这列数中的连续三个数，猜想a，b，c满足的关系式是__________．
3．（2020·山东泰安市·中考真题）右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，……，第个数记为，则_________．
4．（2020·四川遂宁市·中考真题）如图所示，将形状大小完全相同的“ ”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“ ”的个数为a1，第2幅图中“ ”的个数为a2，第3幅图中“ ”的个数为a3，…，以此类推，若+++…+＝．（n为正整数），则n的值为_____．
5．（2020·云南中考真题）按一定规律排列的单项式：，，，，，，…，第个单项式是（ ）
A． B． C． D．
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