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函数专题——函数定义域的求法
类型一：具体函数的定义域求法
给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组,解此不等式(或组)即得原函数的定义域。
例题1．函数的定义域为（ ）
A． B．且
C．且 D．
例题2．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
变式训练1．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
变式训练2．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
变式训练3．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
类型二：抽象函数的定义域求法
在同一道题目中，用同一个函数符号表示的，就证明是同一个函数。同一个函数，括号里的整体的取值范围就一样。
例题1．函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
例题2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
变式训练1．已知函数的定义域是，则函数的定义域是( )
A． B． C． D．
变式训练2．已知函数f（x）定义域为（0，+∞），则函数F（x）＝f（x+2）+的定义域为（　　）
A．（﹣2，3] B．[﹣2，3] C．（0，3] D．（2，3]
变式训练3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
类型三：复合函数的定义域求法
“复合函数的定义域由内层函数和外层函数共同确定的。函数f(x),f(g(x)),f(h(x))等函数或复合函数,只要前面对应法则f相同,则定义域的求法为:对应法则f后面括号内的表达式的取值范围相同,即可求出x的范围,即为定义域。
例题1．函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
变式训练1．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
变式训练2．设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
变式训练3．已知集合则等于
A． B．
C． D．
函数专题——函数定义域的求法课后巩固练习
1．已知集合A＝{x|（x+2）（x﹣3）＜0}，B＝{x|y＝}，则A∩（）＝（　　）
A．[﹣2，1） B．[1，3] C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣2，1）
2．下列每组函数是同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
4．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
5．若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
7．下列命题中正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．和表示同一函数
C．定义在R上的偶函数在和上具有相反的单调性
D．若不等式恒成立，则且
8．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
9．函数 的定义域为
A． B． C． D．
10．对于集合M、N，定义：且，，
设＝，，则=
A．（，0] B．[，0) C． D．
11．函数的定义域___．
12．函数的定义域为（写成区间形式）__________.
13．已知函数的定义域为，则函数的定义域为___________.
14．已知函数的定义域为，其中，则的定义域是___________.
15．已知函数的定义域是，则函数的定义域是________ .
16．已知函数的定义域为集合，函数的值域为集合.
（1）求；
（2） 若集合，且，求实数的取值范围.
17．已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）求不等式的解集.
18．（1）已知函数的定义域为，求函数的定义域；
（2）已知函数的定义域为，求函数的定义域．
19．已知函数，.
(1)若函数的定义域为R求实数的取值范围；
(2)若函数的值域为R求实数的取值范围．
20．设定义为（-1，1）上的奇函数是单调减函数.
（1）求函数的定义域；
（2）若实数满足，求的取值范围.
函数专题——函数定义域的求法解析
类型一：具体函数的定义域求法
例题1．
【答案】B
【分析】
根据使得根式和分式有意义，列出不等式组，求解即可
【详解】
欲使函数有意义只需，解得.
故函数定义域为：且
故选：B
例题2．
【答案】B
【分析】
由偶次根式和零次幂有意义的基本要求可构造不等式求得结果.
【详解】
要使函数有意义，则，解得：，函数的定义域为.
故选：B．
变式训练1．
【答案】B
【分析】
根据给定函数，列出不等式组求解即得.
【详解】
函数有意义，则，解得且，
所以函数的定义域为．
故选：B
变式训练2．
【答案】A
【分析】
根据根式、分式的性质列不等式求函数定义域即可.
【详解】
由题设，，解得.
∴函数定义域为.
故选：A
变式训练3．
【答案】C
【分析】
根据函数解析式的形式，列式求函数的定义域.
【详解】
函数的定义域，需满足，解得：或.
故选：C
类型二：抽象函数的定义域求法
例题1．
【答案】A
【分析】
令，进而解出即可得到答案.
【详解】
令.
故选：A.
例题2．
【答案】C
【分析】
由题可得，即求.
【详解】
由的定义域为，可知，
，即，
的定义域为．
故选：C.
变式训练1．
【答案】C
【分析】
结合已知条件，利用抽象函数的定义域求法且分式中分母不为0，即可得到的定义域.
【详解】
由函数的定义域是，结合函数的特征可知，
解得，
故函数的定义域为.
故选：C.
变式训练2．
【答案】A
【分析】
根据题意列出不等式组，进而解出答案即可.
【详解】
由题意，.
故选：A.
变式训练3．
【答案】A
【分析】
根据抽象函数定义域的求解方法可得不等式组，解不等式组求得结果.
【详解】
定义域为
，解得：
的定义域为
故选：
类型三：复合函数的定义域求法
例题1．
【答案】B
【分析】
根据根式及对数的性质列不等式组，求函数定义域即可.
【详解】
由题意，有，解得.
∴函数定义域为.
故选：B.
例题2．
【答案】B
【分析】
求函数定义域求得，解指数不等式求得，由此求得.
【详解】
，
，
所以.
故选：B
变式训练1．
【答案】D
【分析】
函数有意义，可得，且，解不等式即可得到所求定义域．
【详解】
解：函数有意义，
可得，且，
即为，
解得，
则函数的定义域为．
故选：．
变式训练2．
【答案】B
【分析】
先求得集合，然后求得，进而求得.
【详解】
全集，
由得，解得或，
所以或.
所以，
所以.
故选：B
变式训练3．
【答案】B
试题分析：由题,则
而，故，选B
函数专题——函数定义域的求法课后巩固练习
1．
【答案】D
【分析】
可以求出集合A，B，然后进行交集、补集的运算即可．
【详解】
∵A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|x≥1}，
∴＝{x|x＜1}，A∩（）＝（﹣2，1）．
故选：D．
2．
【答案】C
【分析】
依次判断每组函数的定义域和对应法则是否相同，可得选项.
【详解】
A．的定义域为，的定义城为，定义域不同，故A错误；
B．的定义域为，的定义域为，定义域不同，故B错误；
C．与的定义域都为，，对应法则相同，故C正确；
D．的定义域为，的定义域为，定义域不同，故D错误；
故选：C．
3．
【答案】D
【分析】
根据解析式得到关于的不等式组，其解即为所求的定义域.
【详解】
由题设可得，故，
又，故函数的定义域为，
故选：D.
【点睛】
易错点睛：与幂函数有关的复杂函数定义域问题，注意根据幂指数的范围确定底数的范围，解指数不等式时注意真数为正数的要求.
4．
【答案】C
【分析】
根据函数的解析式知，解不等式组即可得定义域
【详解】
由函数，知
解之得：，所以函数的定义域为，
故选：C.
【点睛】
方法点睛：该题考查的是有关函数的定义域的求解问题，解题方法如下：
（1）根据函数解析式有意义，列出不等式组求解；
（2）根据偶次根式要求被开方式大于等于0，分式要求分母不等于0，对数式要求真数大于0，零指数幂要求底数不等于0，正切函数要求角的终边不落轴；
（3）最后将不等式组的解集求出即可得结果.
5．
【答案】C
【分析】
根据已知条件得到满足的不等式组为，所求解集即为定义域.
【详解】
由条件可知：，所以，所以定义域为，
故选：C.
6．
【答案】D
【分析】
先通过函数的定义域求出函数的定义域为，再求函数的定义域.
【详解】
因为函数的定义域为，
所以，
所以函数的定义域为，
所以，
所以.
所以函数的定义域为.
故选：D
【点睛】
方法点睛：（1）已知原函数的定义域为，求复合函数的定义域：只需解不等式，不等式的解集即为所求函数的定义域.（2）已知复合函数的定义域为，求原函数的定义域：只需根据求出函数的值域，即得原函数的定义域.
7．
【答案】A
【分析】
利用抽象函数的定义域列不等式判断A；利用特例法判断BCD.
【详解】
因为函数的定义域为，由或，所以函数的定义域为，A正确；
和，对应法则不同，不表示同一函数，B错；
偶函数在和上不具有相反的单调性，C错；
时，不等式恒成立，但且不成立，D错；
故选：A.
【点睛】
方法点睛：若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出，若已知函数的定义域为，则的定义域为在时的值域.
8．
【答案】B
【分析】
先化简集合,再求得解.
【详解】
由题得或，
所以.
故选：B.
9．
【答案】B
【详解】
,选B.
10．
【答案】C
【详解】
试题分析：设，
，
，，
集合，定义，，
，，
．
考点：集合间交、并、补的运算，函数的定义域、值域的求法，根据新概念解决问题的能力．
【易错点晴】本题中易错的地方是已知条件中集合A所能取到的数是函数中y能取到的数，集合B所能取到的数是函数中x能取到的数，实际上是考查了一些常见的基本初函数的定义域、值域问题．另外，注意练习运用新概念解决问题的能力，可以经历读题、转化成所学知识、列出式子、得到答案过程．
11．【答案】
【分析】
依题意可得偶次方根的被开方数为非负数，即可得到不等式，解得即可；
【详解】
解：因为，所以，即，解得或，故函数的定义域为
故答案为：
12．【答案】
【分析】
由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组可得答案
【详解】
由题意得
，解得或，
所以函数的定义域为，
故答案为：.
13．【答案】
【分析】
根据题干条件，列出使函数有意义的不等式组，求解即可
【详解】
为使函数有意义，只需，
解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
14．【答案】
【分析】
解不等式组即可得出函数的定义域.
【详解】
对于函数，有，即，
因为，则，所以，，解得.
因此，函数的定义域为.
故答案为：.
15．【答案】
【分析】
根据的取值范围，求出的取值范围，即可得到，再根据对数函数的单调性计算可得；
【详解】
解：因为函数的定义域是，即，所以，所以，即，即，所以，即函数的定义域为
故答案为：
16．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）求函数的定义域求得集合，求函数的值域求得集合，由此求得.
（2）对进行分类讨论，结合求得的取值范围.
【详解】
（1），得，解得，
.
对于函数，该函数为增函数，
因为，则， 即，
，
因此，；
（2），
.
当时，即当时，，满足条件；
当时，即时，要使，则，解得.
综上所述，实数的取值范围为.
17．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据对数函数性质可得，解出可得函数的定义域；
（2）先求出在定义域上的单调性，利用函数的单调性化简不等式，再求解不等式，结合不等式有意义的的取值范围即可求出不等式的解集.
【详解】
解：（1）由对数函数性质可知，在定义域内要求，解得，
故的定义域为；
（2）设任意的，可得，，
可得，所以在上单调递增，故不等式，
可得： ，解得：，综合可得，
故可得不等式的解集为.
【点睛】
本题主要考查函数的定义域、单调性等性质，对数与对数函数的性质，其中熟悉对数函数的性质列出不等式组是解题的关键，考查学生的计算能力.
18．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据已知条件可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域；
（2）求出函数的定义域，对于函数可得出关于的不等式组，解出的取值范围，即可得出函数的定义域.
【详解】
（1）对于函数，有，解得，
因此，函数的定义域为；
（2）因为函数的定义域为，即，则，
所以，函数的定义域为，
对于函数，有，解得，
因此，函数的定义域为.
19．
【答案】(1) (2)
【分析】
（1）若函数的定义域为R，即对任意的x，恒成立，进而转化为函数最值问题或函数图像恒在x轴上方问题；
（2）若函数的值域为R，则对数的真数能取到任意的正数，进而转化为求函数最值问题或函数图像能取到在x轴上方所有部分的问题；
【详解】
解：(1)若函数的定义域为R，
即对任意的x，恒成立，
令.
，当时，解得或，
经验证，当时，，不满足题意，舍去；
当时，，满足题意．
，当时
为二次函数，只需
解得或，
综上可知，实数的取值范围为．
(2)若函数的值域为R，
则对数的真数能取到任意的正数，
令.
当时，解得或经验证，
不合题意舍去，当时满足题意．
当时，
由二次函数知识知
解得.
综上可知，实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查了函数的定义域与值域为的问题，解决问题的方法是将其转化为函数的最值问题进行研究，同时考查了数形结合的思想．
20．
【答案】（1）（1，3）；（2）（0，1）
【分析】
（1）由的定义域，得到不等式组即可解得；
（2）根据函数的奇偶性及单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，需注意函数的定义域.
【详解】
解：（1）因为的定义域为，
解得
即的定义域为
（2）因为是定义在上的奇函数且在上单调递减.
解得即

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