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湖北省武汉市江岸区2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2020高二上·江岸期末）设集合 ， ，则 （　　）
A．{3} B． C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解： ，
所以 .
故答案为：D.
【分析】先化简集合B，再根据交集的定义可得答案。
2．（2020高二上·江岸期末）已知 ，则复数 在复平面上对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以 ，
复数 在复平面上对应的点为 ，在第一象限，
故答案为：A.
【分析】 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案.
3．（2020高二上·江岸期末）若一个圆锥的表面积为 ，侧面展开图是半圆，则此圆锥的高为（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】设圆锥的母线长为 ，底面半径为 ，高为 ，则 ， ，所以 ， ， .
故答案为：C
【分析】设圆锥的母线长为 ，底面半径为 ，高为 ， 列方程组求得、和的值.
4．（2020高二上·江岸期末）函数 在 上的零点个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】令 ， ，解得： ， ，
因为 ，所以 ，共3个零点.
故答案为：C
【分析】令 ， ，解得： ， ，在上k取不同值，可得答案。
5．（2016·陕西模拟）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=| x0|，则x0=（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线C：y2=x的焦点为F ，
∵A（x0，y0）是C上一点，AF=| x0|，
∴ =x0+ ，
解得x0=1．
故选：A．
【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．
6．（2020高二上·江岸期末）已知 ， ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】 ，即 ，由余弦的二倍角公式可得： ，因为 ，所以 ，所以 ，
故答案为：B
【分析】 由题意利用同角三角函数的基本关系求得，再利用余弦二倍角公式求得cos2a，进而求出sin2a，再利用两角和的余弦公式求得 。
7．（2020高二上·江岸期末）若过第一象限的点 可以作曲线 的两条切线，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】设切点 ，则 ，
得 ，
设 ，由条件可知，函数存在两个零点，
，得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以当 时， 取得最小值，若函数有2个零点，
则 .
故答案为：D
【分析】设切点 ，则 ，得 ，设 ，由条件可知，函数存在两个零点，求导判断函数的单调性，进而得出答案。
8．（2020高二上·江岸期末）下列给出的命题中，错误的命题有（　　）个
①互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件；②事件 与事件 中至少有一个发生的概率一定比 与 中恰有一个发生的概率大；③若 ， ，则事件 ， 相互独立与 ， 互斥可以同时成立；④对于事件 ， ， ，若 成立，则 ， ， 两两独立.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】①根据互斥事件与对立事件的定义可知，正确；
②当 是对立事件时，事件 与事件 中至少有一个发生的概率和 与 中恰有一个发生的概率相等，故错误；
③若 ， 互斥，则 ， 不可能同时发生，若 ， 相互独立，则 发生与否，对对方没有影响，所以 可以同时发生，故错误；
④对于事件 ， ， ，若 ， ， ，以及 成立，则 ， ， 两两独立，缺一不可，故错误.
故答案为：C
【分析】 直接利用互斥事件和对立事件的关系，互斥事件和相互独立事件的关系判断①②③④的结论.
二、多选题
9．（2021·汕头模拟）为响应国家号召，打赢脱贫致富攻坚战，某贫困村主要产业是种植蜜柚，由于销售渠道单一，导致蜜柚滞销或低价出售.其定点扶贫单位为帮助该村真正脱贫，为该村建立多种销售渠道，一年后该村的蜜柚销售收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该村的蜜柚销售收入变化情况，统计了该村扶贫前后的蜜柚销售收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中正确的是（　　）
A．扶贫后，该村的城乡集贸市场销售渠道的收入减少；
B．扶贫后，该村的自媒体销售渠道的收入增加了一倍以上；
C．扶贫后，该村的农产品批发市场销售渠道的收入增加了一倍；
D．扶贫后，该村的农产品电商销售渠道收入是扶贫前的四倍.
【答案】B,C
【知识点】收集数据的方法
【解析】【解答】设扶贫前销售收入为 ，扶贫后销售收入为 ，
对于A中，扶贫前该村的城乡集贸市场销售渠道的收入为 ，
扶贫后该村的城乡集贸市场销售渠道的收入为 ，
所以扶贫后，该村的城乡集贸市场销售渠道的收入增加了，所以A不正确；
对于B中，扶贫前，该村的自媒体销售渠道的收入 ，
扶贫后，该村的自媒体销售渠道的收入 ，
所以扶贫后，该村的自媒体销售渠道的收入增加了一倍以上，所以B符合题意；
对于C中，扶贫前，该村的农产品批发市场销售渠道的收入 ，
扶贫后，该村的农产品批发市场销售渠道的收入 ，
所以扶贫后，该村的农产品批发市场销售渠道的收入增加了一倍，所以C符合题意；
对于D中，扶贫前，该村的农产品电商销售渠道收入 ，
扶贫后，该村的农产品电商销售渠道收入
扶贫后，该村的农产品电商销售渠道收入是扶贫前的八倍，所以D不正确.
故答案为：BC.
【分析】根据题意结合扇形图中的数据对选项逐一判断即可得出答案。
10．（2020高二上·江岸期末）下列关于平面向量的说法中正确的是（　　）
A．已知 ， ，点 在直线 上，且 ，则 的坐标为 .
B．已知 是 的外接圆圆心， ， ， 为圆的半径，则 在 上的投影为 .
C．若 ，且 ，则 .
D．若点 是 所在平面内一点，且 ，则 是 的垂心.
【答案】B,D
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】在直线 上满足 的点 有两个，一个在线段 上，一个在线段 的延长线上，A不符合题意；
如图， ．则 是平行四边形，又 ，而 ，
所以 是菱形，且 ， ， 在 上的投影为 ，B符合题意；
如， ， ，满足 ，但 ，C不符合题意；
，即 ，同理 ，所以 是 的垂心，D符合题意；
故答案为：BD．
【分析】在直线 上满足 的点 有两个，一个在线段 上，一个在线段 的延长线上，可判断选项A的正误；由 ，得 是平行四边形，又 ，而 ，所以 是菱形，且 ， ， 在 上的投影为 ，可判断选项B的正误； ， ，满足 ，但 ，可判断选项C的正误；，即 ，同理 ，可判断选项D的正误。
11．（2020高二上·江岸期末）已知函数 ， 是自然对数的底数，则（　　）
A．
B．若 ，则
C． 的最大值为
D．若关于 的不等式 有正整数解，则
【答案】C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】 ， ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
， ，
， ，A不符合题意；
若 ，则 ，即 ，
由 可知， ，B不符合题意；
由以上证明可知，当 时，函数取得最大值 ，C符合题意；
不等式 ，
当 时， ，若不等式存在整数解，则 ，得 ，
当 时， 时，必有 ，所以不存在整数解，故不成立，D符合题意.
故答案为：CD
【分析】 ， ，得出函数的单调性，根据函数的单调性可判断A选项的正误；若 ，则 ，即 ，可判断B选项的正误；当 时，函数取得最大值 ，可判断C选项的正误；不等式 ，当 时， ，若不等式存在整数解，得 ，解出，当 时， 时，必有 ，可判断D选项的正误。
12．（2020高二上·江岸期末）如图所示，该多面体是一个由6个正方形和8个正三角形围成的十四面体，所有棱长均为1，所有顶点均在球 的球面上.关于这个多面体给出以下结论，其中正确的有（　　）
A． 平面 ；
B． 与平面 所成的角的余弦值为 ；
C．该多面体的外接球的表面积为 ；
D．该多面体的体积为 .
【答案】A,C,D
【知识点】球的体积和表面积；直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】对于A，如图，连接 ，由正方体的性质易证 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，同理 平面 ，又因为 平面 ， ，所以平面 平面 ，因为 平面 ，所以 平面 ，A符合题意；
对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，图中正方体棱长为 ，则 ， ， ， ，所以 ， ， ，设 为平面 的一个法向量，则 ，所以 ，取 ，则 ，设 与平面 所成的角为 ，则 ，由于 ，所以 ，B不符合题意；
对于C，该多面体的外接球的球心和正方体外接球球心重合，如图，该多面体的外接球的半径 为正方体面对角线长度的一半，即可得 等于该十四面体棱长 ，所以该多面体的外接球的表面积为 ，C符合题意；
对于D，图中正方体棱长为 ，则正方体体积 ，对于8个体积相同的三棱锥体积为 ，该多面体体积为 ，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】 首先根据十四面体的特征将该几何体放置于正方体中，建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ，所以 ， ， ，设 为平面 的一个法向量，则 ，所以 ，设 与平面 所成的角为 ，则 ，逐项判断各个选项可得答案。
三、填空题
13．（2020高二上·江岸期末） 的展开式的常数项为　 　（用数字作答）.
【答案】15
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解： 的展开式的通项公式为 ，
令 ，得 ，
所以 的展开式的常数项为 ，
故答案为：15
【分析】利用二项式定理的通项公式，即可求出展开式的常数项。
14．（2020高二上·江岸期末） 在点 处的切线方程是　 　.
【答案】x+ey-3=0
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由题意， ，所以 ，所以切线方程为： .
故答案为：x+ey-3=0.
【分析】求导函数，可得切线的斜率，利用点斜式可得切线方程。
15．（2020高二上·江岸期末）已知 ， 分别为双曲线 的左 右焦点， 为双曲线右支上一点，满足 ，直线 与圆 有公共点，则双曲线的离心率的最大值是　 　.
【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】过点 作 于 ，过点 作 于 ，因为 ，
所以 ，又因为 ，所以 ，故 ，又因为 ，且 ，所以 ，因此 ，所以 ，又因为直线 与圆 有公共点，所以 ，故 ，即 ，则 ，所以 ，又因为双曲线的离心率 ，所以 ，故离心率的最大值为 ，
故答案为： .
【分析】过点 作 于 ，过点 作 于 ，由 ，得 ，，利用双曲线的定义可得 ， ，得，又因为直线 与圆 有公共点，得，进而求出双曲线的离心率的最大值。
16．（2020高二上·江岸期末）如图是瑞典科学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图案的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，这样的过程称为一次操作.反复进行这种操作过程，就得到一条“雪花”状的曲线，并记 次操作后的曲线为 ，周长为 .设原正三角形 的边长为1， 即对应图1，则进行二次操作后，曲线 （对应图3）的顶点数为　 　；若进行 次操作后，则 　 　.
【答案】48；
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】 有3个顶点，3条边， 的顶点数是 个，有 条边，
的顶点数是 个，
由图形观察可知， ， ，…… ，所以数列 是首项为3，公差为 的等比数列， .
故答案为：48；
【分析】 观察所给的图形，得到图2的顶点数和图1的顶点数和边数的关系，以及图3的顶点数与图2的顶点数和边数的关系，判断图2的顶点数，再由图形之间边长的关系，得到数列 是首项为3，公差为 的等比数列，再根据等比数列求和.
四、解答题
17．（2020高二上·江岸期末）在 中，角 ， ， 所对应的边分别是 ， ， ， .
（1）求 ；
（2）若 ， ，求 .
【答案】（1）解：在 中，由正弦定理 得， ，
又 ，所以 ， ，
因为 ，所以 .
（2）解：因为 ， ， ，
所以由余弦定理得， ，即 ，
或4.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 ( 1 )由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得 ，结合范围 ，可求A的值；
( 2 )由余弦定理可得 ，解得c的值.
18．（2020高二上·江岸期末）已知数列 满足： ， .
（1）证明：数列 是等比数列；
（2）设 ，求数列 的前2021项和 .
【答案】（1）证明：设 ，则 ，所以 ，
又 ，所以 是以4为首项，2为公比的等比数列，
即数列 是以 为首项，2为公比的等比数列；
（2）解：由（1）可得 ，即
所以
所以 ，
，
，
相减得， ，
所以 ，
所以 .
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1） 设 ，则 ，所以 ，可证得数列 是以 为首项，2为公比的等比数列；
（2）由（1）可得 ，即 ，则 ，利用错位相减法即可求出数列 的前2021项和 .
19．（2020高二上·江岸期末）为巩固拓展脱贫攻坚成果，某地区对地方特色手工艺品的质量实行专家鉴定制度：若一件手工艺品被3位专家都鉴定通过，则该手工艺品被评为一级品；若一件手工艺品仅有两位专家鉴定通过，则该手工艺品被评为二级品；若一件手工艺品仅有一位专家鉴定通过，则该手工艺品被评为三级品；若一件手工艺品没有得到三位专家的鉴定通过，则相应的被评为四级品.已知每一件手工艺品被一位专家鉴定通过的概率为 ，且专家之间鉴定是否通过相互独立.
（1）求一件手工艺品被专家鉴定为二级品的概率；
（2）若一件手工艺品质量分别为一 二 三级均可出厂，且利润分别为100元，70元，20元，质量为四级品不能出厂，亏损10元，记一件手工艺品的利润为 元，求 的分布列与及1000件产品的平均利润.
【答案】（1）解：一件手工艺品质量为二级品的概率为 .
（2）解：由题意可知，
一件手工艺品质量为一级品的概率为 ，
一件手工艺品为二级品的概率为 ，
一件手工艺品为三级品的概率为 ，
一件手工艺品为四级品的概率为 .
则 的分布列为：
100 70 20 -10
期望 .
所以1000件产品的平均利润为 .
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）一件手工艺品质量为二级品的情形，并结合相互独立事件的概率公式，列式计算即可；
（2）分别求出一件手工艺品质量为 一 二 三级的概率，进而可列出X的分布列，求出期望即可求出1000件产品的平均利润.
20．（2020高二上·江岸期末）如图，在四棱锥 中，侧面 为等边三角形， 是 的中点，底面 是菱形， ， ， .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求二面角 的平面角的余弦值.
【答案】（1）证明：连接 ，
在菱形 中，由 ，则三角形ABD为等边三角形，
又侧面 为等边三角形， 是 的中点，
所以 ，
， ，由
所以 ，
所以 ，又 ， ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）解：取 的中点 ，连接 ， ，
由（1）知， ， ，
则 ，
所以 即为二面角 的平面角，
则 ， ， ，
在 中， ，
所以二面角 的平面角的余弦值 .
【知识点】平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法；余弦定理
【解析】【分析】 (1)推导出 ， ，从而 平面 ，由此能证明 平面 平面 ；
(2) 取 的中点 ，连接 ， ，由（1）知， ， ，
则 ，所以 即为二面角 的平面角，再根据余弦定理即可求出二面角 的平面角的余弦值。
21．（2020高二上·江岸期末）已知椭圆 ： 的离心率为 ，长轴长为4.
（1）求椭圆 的方程；
（2） ， 为椭圆的短轴顶点，点 是直线 上动点，若直线 与 的另一个交点为 与 的另一个交点为 ，证明：直线 过定点.
【答案】（1）解：由条件可知 ，解得： ，所以 ，
所以椭圆 的方程是 .
（2）解：设 ， ， ， ， ，
则直线 为 ，直线 为 ，
由 得， ， ，
即 ，代入 得， ， ，
由 得， ， ，
即 ，代入 得， ， ，
从而，直线 的斜率为 ，
直线 为 ，
令 ，则 ，所以过定点 .
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的性质列方程组解出a，b，c，即可求出椭圆 的方程；
（2）设 ， ， ， ， ，则直线 为 ，直线 为 ，由 得， ，可求出 ， 由 得， ，可求出，利用点斜式可得直线 的方程，进而求出直线 过定点 .
22．（2020高二上·江岸期末）已知函数 ，其中 为自然对数的底数.
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ，且 ，证明： .
【答案】（1）解： ， 是减函数， 是增函数，
所以 在 单调递减，
∵ ，
∴ 时， ， 单调递增； 时， ， 单调递减.
（2）解：由题意得， ，即
， ，
设 ， ，则由 得， ，且 .
不妨设 ，则即证 ，
由 及 的单调性知， .
令 ， ，则
，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，取 ，则 ，
又 ，则 ，
又 ， ，且 在 单调递减，∴ ， .
下证： .
（i）当 时，由 得， ；
（ii）当 时，令 ， ，则
，
记 ， ，则 ，
又 在 为减函数，∴ ，
在 单调递减， 在 单调递增，∴ 单调递减，从而， 在 单调递增，
又 ， ，
∴ ，
又 ，
从而，由零点存在定理得，存在唯一 ，使得 ，
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增.
所以， ，
又 ，
，
所以， ，
显然， ，
所以， ，即 ，
取 ，则 ，
又 ，则 ，
结合 ， ，以及 在 单调递增，得到 ，
从而 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系即可求出函数 的单调性；
（2） 由题意得， ，即 ， ， 令 ， ， 求函数的导数，通过函数的导数得到函数的单调性，即可证得 。
1 / 1湖北省武汉市江岸区2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2020高二上·江岸期末）设集合 ， ，则 （　　）
A．{3} B． C． D．
2．（2020高二上·江岸期末）已知 ，则复数 在复平面上对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2020高二上·江岸期末）若一个圆锥的表面积为 ，侧面展开图是半圆，则此圆锥的高为（　　）
A．1 B． C． D．2
4．（2020高二上·江岸期末）函数 在 上的零点个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2016·陕西模拟）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=| x0|，则x0=（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
6．（2020高二上·江岸期末）已知 ， ，则 （　　）
A． B． C． D．
7．（2020高二上·江岸期末）若过第一象限的点 可以作曲线 的两条切线，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2020高二上·江岸期末）下列给出的命题中，错误的命题有（　　）个
①互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件；②事件 与事件 中至少有一个发生的概率一定比 与 中恰有一个发生的概率大；③若 ， ，则事件 ， 相互独立与 ， 互斥可以同时成立；④对于事件 ， ， ，若 成立，则 ， ， 两两独立.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、多选题
9．（2021·汕头模拟）为响应国家号召，打赢脱贫致富攻坚战，某贫困村主要产业是种植蜜柚，由于销售渠道单一，导致蜜柚滞销或低价出售.其定点扶贫单位为帮助该村真正脱贫，为该村建立多种销售渠道，一年后该村的蜜柚销售收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该村的蜜柚销售收入变化情况，统计了该村扶贫前后的蜜柚销售收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中正确的是（　　）
A．扶贫后，该村的城乡集贸市场销售渠道的收入减少；
B．扶贫后，该村的自媒体销售渠道的收入增加了一倍以上；
C．扶贫后，该村的农产品批发市场销售渠道的收入增加了一倍；
D．扶贫后，该村的农产品电商销售渠道收入是扶贫前的四倍.
10．（2020高二上·江岸期末）下列关于平面向量的说法中正确的是（　　）
A．已知 ， ，点 在直线 上，且 ，则 的坐标为 .
B．已知 是 的外接圆圆心， ， ， 为圆的半径，则 在 上的投影为 .
C．若 ，且 ，则 .
D．若点 是 所在平面内一点，且 ，则 是 的垂心.
11．（2020高二上·江岸期末）已知函数 ， 是自然对数的底数，则（　　）
A．
B．若 ，则
C． 的最大值为
D．若关于 的不等式 有正整数解，则
12．（2020高二上·江岸期末）如图所示，该多面体是一个由6个正方形和8个正三角形围成的十四面体，所有棱长均为1，所有顶点均在球 的球面上.关于这个多面体给出以下结论，其中正确的有（　　）
A． 平面 ；
B． 与平面 所成的角的余弦值为 ；
C．该多面体的外接球的表面积为 ；
D．该多面体的体积为 .
三、填空题
13．（2020高二上·江岸期末） 的展开式的常数项为　 　（用数字作答）.
14．（2020高二上·江岸期末） 在点 处的切线方程是　 　.
15．（2020高二上·江岸期末）已知 ， 分别为双曲线 的左 右焦点， 为双曲线右支上一点，满足 ，直线 与圆 有公共点，则双曲线的离心率的最大值是　 　.
16．（2020高二上·江岸期末）如图是瑞典科学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图案的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，这样的过程称为一次操作.反复进行这种操作过程，就得到一条“雪花”状的曲线，并记 次操作后的曲线为 ，周长为 .设原正三角形 的边长为1， 即对应图1，则进行二次操作后，曲线 （对应图3）的顶点数为　 　；若进行 次操作后，则 　 　.
四、解答题
17．（2020高二上·江岸期末）在 中，角 ， ， 所对应的边分别是 ， ， ， .
（1）求 ；
（2）若 ， ，求 .
18．（2020高二上·江岸期末）已知数列 满足： ， .
（1）证明：数列 是等比数列；
（2）设 ，求数列 的前2021项和 .
19．（2020高二上·江岸期末）为巩固拓展脱贫攻坚成果，某地区对地方特色手工艺品的质量实行专家鉴定制度：若一件手工艺品被3位专家都鉴定通过，则该手工艺品被评为一级品；若一件手工艺品仅有两位专家鉴定通过，则该手工艺品被评为二级品；若一件手工艺品仅有一位专家鉴定通过，则该手工艺品被评为三级品；若一件手工艺品没有得到三位专家的鉴定通过，则相应的被评为四级品.已知每一件手工艺品被一位专家鉴定通过的概率为 ，且专家之间鉴定是否通过相互独立.
（1）求一件手工艺品被专家鉴定为二级品的概率；
（2）若一件手工艺品质量分别为一 二 三级均可出厂，且利润分别为100元，70元，20元，质量为四级品不能出厂，亏损10元，记一件手工艺品的利润为 元，求 的分布列与及1000件产品的平均利润.
20．（2020高二上·江岸期末）如图，在四棱锥 中，侧面 为等边三角形， 是 的中点，底面 是菱形， ， ， .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求二面角 的平面角的余弦值.
21．（2020高二上·江岸期末）已知椭圆 ： 的离心率为 ，长轴长为4.
（1）求椭圆 的方程；
（2） ， 为椭圆的短轴顶点，点 是直线 上动点，若直线 与 的另一个交点为 与 的另一个交点为 ，证明：直线 过定点.
22．（2020高二上·江岸期末）已知函数 ，其中 为自然对数的底数.
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ，且 ，证明： .
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解： ，
所以 .
故答案为：D.
【分析】先化简集合B，再根据交集的定义可得答案。
2．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以 ，
复数 在复平面上对应的点为 ，在第一象限，
故答案为：A.
【分析】 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案.
3．【答案】C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】设圆锥的母线长为 ，底面半径为 ，高为 ，则 ， ，所以 ， ， .
故答案为：C
【分析】设圆锥的母线长为 ，底面半径为 ，高为 ， 列方程组求得、和的值.
4．【答案】C
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】令 ， ，解得： ， ，
因为 ，所以 ，共3个零点.
故答案为：C
【分析】令 ， ，解得： ， ，在上k取不同值，可得答案。
5．【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线C：y2=x的焦点为F ，
∵A（x0，y0）是C上一点，AF=| x0|，
∴ =x0+ ，
解得x0=1．
故选：A．
【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．
6．【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】 ，即 ，由余弦的二倍角公式可得： ，因为 ，所以 ，所以 ，
故答案为：B
【分析】 由题意利用同角三角函数的基本关系求得，再利用余弦二倍角公式求得cos2a，进而求出sin2a，再利用两角和的余弦公式求得 。
7．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】设切点 ，则 ，
得 ，
设 ，由条件可知，函数存在两个零点，
，得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以当 时， 取得最小值，若函数有2个零点，
则 .
故答案为：D
【分析】设切点 ，则 ，得 ，设 ，由条件可知，函数存在两个零点，求导判断函数的单调性，进而得出答案。
8．【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】①根据互斥事件与对立事件的定义可知，正确；
②当 是对立事件时，事件 与事件 中至少有一个发生的概率和 与 中恰有一个发生的概率相等，故错误；
③若 ， 互斥，则 ， 不可能同时发生，若 ， 相互独立，则 发生与否，对对方没有影响，所以 可以同时发生，故错误；
④对于事件 ， ， ，若 ， ， ，以及 成立，则 ， ， 两两独立，缺一不可，故错误.
故答案为：C
【分析】 直接利用互斥事件和对立事件的关系，互斥事件和相互独立事件的关系判断①②③④的结论.
9．【答案】B,C
【知识点】收集数据的方法
【解析】【解答】设扶贫前销售收入为 ，扶贫后销售收入为 ，
对于A中，扶贫前该村的城乡集贸市场销售渠道的收入为 ，
扶贫后该村的城乡集贸市场销售渠道的收入为 ，
所以扶贫后，该村的城乡集贸市场销售渠道的收入增加了，所以A不正确；
对于B中，扶贫前，该村的自媒体销售渠道的收入 ，
扶贫后，该村的自媒体销售渠道的收入 ，
所以扶贫后，该村的自媒体销售渠道的收入增加了一倍以上，所以B符合题意；
对于C中，扶贫前，该村的农产品批发市场销售渠道的收入 ，
扶贫后，该村的农产品批发市场销售渠道的收入 ，
所以扶贫后，该村的农产品批发市场销售渠道的收入增加了一倍，所以C符合题意；
对于D中，扶贫前，该村的农产品电商销售渠道收入 ，
扶贫后，该村的农产品电商销售渠道收入
扶贫后，该村的农产品电商销售渠道收入是扶贫前的八倍，所以D不正确.
故答案为：BC.
【分析】根据题意结合扇形图中的数据对选项逐一判断即可得出答案。
10．【答案】B,D
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】在直线 上满足 的点 有两个，一个在线段 上，一个在线段 的延长线上，A不符合题意；
如图， ．则 是平行四边形，又 ，而 ，
所以 是菱形，且 ， ， 在 上的投影为 ，B符合题意；
如， ， ，满足 ，但 ，C不符合题意；
，即 ，同理 ，所以 是 的垂心，D符合题意；
故答案为：BD．
【分析】在直线 上满足 的点 有两个，一个在线段 上，一个在线段 的延长线上，可判断选项A的正误；由 ，得 是平行四边形，又 ，而 ，所以 是菱形，且 ， ， 在 上的投影为 ，可判断选项B的正误； ， ，满足 ，但 ，可判断选项C的正误；，即 ，同理 ，可判断选项D的正误。
11．【答案】C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】 ， ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
， ，
， ，A不符合题意；
若 ，则 ，即 ，
由 可知， ，B不符合题意；
由以上证明可知，当 时，函数取得最大值 ，C符合题意；
不等式 ，
当 时， ，若不等式存在整数解，则 ，得 ，
当 时， 时，必有 ，所以不存在整数解，故不成立，D符合题意.
故答案为：CD
【分析】 ， ，得出函数的单调性，根据函数的单调性可判断A选项的正误；若 ，则 ，即 ，可判断B选项的正误；当 时，函数取得最大值 ，可判断C选项的正误；不等式 ，当 时， ，若不等式存在整数解，得 ，解出，当 时， 时，必有 ，可判断D选项的正误。
12．【答案】A,C,D
【知识点】球的体积和表面积；直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】对于A，如图，连接 ，由正方体的性质易证 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，同理 平面 ，又因为 平面 ， ，所以平面 平面 ，因为 平面 ，所以 平面 ，A符合题意；
对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，图中正方体棱长为 ，则 ， ， ， ，所以 ， ， ，设 为平面 的一个法向量，则 ，所以 ，取 ，则 ，设 与平面 所成的角为 ，则 ，由于 ，所以 ，B不符合题意；
对于C，该多面体的外接球的球心和正方体外接球球心重合，如图，该多面体的外接球的半径 为正方体面对角线长度的一半，即可得 等于该十四面体棱长 ，所以该多面体的外接球的表面积为 ，C符合题意；
对于D，图中正方体棱长为 ，则正方体体积 ，对于8个体积相同的三棱锥体积为 ，该多面体体积为 ，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】 首先根据十四面体的特征将该几何体放置于正方体中，建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ，所以 ， ， ，设 为平面 的一个法向量，则 ，所以 ，设 与平面 所成的角为 ，则 ，逐项判断各个选项可得答案。
13．【答案】15
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解： 的展开式的通项公式为 ，
令 ，得 ，
所以 的展开式的常数项为 ，
故答案为：15
【分析】利用二项式定理的通项公式，即可求出展开式的常数项。
14．【答案】x+ey-3=0
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由题意， ，所以 ，所以切线方程为： .
故答案为：x+ey-3=0.
【分析】求导函数，可得切线的斜率，利用点斜式可得切线方程。
15．【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】过点 作 于 ，过点 作 于 ，因为 ，
所以 ，又因为 ，所以 ，故 ，又因为 ，且 ，所以 ，因此 ，所以 ，又因为直线 与圆 有公共点，所以 ，故 ，即 ，则 ，所以 ，又因为双曲线的离心率 ，所以 ，故离心率的最大值为 ，
故答案为： .
【分析】过点 作 于 ，过点 作 于 ，由 ，得 ，，利用双曲线的定义可得 ， ，得，又因为直线 与圆 有公共点，得，进而求出双曲线的离心率的最大值。
16．【答案】48；
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】 有3个顶点，3条边， 的顶点数是 个，有 条边，
的顶点数是 个，
由图形观察可知， ， ，…… ，所以数列 是首项为3，公差为 的等比数列， .
故答案为：48；
【分析】 观察所给的图形，得到图2的顶点数和图1的顶点数和边数的关系，以及图3的顶点数与图2的顶点数和边数的关系，判断图2的顶点数，再由图形之间边长的关系，得到数列 是首项为3，公差为 的等比数列，再根据等比数列求和.
17．【答案】（1）解：在 中，由正弦定理 得， ，
又 ，所以 ， ，
因为 ，所以 .
（2）解：因为 ， ， ，
所以由余弦定理得， ，即 ，
或4.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 ( 1 )由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得 ，结合范围 ，可求A的值；
( 2 )由余弦定理可得 ，解得c的值.
18．【答案】（1）证明：设 ，则 ，所以 ，
又 ，所以 是以4为首项，2为公比的等比数列，
即数列 是以 为首项，2为公比的等比数列；
（2）解：由（1）可得 ，即
所以
所以 ，
，
，
相减得， ，
所以 ，
所以 .
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1） 设 ，则 ，所以 ，可证得数列 是以 为首项，2为公比的等比数列；
（2）由（1）可得 ，即 ，则 ，利用错位相减法即可求出数列 的前2021项和 .
19．【答案】（1）解：一件手工艺品质量为二级品的概率为 .
（2）解：由题意可知，
一件手工艺品质量为一级品的概率为 ，
一件手工艺品为二级品的概率为 ，
一件手工艺品为三级品的概率为 ，
一件手工艺品为四级品的概率为 .
则 的分布列为：
100 70 20 -10
期望 .
所以1000件产品的平均利润为 .
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）一件手工艺品质量为二级品的情形，并结合相互独立事件的概率公式，列式计算即可；
（2）分别求出一件手工艺品质量为 一 二 三级的概率，进而可列出X的分布列，求出期望即可求出1000件产品的平均利润.
20．【答案】（1）证明：连接 ，
在菱形 中，由 ，则三角形ABD为等边三角形，
又侧面 为等边三角形， 是 的中点，
所以 ，
， ，由
所以 ，
所以 ，又 ， ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）解：取 的中点 ，连接 ， ，
由（1）知， ， ，
则 ，
所以 即为二面角 的平面角，
则 ， ， ，
在 中， ，
所以二面角 的平面角的余弦值 .
【知识点】平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法；余弦定理
【解析】【分析】 (1)推导出 ， ，从而 平面 ，由此能证明 平面 平面 ；
(2) 取 的中点 ，连接 ， ，由（1）知， ， ，
则 ，所以 即为二面角 的平面角，再根据余弦定理即可求出二面角 的平面角的余弦值。
21．【答案】（1）解：由条件可知 ，解得： ，所以 ，
所以椭圆 的方程是 .
（2）解：设 ， ， ， ， ，
则直线 为 ，直线 为 ，
由 得， ， ，
即 ，代入 得， ， ，
由 得， ， ，
即 ，代入 得， ， ，
从而，直线 的斜率为 ，
直线 为 ，
令 ，则 ，所以过定点 .
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的性质列方程组解出a，b，c，即可求出椭圆 的方程；
（2）设 ， ， ， ， ，则直线 为 ，直线 为 ，由 得， ，可求出 ， 由 得， ，可求出，利用点斜式可得直线 的方程，进而求出直线 过定点 .
22．【答案】（1）解： ， 是减函数， 是增函数，
所以 在 单调递减，
∵ ，
∴ 时， ， 单调递增； 时， ， 单调递减.
（2）解：由题意得， ，即
， ，
设 ， ，则由 得， ，且 .
不妨设 ，则即证 ，
由 及 的单调性知， .
令 ， ，则
，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，取 ，则 ，
又 ，则 ，
又 ， ，且 在 单调递减，∴ ， .
下证： .
（i）当 时，由 得， ；
（ii）当 时，令 ， ，则
，
记 ， ，则 ，
又 在 为减函数，∴ ，
在 单调递减， 在 单调递增，∴ 单调递减，从而， 在 单调递增，
又 ， ，
∴ ，
又 ，
从而，由零点存在定理得，存在唯一 ，使得 ，
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增.
所以， ，
又 ，
，
所以， ，
显然， ，
所以， ，即 ，
取 ，则 ，
又 ，则 ，
结合 ， ，以及 在 单调递增，得到 ，
从而 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系即可求出函数 的单调性；
（2） 由题意得， ，即 ， ， 令 ， ， 求函数的导数，通过函数的导数得到函数的单调性，即可证得 。
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