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第一章 数与式（浙江省专用）
第4节 二次根式
【考试要求】
1.了解二次根式和最简二次根式的概念，知道二次根式中被开方数为非负数且也是非负数.
2.了解二次根式的加、减、乘、除运算法则并掌握二次根式的性质.
3.能根据二次根式的运算法则及性质进行二次根式的加、减、乘、除和综合运算.
【考情预测】
二次根式是历年中考的考察重点，年年考查，分值为8分左右。预计2022年各地中考还将继续重视对二次根式的有关概念、二次根式的性质和二次根式的混合运算等的考查，且考查形式多样，为避免丢分,学生应扎实掌握。
【考点梳理】
1．二次根式的有关概念：
(1)二次根式：式子(a≥0)叫做二次根式．
(2)最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母．②被开方数中不含开得尽方的因数或因式．
2．二次根式的性质：
（1）()2＝a(a≥0)． （2）＝|a|＝
（3）＝·(a≥0，b≥0)． （4）＝(a≥0，b＞0)．
二次根式的双重非负性是指它的被开方数与结果均为非负数．
3．二次根式的运算：
(1)二次根式加减法的实质是合并同类二次根式．
(2)二次根式的乘法：·＝(a≥0，b≥0)．
(3)二次根式的除法：＝(a≥0，b＞0)．
运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式或整式．
【重难点突破】
考向1. 二次根式中字母的取值范围
【典例精析】
【例】（2021·浙江丽水市·中考真题）要使式子有意义，则x可取的一个数是__________．
【答案】如4等（答案不唯一，）
【分析】根据二次根式的开方数是非负数求解即可．
【详解】解：∵式子有意义，∴x﹣3≥0，∴x≥3，
∴x可取x≥3的任意一个数，故答案为：如4等（答案不唯一，．
【点睛】本题考查二次根式、解一元一次不等式，理解二次根式的开方数是非负数是解答的关键．
【变式训练】
变式1-1． （2021·广东封开·初三期末）已知，则_________．
【答案】
【分析】根据被开方数是非负数，可得x，y，根据有理数的减法，可得答案．
【解析】解：由题意得，解得x=1，y=3，∴x-y=1-3=-2，故答案为：-2．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数，可得x，y是解题关键．
变式1-2．（2021 丽水）要使式子有意义，则x可取的一个数是　 　．
【分析】根据二次根式有意义的条件得出x﹣3≥0，再求出不等式的解集，最后求出答案即可．
【详解】解：要使式子有意义，必须x﹣3≥0，解得：x≥3，
所以x可取的一个数是4，故答案为：4（答案不唯一）．
变式1-3．（2021 下城区一模）已知实数x满足 |x+1|≤0，则x的值为　2　．
【思路点拨】根据二次根式的非负性，≥0，x﹣2≥0，再由 |x+1|≤0，|x+1|≥0，得到＝0，|x+1|＝0，综合考虑x的取值即可求解；
【答案】解：根据二次根式的非负性，≥0，x﹣2≥0，∴x≥2，
∵ |x+1|≤0，|x+1|≥0，∴＝0或|x+1|＝0，∴x＝2或x＝﹣1，∴x＝2；故答案为：2．
【点睛】考查根据二次根式的非负性，被开方数的非负性，绝对值的非负性；能够准确判断二次根式和绝对值乘积小于等于0时，各自为0是解题的关键．
【考点巩固训练】
1.（2021 金华）二次根式中，字母x的取值范围是　 　．
【分析】由二次根式有意义的条件得出不等式，解不等式即可．
【详解】解：当x﹣3≥0时，二次根式有意义，则x≥3；故答案为：x≥3．
2．（2020·甘肃省庆阳市中考模拟）若都是实数，且，则_______．
【答案】2
【分析】根据二次根式有意义的条件可得关于x的不等式组，解不等式组可求得x的值，继而可求得y的值，将x、y的值代入所求式子进行计算即可．
【解析】因为，所以，解得：x=1，所以y=4，
所以，故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，算术平方根等，正确求出x、y的值是解题的关键．
3．（2020·湖北黄石·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．，且 B． C． D．，且
【答案】A
【分析】根据分式与二次根式的性质即可求解．
【解析】依题意可得x-3≠0，x-2≥0解得，且故选A．
【点睛】此题主要考查函数的自变量取值，解题的关键是熟知分式与二次根式的性质．
4．（2020·广东中考真题）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式里面被开方数即可求解．
【解析】解：由题意知：被开方数，解得：，故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，必须保证被开方数大于等于0．
5．（2021.凉山州·中考模拟）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，解得．2xy=2×2.5×（-3）=-15，故选A．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，一元一次不等式组的解法，以及有理数的乘法运算，掌握以上知识是解题的关键.
考向2. 二次根式的相关概念
【典例精析】
【例】（2020·山东济宁·中考真题）下列各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．
【解析】解：A、是最简二次根式，故选项正确；B、=，不是最简二次根式，故选项错误；
C、，不是最简二次根式，故选项错误；D、，不是最简二次根式，故选项错误；
故选A.
【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．
【变式训练】
变式2-1. （2020·江苏宝应·初三二模）最简根式与是同类二次根式，则a=____．
【答案】﹣1．
【分析】根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解．
【解析】解：∵最简根式与是同类二次根式，∴a+6=a2﹣4a，解得：a=6或﹣1．
∵当a=6时，2，
∴此时与不是最简根式，∴a=6(不符题意，舍去)．
∵当a=﹣1时，，
∴此时与是最简根式，∴a=﹣1符合题意．故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
变式2-2. （2021.上海中考模拟）下列式子中，属于最简二次根式的是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件　(1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是.
【解析】∵，∴属于最简二次根式.故选B.
变式2-3. （2019·山西中考真题）下列二次根式是最简二次根式的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据最简二次根式的概念逐一进行判断即可.
【解析】A. ，故A选项不符合题意；B. ，故B选项不符合题意；
C. ，故C选项不符合题意；D. 是最简二次根式，符合题意，故选D.
【点睛】本题考查最简二次根式的识别，熟练掌握二次根式的化简以及最简二次根式的概念是解题的关键.
【考点巩固训练】
1．（2020·山东济宁市·中考真题）下列各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．
【详解】解：A、是最简二次根式，故选项正确；B、=，不是最简二次根式，故选项错误；
C、，不是最简二次根式，故选项错误；
D、，不是最简二次根式，故选项错误；故选A.
【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．
2．（2020·上海中考真题）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先把每个二次根式进行化简，化成最简二次根式，后比较被开方数即可．
【详解】A.与的被开方数不相同，故不是同类二次根式；B.，与不是同类二次根式；
C.，与被开方数相同，故是同类二次根式；
D.，与被开方数不同，故不是同类二次根式．故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式，熟练掌握根式化简的基本方法，灵活运用同类二次根式的定义判断解题是求解的关键．
3．（2021·广东·江门市第二中学二模）若最简二次根式与是同类二次根式，则_____．
【答案】3
【分析】根据同类二次根式的被开方数相同列方程求解即可．
【详解】∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴4-a=2a-5，解得a=3．故答案为：3．
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，解题的关键是注意二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
4．（2020·浙江杭州·模拟预测）下列各式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用最简二次根式定义进行解答即可．
【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式；
B、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式；
C、，被开方数含分母，不是最简二次根式；D、是最简二次根式；故选D．
【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
5．（2021·福建·厦门市第九中学二模）下列二次根式中能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义解答．
【详解】A.，不能与合并，故该选项不符合题意；
B.，不能与合并，故该选项不符合题意；
C.，不能与合并，故该选项不符合题意；
D. ，能与合并，故该选项符合题意．故选D．
【点睛】本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
考向3.二次根式的性质
【典例精析】
【例】（2021·浙江杭州市·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：，故A正确，C错误；，故B、D错误；故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握性质进行判断．
【变式训练】
变式3-1. （2020·四川攀枝花·中考真题）实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）．
A． B．0 C． D．
【答案】A
【分析】根据实数a和b在数轴上的位置得出其取值范围，再利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求出答案．
【解析】由数轴可知-2＜a＜-1，1＜b＜2，∴a+1＜0，b-1＞0，a-b＜0，
∴===-2故选A.
【点睛】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，以及二次根式的性质，要求学生正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断．
变式3-2. （2021·湖南衡阳市·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用算术平方根，零指数幂，同类二次根式，立方根逐项判断即可选择．
【详解】，故A选项错误，不符合题意；，故B选项正确，符合题意；
和不是同类二次根式不能合并，故C选项错误，不符合题意；
不能化简，故D选项错误，不符合题意；故选B．
【点睛】本题考查算术平方根，零指数幂，同类二次根式，立方根．掌握各知识点和运算法则是解答本题的关键．
变式3-3. （2020·湖北武汉·中考真题）计算的结果是_______.
【答案】3
【分析】根据二次根式的性质进行求解即可.
【解析】==3，故答案为3.
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.
【考点巩固训练】
1．（2020·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】根据数轴上a点的位置，判断出（a 1）和（a 2）的符号，再根据非负数的性质进行化简．
【解析】解：由图知：1＜a＜2，∴a 1＞0，a 2＜0，
原式＝a 1-＝a 1＋（a 2）＝2a 3．故选D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a 1＞0，a 2＜0是解题关键．
2．（2021·湖北武汉市·中考真题）计算：的结果是_______________________．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质进行求解即可.
【详解】解：==5，故答案为5.
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.
3．（2020·黑龙江绥化市·中考真题）下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据算术平方根、立方根、二次根式的化简等概念分别判断．
【详解】解：A. ,本选项不成立；B. ，本选项不成立；
C. =，本选项不成立；D. ，本选项成立.故选：D.
【点睛】本题考查了二次根式的化简与性质，正确理解二次根式有意义的条件、算术平方根的计算等知识点是解答问题的关键．
4．（2021·江苏苏州市·中考真题）计算的结果是（ ）
A． B．3 C． D．9
【答案】B
【分析】直接根据二次根式的性质求解即可．
【详解】解：，故选B．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握是解答此题的关键．
5．（2021.湖南张家界·中考模拟）实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（ ）
A．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b
【答案】C
【解析】利用数轴得出a+b的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可：
∵由数轴可知，b＞0＞a，且 |a|＞|b|，∴.故选C．
考点：1.绝对值；2.二次根式的性质与化简；3.实数与数轴．
考向4.二次根式的运算
【典例精析】
【例】（2021·重庆中考真题）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式运算法则逐项进行计算即可．
【详解】解：A. ，原选项错误，不符合题意；
B. 和不是同类二次根式，不能合并，原选项错误，不符合题意；
C. ，原选项正确，符合题意；D. ，原选项错误，不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟练运用二次根式运算法则，进行准确计算．
【变式训练】
变式4-1. （2020 杭州）（　　）
A． B． C． D．3
【分析】根据二次根式的乘法运算法则进行运算即可．
【详解】解：，故选：B．
变式4-2. （2021·浙江嘉兴市·中考真题）能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据反例满足条件，但不能得到结论，所以利用此特征可对各选项进行判断．
【详解】解：A、，是无理数，不符合题意；
B、，是无理数，不符合题意；C、，是有理数，符合题意；
D、，是无理数，不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的概念以及二次根式的运算，熟练掌握运算法则和定义是解题的关键．
变式4-3. （2020·河北中考真题）已知：，则_________．
【答案】6
【分析】根据二次根式的运算法则即可求解．
【详解】∵∴a=3,b=2∴6故答案为：6．
【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
【考点巩固训练】
1．（2020·湖南邵阳市·中考真题）在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格的实数之积为________．
2
1 6
3
【答案】
【分析】先将表格中最上一行的3个数相乘得到，然后中间一行的三个数相乘以及最后一行的三个数相等都是，即可求解．
【详解】解：由题意可知，第一行三个数的乘积为：，
设第二行中间数为x，则，解得，
设第三行第一个数为y，则，解得，
∴2个空格的实数之积为．故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根数的乘法运算法则，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则是解决此类题的关键．
2．（2021·天津中考真题）计算的结果等于_____．
【答案】9
【分析】根据二次根式的混合运算法则结合平方差公式计算即可．
【详解】．故答案为9．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算．掌握二次根式的混合运算法则是解答本题你的关键．
3．（2020·内蒙古赤峰市·中考真题）估计的值应在 （ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】A
【分析】根据二次根式的混合运算法则进行计算，再估算无理数的大小.
【详解】==2+，
∵4<6<9，∵2<<3，∴4<2+<5，故选：A.
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的运算法则、会进行无理数的大小估算是解题的关键.
4．（2021·湖南常德市·中考真题）计算：（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】C
【分析】先将括号内的式子进行通分计算，最后再进行乘法运算即可得到答案．
【详解】解：== =2．故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则以及乘法公式是解答此题的关键．
5．（2020·山东聊城市·中考真题）计算的结果正确的是（ ）．
A．1 B． C．5 D．9
【答案】A
【分析】利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果．
【详解】解：，故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
考向5. 分母有理化与分子有理化及运用
【典例精析】
【例】（2019·湖北中考真题）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】据题中给的方法分别对和进行化简，然后再进行合并即可.
【解析】设，且，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴原式，故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了分母有理化等方法，弄清题意，理解和掌握题中介绍的方法是解题的关键.
【变式训练】
变式5-1. （2020·安徽天长·中考模拟）比较大小：___
【答案】＜
【分析】利用分子有理化即可比较大小．
【解析】解： ==
==
∵＞∴∴＜故答案为：＜．
【点睛】此题考查的是实数的比较大小，掌握利用分子有理化比较大小是解决此题的关键．
变式5-2.（2021·河北唐山·模拟预测）阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简；．以上这种化简过程叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：．
（1）请任用其中一种方法化简：①；②为正整数）；
（2）化简：．
【答案】（1）①；②；（2）
【分析】（1）根据阅读材料中的方法将各式化简即可；
（2）原式分母有理化后，合并即可得到结果．
【详解】解：（1）①原式；
②原式；
（2）原式【点睛】此题考查了分母有理化，弄清阅读材料中的解题方法是解本题的关键．
变式5-3. （2021·浙江杭州·模拟预测）阅读下列解题过程
．
．
请回答下列问题（1）观察上面解题过程，请直接写出的结果为______．
（2）利用上面所提供的解法，请化简：
的值．
（3）不计算近似值，试比较与的大小，并说明理由．
【答案】（1）；（2）9；（3）
【分析】（1）由解题过程可以看出该解题过程运用的是分母有理化运算，有理化后分母为1，分子则为分母的有理化因式，由此可直接写出的值；（2）中各项按规律化简后相加可以消除互为相反数的项，没有抵消的计算得到结果．（3）利用倒数关系比较大小．
【详解】解：（1）由上面的解题规律可直接写出．
（2）由（1）得，原式=．
（3），同理．
又，，．
【点睛】本题是规律型的，由分母有理化得出规律，以及考查了二次根式的化简在多项式求和和比较大小中的应用．
【考点巩固训练】
1．（2021·浙江杭州·中考模拟）化简_________．
【答案】
【分析】利用分母有理化分别化简各项，再作加减法．
【详解】解：
=
==故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分母有理化的法则．
2．（2021·江苏昆山·一模）设，则从小到大的顺序是______．
【答案】
【分析】将c分母有理化可比较出b于c的大小，再通过比较a与c的平方可比较出a与c的的大小，再进行比较即可．
【详解】解：c=；
∵，∴b＞c，
又∵，，且＞1，∴a2＜c2，∴a＜c，∴a＜c＜b．
故答案为a＜c＜b．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，分母有理化，找到有理化因式是解题的关键．
3．（2021·广东·佛山市一模）观察下列运算过程
请运用上面的运算方法计算：
当时，___________
【答案】9
【分析】根据所给运算方法，将所求式子变形后再计算即可．
【详解】解：
当n=99时，原式．故答案为：9．
【点睛】本题考查的知识点是二次根式的混合运算，根据所给运算过程对原式进行正确的变形是解此题的关键．
4．（2021·四川成都·二模）比较大小：___
【答案】＜
【分析】直接利用二次根式的性质分别变形，进而比较得出答案．
【详解】解：=
=
∵＞∴∴＜故答案为：＜．
【点睛】此题主要考查了二次根式的分子有理化，正确化简二次根式是解题关键．
5．（2021·河北唐山·二模）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰，，之类的式子，其实我们还可以将其进一步化简，如：
；；
以上这种化简的过程叫做分母有理化．
（1）化简：；（2）化简：；（3）化简：．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）二次根式的乘法，将二次根式分母化简后进行二次根式分母有理化的计算；
（2）将二次根式分母有理化进行计算；
（3）利用平方差公式的结构特点对二次根式的进行分母有理化的计算，然后探索规律求解．
【详解】解：（1）
（2）
（3）
=
=
．
【点睛】本题考查二次根式的分母有理化的计算，掌握利用平方差公式的结构进行分母有理化的计算方法，正确计算是解题关键．
考向6. 二次根式规律探究
【典例精析】
【例】（2021·四川眉山市·中考真题）观察下列等式：；
；；……
根据以上规律，计算______．
【答案】
【分析】根据题意，找到第n个等式的左边为，等式右边为1与的和；利用这个结论得到原式＝1+1+1+…+1﹣2021，然后把化为1﹣，化为﹣，化为﹣，再进行分数的加减运算即可．
【详解】解：由题意可知，，
＝1+1+1+…+1﹣2021
＝2020+1﹣+﹣+…+﹣﹣2021＝2020+1﹣﹣2021＝．故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．
【变式训练】
变式6-1. （2019·山东枣庄市·中考真题）观察下列各式：
，
，
，
请利用你发现的规律，计算：
，其结果为____．
【答案】．
【分析】根据题意找出规律，根据二次根式的性质计算即可．
【详解】
，故答案为．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简、数字的变化规律，掌握二次根式的性质是解题
的关键．
变式6-2. （2019·湖南益阳市·中考真题）观察下列等式：
①3﹣2＝(﹣1)2，
②5﹣2＝(﹣)2，
③7﹣2＝(﹣)2，…
请你根据以上规律，写出第6个等式____________．
【答案】
【分析】第n个等式左边的第1个数为2n+1，根号下的数为n(n+1)，利用完全平方公式得到第n个等式右边的式子为(﹣)2(n≥1的整数)．
【详解】∵①3﹣2＝(﹣1)2，②5﹣2＝(﹣)2，③7﹣2＝(﹣)2，…，
∴第n个等式为：(2n+1)-2=(﹣)2，
∴第6个等式为：，故答案为．
【点睛】本题考查了规律题，涉及了二次根式的混合运算，通过所给等式发现等式左边与右边的变化规律是解题的关键.
变式6-3.（2021·甘肃白银·一模）观察下列各式：
；；
；……
请利用你发现的规律，计算，其结果为_________．
【答案】
【分析】根据上述规律拆分每个根号，再正负相消即可得出答案．
【详解】根据题意可得：
原式=
==。故答案为．
【点睛】本题考查的是实数的运算，解题关键是根据示例找出规律将式子进行化简．
【考点巩固训练】
1．（2021·湖北黄冈市·中考真题）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则，记，，…，．则____．
【答案】10
【分析】先根据求出（为正整数）的值，从而可得的值，再求和即可得．
【详解】解：，（为正整数），
，，，
，则，故答案为：10．
【点睛】本题考查了二次根式的运算、分式的运算，正确发现一般规律是解题关键．
3．（2021·山西郊区·一模）观察下列各式及证明过程：
①；②；③．
验证：；
．
（1）按照上述等式及验证过程的基本思想，猜想的变形结果，并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用（为正整数，且）表示的等式．
【答案】（1），验证见解析；（2）（为正整数，）．
【分析】（1）应用二次根式对根式进行变形，总结规律，三个连续自然数的倒数，第一个乘以后两个的差，结果等于中间数作结果的系数，中间数的分母作结果中被开方数的分子，另两个数的分母的乘积作被开方数的分母，即可得到结果；
（2）根据（1）即可得到等式．
【详解】解：（1）猜着：
验证：；
（2）（为正整数，）．
【点睛】本题考查二次根式的化简，同时考查学生归纳总结的能力，特别注意写用含n的式子表示时一定要写上相应的n的取值范围．
3．（2021·安徽休宁·一模）观察下列各式：
①；②；③；④．
根据上面三个式子所呈现的规律，完成下列各题：
（1）写出第⑤个式子：____________；（2）写出第个式子（，且为整数），并给出证明．
【答案】（1）；（2），见解析
【分析】（1）从两个角度去思考：一是序号与右边根式前面的整数的关系，二是这个整数与分数的分母之间的关系，确定好规律好，问题自然得解；（2）利用特殊与一般的关系推广即可
【详解】（1）∵右边根式前面的整数等于序号+1，分数的分母等于这个整数的平方减去1，
∴第⑤个式子：，故答案为：；
（2）第个式子：.
证明如下：===.
【点睛】本题考查了二次根式背景下的规律探索问题，准确找出序号与右边根式前面的整数的关系，这个整数与分数的分母之间的关系是解题的关键．
4．（2021·四川省内江市第六中学一模）观察下面的式子：S1=1+，S2=1+，S3=1+…Sn=1+
（1）计算：=　 　，=　 　；猜想=　 　（用n的代数式表示）；
（2）计算：S=（用n的代数式表示）．
【答案】(1) ;(2)
【分析】（1）分别求出S1，S2，…的值，再求出其算术平方根即可；
（2）根据（1）的结果进行拆项得出1++1++1+，求出答案即可．
【详解】（1）∵S1=1+ ，∴；
∵S2=1+，∴；∵S3=1+，∴；
∵Sn=1+，∴；
（2）解：S==
==
【点睛】本题考查二次根式的化简和数字类规律，解题的关键是掌握二次根式的化简运算和数字类规律基本解题方法．
5．（2021·三明市第四中学月考）细心观察图形，认真分析各式，然后回答问题：
（1）推算出OA10的长和S10的值．
（2）直接用含n（为正整数）的式子表示OAn的长和Sn的值．
（3）求的值．
【答案】（1）OA10=；S10=；（2）OAn=；Sn=；（3）
【分析】（1）根据表格中式子规律即可求出结论；（2）根据表格中式子规律即可求出结论；
（3）根据（2）的公式代入求值即可．
【详解】解：由题意可得：OA102==10，S10=∴OA10=；
（2）由题意可得：OAn2==n，Sn=∴OAn=；
（3）=
===
【点睛】此题考查的是探索规律题，根据已知等式，找出运算规律是解题关键．
考向7. 复杂的二次根式与二次根式的实际应用
【典例精析】
【例】（2021·重庆·模拟预测）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么，如何将双重二次根式化简．我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y’)给出如下定义：若则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点(3，2)的“横负纵变点”为(3，2)，点(﹣2，5)的“横负纵变点”为(﹣2，﹣5)．问题：（1）点的“横负纵变点”为　 　 ，点的“横负纵变点”为　　 ；
（2）化简：；（3）已知a为常数（1≤a≤2），点M(，m)是关于x的函数图像上的一点，点M’是点M的“横负纵变点”，求点M’的坐标．
【答案】（1），；（2）；（3）(﹣，﹣)
【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义即可解决问题．（2）模仿例题解决问题即可．
（3）首先化简双重二次根式，再根据待定系数法，“横负纵变点”解决问题即可．
【详解】解：（1）根据题目意思，∵和，
点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为，
故答案为：，；
（2）∵∴；
（3）∵，
∵点M(，m)是关于x的函数图像上的一点，
∴，即：M（，），
又∵点M’是点M的“横负纵变点∴M′的坐标为（，）．
【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，横负纵变点”的定义，双重二次根式的化简等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿解决问题，属于中考常考题型．
【变式训练】
变式7-1. （2021·贵州黔东南·二模）阅读材料：
材料一:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层(或多层)根号,如：
材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式, 利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常 用到．
如：
∵，∴，即
∴的最小值为
阅读上述材料解决下面问题：
（1） ， ；（2）求的最值；
（3）已知，求的最值．
【答案】（1）；（2）-；（3）-4.
【分析】（1）利用完全平方公式及二次根式的性质即可求解；（2）利用完全平方公式配方即可求解；
（3）先化简x,再代入代数式化简，最后求出其最值即可求解.
【详解】（1），；
故答案为：；
（2）∵==≥-1∴的最小值为-；
（3）∵=
∴=
==≤-4故的最大值为-4.
【点睛】此题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟知完全平方公式及配方法的应用.
变式7-2. （2021·湖北沙区·三模）小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法．下面是她解方程＋＝5的过程．
解：设﹣＝m，与原方程相乘得：
（＋）×（）＝5m，
x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1，
∴﹣＝1，与原方程相加得：
（＋）+（）＝5＋1，
2＝6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根．
学习借鉴解法，解方程﹣＝1．
【答案】x＝7
【分析】根据借鉴题中的方法，即可计算求解．
【详解】解：设+＝m，与原方程相乘得：
（﹣）×（+）＝m，
x﹣3﹣（x﹣6）＝m，解之得m＝3，
∴+＝3，与原方程相加得：
（﹣）+（+）＝3＋1，
2＝4，解之得，x＝7，经检验，x＝7是原方程的根．
【点睛】此题主要考查解无理方程，解题的关键是阅读理解，用新方法解决问题．
变式7-3. （2021·浙江杭州·二模）已知三角形的三边长分别为，，，求其面积，古希腊的几何学家海伦给出海伦公式（其中），我国南宋时期数学教秦九昭提出了秦九昭公式，若一个三角形的三边长分别为2，2，3，请你选择自己喜欢的公式计算这个三角形的面积．
【答案】
【分析】根据题意可直接代入公式进行求解即可．
【详解】解：由题意得：，∴，
∴．
【点睛】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的应用是解题的关键．
【考点巩固训练】
1．（2021·北京西城·中考模拟）化简：______________.
【答案】
【解析】
【分析】将5拆成3和2，然后运用完全平方公式化简即可.
【详解】解：
【点睛】本题考查二次根式的性质和完全平方公式，灵活运用所学知识是解题关键.
2．（2021·浙江杭州·模拟预测）一个长方形的面积为，其中一边长为，则另一边为_________．
【答案】
【分析】根据题意列出算式计算即可．
【详解】解：由题意可得：==故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式的除法，关键是利用长方形的面积公式列式计算．
3．（2021·山东临清·二模）如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据正方形的面积公式求出两张正方形纸片的边长，从而可得长方形ABCD的长与宽，再利用长方形ABCD的面积减去两个正方形的面积即可得．
【详解】面积为的正方形纸片的边长为，则，
面积为的正方形纸片的边长为，则，
因此，图中空白部分面积为，故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的几何应用，正确求出两个正方形的边长是解题关键．
4．（2021·湖南汉寿·一模）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为．如图，在中，，，所对的边分别记为，，，若，，，则的面积为（ ）
A．14 B．20 C． D．
【答案】C
【分析】利用阅读材料，先计算出p的值，然后根据海伦﹣秦九韶公式计算△ABC的面积即可．
【详解】解：∵，，，∴，
∴的面积，故选：C．
【点睛】考查了二次根式的应用，解题的关键是代入后正确的运算．
5．（2021·河北·模拟预测）阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数 m和n，使m2+n2=a 且 mn=，则a+2 可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简．
例如：∵5+2=3+2+2=（）2+（）2+2=（+）2
∴==+
请你仿照上例将下列各式化简（1），（2）．
【答案】（1）1+；（2）.
【分析】参照范例中的方法进行解答即可.
【详解】解：（1）∵，
∴；
（2）∵，
∴.
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第一章 数与式（浙江省专用）
第4节 二次根式
【考场演练】
一、选择题
1．（2021·河北中考真题）与结果相同的是（ ）．
A． B． C． D．
2．（2021·浙江中考真题）化简的正确结果是（ ）
A．4 B． C． D．
3．（2021·山东聊城市·中考模拟）下列各式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·湖北宜昌市·中考真题）对于无理数，添加关联的数或者运算符号组成新的式子，其运算结果能成为有理数的是（ ）．
A． B． C． D．
5．（2020·山东菏泽市·中考真题）函数的自变量的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
6．（2021·江苏泰州·中考真题）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（　　）
A．与 B．与 C．与 D．与
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2021·河北正定·模拟预测）如图，从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48 cm2的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ）
A．78 cm2 B．cm2 C． cm2 D． cm2
9．（2021·湖北宜昌市·中考真题）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为如图，在中，，，所对的边分别记为，，，若，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·广东·西南中学三模）“分母有理化”是根式运算的一种化简方法，如：；除此之外，还可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数，如要化简，可以先设，再两边平方得，又因为，故x＞0，解得，，根据以上方法，化简的结果是（　　）
A． B． C． D．3
二、填空题
11．（2021·广东高州·月考）若，则=_________．
11．（2021·浙江杭州·模拟预测）已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为_________．
13．（2020·青海中考真题）对于任意不相等的两个实数a，b（ a > b ）定义一种新运算a※b=，如3※2=，那么12※4=______
14．（2021浙江台州·中考模拟）任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，①对81只需进行 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 .
15．（2020·甘肃金昌市·中考真题）已知，当分别取1，2，3，……，2020时，所对应值的总和是__________．
16．（2019·四川内江市·中考真题）若，则_____．
三、解答题
17．（2021·山东临沂市·中考真题）计算．
18．（2021·上海中考模拟）计算：
19．（2020·广西博白·期末）已知长方形的长，宽.
(1)求长方形的周长；(2)求与长方形等面积的正方形的周长，并比较其与长方形周长的大小关系．
20．（2021·安徽安庆·初三期中）阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：﹣＝＝．
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．
例如：比较﹣和的大小可以先将它们分子有理化如下：﹣＝，＝．
因为+＞，所以，﹣＜．
再例如，求y＝﹣的最大值、做法如下：
解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝﹣＝．
当x＝2时，分母﹣有最小值2．所以y的最大值是2．
利用上面的方法，完成下述两题：
（1）比较﹣和﹣的大小；（2）求y＝﹣+3的最大值．
21．（2021·深圳市南山区初三期中）阅读理解：
，
反之：，
∴，∴＝＝－1
（1）仿上例，化简：；（2）求－＋的值，并写出它的小数部分．
22．（2021·重庆市育才中学一模）阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理数因式，于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化．
解决间题：（1）比较大小：　 　（用“＞”“＜”或“＝”填空）；
（2）计算：+；
（3）设实数x，y满足，求x+y+2019的值．
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第4节 二次根式
【考场演练】
一、选择题
1．（2021·河北中考真题）与结果相同的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据有理数运算和二次根式的性质计算，即可得到答案．
【详解】
∵，且选项B、C、D的运算结果分别为：4、6、0故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、含乘方的有理数混合运算的性质，即可得到答案．
2．（2021·浙江中考真题）化简的正确结果是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】利用 直接化简即可得到答案．
【详解】解：故选：
【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握积的算术平方根的含义是解题的关键．
3．（2021·山东聊城市·中考模拟）下列各式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加法法则、除法法则计算，判断即可．
【详解】，A选项成立，不符合题意；
，B选项成立，不符合题意；
，C选项不成立，符合题意；
，D选项成立，不符合题意； 故选C．
【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、二次根式的混合运算法则是解题的关键．
4．（2020·湖北宜昌市·中考真题）对于无理数，添加关联的数或者运算符号组成新的式子，其运算结果能成为有理数的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别计算出各选项的结果再进行判断即可．
【详解】A．不能再计算了，是无理数，不符合题意；
B．，是无理数，不符合题意；C．，是无理数，不符合题意；
D．，是有理数，正确．故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的运算，辨别运算结果，区分运算结果是否是有理数是解题的关键．
5．（2020·山东菏泽市·中考真题）函数的自变量的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】D
【分析】由分式与二次根式有意义的条件得函数自变量的取值范围．
【详解】解：由题意得：解得：且 故选D．
【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，掌握分式与二次根式有意义的条件是解题的关键．
6．（2021·江苏泰州·中考真题）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（　　）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】D
【分析】把每个选项中的不是最简二次根式化为最简二次根式即可作出判断．
【详解】A、，与不是同类二次根式，故此选项错误；
B、，与不是同类二次根式，故此选项错误；
C、与不是同类二次根式，故此选项错误；
D、，，与3是同类二次根式，故此选项正确．故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的化简，同类二次根式的识别等知识，注意二次根式必化成最简二次根式．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】利用最简二次根式的概念分析得出答案．
【详解】解：①是最简二次根式；②=，不是最简二次根式；③，不是最简二次根式；④，不是最简二次根式；最简二次根式有1个，故选：A．
【点睛】本题考查了最简二次根式，正确理解二次根式的定义是解题的关键．
8．（2021·河北正定·模拟预测）如图，从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48 cm2的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ）
A．78 cm2 B．cm2 C． cm2 D． cm2
【答案】D
【分析】根据两小正方形的面积求出大正方形的边长及面积，然后减去两个小正方形的面积，即可求出阴影部分的面积进而得出答案．
【详解】解：从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形，
大正方形的边长是，
留下部分（即阴影部分）的面积是：故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，正确求出大正方形的面积是关键．
9．（2021·湖北宜昌市·中考真题）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为如图，在中，，，所对的边分别记为，，，若，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用阅读材料，先计算出的值，然后根据海伦公式计算的面积；
【详解】，，．，
的面积；故选A．
【点睛】考查了二次根式的应用，解题的关键是代入后正确的运算，难度不大．
10．（2021·广东·西南中学三模）“分母有理化”是根式运算的一种化简方法，如：；除此之外，还可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数，如要化简，可以先设，再两边平方得，又因为，故x＞0，解得，，根据以上方法，化简的结果是（　　）
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】直接利用有理化因式以及二次根式的性质、完全平方公式分别化简得出答案．
【详解】解：原式＝+﹣
＝++﹣（﹣）＝3﹣2++﹣+＝3．故选：D．
【点睛】此题主要考查了分母有理数，正确化简二次根式是解题关键．
二、填空题
11．（2021·广东高州·月考）若，则=_________．
【答案】16
【分析】由二次根式有意义的条件可得：，求解 再求解，从而可得答案.
【解析】解：由题意得： 由①得： 由②得： 所以：
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，求一个数算术平方根，一元一次不等式组的解法，以及有理数的除法运算，掌握以上知识是解题的关键.
11．（2021·浙江杭州·模拟预测）已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为_________．
【答案】±1
【分析】根据同类二次根式的性质即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：，解得：a=±1，故答案为：±1．
【点睛】本题考查二次根式的概念，解题的关键是熟练正确理解最简二次根式以及同类二次根式的概念，本题属于基础题型．
13．（2020·青海中考真题）对于任意不相等的两个实数a，b（ a > b ）定义一种新运算a※b=，如3※2=，那么12※4=______
【答案】
【分析】按照规定的运算顺序与计算方法化为二次根式的混合运算计算即可．
【详解】解：12※4＝故答案为：
【点睛】此题考查二次根式的化简求值，理解规定的运算顺序与计算方法是解决问题的关键．
14．（2021浙江台州·中考模拟）任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，①对81只需进行 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 .
【答案】①3；②255．
【解析】①∵根据定义，，
∴对81只需进行3 次操作后变为1.
②设，x为正整数，则，∴，即最大正整数是3.
设，为正整数，则，∴，即最大正整数是15.
设，为正整数，则，∴，即最大正整数是255.
∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255.故答案为3，255.
15．（2020·甘肃金昌市·中考真题）已知，当分别取1，2，3，……，2020时，所对应值的总和是__________．
【答案】
【分析】先化简二次根式求出y的表达式，再将x的取值依次代入，然后求和即可得．
【详解】
当时， 当时，
则所求的总和为
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值、绝对值运算等知识点，掌握二次根式的化简方法是解题关键．
16．（2019·四川内江市·中考真题）若，则_____．
【答案】1002．
【分析】根据绝对值的性质和二次根式的性质，即可解答
【详解】∵，∴．由，得，
∴，∴．∴．故答案是：1002．
【点睛】此题考查绝对值的非负性，二次根式的性质，解题关键在于掌握运算法则
三、解答题
17．（2021·山东临沂市·中考真题）计算．
【答案】
【分析】化简绝对值，同时利用平方差公式计算，最后合并．
【详解】解：=
==
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是合理运用平方差公式进行计算．
18．（2021·上海中考模拟）计算：
【答案】-3．
【分析】先进行二次根式的化简、去绝对值符号以及二次根式的乘法，然后再合并同类二次根式即可．
【详解】解：==-3．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
19．（2020·广西博白·期末）已知长方形的长，宽.
(1)求长方形的周长；(2)求与长方形等面积的正方形的周长，并比较其与长方形周长的大小关系．
【答案】（1）；（2）长方形的周长大.
【解析】试题分析：（1）代入周长计算公式解决问题；
（2）求得长方形的面积，开方得出正方形的边长，进一步求得周长比较即可．
试题解析： (1)
∴长方形的周长为 .
(2)长方形的面积为：
正方形的面积也为4.边长为 周长为：
∴长方形的周长大于正方形的周长．
20．（2021·安徽安庆·初三期中）阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：﹣＝＝．
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．
例如：比较﹣和的大小可以先将它们分子有理化如下：﹣＝，＝．
因为+＞，所以，﹣＜．
再例如，求y＝﹣的最大值、做法如下：
解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝﹣＝．
当x＝2时，分母﹣有最小值2．所以y的最大值是2．
利用上面的方法，完成下述两题：
（1）比较﹣和﹣的大小；（2）求y＝﹣+3的最大值．
【答案】（1）＜；（2）+3
【分析】（1）先根据材料分别给﹣和﹣，分子有理化，然后再进行比较即可；
（2）先根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围，然后再对无理数部分分子有理化，然后再求最大值即可．
【解析】解：（1），，
而，∴＞，∴＜；
（2）∵x+1≥0，x﹣1≥0，∴x≥1，∵y＝＝，
当x＝1时，分母有最小值，∴y＝有最大值是+3．
【点睛】本题考查了分母有理化的应用以及阅读理解能力，根据分母有理化理解分子有理化的方法是解答本题的关键．
21．（2021·深圳市南山区初三期中）阅读理解：
，
反之：，
∴，∴＝＝－1
（1）仿上例，化简：；（2）求－＋的值，并写出它的小数部分．
【答案】（1）；（2），
【分析】（1）理解题意可得，即可求解；
（2）分别化简、、，将化简结果进行加减运算，即可求解．
【解析】解：（1）∵，∴；
（2）∵，，
，
∴，
∴－＋的值为；小数部分为．
【点睛】本题考查二次根式的计算，理解题意并化简各式是解题的关键．
22．（2021·重庆市育才中学一模）阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理数因式，于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化．
解决间题：（1）比较大小：　 　（用“＞”“＜”或“＝”填空）；
（2）计算：+；
（3）设实数x，y满足，求x+y+2019的值．
【答案】（1）＞；（2）；（3）2019
【分析】（1）根据分母有理化结果即可判断；
（2）原式各项分母有理化后化为两个根式的差，计算即可得到结果．
（3）将已知等式进行变形，化为①，②，由①+②得x+y＝0，即可解答．
【详解】（1），
∵，∴．故答案为＞
（2）∵
=
∴原式＝
=.
（3）∵，
∴，
∴①，
同理：②，
∴①+②得，
∴x+y＝0，∴x+y+2019＝2019．
【点睛】本题考查了分母有理化，也是阅读材料问题，此类问题要认真阅读材料，理解材料中的知识：分母有理化．解题的关键是：根据平方差公式，将各式分母有理化．
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第一章 数与式（浙江省专用）
第4节 二次根式
【考试要求】
1.了解二次根式和最简二次根式的概念，知道二次根式中被开方数为非负数且也是非负数.
2.了解二次根式的加、减、乘、除运算法则并掌握二次根式的性质.
3.能根据二次根式的运算法则及性质进行二次根式的加、减、乘、除和综合运算.
【考情预测】
二次根式是历年中考的考察重点，年年考查，分值为8分左右。预计2022年各地中考还将继续重视对二次根式的有关概念、二次根式的性质和二次根式的混合运算等的考查，且考查形式多样，为避免丢分,学生应扎实掌握。
【考点梳理】
1．二次根式的有关概念：
(1)二次根式：式子 叫做二次根式．
(2)最简二次根式需满足两个条件：①被开方数 ．②被开方数中 的因数或因式．
2．二次根式的性质：
（1）()2＝ (a≥0)． （2）＝ ＝
（3）＝ (a≥0，b≥0)． （4）＝ (a≥0，b＞0)．
二次根式的双重非负性是指它的被开方数与结果均为非负数．
3．二次根式的运算：
(1)二次根式加减法的实质是合并同类二次根式．
(2)二次根式的乘法：·＝ (a≥0，b≥0)．
(3)二次根式的除法：＝ (a≥0，b＞0)．
运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式或整式．
【重难点突破】
考向1. 二次根式中字母的取值范围
【典例精析】
【例】（2021·浙江丽水市·中考真题）要使式子有意义，则x可取的一个数是__________．
【变式训练】
变式1-1．（2021·广东封开·初三期末）已知，则_________．
变式1-2．（2021 丽水）要使式子有意义，则x可取的一个数是　 　．
变式1-3．（2021 下城区一模）已知实数x满足 |x+1|≤0，则x的值为　　．
【考点巩固训练】
1.（2021 金华）二次根式中，字母x的取值范围是　 　．
2．（2020·甘肃省庆阳市中考模拟）若都是实数，且，则_______．
3．（2020·湖北黄石·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．，且 B． C． D．，且
4．（2020·广东中考真题）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021.凉山州·中考模拟）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
考向2. 二次根式的相关概念
【典例精析】
【例】（2020·山东济宁·中考真题）下列各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
变式2-1. （2020·江苏宝应·初三二模）最简根式与是同类二次根式，则a=____．
变式2-2. （2021.上海中考模拟）下列式子中，属于最简二次根式的是
A． B． C． D．
变式2-3. （2019·山西中考真题）下列二次根式是最简二次根式的是( )
A． B． C． D．
【考点巩固训练】
1．（2020·山东济宁市·中考真题）下列各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·上海中考真题）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2021·广东·江门市第二中学二模）若最简二次根式与是同类二次根式，则_____．
4．（2020·浙江杭州·模拟预测）下列各式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·福建·厦门市第九中学二模）下列二次根式中能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
考向3.二次根式的性质
【典例精析】
【例】（2021·浙江杭州市·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
变式3-1. （2020·四川攀枝花·中考真题）实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）．
A． B．0 C． D．
变式3-2. （2021·湖南衡阳市·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式3-3. （2020·湖北武汉·中考真题）计算的结果是_______.
【考点巩固训练】
1．（2020·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2021·湖北武汉市·中考真题）计算：的结果是_______________________．
3．（2020·黑龙江绥化市·中考真题）下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·江苏苏州市·中考真题）计算的结果是（ ）
A． B．3 C． D．9
5．（2021.湖南张家界·中考模拟）实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（ ）
A．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b
考向4.二次根式的运算
【典例精析】
【例】（2021·重庆中考真题）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
变式4-1. （2020 杭州）（　　）
A． B． C． D．3
变式4-2. （2021·浙江嘉兴市·中考真题）能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（ ）
A． B． C． D．
变式4-3. （2020·河北中考真题）已知：，则_________．
【考点巩固训练】
1．（2020·湖南邵阳市·中考真题）在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格的实数之积为________．
2
1 6
3
2．（2021·天津中考真题）计算的结果等于_____．
3．（2020·内蒙古赤峰市·中考真题）估计的值应在 （ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
4．（2021·湖南常德市·中考真题）计算：（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
5．（2020·山东聊城市·中考真题）计算的结果正确的是（ ）．
A．1 B． C．5 D．9
考向5. 分母有理化与分子有理化及运用
【典例精析】
【例】（2019·湖北中考真题）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（　　）
A． B． C． D．
【变式训练】
变式5-1. （2020·安徽天长·中考模拟）比较大小：___
变式5-2.（2021·河北唐山·模拟预测）阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简；．以上这种化简过程叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：．
（1）请任用其中一种方法化简：①；②为正整数）；
（2）化简：．
变式5-3. （2021·浙江杭州·模拟预测）阅读下列解题过程
．
．
请回答下列问题（1）观察上面解题过程，请直接写出的结果为______．
（2）利用上面所提供的解法，请化简：
的值．
（3）不计算近似值，试比较与的大小，并说明理由．
【考点巩固训练】
1．（2021·浙江杭州·中考模拟）化简_________．
2．（2021·江苏昆山·一模）设，则从小到大的顺序是______．
3．（2021·广东·佛山市一模）观察下列运算过程
请运用上面的运算方法计算：
当时，___________
4．（2021·四川成都·二模）比较大小：___
5．（2021·河北唐山·二模）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰，，之类的式子，其实我们还可以将其进一步化简，如：
；；
以上这种化简的过程叫做分母有理化．
（1）化简：；（2）化简：；（3）化简：．
考向6. 二次根式规律探究
【典例精析】
【例】（2021·四川眉山市·中考真题）观察下列等式：；
；；……
根据以上规律，计算______．
【变式训练】
变式6-1. （2019·山东枣庄市·中考真题）观察下列各式：
，
，
，
请利用你发现的规律，计算：
，其结果为____．
变式6-2. （2019·湖南益阳市·中考真题）观察下列等式：
①3﹣2＝(﹣1)2，
②5﹣2＝(﹣)2，
③7﹣2＝(﹣)2，…
请你根据以上规律，写出第6个等式____________．
变式6-3.（2021·甘肃白银·一模）观察下列各式：
；；
；……
请利用你发现的规律，计算，其结果为_________．
【考点巩固训练】
1．（2021·湖北黄冈市·中考真题）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则，记，，…，．则____．
3．（2021·山西郊区·一模）观察下列各式及证明过程：
①；②；③．
验证：；
．
（1）按照上述等式及验证过程的基本思想，猜想的变形结果，并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用（为正整数，且）表示的等式．
3．（2021·安徽休宁·一模）观察下列各式：
①；②；③；④．
根据上面三个式子所呈现的规律，完成下列各题：
（1）写出第⑤个式子：____________；（2）写出第个式子（，且为整数），并给出证明．
4．（2021·四川省内江市第六中学一模）观察下面的式子：S1=1+，S2=1+，S3=1+…Sn=1+
（1）计算：=　 　，=　 　；猜想=　 　（用n的代数式表示）；
（2）计算：S=（用n的代数式表示）．
5．（2021·三明市第四中学月考）细心观察图形，认真分析各式，然后回答问题：
（1）推算出OA10的长和S10的值．
（2）直接用含n（为正整数）的式子表示OAn的长和Sn的值．
（3）求的值．
考向7. 复杂的二次根式与二次根式的实际应用
【典例精析】
【例】（2021·重庆·模拟预测）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么，如何将双重二次根式化简．我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y’)给出如下定义：若则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点(3，2)的“横负纵变点”为(3，2)，点(﹣2，5)的“横负纵变点”为(﹣2，﹣5)．问题：（1）点的“横负纵变点”为　 　 ，点的“横负纵变点”为　　 ；
（2）化简：；（3）已知a为常数（1≤a≤2），点M(，m)是关于x的函数图像上的一点，点M’是点M的“横负纵变点”，求点M’的坐标．
【变式训练】
变式7-1. （2021·贵州黔东南·二模）阅读材料：
材料一:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层(或多层)根号,如：
材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式, 利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常 用到．
如：
∵，∴，即
∴的最小值为
阅读上述材料解决下面问题：
（1） ， ；（2）求的最值；
（3）已知，求的最值．
变式7-2. （2021·湖北沙区·三模）小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法．下面是她解方程＋＝5的过程．
解：设﹣＝m，与原方程相乘得：
（＋）×（）＝5m，
x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1，
∴﹣＝1，与原方程相加得：
（＋）+（）＝5＋1，
2＝6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根．
学习借鉴解法，解方程﹣＝1．
变式7-3. （2021·浙江杭州·二模）已知三角形的三边长分别为，，，求其面积，古希腊的几何学家海伦给出海伦公式（其中），我国南宋时期数学教秦九昭提出了秦九昭公式，若一个三角形的三边长分别为2，2，3，请你选择自己喜欢的公式计算这个三角形的面积．
【考点巩固训练】
1．（2021·北京西城·中考模拟）化简：______________.
2．（2021·浙江杭州·模拟预测）一个长方形的面积为，其中一边长为，则另一边为____．
3．（2021·山东临清·二模）如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·湖南汉寿·一模）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为．如图，在中，，，所对的边分别记为，，，若，，，则的面积为（ ）
A．14 B．20 C． D．
5．（2021·河北·模拟预测）阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数 m和n，使m2+n2=a 且 mn=，则a+2 可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简．
例如：∵5+2=3+2+2=（）2+（）2+2=（+）2
∴==+
请你仿照上例将下列各式化简（1），（2）．
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