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初中数学苏科版九年级上学期期中复习专题4 圆的有关概念与基本性质
一、单选题
1．（2020九上·南京期中）下列说法中，不正确的是（　　）
A．直径是最长的弦
B．同圆中，所有的半径都相等
C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
D．长度相等的弧是等弧
【答案】D
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：A、直径是最长的弦，说法正确；
B、同圆中，所有的半径都相等，说法正确；
C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确；
D、完全重合的弧就是等弧，故原说法错误.
故答案为：D.
【分析】根据圆的基本性质可得：直径是最长的弦； 同圆中，所有的半径都相等 ； 圆既是轴对称图形又是中心对称图形 ；在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，从而即可一一判断得出答案.
2．（2020九上·广饶期中）下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】圆的认识；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】①直径是弦，符合题意；②弦不一定是直径，不符合题意；③半径相等的两个半圆是等弧，符合题意；④能够完全重合的两条弧是等弧，不符合题意；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆，符合题意；
正确的有3个，
故答案为：C．
【分析】利用圆的有关定义及性质分别进行判断后即可确定正确的选项．
3．（2020九上·扬州期中）下列说法：①三点确定一个圆；②圆中最长弦是直径；③长度相等的弧是等弧；④三角形只有一个外接圆.其中真命题有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】圆的认识；确定圆的条件；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，原命题是假命题；
②圆中最长弦是直径，是真命题；
③在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，原命题是假命题；
④三角形只有一个外接圆，是真命题.
故答案为：C.
【分析】①根据确定圆的条件“不在同一直线上的三点确定一个圆”可求解；
②由圆的性质可知，直径是圆中最长的弦；
③由圆的性质可知，在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧；
④根据确定圆的条件“不在同一直线上的三点确定一个圆”可得三角形只有一个外接圆.
4．（2020九上·无锡月考）给出下列命题：
①弦是直径；②圆上两点间的距离叫弧；③长度相等的两段弧是等弧；④圆心角的度数与它所对的弧的度数相等；⑤圆是轴对称图形，不是中心对称图形；⑥直径是弦.其中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】圆的认识；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：①连接圆上任意两点间的线段叫做弦，故弦不一定是直径，原命题是假命题；
②圆上任意两点间的部分叫弧，原命题是假命题；
③在同圆或等圆中，长度相等的两段弧是等弧，原命题是假命题；
④圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，是真命题；
⑤圆是轴对称图形，也是中心对称图形，原命题是假命题；
⑥过圆心的弦是直径，所以直径是弦，是真命题.
故答案为：B.
【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项.
5．（2019·宜昌）如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC=40°时，∠A的度数是（　　）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】∵∠OBC=40°，OB=OC,则∠OCB=40°，∠BOC=180°-40×2=100°，则∠A=100÷2=50°.
故答案为：A
【分析】因为圆的半径相等，根据三角形内角和可推知∠BOC的大小，根据圆周角等于它所夹弧所对的圆心角的一半可得∠A的大小。
6．（2021九上·甘州期末）已知，如图， ，下列结论不一定成立的是（　　）
A． B．
C． D． 都是等边三角形
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：
， .
成立，D不成立.
故答案为：D.
【分析】根据圆心角、弦、弧之间的关系定理，由∠AOB=∠COD可得AB=CD，，再根据圆的半径都相等用边边边可证△AOB≌△COD，从而即可一一判断得出答案.
7．（2021九上·朝阳期末）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上， ＝ ，OD∥AC，下列结论错误的是（　　）
A．∠C＝∠D B．∠BOD＝∠COD
C．∠BAD＝∠CAD D．∠BOD＝∠BAC
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，OD∥AC， ＝ ，
∴∠BOD＝∠COD，∠BAD＝∠CAD，故B、C正确；
∵∠BAC＝ ∠BOC，∠BOD＝∠COD，
∴∠BOD＝∠BAC，故D正确.
故答案为：A.
【分析】根据圆心角定理"在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等"和圆周角定理“一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角的一半”并结合题意可求解.
8．（2019九上·柳江月考）如图，AB是⊙O的直径， ，∠COD=34°，则∠AOE的度数是（　　）
A．51° B．56° C．68° D．78°
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ ， ∠COD=34° ，
∴∠BOC=∠COD=∠DOE=34°，
∴∠AOE=180°-∠BOC-∠COD-∠DOE=180°-34°-34°-34°= 78° .
故答案为：D.
【分析】根据等弧所对的圆心角相等得出∠BOC=∠COD=∠DOE=34°，进而根据角的和差就可算出答案.
9．（2016·陕西）如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥BC于D，
则BC=2BD，
∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°，
∴∠BOC=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB= （180°﹣∠BOC）=30°，
∵⊙O的半径为4，
∴BD=OB cos∠OBC=4× =2 ，
∴BC=4 ．
故选：B．
【分析】首先过点O作OD⊥BC于D，由垂径定理可得BC=2BD，又由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC的度数，利用余弦函数，即可求得答案．此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
10．（2019·贵港）如图，AD是⊙O的直径， ，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ ，∠AOB＝40°，
∴∠COD＝∠AOB＝40°，
∵∠AOB+∠BOC+∠COD＝180°，
∴∠BOC＝100°，
∴∠BPC＝ ∠BOC＝50°。
故答案为：B。
【分析】根据等弧所对的圆心角相等得出∠COD＝∠AOB＝40°，根据平角的定义得出∠BOC的度数，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半算出∠BPC的度数。
11．（2017·广州）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD=20°，则下列说法中正确的是（　　）
A．AD=2OB B．CE=EO
C．∠OCE=40° D．∠BOC=2∠BAD
【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵AB⊥CD，
∴ = ，CE=DE，
∴∠BOC=2∠BAD=40°，
∴∠OCE=90°﹣40°=50°．
故选D．
【分析】先根据垂径定理得到 = ，CE=DE，再利用圆周角定理得到∠BOC=40°，则根据互余可计算出∠OCE的度数，于是可对各选项进行判断．
12．（2020·黔东南州）如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD＝3：5，则AB的长为（　　）
A．8 B．12 C．16 D．2
【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，
∵⊙O的直径CD＝20，OM：OD＝3：5，
∴OD＝10，OM＝6，
∵AB⊥CD，
∴AM＝ ＝ ＝8，
∴AB＝2AM＝16.
故答案为：C.
【分析】连接OA，先根据已知条件OM：OD＝3：5易求出OD及OM的长，再用勾股定理可求出AM的长，然后结合垂径定理可求解.
13．（2017·新疆）如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，CE．若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（　　）
A．12 B．15 C．16 D．18
【答案】A
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，AB=8，
∴AC=BC= AB=4．
设OA=r，则OC=r﹣2，
在Rt△AOC中，
∵AC2+OC2=OA2，即42+（r﹣2）2=r2，解得r=5，
∴AE=10，
∴BE= = =6，
∴△BCE的面积= BC BE= ×4×6=12．
故选A．
【分析】先根据垂径定理求出AC的长，再设OA=r，则OC=r﹣2，在Rt△AOC中利用勾股定理求出r的值，再求出BE的长，利用三角形的面积公式即可得出结论．
14．（2019·衢州）一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D，现测得AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为（　　）
A．6dm B．5dm C．4dm D．3dm
【答案】B
【知识点】垂径定理的应用
【解析】解：连结OD，OA，如图，设半径为r，
∵AB=8，CD⊥AB，
∴AD=4，点O、D、C三点共线，
∵CD=2，
∴OD=r-2，
在Rt△ADO中，
∵AO2=AD2+OD2，
即r2=42+（r-2）2，
解得：r=5，
故答案为：B.
【分析】连结OD，OA，设半径为r，根据垂径定理得AD=4，OD=r-2，在Rt△ADO中，由勾股定理建立方程，解之即可求得答案.
15．（2018·衢州）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（　　）
A．3cm B． cm C．2.5cm D． cm
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OB
∵AC⊥BD，OF⊥BC，BD=8
∴BE= BD=4，BF= BC
设圆的半径为r，则OE=r-2
在Rt△BEO中，
∴
解之：r=5
∴EC=OE+OC=3+5=8
在Rt△BEC中，
∴
在Rt△OBF中，
故答案为：D
【分析】利用垂径定理求出BE的长，BF= BC，在Rt△BEO中，利用勾股定理求出圆的半径，就可求出EC的长，再在在Rt△BEC中，利用勾股定理求出BF的长，然后在Rt△OBF中，利用勾股定理就可求出答案。
16．（2017九上·吴兴期中）如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在优弧AB上． 若∠AOD=52°，则∠DEB的度数为（　　）
A．52° B．40° C．26° D．45°
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵OD⊥AB，
∴弧AD=弧BD，
又∵∠AOD=52°，
∴∠DEB=∠AOD=26°.
故答案为：C.
【分析】根据垂径定理得弧AD=弧BD，再由等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，从而得出答案.
二、填空题
17．过四边形的任意三个顶点能画圆的个数最多为　 　个．
【答案】4
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：过四边形的任意三个顶点能画圆的个数最多4个．
故答案为4．
【分析】根据确定圆的条件，四边形的任意三个顶点都不共圆，则过四边形的任意三个顶点最多可画4个圆．
18．（2021·锡山模拟）如图，在 中， 为 直径， 为圆上一点，若 ，则 的度数为　 　．
【答案】52°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】利用等腰三角形的性质可得，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可得答案.
19．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于E点，若AB=2DE，∠E=18°，则∠AOC的度数为　 　度．
【答案】54
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；圆的认识
【解析】【解答】解：连接OD，∵AB=2DE，
∴OD=DE，
∴∠E=∠EOD，
在△EDO中，∠ODC=∠E+∠EOD=36°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=36°，
在△CEO中，∠AOC=∠E+∠OCD=18°+36°=54°．
【分析】连接OD，根据同圆半径相等，直径是半径的2倍，由AB=2DE，得出∠E=∠EOD，根据等边对等角得出∠E=∠EOD，根据三角形外角定理得出∠ODC=∠E+∠EOD=36°，根据等边对等角得出∠OCD=∠ODC=36°，根据三角形外角定理由∠AOC=∠E+∠OCD，即可算出答案。
20．如图，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，已知∠AOD=50°，AD∥OC，则∠BOC=　 　度．
【答案】65
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆的认识
【解析】【解答】解：∵OD=OC，
∴∠D=∠A，
而∠AOD=50°，
∴∠A= （180°﹣50°）=65°，
又∵AD∥OC，
∴∠BOC=∠A=65°．
故答案为：65．
【分析】根据同圆半径相等及等边对等角可知∠D=∠A，借助三角形内角和可得∠A =65°，再利用两直线平行同位角相等即可。
21．（2019·天水）如图，在平面直角坐标系中，已知 经过原点 ，与 轴、 轴分别交于 、 两点，点 坐标为 ， 与 交于点 ， ，则圆中阴影部分的面积为　 　.
【答案】
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接 ，
∵ ，
∴ 是直径，
根据同弧对的圆周角相等得 ，
∵ ，
∴ ， ，即圆的半径为2，
∴ 。
故答案为： 。
【分析】连接 ，根据直径所对的圆周角是直角的逆用得出AB是该圆的直角，根据同弧对的圆周角相等得 ，根据锐角三角函数的关系及特殊锐角三角函数值，分别算出OA,AB的长，然后根据即可算出答案。
22．（2016·绍兴）如图1，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图2是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB=40cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10cm，则该脸盆的半径为　 　cm．
【答案】25
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解；如图，设圆的圆心为O，连接OA，OC，OC与AB交于点D，设⊙O半径为R，
∵OC⊥AB，
∵AD=DB= AB=20，
在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，
∴OA2=OD2+AD2，
∴R2=202+（R﹣10）2，
∴R=25．
故答案为25．
【分析】设圆的圆心为O，连接OA，OC，OC与AB交于点D，设⊙O半径为R，在Rt△AOD中利用勾股定理即可解决问题．本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用勾股定理列方程解决问题，属于中考常考题型．
23．（2020·台州模拟）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，连接BC过点O作OF⊥BC于点F，若BD＝12cm，AE＝4cm，则OF的长度是　 　cm.
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OB，
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC，
∴BE＝ BD＝6cm，
在Rt△OEB中，OB2＝OE2+BE2，即OB2＝（OB﹣4）2+62，
解得，OB＝ ，
则EC＝AC﹣AE＝9，
BC＝ ＝ ＝3 ，
∵OF⊥BC，
∴CF＝ BC＝ ，
∴OF＝ ＝ ＝ （cm）.
故答案为： .
【分析】连接OB，根据垂径定理，可得BE＝ BD＝6cm，在Rt△OEB中，OB2＝OE2+BE2，即OB2＝（OB﹣4）2+62，求出OB＝，即得AC=13，从而得出EC＝AC﹣AE＝9，利用勾股定理求出BC=3 ，利用 垂径定理求出CF= BC＝，根据勾股定理求出OF的长即可.
三、综合题
24．（2017九上·东台月考）如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D， AC交⊙O于点E，∠BAC=45°。
（1）求∠EBC的度数；
（2）求证：BD=CD。
【答案】（1）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=∠CEB=90°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵∠BAC=45°，
∴∠ABC=∠ACB=67.5°，
∴∠EBC=90°-67.5°=22.5°，
（2）证明：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
即AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴BD=CD，
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【分析】（1）由圆周角定理得出∠AEB=∠CEB=90°，又由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB，再根据三角形内角和得出∠ABC=∠ACB=67.5°，
∠EBC=22.5°.
（2）连接AD，由圆周角定理得出∠AEB=∠CEB=90°，即AD⊥BC；又由等腰三角形的性质得出BD=CD.
25．（2018九上·衢州期中）如图，已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆半径r=8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长
【答案】（1）证明：过点O作 OE⊥AB于 E，
∴AE=BE，CE=DE，
∴AE-CE=BE-DE，∴AC=BD
（2）解：由(1)知 OE=6，OA=10，∴AE=8，∵OE=6，OC=8∴ CE =
∴AC=AE-CE=8-2
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】（1）过点O作 OE⊥AB于 E，根据垂径定理得出AE=BE，CE=DE，再根据等式的性质，将两个等式相减即可得出答案；
（2）连接OA，OC，根据勾股定理分别算出AE，CE，再根据线段的和差即可算出答案。
1 / 1初中数学苏科版九年级上学期期中复习专题4 圆的有关概念与基本性质
一、单选题
1．（2020九上·南京期中）下列说法中，不正确的是（　　）
A．直径是最长的弦
B．同圆中，所有的半径都相等
C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
D．长度相等的弧是等弧
2．（2020九上·广饶期中）下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2020九上·扬州期中）下列说法：①三点确定一个圆；②圆中最长弦是直径；③长度相等的弧是等弧；④三角形只有一个外接圆.其中真命题有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．（2020九上·无锡月考）给出下列命题：
①弦是直径；②圆上两点间的距离叫弧；③长度相等的两段弧是等弧；④圆心角的度数与它所对的弧的度数相等；⑤圆是轴对称图形，不是中心对称图形；⑥直径是弦.其中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2019·宜昌）如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC=40°时，∠A的度数是（　　）
A．50° B．55° C．60° D．65°
6．（2021九上·甘州期末）已知，如图， ，下列结论不一定成立的是（　　）
A． B．
C． D． 都是等边三角形
7．（2021九上·朝阳期末）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上， ＝ ，OD∥AC，下列结论错误的是（　　）
A．∠C＝∠D B．∠BOD＝∠COD
C．∠BAD＝∠CAD D．∠BOD＝∠BAC
8．（2019九上·柳江月考）如图，AB是⊙O的直径， ，∠COD=34°，则∠AOE的度数是（　　）
A．51° B．56° C．68° D．78°
9．（2016·陕西）如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（2019·贵港）如图，AD是⊙O的直径， ，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
11．（2017·广州）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD=20°，则下列说法中正确的是（　　）
A．AD=2OB B．CE=EO
C．∠OCE=40° D．∠BOC=2∠BAD
12．（2020·黔东南州）如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD＝3：5，则AB的长为（　　）
A．8 B．12 C．16 D．2
13．（2017·新疆）如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，CE．若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（　　）
A．12 B．15 C．16 D．18
14．（2019·衢州）一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D，现测得AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为（　　）
A．6dm B．5dm C．4dm D．3dm
15．（2018·衢州）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（　　）
A．3cm B． cm C．2.5cm D． cm
16．（2017九上·吴兴期中）如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在优弧AB上． 若∠AOD=52°，则∠DEB的度数为（　　）
A．52° B．40° C．26° D．45°
二、填空题
17．过四边形的任意三个顶点能画圆的个数最多为　 　个．
18．（2021·锡山模拟）如图，在 中， 为 直径， 为圆上一点，若 ，则 的度数为　 　．
19．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于E点，若AB=2DE，∠E=18°，则∠AOC的度数为　 　度．
20．如图，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，已知∠AOD=50°，AD∥OC，则∠BOC=　 　度．
21．（2019·天水）如图，在平面直角坐标系中，已知 经过原点 ，与 轴、 轴分别交于 、 两点，点 坐标为 ， 与 交于点 ， ，则圆中阴影部分的面积为　 　.
22．（2016·绍兴）如图1，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图2是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB=40cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10cm，则该脸盆的半径为　 　cm．
23．（2020·台州模拟）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，连接BC过点O作OF⊥BC于点F，若BD＝12cm，AE＝4cm，则OF的长度是　 　cm.
三、综合题
24．（2017九上·东台月考）如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D， AC交⊙O于点E，∠BAC=45°。
（1）求∠EBC的度数；
（2）求证：BD=CD。
25．（2018九上·衢州期中）如图，已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆半径r=8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：A、直径是最长的弦，说法正确；
B、同圆中，所有的半径都相等，说法正确；
C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确；
D、完全重合的弧就是等弧，故原说法错误.
故答案为：D.
【分析】根据圆的基本性质可得：直径是最长的弦； 同圆中，所有的半径都相等 ； 圆既是轴对称图形又是中心对称图形 ；在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，从而即可一一判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】圆的认识；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】①直径是弦，符合题意；②弦不一定是直径，不符合题意；③半径相等的两个半圆是等弧，符合题意；④能够完全重合的两条弧是等弧，不符合题意；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆，符合题意；
正确的有3个，
故答案为：C．
【分析】利用圆的有关定义及性质分别进行判断后即可确定正确的选项．
3．【答案】C
【知识点】圆的认识；确定圆的条件；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，原命题是假命题；
②圆中最长弦是直径，是真命题；
③在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，原命题是假命题；
④三角形只有一个外接圆，是真命题.
故答案为：C.
【分析】①根据确定圆的条件“不在同一直线上的三点确定一个圆”可求解；
②由圆的性质可知，直径是圆中最长的弦；
③由圆的性质可知，在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧；
④根据确定圆的条件“不在同一直线上的三点确定一个圆”可得三角形只有一个外接圆.
4．【答案】B
【知识点】圆的认识；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：①连接圆上任意两点间的线段叫做弦，故弦不一定是直径，原命题是假命题；
②圆上任意两点间的部分叫弧，原命题是假命题；
③在同圆或等圆中，长度相等的两段弧是等弧，原命题是假命题；
④圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，是真命题；
⑤圆是轴对称图形，也是中心对称图形，原命题是假命题；
⑥过圆心的弦是直径，所以直径是弦，是真命题.
故答案为：B.
【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项.
5．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】∵∠OBC=40°，OB=OC,则∠OCB=40°，∠BOC=180°-40×2=100°，则∠A=100÷2=50°.
故答案为：A
【分析】因为圆的半径相等，根据三角形内角和可推知∠BOC的大小，根据圆周角等于它所夹弧所对的圆心角的一半可得∠A的大小。
6．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：
， .
成立，D不成立.
故答案为：D.
【分析】根据圆心角、弦、弧之间的关系定理，由∠AOB=∠COD可得AB=CD，，再根据圆的半径都相等用边边边可证△AOB≌△COD，从而即可一一判断得出答案.
7．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，OD∥AC， ＝ ，
∴∠BOD＝∠COD，∠BAD＝∠CAD，故B、C正确；
∵∠BAC＝ ∠BOC，∠BOD＝∠COD，
∴∠BOD＝∠BAC，故D正确.
故答案为：A.
【分析】根据圆心角定理"在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等"和圆周角定理“一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角的一半”并结合题意可求解.
8．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ ， ∠COD=34° ，
∴∠BOC=∠COD=∠DOE=34°，
∴∠AOE=180°-∠BOC-∠COD-∠DOE=180°-34°-34°-34°= 78° .
故答案为：D.
【分析】根据等弧所对的圆心角相等得出∠BOC=∠COD=∠DOE=34°，进而根据角的和差就可算出答案.
9．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥BC于D，
则BC=2BD，
∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°，
∴∠BOC=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB= （180°﹣∠BOC）=30°，
∵⊙O的半径为4，
∴BD=OB cos∠OBC=4× =2 ，
∴BC=4 ．
故选：B．
【分析】首先过点O作OD⊥BC于D，由垂径定理可得BC=2BD，又由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC的度数，利用余弦函数，即可求得答案．此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
10．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ ，∠AOB＝40°，
∴∠COD＝∠AOB＝40°，
∵∠AOB+∠BOC+∠COD＝180°，
∴∠BOC＝100°，
∴∠BPC＝ ∠BOC＝50°。
故答案为：B。
【分析】根据等弧所对的圆心角相等得出∠COD＝∠AOB＝40°，根据平角的定义得出∠BOC的度数，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半算出∠BPC的度数。
11．【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵AB⊥CD，
∴ = ，CE=DE，
∴∠BOC=2∠BAD=40°，
∴∠OCE=90°﹣40°=50°．
故选D．
【分析】先根据垂径定理得到 = ，CE=DE，再利用圆周角定理得到∠BOC=40°，则根据互余可计算出∠OCE的度数，于是可对各选项进行判断．
12．【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，
∵⊙O的直径CD＝20，OM：OD＝3：5，
∴OD＝10，OM＝6，
∵AB⊥CD，
∴AM＝ ＝ ＝8，
∴AB＝2AM＝16.
故答案为：C.
【分析】连接OA，先根据已知条件OM：OD＝3：5易求出OD及OM的长，再用勾股定理可求出AM的长，然后结合垂径定理可求解.
13．【答案】A
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，AB=8，
∴AC=BC= AB=4．
设OA=r，则OC=r﹣2，
在Rt△AOC中，
∵AC2+OC2=OA2，即42+（r﹣2）2=r2，解得r=5，
∴AE=10，
∴BE= = =6，
∴△BCE的面积= BC BE= ×4×6=12．
故选A．
【分析】先根据垂径定理求出AC的长，再设OA=r，则OC=r﹣2，在Rt△AOC中利用勾股定理求出r的值，再求出BE的长，利用三角形的面积公式即可得出结论．
14．【答案】B
【知识点】垂径定理的应用
【解析】解：连结OD，OA，如图，设半径为r，
∵AB=8，CD⊥AB，
∴AD=4，点O、D、C三点共线，
∵CD=2，
∴OD=r-2，
在Rt△ADO中，
∵AO2=AD2+OD2，
即r2=42+（r-2）2，
解得：r=5，
故答案为：B.
【分析】连结OD，OA，设半径为r，根据垂径定理得AD=4，OD=r-2，在Rt△ADO中，由勾股定理建立方程，解之即可求得答案.
15．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OB
∵AC⊥BD，OF⊥BC，BD=8
∴BE= BD=4，BF= BC
设圆的半径为r，则OE=r-2
在Rt△BEO中，
∴
解之：r=5
∴EC=OE+OC=3+5=8
在Rt△BEC中，
∴
在Rt△OBF中，
故答案为：D
【分析】利用垂径定理求出BE的长，BF= BC，在Rt△BEO中，利用勾股定理求出圆的半径，就可求出EC的长，再在在Rt△BEC中，利用勾股定理求出BF的长，然后在Rt△OBF中，利用勾股定理就可求出答案。
16．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵OD⊥AB，
∴弧AD=弧BD，
又∵∠AOD=52°，
∴∠DEB=∠AOD=26°.
故答案为：C.
【分析】根据垂径定理得弧AD=弧BD，再由等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，从而得出答案.
17．【答案】4
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：过四边形的任意三个顶点能画圆的个数最多4个．
故答案为4．
【分析】根据确定圆的条件，四边形的任意三个顶点都不共圆，则过四边形的任意三个顶点最多可画4个圆．
18．【答案】52°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】利用等腰三角形的性质可得，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可得答案.
19．【答案】54
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；圆的认识
【解析】【解答】解：连接OD，∵AB=2DE，
∴OD=DE，
∴∠E=∠EOD，
在△EDO中，∠ODC=∠E+∠EOD=36°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=36°，
在△CEO中，∠AOC=∠E+∠OCD=18°+36°=54°．
【分析】连接OD，根据同圆半径相等，直径是半径的2倍，由AB=2DE，得出∠E=∠EOD，根据等边对等角得出∠E=∠EOD，根据三角形外角定理得出∠ODC=∠E+∠EOD=36°，根据等边对等角得出∠OCD=∠ODC=36°，根据三角形外角定理由∠AOC=∠E+∠OCD，即可算出答案。
20．【答案】65
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆的认识
【解析】【解答】解：∵OD=OC，
∴∠D=∠A，
而∠AOD=50°，
∴∠A= （180°﹣50°）=65°，
又∵AD∥OC，
∴∠BOC=∠A=65°．
故答案为：65．
【分析】根据同圆半径相等及等边对等角可知∠D=∠A，借助三角形内角和可得∠A =65°，再利用两直线平行同位角相等即可。
21．【答案】
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接 ，
∵ ，
∴ 是直径，
根据同弧对的圆周角相等得 ，
∵ ，
∴ ， ，即圆的半径为2，
∴ 。
故答案为： 。
【分析】连接 ，根据直径所对的圆周角是直角的逆用得出AB是该圆的直角，根据同弧对的圆周角相等得 ，根据锐角三角函数的关系及特殊锐角三角函数值，分别算出OA,AB的长，然后根据即可算出答案。
22．【答案】25
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解；如图，设圆的圆心为O，连接OA，OC，OC与AB交于点D，设⊙O半径为R，
∵OC⊥AB，
∵AD=DB= AB=20，
在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，
∴OA2=OD2+AD2，
∴R2=202+（R﹣10）2，
∴R=25．
故答案为25．
【分析】设圆的圆心为O，连接OA，OC，OC与AB交于点D，设⊙O半径为R，在Rt△AOD中利用勾股定理即可解决问题．本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用勾股定理列方程解决问题，属于中考常考题型．
23．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OB，
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC，
∴BE＝ BD＝6cm，
在Rt△OEB中，OB2＝OE2+BE2，即OB2＝（OB﹣4）2+62，
解得，OB＝ ，
则EC＝AC﹣AE＝9，
BC＝ ＝ ＝3 ，
∵OF⊥BC，
∴CF＝ BC＝ ，
∴OF＝ ＝ ＝ （cm）.
故答案为： .
【分析】连接OB，根据垂径定理，可得BE＝ BD＝6cm，在Rt△OEB中，OB2＝OE2+BE2，即OB2＝（OB﹣4）2+62，求出OB＝，即得AC=13，从而得出EC＝AC﹣AE＝9，利用勾股定理求出BC=3 ，利用 垂径定理求出CF= BC＝，根据勾股定理求出OF的长即可.
24．【答案】（1）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=∠CEB=90°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵∠BAC=45°，
∴∠ABC=∠ACB=67.5°，
∴∠EBC=90°-67.5°=22.5°，
（2）证明：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
即AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴BD=CD，
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【分析】（1）由圆周角定理得出∠AEB=∠CEB=90°，又由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB，再根据三角形内角和得出∠ABC=∠ACB=67.5°，
∠EBC=22.5°.
（2）连接AD，由圆周角定理得出∠AEB=∠CEB=90°，即AD⊥BC；又由等腰三角形的性质得出BD=CD.
25．【答案】（1）证明：过点O作 OE⊥AB于 E，
∴AE=BE，CE=DE，
∴AE-CE=BE-DE，∴AC=BD
（2）解：由(1)知 OE=6，OA=10，∴AE=8，∵OE=6，OC=8∴ CE =
∴AC=AE-CE=8-2
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】（1）过点O作 OE⊥AB于 E，根据垂径定理得出AE=BE，CE=DE，再根据等式的性质，将两个等式相减即可得出答案；
（2）连接OA，OC，根据勾股定理分别算出AE，CE，再根据线段的和差即可算出答案。
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